La droite dans le plan - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Décrire une droite par un point et une direction, passer d’une représentation paramétrique à une équation cartésienne, vérifier une appartenance et étudier l’intersection ou le parallélisme de deux droites.

I. Décrire une droite avec des vecteurs

Un point et un vecteur directeur

Dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$, on fixe un point $A(x_A;y_A)$ et un vecteur non nul $\vec u(\alpha;\beta)$.

Caractérisation vectorielle

La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est l’ensemble des points $M$ tels qu’il existe $t\in\mathbb{R}$ avec $$\overrightarrow{AM}=t\vec u.$$ Le vecteur directeur doit être non nul : $(\alpha;\beta)\ne(0;0)$.

Un même vecteur directeur peut être remplacé par n’importe lequel de ses multiples non nuls. Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs. Si $A\ne B$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige la droite $(AB)$.

Représentation paramétrique

La relation précédente s’écrit en coordonnées : $$\boxed{\begin{cases}x=x_A+t\alpha,\\y=y_A+t\beta,\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.}$$ Le même paramètre doit être utilisé dans les deux équations. Quand $t$ parcourt tous les réels, on obtient tous les points de la droite.

Exemple - Tester une appartenance

Considérons $D$ définie par $x=1+2t$ et $y=2-t$. Elle passe par $A(1;2)$ et est dirigée par $(2;-1)$.

Pour $P(5;0)$, la première équation impose $t=2$ ; la seconde donne alors $y=0$. Donc $P\in D$.

Pour $Q(3;2)$, la première impose $t=1$, mais la seconde donne $y=1\ne2$. Ainsi $Q\notin D$.

Deux équations, un seul paramètre

Trouver un $t$ pour l’abscisse et un autre pour l’ordonnée ne prouve pas l’appartenance. Il faut un même réel $t$ qui vérifie simultanément les deux coordonnées.

II. Équation cartésienne d’une droite

Une équation du premier degré

Définition et vecteur directeur

Toute équation $$ax+by+c=0,\qquad(a;b)\ne(0;0),$$ définit une droite. Le vecteur $\vec u(-b;a)$ est un vecteur directeur de cette droite.

Les trois coefficients peuvent être multipliés par un même nombre non nul sans changer la droite. Ainsi $x+2y-5=0$ et $2x+4y-10=0$ sont deux équations d’une même droite.

En revanche, $0x+0y+c=0$ ne définit pas une droite : si $c=0$, tous les points du plan conviennent ; si $c\ne0$, aucun point ne convient.

Passer d’un point et d’une direction à l’équation

Pour $A(x_A;y_A)$ et $\vec u(\alpha;\beta)\ne\vec0$, un point $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires. Leur déterminant donne : $$\boxed{\beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0.}$$

Exemple 1 - Éliminer le paramètre

Pour $A(1;2)$ et $\vec u(2;-1)$, on obtient $$-(x-1)-2(y-2)=0\iff x+2y-5=0.$$ On retrouve aussi cette équation à partir de $x=1+2t$, $y=2-t$ : comme $t=2-y$, $x=1+2(2-y)=5-2y$.

Exemple 2 - Une droite définie par deux points

Soient $A(1;2)$ et $B(4;-1)$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}=(3;-3)$ est non nul. L’équation est donc $$-3(x-1)-3(y-2)=0\iff x+y-3=0.$$ On vérifie $1+2-3=0$ et $4-1-3=0$ : les deux points appartiennent à la droite.

Tester un point

Pour savoir si $M(x_0;y_0)$ appartient à $ax+by+c=0$, calculer $ax_0+by_0+c$. Le point appartient à la droite si et seulement si ce nombre est nul.

Conserver la condition sur les coefficients

Une équation cartésienne doit avoir au moins un coefficient non nul devant $x$ ou $y$. Le coefficient constant $c$ ne peut pas, à lui seul, définir une droite.

III. Pente et représentation graphique

Équation réduite

Si $b\ne0$, l’équation $ax+by+c=0$ devient $$y=mx+p,\qquad m=-\frac ab,\qquad p=-\frac cb.$$ Le réel $m$ est le coefficient directeur et $p$ l’ordonnée à l’origine. Le vecteur $(1;m)$ est directeur. Si deux points de la droite ont des abscisses différentes, alors $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$$ Pour tracer la droite, on choisit deux points distincts, par exemple celui d’abscisse $0$ et celui d’abscisse $1$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La droite $y=-x+3$ descend lorsque $x$ augmente : sa pente vaut $-1$. Elle coupe l’axe des ordonnées en $(0;3)$ et celui des abscisses en $(3;0)$.

Droites verticales et horizontales

Une droite verticale a une équation $x=k$ et est dirigée par $(0;1)$. Elle ne possède pas d’équation réduite $y=mx+p$.

Une droite horizontale a une équation $y=k$ ; son coefficient directeur est $0$ et $(1;0)$ est un vecteur directeur.

Les axes ne sont pas interchangeables

$x=3$ est une droite verticale, tandis que $y=3$ est horizontale. Il ne faut pas diviser par $x_B-x_A$ lorsque les deux abscisses sont égales.

IV. Position relative de deux droites

On considère $D:ax+by+c=0$ et $D':a'x+b'y+c'=0$, avec $(a;b)\ne(0;0)$ et $(a';b')\ne(0;0)$.

Parallélisme et intersection

Le déterminant des coefficients

Si $ab'-a'b\ne0$, les droites sont sécantes : elles ont un unique point commun, obtenu en résolvant le système des deux équations.

Si $ab'-a'b=0$, elles sont parallèles, éventuellement confondues. Pour distinguer les deux cas, on teste un point de l’une dans l’équation de l’autre.

Lorsque les deux équations sont réduites, des pentes différentes donnent deux droites sécantes. Des pentes égales donnent deux droites parallèles : elles sont confondues si leurs ordonnées à l’origine sont égales.

Exemple 1 - Calculer une intersection

$$\begin{cases}2x-y-1=0,\\x+y-5=0.\end{cases}$$ Additionner les deux équations donne $3x-6=0$, donc $x=2$. Puis $y=5-2=3$. Le point d’intersection est $I(2;3)$. Vérification : $4-3-1=0$ et $2+3-5=0$.

Exemple 2 - Distinguer deux parallèles

$D:x+2y-5=0$ et $E:2x+4y+1=0$ ont des coefficients de $x,y$ proportionnels. Mais le point $(5;0)$ appartient à $D$ et ne vérifie pas l’équation de $E$, car $2\times5+1=11\ne0$. Les droites sont parallèles distinctes.

Perpendicularité dans un repère orthonormé

Pour deux droites non verticales de pentes $m,m'$, la perpendicularité équivaut à $mm'=-1$. Ce critère nécessite un repère orthonormé. Une verticale est perpendiculaire à une horizontale.

Exemple 3 - Une perpendiculaire passant par un point

La perpendiculaire à $y=2x-1$ passant par $A(2;3)$ a pour pente $-1/2$. Elle s’écrit $y=-x/2+p$. Comme $A$ appartient à la droite, $3=-1+p$, donc $p=4$ et l’équation cherchée est $y=-x/2+4$. Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Direction et appartenance

Pour $D:3x-2y+4=0$, donner un vecteur directeur et tester $A(0;2)$ et $B(2;4)$.

Correction. $(2;3)$ est directeur. $3\times0-2\times2+4=0$, donc $A\in D$. Pour $B$, $6-8+4=2\ne0$, donc $B\notin D$.

Exercice 2 - Deux points

Déterminer une équation de la droite passant par $A(-1;2)$ et $B(3;4)$.

Correction. $\overrightarrow{AB}=(4;2)$. Le déterminant donne $2(x+1)-4(y-2)=0$, soit $x-2y+5=0$. Les deux points vérifient l’équation.

Exercice 3 - Paramétrage

Donner une équation cartésienne de $x=-2+3t$, $y=1+2t$, $t\in\mathbb{R}$.

Correction. La droite passe par $(-2;1)$ et est dirigée par $(3;2)$. On obtient $2(x+2)-3(y-1)=0$, donc $2x-3y+7=0$.

Exercice 4 - Intersection

Résoudre le système $x+y=4$, $2x-y=5$, puis interpréter le résultat.

Correction. Par addition, $3x=9$, donc $x=3$ et $y=1$. Les droites sont sécantes en $(3;1)$ ; le déterminant des coefficients vaut $-3\ne0$.

Exercice 5 - Un paramètre

Pour quelle valeur de $\lambda$ la droite $D_\lambda:(\lambda-1)x+2y-4=0$ est-elle parallèle à $E:x-2y+1=0$ ? Les deux droites sont-elles alors confondues ?

Correction. Le déterminant vaut $(\lambda-1)(-2)-2=-2\lambda$. Il est nul exactement pour $\lambda=0$. L’équation de $D_0$ équivaut à $x-2y+4=0$. Elle a les mêmes coefficients de $x,y$ que $E$, mais une constante différente : ce sont deux parallèles distinctes.

Exercice 6 - Perpendiculaire

Dans un repère orthonormé, trouver la droite passant par $A(1;-1)$ et perpendiculaire à $y=-2x+3$.

Correction. Sa pente est $1/2$, car $(-2)(1/2)=-1$. Écrivons $y=x/2+p$. Le point $A$ impose $-1=1/2+p$, donc $p=-3/2$. La droite a pour équation $y=x/2-3/2$, ou encore $x-2y-3=0$.