L'ordre dans R - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Comparer deux réels, transformer une inégalité sans erreur de signe, interpréter un intervalle, utiliser la valeur absolue et obtenir un encadrement justifié.

I. Comparer et transformer une inégalité

Étudier le signe d’une différence

Comparer revient à soustraire

Pour tous réels $a,b$ : $$a\le b\iff a-b\le0,\qquad a<b\iff a-b<0.$$ Ainsi, $a\le b$ signifie que $a$ est inférieur ou égal à $b$. Deux réels sont toujours comparables : $a<b$, $a=b$ ou $a>b$.

L’ordre est transitif : si $a\le b$ et $b\le c$, alors $a\le c$. On peut réunir ces deux informations dans la double inégalité $a\le b\le c$.

Exemple - Comparer deux expressions

Pour $x\ge0$, comparons $A=(x+1)^2$ et $B=x^2+1$. Leur différence vaut $A-B=2x\ge0$. Donc $A\ge B$, avec égalité exactement lorsque $x=0$. Pour $x<0$, le sens de la comparaison est inversé.

Additionner et multiplier

Les règles et leurs conditions

Pour tous réels $a,b,c$ : $$a\le b\iff a+c\le b+c.$$ Si $c>0$, $a\le b\iff ac\le bc$. Si $c<0$, $a\le b\iff ac\ge bc$. Multiplier par un nombre négatif inverse donc le sens de l’inégalité. Avec $c=0$, les deux produits sont nuls : on perd l’information initiale.

On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens. Si $a\le b$ et $c\le d$, alors $a+c\le b+d$. On ne peut pas, en général, les soustraire membre à membre en gardant ce sens.

Exemple - Résoudre une inégalité simple

$$-3x+5\le11\iff-3x\le6\iff x\ge-2.$$ La dernière étape est une division par $-3$, d’où le changement de sens.

Une lettre n’a pas un signe connu par défaut

À partir de $a\le b$, multiplier par $x$ nécessite de distinguer $x>0$, $x<0$ et $x=0$. Une transformation sans cette information peut être fausse.

II. Carrés, racines et inverses

Comparer des carrés

Sur les réels positifs ou nuls

Si $0\le a\le b$, alors $a^2\le b^2$ et $\sqrt a\le\sqrt b$. Pour $a,b\ge0$, ces implications sont des équivalences.

Si $a\le b\le0$, alors $a^2\ge b^2$. Le carré ne conserve donc pas l’ordre sur tout $\mathbb{R}$. Par exemple $-3<-2$, mais $9>4$.

Lorsque les signes sont différents, on compare les valeurs absolues : $a^2\le b^2$ si et seulement si $|a|\le|b|$.

Exemple - Comparer sans calculatrice

Les nombres $\sqrt7$ et $3$ sont positifs. Comme $7<9$, on obtient $\sqrt7<3$. On peut élever au carré dans cette comparaison parce que les deux nombres sont positifs ou nuls.

Comparer des inverses

Des réels non nuls de même signe

Si $a<b$ et $ab>0$, alors $$\frac1a>\frac1b.$$ En effet, $\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}>0$. La condition $ab>0$ est essentielle : l’intervalle étudié ne doit pas traverser zéro.

Ainsi $2<5$ donne $1/2>1/5$. De même $-5<-2$ donne $-1/5>-1/2$. Mais $-2<3$ ne donne pas $-1/2>1/3$ : les nombres sont de signes opposés.

Deux inégalités utiles

Pour tous réels $a,b$, $(a-b)^2\ge0$. En développant, on obtient $$\boxed{2ab\le a^2+b^2.}$$ Si $a,b\ge0$, alors $\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$. En effet, $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ donne $a+b\ge2\sqrt{ab}$. L’égalité a lieu exactement lorsque $a=b$.

Exemple - Trouver un minimum

Pour $x>0$, appliquer l’inégalité précédente à $a=x$ et $b=1/x$ donne $$x+\frac1x\ge2.$$ Le minimum $2$ est atteint pour $x=1$. On ne peut pas utiliser cette conclusion pour $x<0$.

III. Intervalles et valeur absolue

Traduire des conditions

Pour $a<b$, les notations usuelles sont :

Condition	Intervalle
$a\le x\le b$	$[a;b]$
$a<x<b$	$]a;b[$
$a\le x<b$	$[a;b[$
$x\ge a$	$[a;+\infty[$
$x<b$	$]-\infty;b[$

Une borne infinie n’est jamais incluse. L’intersection $I\cap J$ contient les réels appartenant à la fois à $I$ et à $J$. L’union $I\cup J$ contient ceux qui appartiennent à au moins l’un des deux.

Par exemple $[-2;4]\cap]1;6[=]1;4]$ et $[-2;4]\cup]1;6[=[-2;6[$.

Interpréter une distance

Définition de la valeur absolue

$|x|=x$ si $x\ge0$ et $|x|=-x$ si $x<0$. La distance entre les réels $a$ et $b$ sur la droite graduée est $|a-b|$.

Pour tous réels $x,y$, $|x|\ge0$, $|x|=0\iff x=0$, $|-x|=|x|$, $|xy|=|x||y|$ et $\sqrt{x^2}=|x|$. Inégalité triangulaire. Pour tous réels $x,y$, $$|x+y|\le|x|+|y|,\qquad \big||x|-|y|\big|\le|x-y|.$$ La première résulte de l’addition des encadrements $-|x|\le x\le|x|$ et $-|y|\le y\le|y|$. Pour la seconde, écrire $x=(x-y)+y$, puis échanger $x$ et $y$.

Écrire un voisinage ou son extérieur

Pour $r>0$ : $$\begin{aligned} |x-a|\le r&\iff a-r\le x\le a+r,\\ |x-a|\ge r&\iff x\le a-r\text{ ou }x\ge a+r. \end{aligned}$$ Les versions strictes s’obtiennent avec des inégalités strictes aux bornes.

Exemple - Résoudre avec une distance

$|2x-6|\le4\iff2|x-3|\le4\iff|x-3|\le2$. Les solutions forment donc $[1;5]$.

Ne pas remplacer « ou » par « et »

$|x|\ge2$ signifie $x\le-2$ ou $x\ge2$. Il ne signifie pas $-2\le x\le2$, qui traduit au contraire $|x|\le2$.

IV. Encadrer et contrôler une approximation

Addition, différence et produit

Si $a\le x\le b$ et $c\le y\le d$, alors $$a+c\le x+y\le b+d,\qquad a-d\le x-y\le b-c.$$ Si en plus $a,c\ge0$, on obtient $ac\le xy\le bd$. Sans condition de signe, on étudie les quatre produits des bornes : $$\min(ac,ad,bc,bd)\le xy\le\max(ac,ad,bc,bd).$$ Ces bornes sont les meilleures possibles lorsque $x$ et $y$ varient indépendamment dans les intervalles fermés donnés.

Exemple 1 - Des facteurs de signes différents

Pour $-2\le x\le3$ et $4\le y\le5$, les produits des bornes sont $-8,-10,12,15$. Ainsi $-10\le xy\le15$. Multiplier seulement les deux bornes gauches et les deux bornes droites aurait donné une borne inférieure incorrecte.

Encadrer un carré et un quotient

Si $-2\le x\le3$, alors $0\le x^2\le9$ : zéro appartient à l’intervalle et le plus grand carré est $3^2$. Les carrés des seules bornes ne donnent pas la borne inférieure.

Pour $0<a\le x\le b$, on a $1/b\le1/x\le1/a$. Pour encadrer un quotient, on vérifie que le dénominateur ne peut pas s’annuler, on encadre son inverse, puis on traite le produit avec les signes appropriés.

Exemple 2 - Un quotient positif

Si $2\le x\le3$ et $4\le y\le5$, alors $1/5\le1/y\le1/4$. Tous les facteurs sont positifs : $$\frac25\le\frac xy\le\frac34.$$

Erreur absolue et précision

Dire que $a$ est une approximation de $x$ avec une erreur absolue au plus $\varepsilon>0$ signifie $|x-a|\le\varepsilon$, donc $x\in[a-\varepsilon;a+\varepsilon]$.

L’intervalle a pour centre $a$ et pour rayon $\varepsilon$. Par exemple $|x-1{,}42|\le0{,}01$ donne $1{,}41\le x\le1{,}43$. Le rayon $0{,}01$ ne doit pas être confondu avec la largeur $0{,}02$. Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Comparer

Comparer $A=(x-2)^2$ et $B=x^2+4$ suivant les valeurs de $x$.

Correction. $A-B=-4x$. Ainsi $A<B$ pour $x>0$, $A=B$ pour $x=0$ et $A>B$ pour $x<0$.

Exercice 2 - Une transformation de signe

Résoudre $7-2x>3$ puis traduire le résultat par un intervalle.

Correction. $-2x>-4\iff x<2$. La division par $-2$ inverse le sens. L’ensemble des solutions est $]-\infty;2[$.

Exercice 3 - Intervalles

Calculer $I\cap J$ et $I\cup J$ pour $I=[-3;2[$ et $J=[1;5]$.

Correction. $I\cap J=[1;2[$ et $I\cup J=[-3;5]$. Le réel $2$ n’appartient pas à $I$ mais appartient à l’union puisqu’il est dans $J$.

Exercice 4 - Valeur absolue

Résoudre $|x+1|<3$ et $|x-2|\ge4$.

Correction. La première inégalité équivaut à $-3<x+1<3$, donc $x\in]-4;2[$. La seconde donne $x-2\le-4$ ou $x-2\ge4$, soit $x\in]-\infty;-2]\cup[6;+\infty[$.

Exercice 5 - Encadrer

On suppose $-1\le x\le2$ et $3\le y\le4$. Encadrer $x-y$, $xy$ et $x^2$ par les meilleures bornes obtenues à partir de ces seules informations.

Correction. $-5\le x-y\le-1$. Les produits des bornes sont $-3,-4,6,8$, d’où $-4\le xy\le8$. Enfin $0\le x^2\le4$, car l’intervalle contient zéro et $|x|\le2$. Chaque borne peut être atteinte.

Exercice 6 - Démontrer une inégalité

Pour $x>0$, démontrer $x^2+1/x^2\ge2$ et déterminer le cas d’égalité.

Correction. $(x-1/x)^2\ge0$ donne $x^2-2+1/x^2\ge0$. L’égalité a lieu si $x=1/x$, donc $x^2=1$. La condition $x>0$ impose $x=1$.

Exercice 7 - Lire une précision

Une longueur est donnée par $|L-12{,}5|\le0{,}05$ en cm. Donner l’intervalle des valeurs possibles et sa largeur.

Correction. $L\in[12{,}45;12{,}55]$ cm. La largeur de l’intervalle est $0{,}10$ cm, tandis que l’erreur absolue maximale par rapport à $12{,}5$ est $0{,}05$ cm.