Statistiques - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures.

Ouvrir et télécharger le cours en PDF

Sur téléphone, utilisez le bouton ci-dessus pour agrandir le document. La lecture est accessible sans inscription.

---

Objectifs. Organiser une série, calculer les effectifs et fréquences cumulés, comparer les paramètres de position et de dispersion, puis choisir et interpréter un diagramme adapté.

I. Décrire et organiser une série

Population, individu et caractère

La population est l’ensemble étudié ; un individu en est un élément. Le caractère est l’information observée. Il est qualitatif s’il décrit une catégorie, comme un moyen de transport, et quantitatif s’il prend des valeurs numériques. Un caractère quantitatif est discret s’il prend des valeurs isolées, comme un nombre de livres. Il est continu lorsqu’il décrit une grandeur mesurable sur un intervalle, comme une durée. Pour présenter un grand nombre de mesures, on peut les regrouper en classes.

Effectifs et fréquences

L’effectif $n_i$ d’une valeur $x_i$ est le nombre de fois où elle apparaît. L’effectif total est $N=\sum n_i$. Pour $N>0$, la fréquence est $f_i=n_i/N$ et le pourcentage est $100f_i$.

Contrôles du tableau

Les effectifs s’additionnent en $N$, les fréquences en $1$ et les pourcentages en $100\,\%$, avant arrondis. Les modalités doivent être sans recouvrement pour qu’un individu ne soit pas compté deux fois.

Exemple suivi - Une série de vingt notes

Note $x_i$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	Total
Effectif $n_i$	$2$	$3$	$6$	$5$	$4$	$20$
Fréquence $f_i$	$0{,}10$	$0{,}15$	$0{,}30$	$0{,}25$	$0{,}20$	$1$
Effectif cumulé croissant	$2$	$5$	$11$	$16$	$20$

Il y a $11$ notes inférieures ou égales à $12$, soit $55\,\%$ des notes. La fréquence cumulée croissante en $x_i$ est la somme des fréquences des valeurs inférieures ou égales à $x_i$. L’effectif cumulé décroissant compte les valeurs supérieures ou égales à la valeur considérée. Pour $12$, il vaut $6+5+4=15$.

Classes et centres

La classe $[a;b[$ contient les valeurs $a\le x<b$. Son amplitude est $b-a$ et son centre $(a+b)/2$. Le centre représente la classe dans certains calculs approchés ; il ne remplace pas les données exactes si celles-ci sont disponibles.

II. Paramètres de position

Moyenne pondérée et mode

Chaque valeur pèse selon son effectif

$$\overline x=\frac{\sum n_ix_i}{N}=\sum f_ix_i.$$ Le mode est une valeur dont l’effectif est maximal. Plusieurs valeurs peuvent être modes. Pour une série regroupée, on parle de classe modale, en précisant le critère utilisé si les amplitudes diffèrent.

Dans l’exemple suivi, $$\overline x=\frac{2\cdot8+3\cdot10+6\cdot12+5\cdot14+4\cdot16}{20}=\frac{252}{20}=12{,}6.$$ Le mode est $12$, car son effectif $6$ est le plus élevé. La moyenne des cinq notes distinctes serait $12$, mais ce calcul ignorerait les effectifs et serait incorrect pour cette série.

Médiane d’une série ordonnée

On range les $N$ observations par ordre croissant, avec répétitions. Si $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $(N+1)/2$. Si $N$ est pair, on adopte ici la moyenne des valeurs de rangs $N/2$ et $N/2+1$. Dans la série suivie, les rangs $6$ à $11$ ont la valeur $12$. Les rangs $10$ et $11$ valent donc $12$ ; la médiane est $12$. La médiane partage la série ordonnée en deux parties d’effectifs aussi équilibrés que possible. Elle dépend de l’ordre des valeurs ; la moyenne dépend de leur somme. Une valeur extrême peut modifier fortement la moyenne sans changer la médiane.

Quartiles et convention de rang

Convention utilisée dans ce cours

$Q_1$ est la valeur de rang $\lceil N/4\rceil$ et $Q_3$ celle de rang $\lceil3N/4\rceil$ dans la série ordonnée. La notation $\lceil t\rceil$ désigne le plus petit entier supérieur ou égal à $t$.

Pour $N=20$, les rangs sont $5$ et $15$. Le tableau cumulé donne $Q_1=10$ et $Q_3=14$. Au moins $25\,\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_1$ et au moins $75\,\%$ à $Q_3$.

Les logiciels ne suivent pas tous la même convention

Certains outils interpolent les quartiles entre deux observations. Ils peuvent donc donner un autre résultat sur une petite série. Dans une copie, annoncer et suivre la convention de rang demandée ; ne pas mélanger deux définitions.

III. Paramètres de dispersion

Étendue et écart interquartile

L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. L’écart interquartile est $Q_3-Q_1$. Dans notre série, l’étendue vaut $16-8=8$ et l’écart interquartile $14-10=4$. L’étendue utilise seulement les deux valeurs extrêmes. L’écart interquartile décrit la largeur de la partie centrale de la série et est moins sensible à une valeur isolée très grande ou très petite.

Variance et écart type

Dispersion autour de la moyenne

Pour une série statistique d’effectif $N>0$, la variance est $$V=\frac1N\sum n_i(x_i-\overline x)^2=\frac1N\sum n_ix_i^2-\overline x^{\,2}.$$ L’écart type est $\sigma=\sqrt V$. Il s’exprime dans la même unité que les données ; la variance dans l’unité au carré. Ici on divise par $N$, pas par $N-1$.

La seconde formule vient du développement du carré et de $\sum n_ix_i=N\overline x$. La variance est toujours positive ou nulle et vaut $0$ exactement lorsque toutes les observations sont égales.

Exemple suivi - Calcul complet

$$\sum n_ix_i^2=2\cdot64+3\cdot100+6\cdot144+5\cdot196+4\cdot256=3296.$$ Ainsi $V=3296/20-12{,}6^2=164{,}8-158{,}76=6{,}04$ et $\sigma=\sqrt{6{,}04}\approx2{,}46$. Une variance négative n’est pas possible : elle signale une erreur de calcul ou un arrondi trop précoce. Conserver les fractions ou les décimales exactes jusqu’au résultat final.

Effet d’un changement d’échelle

Si l’on ajoute $b$ à toutes les données, la moyenne augmente de $b$, mais la variance et l’écart type ne changent pas. Si on multiplie toutes les données par $a$, la moyenne est multipliée par $a$, la variance par $a^2$ et l’écart type par $|a|$. Par exemple, pour convertir des longueurs de mètres en centimètres, l’écart type est multiplié par $100$ et la variance par $10000$.

Comparer avec prudence

Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes : $10,10,10$ et $0,10,20$ ont la même moyenne, mais la première a un écart type nul et la seconde un écart type positif. Pour une comparaison utile, préciser la population, le caractère, son unité et plusieurs indicateurs.

IV. Diagrammes et données regroupées

Choisir une représentation

Pour un caractère qualitatif, on peut utiliser des barres ou un diagramme circulaire ; l’angle d’un secteur est $360^\circ f_i$. Pour un caractère quantitatif discret, un diagramme en bâtons place chaque valeur sur l’axe horizontal et son effectif ou sa fréquence en hauteur.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le bâton de hauteur $6$ signifie que six observations valent $12$ ; il ne signifie pas que la moyenne vaut $6$.

Histogramme : l’aire porte l’effectif

Pour des données en classes, un histogramme utilise des rectangles contigus. L’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe. Si les amplitudes diffèrent, la hauteur doit donc être proportionnelle à la densité $n_i/(b_i-a_i)$, et non directement à $n_i$.

Exemple - Des classes de largeurs différentes

Pour les classes $[0;10[$, $[10;15[$ et $[15;25[$ d’effectifs $4,8,8$, les amplitudes valent $10,5,10$. Les densités sont $0{,}4$, $1{,}6$, $0{,}8$. La deuxième classe a une hauteur double de la troisième, bien que leurs effectifs soient égaux, car elle est deux fois moins large.

Calcul approché avec les centres

Pour ces mêmes classes, les centres sont $5$, $12{,}5$, $20$. L’estimation de la moyenne est $$\frac{4\cdot5+8\cdot12{,}5+8\cdot20}{20}=14.$$ Ce n’est pas la moyenne exacte des mesures d’origine : leur répartition à l’intérieur des classes est inconnue. De même, la médiane est située dans $[10;15[$, puisque les rangs centraux y sont ; une valeur précise demanderait les observations ou une hypothèse d’interpolation annoncée. Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Fréquences et moyenne

Une série prend les valeurs $2,4,6$ avec les effectifs $3,5,2$. Calculer $N$, les fréquences et la moyenne.

Correction. $N=10$. Les fréquences sont $0{,}3$, $0{,}5$, $0{,}2$. La moyenne vaut $(3\cdot2+5\cdot4+2\cdot6)/10=38/10=3{,}8$. Le mode est $4$.

Exercice 2 - Médiane et quartiles

Pour la série ordonnée $2,3,3,5,6,7,8,10$, déterminer médiane, $Q_1,Q_3$ et étendue.

Correction. $N=8$. La médiane vaut $(5+6)/2=5{,}5$. Les rangs des quartiles sont $2$ et $6$, donc $Q_1=3$, $Q_3=7$. L’étendue vaut $10-2=8$ et l’écart interquartile $4$.

Exercice 3 - Variance

Calculer variance et écart type de la série $1,2,3,4$.

Correction. La moyenne vaut $2{,}5$. La moyenne des carrés est $(1+4+9+16)/4=7{,}5$. Donc $V=7{,}5-6{,}25=1{,}25$ et $\sigma=\sqrt{1{,}25}=\sqrt5/2\approx1{,}12$.

Exercice 4 - Diagramme circulaire

Dans un groupe de $40$ personnes, $15$ utilisent le bus, $10$ le vélo et $15$ marchent. Donner les angles des secteurs.

Correction. Pour le bus et la marche : $(15/40)\cdot360^\circ=135^\circ$ chacun. Pour le vélo : $(10/40)\cdot360^\circ=90^\circ$. La somme vaut $360^\circ$.

Exercice 5 - Histogramme

Deux classes $[0;5[$ et $[5;15[$ ont chacune un effectif $10$. Quelles hauteurs choisir si l’aire du rectangle doit être égale à l’effectif ?

Correction. Les amplitudes sont $5$ et $10$. Les hauteurs doivent être $10/5=2$ et $10/10=1$. Les aires sont alors $5\cdot2=10$ et $10\cdot1=10$. Des hauteurs égales seraient trompeuses.

Exercice 6 - Changement de variable

Une série a pour moyenne $12$ et pour écart type $3$. Chaque valeur $x$ devient $y=2x+5$. Calculer la nouvelle moyenne, la variance et l’écart type.

Correction. $\overline y=2\cdot12+5=29$. La variance initiale vaut $9$ ; la nouvelle vaut $2^2\cdot9=36$. L’écart type devient $|2|\cdot3=6$. L’ajout de $5$ ne modifie pas la dispersion.