Limites de fonctions : méthodes et exercices corrigés | 2e Bac scientifique

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Distinguer valeur et limite, calculer des limites finies ou infinies, lever les formes indéterminées et interpréter les asymptotes. Ce chapitre présente les méthodes communes ; une section d’approfondissement précise les définitions quantifiées utiles en sciences mathématiques. La continuité et les fonctions réciproques sont traitées dans un chapitre séparé.

I. Comprendre la notion de limite

Au voisinage d’un réel

Écrire $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ signifie que $f(x)$ devient aussi proche que l’on veut de $\ell$ lorsque $x$ se rapproche de $a$, avec $x$ dans le domaine et $x\ne a$. La valeur $f(a)$ peut ne pas exister ; elle n’intervient pas directement dans cette définition. Par exemple $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ est définie pour $x\ne1$. Comme $f(x)=x+1$ sur son domaine, $\lim_{x\to1}f(x)=2$, bien que $f(1)$ ne soit pas définie.

Limites à droite et à gauche

La limite à droite, notée $\lim_{x\to a^+}f(x)$, utilise les valeurs $x>a$ ; la limite à gauche utilise $x<a$. Si les deux côtés appartiennent au voisinage du domaine, une limite en $a$ existe si et seulement si les deux limites unilatérales existent et sont égales.

Exemple - Deux côtés incompatibles

Pour $f(x)=|x|/x$, on a $f(x)=1$ pour $x>0$ et $f(x)=-1$ pour $x<0$. Les limites à droite et à gauche de $0$ sont $1$ et $-1$ : il n’y a pas de limite en $0$. Pour $\sqrt{x}$ en $0$, seul le côté droit existe dans le domaine. On parle de limite à droite ou de limite relativement au domaine ; elle vaut $0$.

À l’infini et vers l’infini

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ décrit le comportement de $f(x)$ pour des valeurs positives de $x$ aussi grandes que nécessaire. La notation $f(x)\to+\infty$ signifie que $f(x)$ dépasse tout seuil réel fixé ; $+\infty$ n’est pas une valeur réelle. Ainsi $x^2\to+\infty$ lorsque $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$, tandis que $x^3\to-\infty$ lorsque $x\to-\infty$.

Une limite n’est pas un remplacement symbolique

Les écritures $1/0$, $\infty-\infty$ ou $0/0$ ne sont pas des nombres. Avant un calcul, identifier le domaine et le côté étudié. Une lecture graphique peut suggérer la limite, mais la conclusion doit être justifiée par une règle ou une transformation valable.

II. Limites usuelles et opérations

Un répertoire de base

Lorsque $x\to a$, on a $x\to a$, $x^n\to a^n$ pour tout entier $n\ge1$, et $\sqrt{x}\to\sqrt a$ lorsque les expressions sont définies, avec une approche à droite si $a=0$. Lorsque $x\to+\infty$, $1/x\to0$, $1/x^n\to0$ pour $n\ge1$, et $\sqrt{x}\to+\infty$. Lorsque $x\to0^+$, $1/x\to+\infty$ ; lorsque $x\to0^-$, $1/x\to-\infty$. Pour tout $x\ne0$, $1/x^2>0$, donc $\lim_{x\to0}1/x^2=+\infty$. En revanche, $1/x$ n’a pas une limite commune aux deux côtés de $0$.

Opérations avec limites finies

Somme, produit et quotient

Si $f(x)\to\ell$ et $g(x)\to m$, avec $\ell,m\in\mathbb{R}$, alors $$f+g\to\ell+m,\qquad fg\to\ell m.$$ Si $m\ne0$, alors $f/g\to\ell/m$. Les polynômes ont donc pour limite en $a$ leur valeur en $a$. Une fraction rationnelle aussi, à condition que son dénominateur ne s’annule pas en $a$.

Par exemple $\lim_{x\to2}(3x^2-x+1)=11$, et $\lim_{x\to1}(x+2)/(x^2+1)=3/2$.

Opérations avec limites infinies

Une somme d’une fonction de limite finie et d’une fonction tendant vers $+\infty$ tend vers $+\infty$. Deux fonctions tendant toutes deux vers $+\infty$ ont une somme qui tend vers $+\infty$. Pour les produits et quotients déterminés, le signe reste essentiel. Si $f\to\ell\ne0$ et si $g\to0$ avec un signe constant au voisinage étudié, $f/g$ tend vers une infinité dont le signe est celui du quotient. Par exemple, lorsque $x\to2^-$, $3/(x-2)\to-\infty$.

Formes indéterminées à transformer

Les formes $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $0/0$ et $\infty/\infty$ ne permettent pas de conclure seules. Elles décrivent une difficulté de calcul, pas une limite déterminée.

Ainsi, lorsque $x\to0$, $x/x\to1$, $x^2/x\to0$, et $x/x^2$ n’a pas de limite bilatérale. Les trois quotients présentent pourtant la même forme initiale $0/0$.

III. Lever les indéterminations algébriques

Factoriser au voisinage d’un réel

Exemple 1 - Une différence de carrés

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6.$$ La simplification est valable pour $x\ne3$, ce qui suffit pour calculer la limite en $3$. On ne prétend pas que la fraction initiale est définie en $3$.

Exemple 2 - Conserver le signe d’un pôle

$$\frac{x^2-4}{(x-2)^2}=\frac{x+2}{x-2}\quad(x\ne2).$$ Le numérateur tend vers $4>0$. Le dénominateur est négatif à gauche de $2$ et positif à droite. Les limites sont donc respectivement $-\infty$ et $+\infty$ : pas de limite bilatérale commune.

Utiliser le conjugué

Exemple - Une différence de racines

Pour $x\ge0$, $x\ne4$, $$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac1{\sqrt{x}+2}.$$ La limite en $4$ vaut $1/4$. Le conjugué transforme une différence de racines en une différence algébrique factorisable.

Comparer les degrés à l’infini

Un polynôme non nul se comporte à l’infini comme son terme de plus haut degré. Pour un quotient de polynômes, diviser le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance utile.

Exemple - Numérateur et dénominateur de même degré

$$\frac{3x^2-2x+1}{2x^2+5}=\frac{3-2/x+1/x^2}{2+5/x^2}\longrightarrow\frac32\quad(x\to\pm\infty).$$ Si le degré du numérateur est inférieur, le quotient tend vers $0$. S’il est supérieur, il faut étudier le terme dominant et son signe : $(2x^3+1)/(x^2+1)$ se comporte comme $2x$, donc tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et $-\infty$ en $-\infty$.

Ne pas oublier $\sqrt{x^2}=|x|$

Lorsque $x\to-\infty$, $$\frac{\sqrt{x^2+1}}x=\frac{|x|}{x}\sqrt{1+1/x^2}=-\sqrt{1+1/x^2}\longrightarrow-1.$$ Le même quotient tend vers $1$ lorsque $x\to+\infty$. Remplacer $\sqrt{x^2}$ par $x$ sans condition de signe fausse le résultat à gauche.

IV. Comparaison, encadrement et composition

Théorème des gendarmes

Un encadrement qui se resserre

Si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ au voisinage étudié, avec $g(x)\to\ell$ et $h(x)\to\ell$, alors $f(x)\to\ell$. Une formulation utile : si $|f(x)-\ell|\le u(x)$ et $u(x)\to0$, alors $f(x)\to\ell$.

Exemple - Une oscillation amortie

Pour $x\ne0$, $-1\le\sin(1/x)\le1$, donc $$\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\longrightarrow0.$$ Ainsi $\lim_{x\to0}x\sin(1/x)=0$, même si $\sin(1/x)$ n’a pas de limite en $0$. De même, $|\sin x/x|\le1/|x|$ pour $x\ne0$, donc $\sin x/x\to0$ lorsque $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$.

Comparaison et limites infinies

Si $f(x)\ge g(x)$ au voisinage étudié et $g(x)\to+\infty$, alors $f(x)\to+\infty$. Par exemple $x^2+\sin x\ge x^2-1\to+\infty$ en $\pm\infty$. La seule inégalité $f\le g$ ne permet pas de conclure que $f$ et $g$ ont la même limite. Une limite commune des deux bornes est nécessaire dans le théorème des gendarmes.

Limites trigonométriques de référence

En radians, la limite fondamentale est $$\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.$$ On en déduit, en utilisant la continuité du cosinus et $1-\cos t=\sin^2t/(1+\cos t)$, $$\lim_{t\to0}\frac{\tan t}{t}=1,\qquad\lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12.$$ Ces résultats supposent des arguments en radians. Pour $a\ne0$, $$\frac{\sin(ax)}x=a\frac{\sin(ax)}{ax}\longrightarrow a.$$

Composition et côté d’approche

Si $u(x)\to b$ et si $f$ est continue en $b$, alors $f(u(x))\to f(b)$, lorsque la composition est définie. Pour composer avec une limite en un point où $f$ n’est pas définie, il faut respecter le côté d’approche et les hypothèses du théorème utilisé, notamment éviter que $u(x)$ reste exactement égal au point exclu. Par exemple, si $u(x)=x^2+1$, alors $u(x)\to1^+$ lorsque $x\to0$ ; $1/(u(x)-1)=1/x^2\to+\infty$.

V. Asymptotes et comportement graphique

Asymptote verticale

La droite $x=a$ est une asymptote verticale lorsqu’au moins une des limites de $f$ à gauche ou à droite de $a$ est infinie. Il n’est pas nécessaire que les deux côtés donnent la même infinité. Ainsi $f(x)=1/(x-2)$ possède l’asymptote verticale $x=2$, avec $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite. En revanche, $(x^2-1)/(x-1)$ a seulement un point manquant en $x=1$ : sa limite y est finie, donc pas d’asymptote verticale.

Asymptote horizontale ou oblique

Tester une différence

En $+\infty$ ou en $-\infty$, la droite $y=\ell$ est asymptote si $f(x)\to\ell$. Plus généralement, la droite $y=ax+b$ est asymptote si $$f(x)-(ax+b)\longrightarrow0.$$ Les asymptotes peuvent être différentes aux deux extrémités du domaine.

Exemple - Division et position relative

Pour $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$, une division donne $$f(x)=x+1+\frac2{x-1}.$$ La droite $y=x+1$ est asymptote aux deux infinis, puisque $2/(x-1)\to0$. La courbe est au-dessus de cette droite pour $x>1$ et en dessous pour $x<1$, d’après le signe de la différence. Elle possède aussi l’asymptote verticale $x=1$.

Branches paraboliques : distinguer les situations

Lorsque $f(x)\to\pm\infty$, on peut regarder $f(x)/x$. Si ce quotient tend vers une pente finie $a$, on examine ensuite $f(x)-ax$ : seule une limite finie $b$ donne une asymptote $y=ax+b$. Pour $f(x)=x+\sqrt{x}$ en $+\infty$, $f(x)/x\to1$, mais $f(x)-x=\sqrt{x}\to+\infty$ : il n’y a pas d’asymptote de pente $1$. On parle d’une branche parabolique de direction $y=x$. Pour $f(x)=x^2$ en $+\infty$, $f(x)/x=x\to+\infty$ : la branche parabolique a la direction de l’axe des ordonnées. Pour $f(x)=\sqrt{x}$, le quotient tend vers $0$ tandis que $f\to+\infty$ : direction de l’axe des abscisses.

Une courbe peut couper son asymptote

La définition porte sur le rapprochement à l’infini. Elle n’interdit pas une intersection à une abscisse finie ; la position relative se traite avec le signe de la différence, pas avec une règle visuelle supposée.

VI. Approfondissement : définitions quantifiées

Limite finie en un point

On suppose que l’on peut trouver des points du domaine différents de $a$ arbitrairement proches de $a$ : $a$ est un point d’accumulation du domaine. L’écriture $f(x)\to\ell$ lorsque $x\to a$ signifie : $$\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in D_f,\quad0<|x-a|<\delta\Longrightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon.$$ Le choix de $\delta$ peut dépendre de $\varepsilon$, mais doit fonctionner pour tous les $x$ suffisamment proches, et non pour une seule suite de points.

Exemple - Prouver une limite affine

Pour $f(x)=3x-1$, on veut prouver $f(x)\to5$ en $2$. On a $|f(x)-5|=3|x-2|$. Pour tout $\varepsilon>0$, choisir $\delta=\varepsilon/3$ donne immédiatement l’implication demandée.

Limite en l’infini et limite infinie

La limite $f(x)\to\ell$ en $+\infty$ signifie que pour tout $\varepsilon>0$, il existe un seuil $A$ tel que $x\in D_f$ et $x>A$ entraînent $|f(x)-\ell|<\varepsilon$. La limite $f(x)\to+\infty$ en $a$ signifie que pour tout seuil réel $M$, il existe $\delta>0$ tel que $x\in D_f$, $0<|x-a|<\delta$ entraînent $f(x)>M$. On adapte les inégalités pour les autres côtés ou signes.

Lien avec la continuité et prolongement

Une fonction définie en $a$ est continue en $a$ si sa limite y vaut $f(a)$. Si $f$ n’est pas définie en $a$ mais possède une limite réelle $\ell$, la fonction obtenue en posant $F(a)=\ell$ et $F(x)=f(x)$ ailleurs réalise un prolongement continu en $a$. Pour $(x^2-1)/(x-1)$, la seule valeur permettant le prolongement en $1$ est $2$. Un pôle de limite infinie ne se répare pas par l’ajout d’une valeur réelle.

Plan de résolution d’une limite

1. Écrire le domaine et préciser l’approche : point, côté, ou infini.

2. Essayer les opérations usuelles en vérifiant leurs hypothèses.

3. En cas d’indétermination, choisir factorisation, conjugué, terme dominant ou encadrement.

4. Pour une infinité, justifier le signe et comparer les deux côtés si nécessaire.

5. Conclure avec la notation exacte ; si une asymptote est demandée, tester la différence correspondante.

Fin du cours

VII. Exercices corrigés

Exercice 1 - Factorisation

Calculer $\lim_{x\to2}(x^3-8)/(x-2)$.

Correction. Pour $x\ne2$, $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$. La limite vaut $4+4+4=12$.

Exercice 2 - Racine et signe à l’infini

Calculer $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+3x}-x)$, puis la limite en $-\infty$.

Correction. En $+\infty$, le conjugué donne $3x/(\sqrt{x^2+3x}+x)=3/(\sqrt{1+3/x}+1)\to3/2$. En $-\infty$, $\sqrt{x^2+3x}=-x\sqrt{1+3/x}$ et l’expression vaut $-x(\sqrt{1+3/x}+1)\to+\infty$.

Exercice 3 - Limites unilatérales

Étudier $(x+1)/(x-2)$ au voisinage de $2$.

Correction. Le numérateur tend vers $3>0$. Le dénominateur tend vers $0^-$ à gauche et $0^+$ à droite. Les limites sont $-\infty$ et $+\infty$ ; la droite $x=2$ est une asymptote verticale.

Exercice 4 - Rapport trigonométrique

Calculer $\lim_{x\to0}\sin(3x)/\sin(2x)$.

Correction. Au voisinage épointé de $0$, le quotient s’écrit $\frac32\frac{\sin(3x)}{3x}\frac{2x}{\sin(2x)}$. Les deux rapports tendent vers $1$, donc la limite vaut $3/2$.

Exercice 5 - Encadrement

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+\cos x}{x}$.

Correction. L’expression vaut $2+\cos x/x$. Comme $|\cos x/x|\le1/x\to0$, la limite est $2$. On n’a pas besoin d’une limite de $\cos x$ lui-même.

Exercice 6 - Asymptote oblique

Déterminer l’asymptote oblique de $f(x)=(2x^2-3x+4)/(x-1)$ et la position de la courbe par rapport à cette droite.

Correction. $f(x)=2x-1+3/(x-1)$. La droite $y=2x-1$ est asymptote en $\pm\infty$. La différence $3/(x-1)$ est négative pour $x<1$ et positive pour $x>1$ ; la courbe est donc en dessous à gauche et au-dessus à droite.

Exercice 7 - Définition quantifiée

Prouver directement que $1/x\to0$ en $+\infty$.

Correction. Pour $\varepsilon>0$, choisir $A=1/\varepsilon$. Si $x>A$, alors $x>0$ et $|1/x|=1/x<\varepsilon$. Ce choix satisfait la définition pour toute précision positive.