Polynômes - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Reconnaître un polynôme, effectuer des opérations, identifier des coefficients, vérifier une racine et factoriser pour résoudre une équation. Les coefficients sont réels et la variable est notée $x$.

I. Comprendre l’écriture d’un polynôme

Définition et forme réduite

Des puissances entières positives ou nulles

Un polynôme non nul est une expression qui peut s’écrire $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$ où $n\in\mathbb{N}$, les $a_k$ sont des réels et $a_n\ne0$. Cette écriture est sa forme réduite, ordonnée suivant les puissances décroissantes de $x$.

Les nombres $a_k$ sont les coefficients. Un terme absent a un coefficient nul. Le terme $a_0$ est le terme constant et vaut $P(0)$. Ainsi $P(x)=3x^4-2x+7$ possède les coefficients $3,0,0,-2,7$. L’expression $2x(x+1)-x^2+3$ est aussi un polynôme : après développement et réduction, elle devient $x^2+2x+3$. En revanche, $1/x$ n’est pas un polynôme en $x$, car $x$ figure au dénominateur. Ni $\sqrt{x}$ ni $x^{-2}+1$ ne sont des polynômes en $x$.

Degré et coefficient dominant

Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul. On le note $\deg P$. Le coefficient de cette puissance est le coefficient dominant.

Polynôme réduit	Degré	Coefficient dominant
$5x^3-2x^2+1$	$3$	$5$
$-4x+9$	$1$	$-4$
$7$	$0$	$7$

Le polynôme nul, dont tous les coefficients sont nuls, n’a pas de degré entier naturel. Il faut le traiter à part.

Réduire avant de conclure

Dans $x^3+2x-x^3+1$, les termes de degré $3$ s’annulent : le degré réel est $1$. Une expression contenant $x^3$ n’est donc pas nécessairement de degré $3$.

Calculer une valeur

Pour calculer $P(a)$, remplacer chaque $x$ par $a$ en gardant les parenthèses nécessaires. Si $P(x)=2x^3-3x+1$, alors $$P(-2)=2(-2)^3-3(-2)+1=-16+6+1=-9.$$

II. Opérations et égalité de polynômes

Addition, soustraction et produit

On regroupe les termes de même puissance pour additionner ou soustraire. On utilise la distributivité pour multiplier, puis on réduit.

Exemple - Organiser les calculs

Pour $P(x)=2x^2-3x+1$ et $Q(x)=x^2+4x-5$, $$\begin{aligned} P(x)+Q(x)&=3x^2+x-4,\\ P(x)-Q(x)&=x^2-7x+6,\\ P(x)Q(x)&=2x^4+5x^3-21x^2+19x-5. \end{aligned}$$ Pour contrôler la dernière ligne, le terme de degré $4$ vient de $2x^2\cdot x^2$ et le terme constant de $1\cdot(-5)$. On peut ensuite vérifier les coefficients intermédiaires un par un.

Degrés : ce qui est toujours vrai

Si $P$ et $Q$ sont non nuls, $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$. Si $P+Q$ n’est pas nul, $$\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q).$$ L’égalité peut échouer pour la somme, car les termes dominants peuvent s’annuler.

Par exemple $(x^2+1)+(-x^2+x)=x+1$, de degré $1$, alors que chaque polynôme de départ est de degré $2$.

Égalité et identification des coefficients

Comparer les formes réduites

Deux polynômes sont égaux si leurs coefficients de chaque puissance sont égaux. Une égalité valable pour tout réel $x$ est une identité polynomiale.

Exemple - Trouver des coefficients inconnus

On cherche $a,b,c$ tels que, pour tout réel $x$, $$(x+1)(ax^2+bx+c)=2x^3+5x^2+4x+1.$$ Le membre de gauche vaut $ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$. On identifie : $$a=2,\qquad a+b=5,\qquad b+c=4,\qquad c=1.$$ Ainsi $a=2$, $b=3$ et $c=1$ ; les quatre conditions sont vérifiées.

Une valeur ne suffit pas

$x^2$ et $x$ ont la même valeur en $0$ et en $1$, mais ne sont pas égaux comme polynômes. Tester quelques valeurs peut repérer une erreur ; cela ne remplace pas une preuve d’identité par développement ou identification.

III. Racines, divisibilité et factorisation

Reconnaître et exploiter une racine

Racine et facteur

Un réel $a$ est une racine de $P$ si $P(a)=0$. Cela équivaut à l’existence d’un polynôme $Q$ tel que $$P(x)=(x-a)Q(x).$$ On dit alors que $P$ est divisible par $x-a$. Si $P$ est non nul de degré $n\ge1$, le quotient a le degré $n-1$.

Attention au signe : la racine $-3$ conduit au facteur $x+3$. Pour une racine $2$, le facteur est $x-2$.

Exemple - Un polynôme du troisième degré

Soit $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$. On calcule $P(1)=1-2-5+6=0$. On cherche donc un quotient du second degré : $$P(x)=(x-1)(x^2+bx+c).$$ En développant, $P(x)=x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c$. D’où $b=-1$ et $c=-6$. On contrôle $c-b=-5$, puis $$P(x)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2).$$ L’équation $P(x)=0$ a donc pour ensemble de solutions $\{-2;1;3\}$.

Division par un polynôme du premier degré

Pour tout polynôme $P$ et tout réel $a$, il existe un quotient $Q$ et un reste constant $r$ tels que $$P(x)=(x-a)Q(x)+r.$$ En remplaçant $x$ par $a$, on obtient $r=P(a)$. Le reste est nul exactement lorsque $a$ est racine.

Exemple - Division avec reste non nul

Pour $P(x)=2x^3-3x^2+4x-5$, on enlève successivement les termes dominants : $$\begin{aligned} P(x)-2x^2(x-2)&=x^2+4x-5,\\ (x^2+4x-5)-x(x-2)&=6x-5,\\ (6x-5)-6(x-2)&=7. \end{aligned}$$ Ainsi $P(x)=(x-2)(2x^2+x+6)+7$. Le reste $7$ est bien $P(2)=16-12+8-5$.

Nombre de racines

Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles distinctes. Il peut en avoir moins : $x^2+1$ n’a aucune racine réelle, et $(x-1)^2$ n’a qu’une racine distincte.

IV. Choisir une méthode de factorisation

Facteur commun et identités remarquables

Chercher d’abord un facteur commun, puis reconnaître une identité : $$\begin{aligned} AB+AC&=A(B+C),\\ A^2-B^2&=(A-B)(A+B),\\ A^2+2AB+B^2&=(A+B)^2,\\ A^2-2AB+B^2&=(A-B)^2. \end{aligned}$$ Ici $A$ et $B$ peuvent eux-mêmes être des expressions polynomiales.

Exemple - Plusieurs étapes dans le bon ordre

$$\begin{aligned} 3x(x-2)+x^2-4&=3x(x-2)+(x-2)(x+2)\\ &=(x-2)(4x+2)=2(x-2)(2x+1). \end{aligned}$$ Pour $(2x-1)^2-9$, prendre $A=2x-1$ et $B=3$ : $$(2x-1)^2-9=(2x-4)(2x+2)=4(x-2)(x+1).$$

Regroupement et racine connue

Dans $x^3+2x^2-9x-18$, regrouper les deux premiers puis les deux derniers termes : $$x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x^2-9)=(x+2)(x-3)(x+3).$$ Si aucun facteur n’est visible, une racine donnée ou vérifiée permet d’utiliser la méthode de la page précédente. Il ne faut pas annoncer une racine à partir d’une simple lecture approximative du graphique.

Résoudre une équation produit

Un produit de nombres réels est nul si et seulement si au moins un facteur est nul. Par conséquent, $$2(x-2)(2x+1)=0\iff x=2\ \text{ou}\ x=-\tfrac12.$$

Ne pas perdre une solution

Dans $x(x-3)=0$, diviser immédiatement par $x$ ferait perdre la solution $x=0$. Utiliser la règle du produit nul. De même, $(x-2)(x+1)=5$ n’est pas une équation produit nul : il faut d’abord tout ramener à un membre.

Vérifier un résultat

Redévelopper une factorisation permet de contrôler tous les coefficients. Un essai numérique peut détecter une erreur, mais ne démontre pas qu’une identité est vraie pour tout réel. Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Réduire puis déterminer le degré

Réduire $A(x)=3x^4-2x^2+1-(3x^4+x^3-5x^2-2)$ et $B(x)=x(x-1)-x^2+x$. Donner leur degré lorsqu’il existe.

Correction. En distribuant le signe moins, $A(x)=-x^3+3x^2+3$, donc $\deg A=3$. Pour $B$, on trouve $x^2-x-x^2+x=0$ : c’est le polynôme nul, sans degré entier naturel.

Exercice 2 - Identifier

Déterminer $a,b$ pour que $(x-2)(x^2+ax+b)=x^3-4x^2+x+6$ pour tout $x$.

Correction. Le membre de gauche est $x^3+(a-2)x^2+(b-2a)x-2b$. On obtient $a-2=-4$, donc $a=-2$, puis $-2b=6$, donc $b=-3$. Le coefficient de $x$ vérifie bien $b-2a=-3+4=1$.

Exercice 3 - Extraire un facteur et résoudre

Soit $P(x)=x^3-4x^2+x+6$. Vérifier que $-1$ est une racine, factoriser $P$, puis résoudre $P(x)=0$.

Correction. $P(-1)=-1-4-1+6=0$. En identifiant les coefficients de $(x+1)(x^2+bx+c)$, on obtient $b=-5,c=6$. Ainsi $P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$ et $S=\{-1;2;3\}$.

Exercice 4 - Calculer un reste

Trouver le reste de la division de $P(x)=x^4-3x^2+2x+1$ par $x+1$, puis par $x-2$.

Correction. Pour $x+1=x-(-1)$, le reste vaut $P(-1)=1-3-2+1=-3$. Pour $x-2$, il vaut $P(2)=16-12+4+1=9$. Aucun des deux diviseurs ne divise donc $P$ exactement.

Exercice 5 - Combiner les méthodes

Factoriser $F(x)=(x+1)^2-4+(x-1)(2x+3)$, puis résoudre $F(x)=0$.

Correction. $(x+1)^2-4=(x-1)(x+3)$. Ainsi $F(x)=(x-1)(x+3+2x+3)=3(x-1)(x+2)$. Les solutions sont $1$ et $-2$.

Exercice 6 - Discuter un degré

Selon la valeur réelle de $m$, donner le degré de $P_m(x)=(m-1)x^2+(m+1)x+2$.

Correction. Si $m\ne1$, le coefficient de $x^2$ est non nul : le degré est $2$. Si $m=1$, on a $P_1(x)=2x+2$, de degré $1$. Il n’existe pas de valeur de $m$ qui annule simultanément $m-1$ et $m+1$ ; aucun cas constant n’est donc possible.