Transformations du plan - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures.

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Objectifs. Construire des images par symétrie, translation et homothétie, exprimer ces transformations avec des vecteurs ou des coordonnées et utiliser leurs propriétés pour démontrer une configuration.

I. Images et symétries

Vocabulaire d’une transformation

Une transformation du plan associe à chaque point $M$ une image $M'$. Un point est fixe lorsque son image est lui-même. Pour déterminer l’image d’une figure, on transforme ses points ; des propriétés de conservation permettent souvent de ne construire que quelques points caractéristiques.

Symétrie axiale

Symétrique par rapport à une droite $d$

Si $M\notin d$, son symétrique $M'$ est défini par le fait que $d$ est la médiatrice de $[MM']$. Si $M\in d$, on pose $M'=M$. La droite $d$ est l’axe de la symétrie, notée $s_d$.

Pour construire $M'$, tracer la perpendiculaire à $d$ passant par $M$, noter $H$ son intersection avec $d$, puis reporter $HM$ de l’autre côté de $d$. On a $HM'=HM$. Les points fixes sont exactement les points de $d$. Appliquer deux fois la même symétrie axiale rend le point initial : $s_d(s_d(M))=M$. Dans un repère orthonormé, la symétrie d’axe $(Ox)$ transforme $(x;y)$ en $(x;-y)$ ; celle d’axe $(Oy)$ donne $(-x;y)$. La symétrie d’axe $y=x$ échange les coordonnées : $(x;y)\mapsto(y;x)$.

Symétrie centrale

Symétrique de centre $\Omega$

L’image $M'$ par $S_\Omega$ est définie par $$\overrightarrow{\Omega M'}=-\overrightarrow{\Omega M}.$$ Le point $\Omega$ est donc le milieu de $[MM']$. Il est l’unique point fixe de cette transformation.

Si $\Omega(a;b)$ et $M(x;y)$, alors $M'(2a-x;2b-y)$. Par exemple, pour $\Omega(1;-2)$ et $M(4;3)$, on trouve $M'(-2;-7)$. Le milieu de $M$ et $M'$ est bien $(1;-2)$. La symétrie centrale correspond à un demi-tour. Elle est sa propre réciproque, comme la symétrie axiale, mais il ne faut pas confondre leurs constructions : l’une possède un centre, l’autre un axe.

II. Translation et calcul vectoriel

Définition et construction

Un déplacement donné par un vecteur

Pour un vecteur fixé $\vec u$, la translation $t_{\vec u}$ transforme $M$ en l’unique point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\vec u$. Si $\vec u=(p;q)$, la formule dans un repère est $$(x;y)\longmapsto(x+p;y+q).$$

Si $\vec u=\overrightarrow{AB}$, on construit $M'$ en complétant le parallélogramme $ABM'M$. Les segments orientés $AB$ et $MM'$ ont même direction, même sens et même longueur.

Exemple - Deux images sous une même translation

Pour $\vec u=(3;-2)$, $A(-1;4)$ devient $A'(2;2)$ et $B(2;1)$ devient $B'(5;-1)$. On a $$\overrightarrow{AB}=(3;-3)=\overrightarrow{A'B'}.$$ Plus généralement, la relation de Chasles donne $$\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}=-\vec u+\overrightarrow{AB}+\vec u=\overrightarrow{AB}.$$

Points fixes et transformation réciproque

Si $\vec u\ne\vec0$, aucun point n’est fixe. Si $\vec u=\vec0$, la translation est l’identité : chaque point reste inchangé. La translation réciproque est $t_{-\vec u}$. Effectuer successivement $t_{\vec u}$ puis $t_{\vec v}$ revient à effectuer $t_{\vec u+\vec v}$, car $\overrightarrow{MM''}=\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{M'M''}$.

Images de figures

Une droite a pour image une droite parallèle, éventuellement confondue avec elle. Il suffit de transformer deux de ses points. Un segment $[AB]$ devient $[A'B']$ de même longueur. Un cercle de centre $A$ et de rayon $r$ devient le cercle de centre $A'$ et de rayon $r$.

Exemple - Image d’une droite

Soit $d:y=2x-1$ et la translation $(3;-2)$. Pour un point image $(X;Y)$, on a $x=X-3$ et $y=Y+2$. L’équation initiale donne $$Y+2=2(X-3)-1\iff Y=2X-9.$$ La pente reste $2$ : les deux droites sont parallèles.

Antécédent et image

Pour obtenir une équation de la figure image, exprimer les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. Remplacer directement $x$ par $x+3$ et $y$ par $y-2$ dans l’équation initiale sans ce raisonnement inverse le déplacement.

III. Homothétie : agrandir ou réduire

Centre et rapport

Une relation vectorielle

L’homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k\ne0$, notée $h_{\Omega,k}$, transforme $M$ en $M'$ défini par $$\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}.$$ Les points $\Omega,M,M'$ sont alignés. Pour $k>0$, les deux vecteurs ont le même sens ; pour $k<0$, ils ont des sens opposés. La distance satisfait $\Omega M'=|k|\,\Omega M$.

Si $k=1$, c’est l’identité ; si $k=-1$, c’est la symétrie centrale de centre $\Omega$. Si $k\ne1$, le seul point fixe est $\Omega$. On exclut ici $k=0$, qui écraserait tout le plan au centre et ne serait pas une transformation inversible.

Coordonnées et construction

Pour $\Omega(a;b)$ et $M(x;y)$, $$M'\bigl(a+k(x-a)\,;\,b+k(y-b)\bigr).$$ Pour construire une image, on trace la droite $(\Omega M)$, on choisit le côté selon le signe de $k$ puis on reporte la distance multipliée par $|k|$.

Exemple - Un rapport négatif

Soient $\Omega(1;1)$, $M(3;2)$ et $k=-2$. Alors $\overrightarrow{\Omega M}=(2;1)$, donc $\overrightarrow{\Omega M'}=(-4;-2)$ et $M'(-3;-1)$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Effet sur deux points et sur les dimensions

Pour deux points $A,B$ et leurs images $A',B'$, $$\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB},\qquad A'B'=|k|AB.$$ La première égalité vient de Chasles et de la définition appliquée à $A$ et à $B$. Les longueurs sont donc multipliées par $|k|$, les périmètres par $|k|$ et les aires par $k^2$. L’homothétie réciproque a le même centre et le rapport $1/k$. Deux homothéties de même centre et de rapports $k,l$ ont pour composée l’homothétie de rapport $kl$.

IV. Propriétés et démonstrations

Ce qui est conservé

Les symétries et les translations conservent les distances : ce sont des isométries. L’homothétie conserve les rapports de longueurs et multiplie chaque longueur par $|k|$. Toutes ces transformations conservent l’alignement, les milieux, le parallélisme et l’orthogonalité. Elles conservent aussi les mesures des angles géométriques. La symétrie axiale inverse le sens d’un angle orienté, contrairement à la translation, à la symétrie centrale et à l’homothétie.

Images par une homothétie

Une droite devient une droite parallèle ; si elle passe par le centre, elle reste la même droite. Un cercle de centre $A$ et de rayon $r$ devient un cercle de centre $A'$ et de rayon $|k|r$.

Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}$. Après homothétie, $\overrightarrow{A'I'}=\tfrac12\overrightarrow{A'B'}$ : $I'$ est bien le milieu du segment image.

Démontrer avec une transformation

Exemple - Une homothétie dans un triangle

Dans un triangle $ABC$, $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$. L’homothétie de centre $A$ et de rapport $1/2$ envoie $B$ sur $I$ et $C$ sur $J$. Donc $$\overrightarrow{IJ}=\tfrac12\overrightarrow{BC}.$$ On en déduit $(IJ)\parallel(BC)$ et $IJ=BC/2$. La conclusion sur les longueurs utilise la valeur absolue du rapport ; ici le rapport est positif.

Identifier une transformation

Pour reconnaître une translation à partir de couples $(A,A')$ et $(B,B')$, vérifier que $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$ ; cela identifie le candidat commun pour ces points. Pour prouver qu’une application entière est cette translation, la relation doit être vraie pour tout point. Pour reconnaître une homothétie, chercher un même centre $\Omega$ et un même rapport $k$ vérifiant $\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}$ pour tous les points concernés. L’alignement seul ne suffit pas : le rapport doit être constant.

Un rapport négatif n’est pas une distance négative

Avec $k=-3$, les vecteurs sont de sens opposés, mais la longueur image vaut $3$ fois la longueur initiale et l’aire vaut $9$ fois l’aire initiale. Une homothétie ne conserve les longueurs que si $|k|=1$.

Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Symétries en coordonnées

Donner les images de $A(2;-5)$ par les symétries d’axes $(Ox)$, $(Oy)$ et $y=x$, puis par la symétrie de centre $\Omega(1;3)$.

Correction. On obtient respectivement $(2;5)$, $(-2;-5)$, $(-5;2)$ et $(0;11)$. Pour la dernière, $(2\cdot1-2;2\cdot3-(-5))=(0;11)$.

Exercice 2 - Translation

Une translation transforme $A(-2;1)$ en $A'(3;4)$. Trouver son vecteur et l’image de $B(1;-3)$.

Correction. $\vec u=\overrightarrow{AA'}=(5;3)$. Donc $B'=(1+5;-3+3)=(6;0)$. Le déplacement est identique pour tout point.

Exercice 3 - Rapport d’homothétie

Une homothétie de centre $O$ transforme $A(2;-1)$ en $A'(-6;3)$. Déterminer le rapport et l’image de $B(0;4)$.

Correction. $\overrightarrow{OA'}=-3\overrightarrow{OA}$, donc $k=-3$. L’image de $B$ est $(0;-12)$. Les deux coordonnées de $A'$ doivent donner le même rapport ; c’est bien le cas.

Exercice 4 - Périmètre et aire

Un triangle a un périmètre de $18$ cm et une aire de $12\ \text{cm}^2$. Donner ceux de son image par une homothétie de rapport $-3/2$.

Correction. Le périmètre vaut $(3/2)\cdot18=27$ cm. L’aire vaut $(9/4)\cdot12=27\ \text{cm}^2$. Le signe du rapport modifie la position des points, pas le signe des mesures.

Exercice 5 - Image d’un cercle

Le cercle de centre $C(2;1)$ et de rayon $3$ subit une homothétie de centre $\Omega(1;-1)$ et de rapport $2$. Décrire le cercle image.

Correction. $C'=\Omega+2(C-\Omega)=(1;-1)+2(1;2)=(3;3)$. Le rayon devient $6$. Dans un repère orthonormé, son équation est $(x-3)^2+(y-3)^2=36$.

Exercice 6 - Composition

On applique successivement les symétries centrales de centres $A$ puis $B$. Identifier la transformation obtenue.

Correction. Pour un point $M$, les coordonnées vectorielles de la première image sont $M'=2A-M$, puis $M''=2B-M'=M+2(B-A)$. Ainsi $\overrightarrow{MM''}=2\overrightarrow{AB}$ pour tout $M$. C’est la translation de vecteur $2\overrightarrow{AB}$, qui devient l’identité si $A=B$.