Trigonométrie 2 : équations et inéquations - Cours corrigé | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Résoudre des équations trigonométriques dans $\mathbb{R}$ ou sur un intervalle, représenter les solutions sur le cercle et traiter des inéquations sans perdre les bornes ni les conditions de définition. Les angles sont en radians.

I. Lire une équation sur le cercle

Abscisse, ordonnée et nombre de solutions

Sur le cercle trigonométrique, un point d’angle $x$ a pour coordonnées $(\cos x;\sin x)$. Chercher $\cos x=a$ revient à couper le cercle par une droite verticale ; chercher $\sin x=a$ revient à le couper par une droite horizontale. Si $|a|>1$, aucune de ces deux équations n’a de solution réelle. Si $-1<a<1$, il y a deux points sur un tour. Aux valeurs $1$ ou $-1$, il n’y en a qu’un. Sur $\mathbb{R}$, chaque point correspond à une infinité de mesures espacées de $2\pi$.

Égalités de cosinus et de sinus

Pour tous réels $u$ et $v$, $$\begin{aligned} \cos u=\cos v&\iff u=v+2k\pi\ \text{ou}\ u=-v+2k\pi,\\ \sin u=\sin v&\iff u=v+2k\pi\ \text{ou}\ u=\pi-v+2k\pi, \end{aligned}$$ où $k\in\mathbb{Z}$. Le cosinus utilise la symétrie par rapport à l’axe horizontal ; le sinus utilise la symétrie par rapport à l’axe vertical.

Exemple 1 - Cosinus remarquable

Comme $1/2=\cos(\pi/3)$, $$\cos x=\tfrac12\iff x=\tfrac\pi3+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\tfrac\pi3+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$ Sur $[0;2\pi[$, les solutions sont $\pi/3$ et $5\pi/3$. Sur $]-\pi;\pi]$, ce sont $-\pi/3$ et $\pi/3$.

Exemple 2 - Sinus négatif

Puisque $\sin(-\pi/6)=-1/2$, on obtient $x=-\pi/6+2k\pi$ ou $x=7\pi/6+2k\pi$. Sur $[0;2\pi[$, on retient $11\pi/6$ et $7\pi/6$.

Les cas de coïncidence

Pour $\cos x=1$, les deux familles se confondent en $x=2k\pi$. Pour $\sin x=1$, elles donnent la même famille $x=\pi/2+2k\pi$. Écrire deux fois une même solution n’en crée pas une nouvelle.

Toujours annoncer l’ensemble de recherche

Résoudre sur $\mathbb{R}$ demande les familles complètes avec $k\in\mathbb{Z}$. Résoudre sur un intervalle demande ensuite de sélectionner toutes les valeurs de ces familles qui appartiennent à cet intervalle.

II. Tangente et arguments composés

Égalité de tangentes

Période $\pi$ et domaine

Lorsque $\tan u$ et $\tan v$ sont définies, $$\tan u=\tan v\iff u=v+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$ La tangente de $u$ n’existe pas lorsque $u=\pi/2+k\pi$. Il faut conserver cette restriction dans un calcul.

Ainsi $\tan x=\sqrt3$ donne $x=\pi/3+k\pi$. Aucun de ces angles n’annule son cosinus.

Résoudre d’abord pour l’argument

Exemple - Une équation en $2x$

Résoudre $\cos(2x-\pi/6)=\sqrt3/2$. Comme $\sqrt3/2=\cos(\pi/6)$, $$2x-\tfrac\pi6=\tfrac\pi6+2k\pi\quad\text{ou}\quad2x-\tfrac\pi6=-\tfrac\pi6+2k\pi.$$ Donc $x=\pi/6+k\pi$ ou $x=k\pi$. Sur $[0;2\pi[$, on trouve $0,\pi/6,\pi,7\pi/6$.

Exemple - Une tangente avec décalage

$$\tan(3x+\tfrac\pi4)=1\iff3x+\tfrac\pi4=\tfrac\pi4+k\pi\iff x=\tfrac{k\pi}{3}.$$ La vérification du domaine donne $\cos(3x+\pi/4)=\cos(\pi/4+k\pi)\ne0$, donc toute la famille convient.

Factoriser une équation trigonométrique

La règle du produit nul reste valable. Par exemple $$2\sin^2x-\sin x=0\iff\sin x(2\sin x-1)=0.$$ On résout séparément $\sin x=0$ et $\sin x=1/2$. La première donne $x=k\pi$ ; la seconde $x=\pi/6+2k\pi$ ou $x=5\pi/6+2k\pi$. Sur $[0;2\pi[$, l’ensemble est $\{0;\pi/6;5\pi/6;\pi\}$.

Ne pas diviser par le facteur qui peut s’annuler

Diviser la dernière équation par $\sin x$ supprimerait les solutions $x=k\pi$. On factorise, puis on utilise le produit nul. De même, remplacer $\sin x/\cos x$ par $\tan x$ ne supprime pas la condition $\cos x\ne0$.

Sélectionner les entiers sans oubli

Pour une famille $x=a+kT$ avec $T>0$ et un intervalle $[A;B[$, on résout $A\le a+kT<B$. Cette double inégalité donne les valeurs entières autorisées de $k$ ; elle est plus fiable qu’une liste faite au hasard.

III. Inéquations de sinus et de cosinus

Choisir le bon arc

Pour $\cos x\ge a$, garder les points dont l’abscisse est au moins $a$, c’est-à-dire à droite de la verticale correspondante. Pour $\sin x\ge a$, garder les points au-dessus de l’horizontale d’ordonnée $a$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

L’arc bleu correspond à $\cos x\ge1/2$. Dans $]-\pi;\pi]$, on lit $[-\pi/3;\pi/3]$. Dans $[0;2\pi[$, cet arc se coupe en deux morceaux : $[0;\pi/3]\cup[5\pi/3;2\pi[$.

Formules d’arcs utiles

Si $0<\alpha<\pi$, alors $$\cos x\ge\cos\alpha\iff x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[-\alpha+2k\pi;\alpha+2k\pi].$$ Si $-\pi/2<\alpha<\pi/2$, alors $$\sin x\ge\sin\alpha\iff x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[\alpha+2k\pi;\pi-\alpha+2k\pi].$$ Pour une inégalité stricte, on exclut les angles où l’égalité a lieu. On conserve séparément les restrictions de l’intervalle de recherche.

Exemple - Sinus positif au-dessus d’un seuil

Résoudre $\sin x>1/2$ sur $[0;2\pi]$. L’horizontale coupe le cercle aux angles $\pi/6$ et $5\pi/6$. L’arc supérieur donne $S=]\pi/6;5\pi/6[$. Les deux bornes sont exclues car l’inégalité est stricte. Pour $\sin x\le1/2$ sur le même intervalle fermé, le complément est $[0;\pi/6]\cup[5\pi/6;2\pi]$ ; ici $2\pi$ est admis parce qu’il appartient à l’intervalle demandé.

IV. Méthode complète et contrôles

Des inéquations avec un argument affine

Exemple - Travailler sur le bon intervalle transformé

Résoudre $\cos(2x)\ge1/2$ pour $x\in[0;\pi]$. Posons $t=2x$. Alors $t\in[0;2\pi]$. D’après le cercle, $$t\in[0;\pi/3]\cup[5\pi/3;2\pi].$$ Diviser les bornes par $2$ donne $S=[0;\pi/6]\cup[5\pi/6;\pi]$. Les valeurs $0$ et $\pi$ conviennent bien puisque le cosinus vaut $1$.

Inéquations de tangente

Sur chaque intervalle $]-\pi/2+k\pi;\pi/2+k\pi[$, la tangente est strictement croissante. Pour $a\in]-\pi/2;\pi/2[$, $$\tan x\ge\tan a\iff x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[a+k\pi;\pi/2+k\pi[.$$ La borne de droite reste ouverte car la tangente n’y est pas définie. Il est faux d’étendre la croissance à travers une valeur interdite.

Exemple - Une tangente sur un tour

Résoudre $\tan x\ge1$ sur $[0;2\pi[$. Les solutions réelles générales sont $[\pi/4+k\pi;\pi/2+k\pi[$. En intersectant avec l’intervalle donné, $$S=[\pi/4;\pi/2[\,\cup\,[5\pi/4;3\pi/2[.$$

Une procédure fiable

1. Écrire le domaine et l’intervalle où l’on cherche les solutions.

2. Reconnaître une valeur remarquable ou transformer en produit nul.

3. Trouver tous les angles ou arcs sur un tour, puis utiliser la période correcte.

4. Pour un argument $ax+b$, résoudre les relations obtenues en gardant le même entier dans chaque famille.

5. Sélectionner les valeurs de l’intervalle demandé et contrôler les bornes ainsi que les points interdits.

Les pièges de période et de bornes

Le sinus et le cosinus ont une période $2\pi$ ; la tangente a une période $\pi$. Pour $\cos(2x)$, la période en $x$ devient $\pi$. Ne pas inclure $2\pi$ si l’énoncé donne $[0;2\pi[$, même si l’expression y a un sens.

Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Cosinus sur un intervalle

Résoudre $\cos x=-\sqrt2/2$ sur $]-\pi;\pi]$.

Correction. L’angle de référence est $\pi/4$ ; le cosinus est négatif à gauche du cercle. Les deux solutions principales sont $-3\pi/4$ et $3\pi/4$.

Exercice 2 - Argument décalé

Résoudre $\sin(x-\pi/6)=1/2$ sur $[0;2\pi[$.

Correction. $x-\pi/6=\pi/6+2k\pi$ ou $x-\pi/6=5\pi/6+2k\pi$. Donc $x=\pi/3+2k\pi$ ou $x=\pi+2k\pi$. L’intervalle retient $S=\{\pi/3;\pi\}$.

Exercice 3 - Produit nul

Résoudre $\cos x(2\sin x-\sqrt3)=0$ sur $[0;2\pi[$.

Correction. $\cos x=0$ donne $\pi/2,3\pi/2$. $\sin x=\sqrt3/2$ donne $\pi/3,2\pi/3$. Ainsi $S=\{\pi/3;\pi/2;2\pi/3;3\pi/2\}$.

Exercice 4 - Inéquation de cosinus

Résoudre $\cos x<-1/2$ sur $[0;2\pi[$.

Correction. On conserve l’arc à gauche de la droite d’abscisse $-1/2$, entre $2\pi/3$ et $4\pi/3$. L’inégalité stricte donne $S=]2\pi/3;4\pi/3[$.

Exercice 5 - Argument double

Résoudre $\sin(2x)\ge\sqrt3/2$ sur $[0;\pi]$.

Correction. $t=2x\in[0;2\pi]$. On doit avoir $t\in[\pi/3;2\pi/3]$, donc $S=[\pi/6;\pi/3]$. Les deux bornes vérifient l’égalité.

Exercice 6 - Tangente et sélection

Résoudre $\tan(2x)=1$ sur $[0;\pi[$.

Correction. Le domaine exclut $x=\pi/4$ et $x=3\pi/4$. L’équation donne $2x=\pi/4+k\pi$, soit $x=\pi/8+k\pi/2$. L’intervalle autorise $k=0,1$ ; $S=\{\pi/8;5\pi/8\}$, sans valeur interdite.