Trigonométrie 1 : règles de calcul - Cours et exercices | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Se repérer sur le cercle trigonométrique, convertir les unités d’angle, utiliser les angles orientés, déterminer les signes et calculer des valeurs exactes à partir des angles remarquables.

I. Cercle trigonométrique et radian

Un cercle orienté de rayon un

Dans un repère orthonormé direct $(O;\vec i,\vec j)$, le cercle trigonométrique a pour centre $O$ et pour rayon $1$. Son point de départ est $I(1;0)$. Le sens positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre ; le sens négatif est le sens des aiguilles. Un réel $x$ repère le point atteint après un déplacement orienté de longueur $x$ sur ce cercle. Un tour entier mesure $2\pi$ ; un demi-tour mesure $\pi$ ; un quart de tour positif mesure $\pi/2$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Convertir les mesures

Degrés, radians et grades

Un angle plat vaut $180^\circ=\pi$ radians $=200$ grades. Si $d,r,g$ sont les valeurs numériques d’une même mesure dans ces trois unités, $$\frac d{180}=\frac r\pi=\frac g{200}.$$ Donc $r=d\pi/180$ et $d=180r/\pi$. Sans unité indiquée, les arguments des fonctions trigonométriques de ce cours sont en radians.

Par exemple $150^\circ=5\pi/6$ radians ; $3\pi/4$ radians $=135^\circ=150$ grades. Le radian n’est pas un degré : saisir $\pi/3$ en mode degrés sur une calculatrice ne donne pas le résultat attendu.

II. Angles orientés et mesures principales

Plusieurs mesures, un même point

Deux réels repèrent le même point sur le cercle si et seulement si leur différence est un multiple entier de $2\pi$. On écrit $$x\equiv y\pmod{2\pi}\iff x-y=2k\pi\quad\text{pour un }k\in\mathbb{Z}.$$

Choisir une mesure principale

Tout réel $x$ possède une unique mesure congrue à $x$ dans $]-\pi;\pi]$. On l’obtient en ajoutant ou retranchant un nombre entier de tours. Le point d’angle $-\pi$ a pour mesure principale $\pi$.

Exemple - Réduire un angle

Pour $17\pi/6$, on retranche $2\pi=12\pi/6$ : la mesure principale est $5\pi/6$. Pour $-19\pi/4$, on ajoute $4\pi=16\pi/4$ : on trouve $-3\pi/4$.

Angle de deux vecteurs non nuls

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls. L’angle orienté $(\vec u,\vec v)$ décrit la rotation de la direction de $\vec u$ vers celle de $\vec v$, dans le plan orienté. Ses mesures diffèrent de multiples de $2\pi$. Si les directions de ces vecteurs ont respectivement pour mesures $\alpha$ et $\beta$ à partir de $\vec i$, alors $(\vec u,\vec v)$ a pour mesure $\beta-\alpha$ modulo $2\pi$.

Relations d’angles, modulo $2\pi$

Pour trois vecteurs non nuls $\vec u,\vec v,\vec w$, $$\begin{aligned} (\vec u,\vec u)&\equiv0,\\ (\vec v,\vec u)&\equiv-(\vec u,\vec v),\\ (\vec u,\vec w)&\equiv(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w). \end{aligned}$$ La dernière égalité est la relation de Chasles pour les angles orientés. Remplacer un seul vecteur par son opposé ajoute $\pi$ modulo $2\pi$ ; remplacer les deux par leurs opposés conserve l’angle.

Exemple - Combiner deux rotations

Si $(\vec u,\vec v)\equiv2\pi/3$ et $(\vec v,\vec w)\equiv-\pi/4$, alors $$(\vec u,\vec w)\equiv\frac{2\pi}{3}-\frac\pi4=\frac{5\pi}{12}\pmod{2\pi}.$$

Colinéarité et orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si leur angle vaut $0$ ou $\pi$ modulo $2\pi$, soit un multiple de $\pi$. Ils sont orthogonaux si leur angle vaut $\pi/2$ ou $-\pi/2$ modulo $2\pi$.

Le vecteur nul

Un angle orienté ne se définit pas avec un vecteur nul. Avant de parler de direction ou d’angle, vérifier que les deux vecteurs sont non nuls.

III. Cosinus, sinus et tangente

Coordonnées d’un point du cercle

Définitions et identité fondamentale

Le point du cercle repéré par $x$ a pour coordonnées $(\cos x;\sin x)$. Pour tout réel $x$, $$\cos^2x+\sin^2x=1,\qquad-1\le\cos x\le1,\quad-1\le\sin x\le1.$$ Si $\cos x\ne0$, on définit $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$. La tangente n’est donc pas définie pour $x=\pi/2+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

L’identité vient du théorème de Pythagore : tout point du cercle de rayon $1$ vérifie $X^2+Y^2=1$.

Signes dans les quatre quadrants

Le cosinus a le signe de l’abscisse ; le sinus celui de l’ordonnée. Lorsque la tangente existe, son signe est celui du quotient.

Angle réduit	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$
$]0;\pi/2[$	$+$	$+$	$+$
$]\pi/2;\pi[$	$-$	$+$	$-$
$]\pi;3\pi/2[$	$-$	$-$	$+$
$]3\pi/2;2\pi[$	$+$	$-$	$-$

Sur les axes, lire séparément les valeurs : $\sin0=0$, $\cos0=1$, $\cos(\pi/2)=0$, $\sin(\pi/2)=1$, $\cos\pi=-1$ et $\sin\pi=0$.

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\cos x$	$1$	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$	$0$
$\sin x$	$0$	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$	$1$
$\tan x$	$0$	$\sqrt3/3$	$1$	$\sqrt3$	non définie

Un triangle rectangle isocèle donne les valeurs de $\pi/4$. La hauteur d’un triangle équilatéral de côté $2$ donne celles de $\pi/6$ et $\pi/3$.

Exemple - Choisir le bon signe

Si $x\in]\pi/2;\pi[$ et $\sin x=3/5$, alors $\cos^2x=1-9/25=16/25$. Le cosinus est négatif dans ce quadrant, donc $\cos x=-4/5$ et $\tan x=-3/4$.

IV. Angles associés et calculs exacts

Symétries et périodicité

Les symétries du cercle donnent les formules suivantes, valables pour tout réel $x$ :

Angle	Cosinus	Sinus
$-x$	$\cos x$	$-\sin x$
$\pi-x$	$-\cos x$	$\sin x$
$\pi+x$	$-\cos x$	$-\sin x$
$\pi/2-x$	$\sin x$	$\cos x$
$\pi/2+x$	$-\sin x$	$\cos x$
$x+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$	$\cos x$	$\sin x$

Pour la tangente, lorsque les expressions sont définies, on obtient notamment $$\tan(-x)=-\tan x,\quad\tan(\pi-x)=-\tan x,\quad\tan(x+k\pi)=\tan x.$$

Exemple 1 - Ramener à un angle remarquable

$$\begin{aligned} \cos\frac{5\pi}{6}&=\cos\left(\pi-\frac\pi6\right)=-\frac{\sqrt3}{2},\\ \sin\frac{7\pi}{6}&=\sin\left(\pi+\frac\pi6\right)=-\frac12,\\ \cos\frac{13\pi}{4}&=\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \end{aligned}$$

Exemple 2 - Simplifier sans valeur approchée

Pour tout réel $x$, $$\cos^2(\pi-x)+\sin^2(-x)=(-\cos x)^2+(-\sin x)^2=1.$$ Si $\sin x\ne0$ et $\cos x\ne0$, on peut aussi écrire $$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac1{\tan x}.$$ Les conditions sont nécessaires : la formule avec $1/\tan x$ n’a pas de sens si $\tan x=0$ ou n’est pas définie.

Une somme d’angles n’est pas une somme de sinus

En général $\sin(a+b)\ne\sin a+\sin b$. Par exemple $\sin(\pi/6+\pi/6)=\sqrt3/2$, tandis que $\sin(\pi/6)+\sin(\pi/6)=1$. Utiliser les symétries connues, pas une fausse distributivité.

Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Unités

Convertir $225^\circ$ et $-60^\circ$ en radians, puis $7\pi/12$ radians en degrés.

Correction. $225\pi/180=5\pi/4$ ; $-60\pi/180=-\pi/3$ ; $(7\pi/12)(180/\pi)=105^\circ$.

Exercice 2 - Mesures principales

Déterminer les mesures principales de $31\pi/6$, $-17\pi/3$ et $-3\pi$.

Correction. $31\pi/6-6\pi=-5\pi/6$ ; $-17\pi/3+6\pi=\pi/3$ ; $-3\pi+4\pi=\pi$. Chaque résultat appartient à $]-\pi;\pi]$.

Exercice 3 - Calcul exact

Calculer $A=\sin(11\pi/6)+\cos(2\pi/3)$ et $B=\tan(5\pi/4)\cos(7\pi/4)$.

Correction. $\sin(11\pi/6)=-1/2$ et $\cos(2\pi/3)=-1/2$, donc $A=-1$. Comme $\tan(5\pi/4)=\tan(\pi/4)=1$ et $\cos(7\pi/4)=\sqrt2/2$, on trouve $B=\sqrt2/2$.

Exercice 4 - Signes et identité

Sachant que $x\in]-\pi;-\pi/2[$ et $\cos x=-5/13$, déterminer $\sin x$ et $\tan x$.

Correction. Le point est dans le troisième quadrant, donc son sinus est négatif. $\sin^2x=1-25/169=144/169$ donne $\sin x=-12/13$. Ainsi $\tan x=12/5$.

Exercice 5 - Angles orientés

Si $(\vec u,\vec v)\equiv5\pi/6$ et $(\vec v,\vec w)\equiv2\pi/3$ modulo $2\pi$, donner une mesure principale de $(\vec u,\vec w)$, puis de $(\vec w,\vec u)$.

Correction. Par Chasles, $5\pi/6+2\pi/3=3\pi/2$. Sa mesure principale est $-\pi/2$. L’angle inverse a pour mesure principale $\pi/2$. Les deux directions sont donc orthogonales.

Exercice 6 - Simplifier

Simplifier $E=\sin(\pi-x)+\sin(\pi+x)+\cos(\pi/2-x)$, puis $F=\cos^2x-\sin^2(\pi/2-x)$.

Correction. $E=\sin x-\sin x+\sin x=\sin x$. Comme $\sin(\pi/2-x)=\cos x$, on a $F=\cos^2x-\cos^2x=0$.