Projection dans le plan - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Construire un projeté, distinguer projection parallèle et projection orthogonale, utiliser la conservation du milieu et des rapports pour résoudre un problème géométrique.

I. Construire une projection parallèle

Droite de projection et direction

On fixe deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ non parallèles. Pour tout point $M$, la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ coupe $(D)$ en un unique point $M'$.

Définition

Le point $M'$ est le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$. L’application $p$ qui associe $M'$ à $M$ est la projection sur $(D)$ de direction $(\Delta)$.

La construction comporte trois étapes : identifier la droite d’arrivée $(D)$ ; tracer par $M$ la parallèle à la direction imposée ; marquer son intersection avec $(D)$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les droites $(D)$ et $(\Delta)$ ne doivent pas être parallèles : sinon l’intersection pourrait ne pas exister ou ne pas être unique.

Points fixes et points ayant le même projeté

Si $M\in(D)$, son projeté est $M$ lui-même. Réciproquement, $p(M)=M$ implique $M\in(D)$ : les points fixes de la projection sont exactement ceux de $(D)$.

Deux points distincts $A$ et $B$ ont le même projeté si et seulement si $(AB)$ est parallèle à $(\Delta)$. La projection peut donc transformer un segment non réduit à un point en un seul point.

L’ordre des informations compte

« Projeter sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ » et « projeter sur $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$ » sont deux constructions différentes. Le projeté se trouve toujours sur la droite nommée après « sur ».

II. Les propriétés à utiliser

Conservation d’une relation vectorielle

Soient $A',B',C'$ les projetés de $A,B,C$ par la même projection parallèle. Pour tout réel $k$ :

Une proportion conservée

Si $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$, alors $$\boxed{\overrightarrow{A'C'}=k\overrightarrow{A'B'}.}$$ Le résultat reste vrai lorsque des projetés sont confondus. Si $A'\ne B'$, la réciproque ne permet pas à elle seule de conclure que $A,B,C$ sont alignés : la projection fait perdre une information.

Lorsque $A,B,C$ sont alignés et que leur droite n’est pas parallèle à $(\Delta)$, cette propriété exprime la conservation du rapport algébrique. Elle se déduit du théorème de Thalès, avec les configurations de signes adaptées.

Conservation du milieu

Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}$. Par projection, $$\overrightarrow{A'I'}=\frac12\overrightarrow{A'B'}.$$ Le point $I'$ est donc le milieu de $[A'B']$. Si $A'=B'$, alors $I'$ est aussi ce même point.

Exemple 1 - Une construction sans mesurer

On connaît les projetés $A'$ et $B'$ et l’on cherche celui du milieu $I$ de $[AB]$. Il suffit de construire le milieu de $[A'B']$. Il est inutile de mesurer les longueurs $AA'$ ou $BB'$.

Un parallélogramme donne une égalité de vecteurs

Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $$\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{D'C'}.$$ Les quatre images se trouvent toutes sur $(D)$ : la figure projetée est aplatie. On conserve la relation vectorielle, et non un parallélogramme non aplati.

Exemple 2 - Un partage en trois parts

Si $\overrightarrow{AC}=\frac23\overrightarrow{AB}$ et si $A'B'=9$ cm, alors $\overrightarrow{A'C'}=\frac23\overrightarrow{A'B'}$. Les coefficients étant positifs, $C'\in[A'B']$ et $A'C'=6$ cm.

Ce que la projection ne conserve pas en général

Une projection parallèle ne conserve ni les longueurs, ni les angles, ni la perpendicularité. La conservation d’un milieu ou d’un rapport ne signifie pas conservation des distances. Des points non alignés peuvent aussi avoir des images alignées.

III. Projection orthogonale et calcul en coordonnées

La direction est perpendiculaire au support

La projection sur $(D)$ est orthogonale si la direction $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(D)$. Pour un point $M\notin(D)$, on construit le pied $H$ de la perpendiculaire issue de $M$ à $(D)$. Si $M\in(D)$, on pose $H=M$.

La distance d’un point à une droite

La distance de $M$ à $(D)$ est la longueur $MH$. Pour tout point $A\in(D)$, $MA\ge MH$. Si $M\notin(D)$ et $A\ne H$, le triangle $MHA$ est rectangle en $H$ : $MA^2=MH^2+HA^2$. Si $M\in(D)$ ou $A=H$, l’inégalité est immédiate.

Exemple - Projeter sur les axes

Dans un repère orthonormé, les projetés orthogonaux de $M(3;-2)$ sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées sont $H(3;0)$ et $K(0;-2)$. Les distances aux deux axes sont respectivement $2$ et $3$.

Une projection oblique calculée

Dans un repère, on projette sur l’axe des abscisses parallèlement au vecteur $\vec u(1;2)$. Si $M(x;y)$ a pour projeté $M'(t;0)$, alors $\overrightarrow{MM'}=(t-x;-y)$ est colinéaire à $(1;2)$.

Il existe donc un réel $\lambda$ tel que $t-x=\lambda$ et $-y=2\lambda$. Ainsi $\lambda=-y/2$ et : $$\boxed{p(x;y)=\left(x-\frac y2;0\right).}$$ Pour $A(2;4)$, on trouve $A'(0;0)$. Pour $B(6;2)$, on trouve $B'(5;0)$. Le milieu $I(4;3)$ a pour projeté $I'(5/2;0)$, qui est bien le milieu de $[A'B']$.

Une vérification en deux questions

Le point obtenu appartient-il à la droite de projection ? Le vecteur qui relie le point initial à son image est-il colinéaire à la direction imposée ? Les deux conditions doivent être satisfaites.

Fin du cours

IV. Exercices corrigés

Exercice 1 - Expliquer une construction

On projette sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$. Un point $A$ appartient à $(D)$. Une droite passant par $B$ et parallèle à $(\Delta)$ coupe $(D)$ en $C$. Quels sont les projetés de $A$ et de $B$ ?

Correction. Le projeté de $A$ est $A$ car $A\in(D)$. Le projeté de $B$ est $C$, par la définition même de la construction. On ne projette pas sur $(\Delta)$.

Exercice 2 - Utiliser le milieu

$I$ est le milieu de $[AB]$. Les projetés sont $A'(1;0)$ et $B'(7;0)$ dans un repère. Déterminer le projeté de $I$.

Correction. Le projeté $I'$ est le milieu de $[A'B']$, donc $I'(4;0)$. Il n’est pas nécessaire de connaître les coordonnées de $A$ et de $B$.

Exercice 3 - Utiliser un coefficient négatif

On sait que $\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{AB}$ et que $A'(1;0)$, $B'(4;0)$. Déterminer $C'$ et sa position par rapport à $A'$.

Correction. $\overrightarrow{A'B'}=(3;0)$, donc $\overrightarrow{A'C'}=(-6;0)$. On obtient $C'(-5;0)$. Le coefficient négatif place $C'$ de l’autre côté de $A'$ par rapport à $B'$.

Exercice 4 - Projeter orthogonalement

Dans un repère orthonormé, $M(-4;3)$. Déterminer ses projetés sur les deux axes, les distances aux axes et la distance $OM$.

Correction. Les projetés sont $H(-4;0)$ et $K(0;3)$. Les distances aux axes des abscisses et des ordonnées sont $MH=3$ et $MK=4$. Par Pythagore, $OM=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$.

Exercice 5 - Une direction oblique

On utilise la projection $p(x;y)=(x-y/2;0)$. Déterminer les images de $A(4;6)$ et de $B(-1;2)$. Ces deux points ont-ils le même projeté ?

Correction. $A'=(4-3;0)=(1;0)$ et $B'=(-1-1;0)=(-2;0)$. Ils sont différents. En particulier, $\overrightarrow{AB}=(-5;-4)$ n’est pas colinéaire à $(1;2)$, car son déterminant avec ce vecteur vaut $-10+4=-6\ne0$.

Exercice 6 - Une réciproque fausse

L’alignement de trois projetés sur $(D)$ prouve-t-il l’alignement des trois points de départ ? Donner un exemple.

Correction. Non : toutes les images appartiennent à $(D)$. Par projection orthogonale sur l’axe des abscisses, $A(0;0)$, $B(1;1)$ et $C(2;0)$ ont pour images $(0;0)$, $(1;0)$ et $(2;0)$. Les images sont alignées, mais les points initiaux ne le sont pas : $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-2\ne0$.