Produit scalaire dans le plan - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Calculer un produit scalaire à partir d’un angle, d’une projection, de coordonnées ou de distances ; prouver une orthogonalité ; calculer une longueur et décrire des lieux géométriques simples.

I. Définition et interprétations

Un nombre associé à deux vecteurs

Définition trigonométrique

Pour deux vecteurs non nuls $\vec u,\vec v$, de normes $\|\vec u\|,\|\vec v\|$ et formant un angle géométrique $\theta\in[0;\pi]$, $$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta.$$ Si l’un des deux vecteurs est nul, leur produit scalaire vaut $0$. Le résultat est un nombre réel, et non un vecteur.

Le signe dépend de l’angle : positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus. Pour deux vecteurs de même sens, le produit vaut le produit de leurs normes ; pour deux vecteurs opposés en sens, il vaut son opposé.

Exemple - Normes et angle connus

Si $\|\vec u\|=4$, $\|\vec v\|=3$ et $\theta=\pi/3$, alors $\vec u\cdot\vec v=4\cdot3\cdot(1/2)=6$. Avec un angle de $2\pi/3$, le résultat serait $-6$.

Projection orthogonale

Soient $A\ne B$ et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Alors $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}.$$ Si $H$ est sur la demi-droite $[AB)$, le résultat vaut $AB\cdot AH$ ; si $H$ est sur la demi-droite opposée, il vaut $-AB\cdot AH$. Si $H=A$, il vaut $0$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Norme au carré

Un vecteur a un angle nul avec lui-même, donc $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$. En particulier, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB^2$. On abrège parfois $\vec u\cdot\vec u$ en $\vec u^{\,2}$, sans le confondre avec un carré de coordonnées.

II. Propriétés et calculs en coordonnées

Symétrie et distributivité

Règles de calcul

Pour tous vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ et tous réels $\lambda,\mu$, $$\begin{aligned} \vec u\cdot\vec v&=\vec v\cdot\vec u,\\ \vec u\cdot(\vec v+\vec w)&=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w,\\ (\lambda\vec u)\cdot(\mu\vec v)&=\lambda\mu(\vec u\cdot\vec v). \end{aligned}$$ La distributivité est aussi vraie dans le premier facteur, grâce à la symétrie.

On en déduit $$\begin{aligned} \|\vec u+\vec v\|^2&=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\\ \|\vec u-\vec v\|^2&=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2. \end{aligned}$$

Exemple - Développer une expression vectorielle

Si $\|\vec u\|^2=4$, $\|\vec v\|^2=9$ et $\vec u\cdot\vec v=1$, alors $$(2\vec u-\vec v)\cdot(\vec u+3\vec v)=2\|\vec u\|^2+5\vec u\cdot\vec v-3\|\vec v\|^2=8+5-27=-14.$$

Expression dans un repère orthonormé

La formule des coordonnées

Dans un repère orthonormé, pour $\vec u=(x;y)$ et $\vec v=(x';y')$, $$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy',\qquad\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.$$ Cette formule utilise le fait que les deux vecteurs de base sont unitaires et orthogonaux. Elle n’est pas valable telle quelle dans un repère quelconque.

Exemple - Calculer à partir de trois points

Pour $A(1;2)$, $B(4;3)$ et $C(2;-1)$, $$\overrightarrow{AB}=(3;1),\quad\overrightarrow{AC}=(1;-3),\quad\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3-3=0.$$ Les deux vecteurs sont non nuls et orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Critère d’orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, en incluant le vecteur nul dans la convention d’orthogonalité. Pour conclure qu’un angle de triangle est droit, les deux côtés doivent toutefois être non nuls.

III. Distances, angles et triangle

Une formule avec trois longueurs

En développant $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, on obtient

Produit scalaire et distances

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}.$$ Pour un triangle non aplati, cela donne la formule d’Al-Kashi : $$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\widehat{BAC}.$$

Exemple - Calculer une longueur

Si $AB=5$, $AC=4$ et $\widehat{BAC}=60^\circ$, alors $BC^2=25+16-2\cdot5\cdot4\cdot(1/2)=21$, donc $BC=\sqrt{21}$. La longueur est positive ; on ne retient pas $-\sqrt{21}$.

Exemple - Déterminer la nature d’un angle

Si $AB=3$, $AC=4$ et $BC=6$, alors $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{9+16-36}{2}=-\frac{11}{2},\qquad\cos\widehat{BAC}=-\frac{11}{24}.$$ Le cosinus étant négatif, l’angle en $A$ est obtus. Pour une valeur approchée de l’angle, on utilise la fonction inverse du cosinus en mode degrés ou radians selon l’unité demandée.

Médiane et milieu

Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Pour tout point $M$, $$MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}.$$ Pour le démontrer, écrire $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}$, puis additionner les deux carrés : les produits croisés s’annulent.

Exemple - Longueur d’une médiane

Dans un triangle où $CA=7$, $CB=5$ et $AB=6$, la médiane issue de $C$ vérifie $49+25=2CI^2+18$. Donc $CI^2=28$ et $CI=2\sqrt7$.

Choisir l’outil qui correspond aux données

Avec les coordonnées, calculer directement $xx'+yy'$. Avec trois distances, utiliser la formule précédente. Avec deux normes et un angle, utiliser le cosinus. Le produit scalaire est le même nombre : ces méthodes doivent donner des résultats compatibles.

IV. Applications géométriques

Droite perpendiculaire à une direction

Dans un repère orthonormé, la droite passant par $A(a;b)$ et perpendiculaire à un vecteur non nul $\vec n=(p;q)$ est l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $$\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\iff p(x-a)+q(y-b)=0.$$ Le vecteur $\vec n$ est normal à cette droite. Par exemple, pour $A(1;2)$ et $\vec n=(2;-3)$, on trouve $2x-3y+4=0$.

Cercle de diamètre donné

Un lieu décrit par un produit scalaire

Si $A\ne B$, l’ensemble des points $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$, extrémités comprises.

En notant $I$ le milieu de $[AB]$, $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=MI^2-\frac{AB^2}{4}.$$ L’égalité à zéro équivaut donc à $MI=AB/2$, définition du cercle annoncé. Les points $A$ et $B$ conviennent aussi, même si l’un des vecteurs y est nul.

Exemple - Retrouver centre et rayon

Pour $A(-2;0)$ et $B(4;0)$, la condition donne $$(x+2)(x-4)+y^2=0\iff(x-1)^2+y^2=9.$$ C’est le cercle de centre $(1;0)$ et de rayon $3$.

Médiatrice d’un segment

La condition $MA=MB$ s’écrit $MA^2-MB^2=0$. En utilisant le milieu $I$, $$MA^2-MB^2=2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}.$$ L’ensemble est donc la droite passant par $I$ et perpendiculaire à $(AB)$, c’est-à-dire la médiatrice du segment.

Contrôler le résultat

Les normes étant positives ou nulles et $|\cos\theta|\le1$, on a toujours $|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\|\vec v\|$. Une valeur de cosinus en dehors de $[-1;1]$ signale une erreur de données ou de calcul. Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Coordonnées et angle

Pour $\vec u=(2;1)$ et $\vec v=(-1;3)$, calculer le produit scalaire et le cosinus de leur angle.

Correction. $\vec u\cdot\vec v=-2+3=1$. Les normes sont $\sqrt5$ et $\sqrt{10}$, donc $\cos\theta=1/\sqrt{50}=\sqrt2/10$. L’angle est aigu car le produit est positif.

Exercice 2 - Orthogonalité avec un paramètre

Déterminer $m$ pour que $(m;2)$ et $(3;-6)$ soient orthogonaux.

Correction. Le produit scalaire vaut $3m-12$. Il est nul exactement pour $m=4$. Les deux vecteurs sont non nuls quelle que soit cette valeur.

Exercice 3 - Trois distances

Dans un triangle, $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et conclure.

Correction. $(36+64-100)/2=0$. Le triangle est rectangle en $A$. On retrouve le cas d’égalité de Pythagore $6^2+8^2=10^2$.

Exercice 4 - Une médiane

Dans un triangle $ABC$, $AB=8$, $AC=5$, $BC=7$, et $I$ est le milieu de $[AB]$. Calculer $CI$.

Correction. $25+49=2CI^2+64/2$, donc $CI^2=21$ et $CI=\sqrt{21}$.

Exercice 5 - Lieu géométrique

Avec $A(0;0)$ et $B(4;2)$, déterminer le lieu des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

Correction. Le milieu est $I(2;1)$ et $AB=\sqrt{20}=2\sqrt5$. Le lieu est le cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt5$. Son équation est $(x-2)^2+(y-1)^2=5$, ou $x^2+y^2-4x-2y=0$.

Exercice 6 - Développement

Sachant $\|\vec u\|=3$, $\|\vec v\|=2$ et $\vec u\cdot\vec v=-1$, calculer $\|2\vec u+\vec v\|$.

Correction. Le carré de la norme vaut $4\|\vec u\|^2+4\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=36-4+4=36$. La norme est donc $6$, et non $36$.