Les ensembles de nombres - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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À savoir faire. Reconnaître la nature d’un nombre, choisir une écriture adaptée et calculer avec des fractions, des racines et des puissances. Développer et factoriser une expression.

I. Reconnaître les ensembles de nombres

Les entiers naturels et les entiers relatifs

Définitions et notations

$\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$ est l’ensemble des entiers naturels. $$\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}$$ est l’ensemble des entiers relatifs. Un entier naturel est donc aussi un entier relatif.

Le symbole $\in$ signifie « appartient à » et $\notin$ signifie « n’appartient pas à ». Ainsi $4\in\mathbb{N}$, $-4\in\mathbb{Z}$, mais $-4\notin\mathbb{N}$ et $2{,}5\notin\mathbb{Z}$.

Les nombres décimaux

Une écriture décimale finie

$\mathbb{D}$ désigne l’ensemble des nombres qui possèdent une écriture décimale finie. Tout nombre décimal peut s’écrire $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$.

$$3{,}25=\frac{325}{100}\in\mathbb{D},\qquad -0{,}008=\frac{-8}{1000}\in\mathbb{D},\qquad 7=\frac7{10^0}\in\mathbb{D}.$$

Les nombres rationnels et les nombres réels

Deux ensembles plus vastes

$\mathbb{Q}$ est l’ensemble des nombres rationnels : ce sont les nombres qui peuvent s’écrire $\dfrac ab$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.

$\mathbb{R}$ est l’ensemble des nombres réels. Il contient les nombres rationnels et les nombres irrationnels, comme $\sqrt2$ et $\pi$.

Un irrationnel ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers. Par exemple, $\frac13$ est rationnel mais n’est pas décimal : $0{,}333\ldots$ ne s’arrête pas.

Un affichage de calculatrice n’est pas une valeur exacte

$\sqrt2\approx1{,}41421356$. L’approximation $1{,}41421356$ est décimale, mais le nombre exact $\sqrt2$ est irrationnel.

II. Appartenance, inclusion et classement

Des ensembles emboîtés

La chaîne à connaître

$$\boxed{\mathbb{N}\subsetneq\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{D}\subsetneq\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{R}}$$ $A\subset B$ signifie ici que tout élément de $A$ appartient à $B$. Le symbole $\subsetneq$ précise que les deux ensembles sont différents.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Déterminer le plus petit ensemble

On commence par simplifier le nombre, puis on recherche le premier ensemble qui le contient dans la chaîne.

Nombre	Justification	Plus petit ensemble
$\sqrt{49}$	$\sqrt{49}=7$ est un entier naturel.	$\mathbb{N}$
$-\frac{12}{4}$	$-\frac{12}{4}=-3$ est un entier négatif.	$\mathbb{Z}$
$\frac78$	$\frac78=0{,}875$, écriture finie.	$\mathbb{D}$
$\frac76$	Fraction irréductible, dénominateur $2\times3$.	$\mathbb{Q}$
$\sqrt3$	Racine d’un entier qui n’est pas un carré parfait.	$\mathbb{R}$

Méthode : reconnaître un décimal dans une fraction

Une fraction irréductible $\frac ab$, avec $b>0$, est décimale si et seulement si la décomposition de $b$ ne contient que des facteurs $2$ et/ou $5$ (le cas $b=1$ est inclus). Ainsi $\frac{21}{60}=\frac7{20}=\frac{35}{100}$ est décimal. En revanche $\frac7{30}$ n’est pas décimal, car $30=2\times3\times5$ contient le facteur $3$.

Le zéro et les signes

$\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ désigne les réels non nuls. De même, $\mathbb{N}^*=\{1;2;3;\ldots\}$ et $\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.

On note $\mathbb{R}_+=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge0\}$ et $\mathbb{R}_-=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le0\}$. Le zéro appartient aux deux. Un astérisque exclut le zéro : $\mathbb{R}_+^*=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}$.

Ne pas confondre

On écrit $3\in\mathbb{N}$ pour un nombre, mais $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ pour deux ensembles. L’expression $3\subset\mathbb{N}$ n’est pas une écriture adaptée.

III. Calculer avec des fractions

Règles et conditions

Pour $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, avec $b\ne0$ et $d\ne0$ :

Les quatre opérations

$$\begin{aligned} \frac ab+\frac cd&=\frac{ad+bc}{bd}, & \frac ab-\frac cd&=\frac{ad-bc}{bd},\\[6pt] \frac ab\times\frac cd&=\frac{ac}{bd}, & \frac{\frac ab}{\frac cd}&=\frac{ad}{bc}\quad\text{si }c\ne0. \end{aligned}$$ Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Exemple 1 - Additionner puis simplifier

$$\frac56-\frac34=\frac{10}{12}-\frac9{12}=\frac1{12}.$$ Le dénominateur commun $12$ est un multiple de $6$ et de $4$.

Exemple 2 - Respecter les priorités

$$A=\frac32-\frac23\times\frac94 =\frac32-\frac{18}{12}=\frac32-\frac32=0.$$ La multiplication se fait avant la soustraction.

Exemple 3 - Diviser deux fractions

$$B=\left(\frac56-\frac14\right)\div\frac7{12} =\frac7{12}\times\frac{12}{7}=1.$$

Simplifier un quotient

On peut simplifier un facteur commun non nul au numérateur et au dénominateur : $$\frac{6\times5}{6\times7}=\frac57.$$ On ne supprime pas un terme dans une somme. Par exemple : $$\frac{x+2}{x}\ne1+2\quad\text{en général};\qquad \frac{x+2}{x}=1+\frac2x\quad(x\ne0).$$

Écrire les conditions avant de calculer

$\frac{x^2-9}{x-3}$ n’est défini que pour $x\ne3$. Comme $x^2-9=(x-3)(x+3)$, il vaut $x+3$ sur ce domaine. La simplification ne rend pas l’expression initiale définie en $3$.

IV. Utiliser les racines carrées

Définition et propriétés

Une racine carrée est toujours positive ou nulle

Pour $a\ge0$, $\sqrt a$ est l’unique réel positif ou nul dont le carré vaut $a$. $$(\sqrt a)^2=a,\qquad \sqrt{x^2}=|x|\quad(x\in\mathbb{R}).$$ Pour $a,b\ge0$, $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$. Pour $a\ge0$ et $b>0$, $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

La valeur absolue $|x|$ est $x$ si $x\ge0$ et $-x$ si $x<0$. Ainsi $\sqrt{(-5)^2}=5$, et non $-5$.

Extraire un carré parfait

Exemple 1 - Simplifier puis regrouper

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2,\qquad \sqrt{50}=5\sqrt2,\qquad\sqrt8=2\sqrt2.$$ On en déduit : $$\sqrt{50}-2\sqrt8=5\sqrt2-4\sqrt2=\sqrt2.$$ On additionne les coefficients de radicaux identiques, comme pour des termes semblables.

Rendre un dénominateur rationnel

Exemple 2 - Un seul radical au dénominateur

$$\frac3{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.$$ On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul.

Exemple 3 - Utiliser l’expression conjuguée

$$\frac1{\sqrt3+1} =\frac{\sqrt3-1}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)} =\frac{\sqrt3-1}{3-1} =\frac{\sqrt3-1}{2}.$$ L’identité $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ permet d’éliminer les racines du dénominateur.

Deux erreurs fréquentes

En général, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ : $\sqrt{9+16}=5$, alors que $\sqrt9+\sqrt{16}=7$.

L’équation $x^2=9$ a deux solutions, $3$ et $-3$, mais le symbole $\sqrt9$ désigne uniquement $3$.

V. Puissances et écriture scientifique

Puissances d’exposant entier

Pour $n\in\mathbb{N}^*$, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$. Pour $a\ne0$, on définit $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

Règles de calcul

Pour $a,b\ne0$ et $m,n\in\mathbb{Z}$ : $$\begin{gathered} a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad(a^m)^n=a^{mn},\\[5pt] (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}. \end{gathered}$$ Les conditions non nulles ci-dessus garantissent aussi le sens des exposants négatifs.

Exemple 1 - Regrouper les puissances de même base

$$\frac{2^5\times2^{-3}}{2^4}=2^{5-3-4}=2^{-2}=\frac14.$$

Exemple 2 - Faire attention aux parenthèses

$(-3)^2=9$, tandis que $-3^2=-(3^2)=-9$. De même $2^{-3}=\frac18$, et non $-8$.

Puissances de dix

$$10^3=1000,\quad 10^0=1,\quad10^{-3}=0{,}001.$$ Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite si $n>0$, et de $-n$ rangs vers la gauche si $n<0$.

Écriture scientifique d’un nombre non nul

Un coefficient et une puissance de dix

L’écriture scientifique est $a\times10^n$, avec $n\in\mathbb{Z}$ et $1\le|a|<10$.

$$45800=4{,}58\times10^4,\qquad0{,}00072=7{,}2\times10^{-4},\qquad -3050=-3{,}05\times10^3.$$

Exemple 3 - Remettre le résultat sous forme scientifique

$$\frac{(6\times10^5)(4\times10^{-3})}{3\times10^2} =\frac{24}{3}\times10^{5-3-2}=8\times10^0=8.$$

Le coefficient doit rester dans l’intervalle demandé

$45\times10^3$ est une écriture avec une puissance de dix, mais pas une écriture scientifique. On écrit $4{,}5\times10^4$.

VI. Développer et factoriser

Rappel sur les opérations. Dans $\mathbb{R}$, l’addition et la multiplication sont commutatives et associatives. La multiplication est distributive sur l’addition : $a(b+c)=ab+ac$.

Le nombre $0$ est neutre pour l’addition ; $1$ est neutre pour la multiplication. Tout réel $a$ a un opposé $-a$ ; seul un réel non nul possède un inverse $\frac1a$.

Les identités remarquables

À utiliser dans les deux sens

Pour tous réels $a,b$ : $$\begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2,\\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2,\\ a^2-b^2&=(a-b)(a+b),\\ a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2),\\ a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2). \end{aligned}$$

Développer, c’est transformer un produit en somme. Factoriser, c’est transformer une somme en produit. La forme utile dépend de la question.

Exemple 1 - Développer un carré

$$(2x-3)^2=(2x)^2-2(2x)(3)+3^2=4x^2-12x+9.$$ Le terme du milieu ne doit pas être oublié.

Exemple 2 - Reconnaître une différence de cubes

$$8x^3-27=(2x)^3-3^3=(2x-3)(4x^2+6x+9).$$

Exemple 3 - Repérer un facteur commun

$$\begin{aligned} (x+2)^2-3(x+2)&=(x+2)\big[(x+2)-3\big]\\ &=(x+2)(x-1). \end{aligned}$$

Choisir la bonne écriture

Pour calculer $99^2$, on utilise $(100-1)^2=10000-200+1=9801$.

Pour résoudre $x^2-9=0$, la forme factorisée donne $(x-3)(x+3)=0$ ; un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Les solutions sont $x=3$ et $x=-3$.

Vérifier un résultat

Redévelopper une factorisation permet de la contrôler. Un essai numérique peut détecter une erreur, mais ne démontre pas qu’une identité est vraie pour tout réel.

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Fin du cours

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VII. Exercices d’entraînement

Les exercices suivants sont rédigés pour ce cours. Les corrections sont regroupées à la fin.

Exercice 1 - Classer après simplification

Donner le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ contenant chacun des nombres suivants. Justifier. $$\sqrt{81};\quad -\frac{18}{6};\quad \frac{13}{40};\quad \frac{11}{6};\quad \sqrt{12};\quad 0;\quad \frac{\sqrt{18}}{\sqrt2}.$$

Exercice 2 - Vrai ou faux ?

Justifier chaque réponse, par un argument ou un contre-exemple.

1. Tout rationnel est décimal.

2. Tout entier relatif est rationnel.

3. $\sqrt{25}$ est irrationnel.

4. Si $x\in\mathbb{R}^*$, alors $x^2>0$.

Exercice 3 - Calculer exactement

Simplifier les résultats et préciser leur plus petit ensemble. $$A=\frac7{12}+\frac5{18},\qquad B=\left(\frac34-\frac56\right)\div\frac7{12},\qquad C=\frac{1-\frac23}{1+\frac12}.$$

Exercice 4 - Racines carrées

Simplifier $D=\sqrt{75}-2\sqrt{12}+\sqrt{27}$. Rendre rationnel le dénominateur de $E=\frac2{\sqrt5-1}$. Calculer $F=\sqrt{(2-\sqrt5)^2}$ en justifiant le signe.

Exercice 5 - Puissances

Calculer $G=\frac{3^{-2}\times3^5}{3^2}$. Donner l’écriture scientifique de $H=\frac{(4\times10^{-3})(6\times10^7)}{8\times10^2}$ et de $J=0{,}000056$.

Exercice 6 - Calcul littéral

Développer $(3x+2)^2$. Factoriser $9x^2-16$, $x^3+8$ et $(x-1)^2+5(x-1)$. Résoudre $9x^2-16=0$.

Exercice 7 - Domaine puis simplification

Pour $K(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$, préciser les valeurs autorisées de $x$, puis simplifier. Peut-on conclure que $K(2)=4$ ?

Exercice 8 - Justifier qu’un nombre est irrationnel

En admettant que $\sqrt2$ est irrationnel, démontrer que $3+2\sqrt2$ est irrationnel. On pourra raisonner par l’absurde.

VIII. Corrections détaillées

Exercice 1

$\sqrt{81}=9\in\mathbb{N}$ ; $-18/6=-3\in\mathbb{Z}$ ; $13/40=0{,}325\in\mathbb{D}$ ; $11/6\in\mathbb{Q}$ mais $11/6\notin\mathbb{D}$ car le dénominateur irréductible contient $3$.

$\sqrt{12}=2\sqrt3$ est irrationnel, donc son plus petit ensemble dans la liste est $\mathbb{R}$. En effet, s’il était rationnel, sa moitié $\sqrt3$ le serait aussi. Enfin $0\in\mathbb{N}$ et $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt2}=\sqrt9=3\in\mathbb{N}$.

Exercice 2

1. Faux : $1/3$ est rationnel sans être décimal.

2. Vrai : tout entier $n$ s’écrit $n/1$, avec un dénominateur non nul.

3. Faux : $\sqrt{25}=5\in\mathbb{N}$, donc c’est un rationnel.

4. Vrai : un carré est positif ou nul et n’est nul que si $x=0$, cas exclu ici.

Exercice 3

$$A=\frac{21+10}{36}=\frac{31}{36}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{D}.$$ $$B=\left(\frac9{12}-\frac{10}{12}\right)\frac{12}{7} =-\frac1{12}\times\frac{12}{7}=-\frac17\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{D}.$$ $$C=\frac{1/3}{3/2}=\frac13\times\frac23=\frac29\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{D}.$$ Les trois fractions sont irréductibles et leurs dénominateurs contiennent un facteur premier autre que $2$ ou $5$.

Exercice 4

$$D=5\sqrt3-4\sqrt3+3\sqrt3=4\sqrt3.$$ $$E=\frac{2(\sqrt5+1)}{5-1}=\frac{\sqrt5+1}{2}.$$ Comme $\sqrt5>2$, le nombre $2-\sqrt5$ est négatif. Par conséquent, $F=|2-\sqrt5|=\sqrt5-2$.

Exercice 5

$G=3^{-2+5-2}=3^1=3$. $$H=\frac{24}{8}\times10^{-3+7-2}=3\times10^2,\qquad J=5{,}6\times10^{-5}.$$ Dans les deux écritures, la valeur absolue du coefficient est comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu.

Corrections détaillées - suite

Exercice 6

$$(3x+2)^2=9x^2+12x+4.$$ $$\begin{aligned} 9x^2-16&=(3x-4)(3x+4),\\ x^3+8&=(x+2)(x^2-2x+4),\\ (x-1)^2+5(x-1)&=(x-1)\big[(x-1)+5\big]\\ &=(x-1)(x+4). \end{aligned}$$ L’équation $(3x-4)(3x+4)=0$ donne $3x-4=0$ ou $3x+4=0$. Son ensemble de solutions est $\{-4/3;4/3\}$.

Exercice 7

Le dénominateur impose $x\ne2$. Pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}$ : $$K(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$$ $K(2)$ n’existe pas : le quotient initial aurait un dénominateur nul. L’expression simplifiée vaut $4$ en $2$, mais ce point reste exclu du domaine de $K$.

Exercice 8

Supposons $3+2\sqrt2=r$ avec $r\in\mathbb{Q}$. Alors $$\sqrt2=\frac{r-3}{2}.$$ Le membre de droite est rationnel, car $r-3$ est rationnel et $2$ est un entier non nul. Cela contredit l’irrationalité de $\sqrt2$. Ainsi $3+2\sqrt2$ est irrationnel.

L’essentiel à retenir

• Simplifier un nombre avant de chercher son plus petit ensemble.

• Distinguer un nombre exact de son approximation décimale.

• Vérifier les dénominateurs et les domaines avant tout calcul.

• Retenir $\sqrt{x^2}=|x|$ et $a^{-n}=1/a^n$ pour $a\ne0$.

• Utiliser les identités remarquables dans les deux sens.

Conception et rédaction : Korasati. Document de travail pédagogique, avec exercices originaux et corrections.