Géométrie dans l'espace - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures.

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Objectifs. Déterminer un plan, distinguer les positions de droites et de plans, prouver un parallélisme ou une orthogonalité, construire des sections simples et calculer des longueurs, des aires et des volumes.

I. Points, droites et plans

Règles de base

Par deux points distincts passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un unique plan. Si deux points distincts d’une droite appartiennent à un plan, la droite entière est contenue dans ce plan. Dans chaque plan, on applique la géométrie habituelle du plan : triangles, Pythagore, Thalès, parallélogrammes et cercles. Mais deux objets de l’espace ne sont pas nécessairement dans un même plan.

Déterminer un plan

Un plan est déterminé par trois points non alignés, par une droite et un point extérieur à cette droite, par deux droites sécantes, ou par deux droites parallèles distinctes.

Trois points alignés ne suffisent pas : plusieurs plans peuvent contenir leur droite. Pour nommer un plan $(ABC)$, il faut donc savoir que $A,B,C$ ne sont pas alignés.

Lire une représentation en perspective

Dans une perspective cavalière, les arêtes parallèles restent représentées parallèles. En revanche, un angle droit ne paraît pas toujours droit, et toutes les longueurs réelles ne sont pas conservées sur le dessin. Les traits pointillés indiquent habituellement des arêtes cachées.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Dans ce pavé droit, $(ABC)$ est le plan de la face inférieure, $(EFG)$ celui de la face supérieure. Les points $A,B,C,D$ sont coplanaires. L’arête $[DH]$ est verticale dans le solide même si certaines autres arêtes paraissent obliques sur le dessin.

Une figure suggère, les propriétés démontrent

Deux segments qui se croisent sur la feuille ne représentent pas nécessairement deux droites sécantes dans l’espace. Il faut identifier un point commun réel, pas seulement un croisement de leurs projections.

II. Positions relatives

Deux droites

Deux droites coplanaires sont sécantes, parallèles distinctes ou confondues. Si aucun plan ne les contient simultanément, elles sont non coplanaires, dites aussi gauches. Elles ne sont alors ni parallèles ni sécantes. Dans le pavé précédent, $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles ; $(AB)$ et $(BF)$ sont sécantes en $B$ ; $(AB)$ et $(CG)$ sont gauches. En effet, le plan passant par $(AB)$ et par $C$ est le plan de la base, qui ne contient pas $G$.

Une droite et un plan

Trois cas

Une droite peut être contenue dans un plan, être strictement parallèle au plan sans point commun, ou le couper en un unique point. Dans la convention large utilisée ici, une droite contenue est aussi dite parallèle au plan ; préciser strictement parallèle lève l’ambiguïté.

Par exemple $(AB)\subset(ABC)$, $(EF)$ est strictement parallèle à $(ABC)$, et $(AE)$ coupe $(ABC)$ en $A$.

Deux plans

Deux plans distincts sont soit parallèles sans point commun, soit sécants suivant une droite. S’ils sont confondus, tous leurs points sont communs. Pour déterminer leur droite d’intersection, trouver deux points distincts appartenant aux deux plans. Un seul point commun ne détermine pas encore la droite.

Exemple - Intersection de deux faces

Les plans $(ABF)$ et $(BCG)$ ont $B$ et $F$ en commun : le second est le plan de la face $BCGF$. Leur intersection est donc $(BF)$. Les deux plans sont distincts, car $A$ n’appartient pas à la face $BCGF$.

Construire une section simple

Une section d’un solide par un plan est l’ensemble de leurs points communs. Dans chaque face rencontrée, l’intersection est un segment porté par la droite commune au plan de coupe et au plan de la face.

Exemple - Une coupe parallèle à la base

Un plan parallèle à la base $ABCD$ coupe $[AE]$ en $I$. Dans les faces $ABFE$ et $ADHE$, tracer par $I$ les parallèles respectives à $(AB)$ et $(AD)$ ; elles coupent $[BF]$ en $J$ et $[DH]$ en $L$. La section est le rectangle $IJKL$, où $K\in[CG]$. Les faces opposées étant parallèles, les côtés de la section le sont deux à deux.

Deux points quelconques ne sont pas une justification de plan

Pour utiliser un théorème du plan, indiquer dans quel plan on travaille. Pour conclure que deux droites de l’espace sont parallèles par Thalès, il faut d’abord les placer dans un même triangle plan.

III. Parallélisme dans l’espace

Droite parallèle à un plan

Si une droite $d$ est parallèle à une droite $\delta$ contenue dans un plan $P$, alors $d$ est parallèle à $P$ au sens large. Pour établir le parallélisme strict, vérifier en plus que $d$ n’est pas contenue dans $P$.

Exemple - Utiliser une arête

Dans le pavé, $(EF)\parallel(AB)$ et $(AB)\subset(ABC)$, donc $(EF)$ est parallèle au plan de la base. Comme $E$ est hors de ce plan, le parallélisme est strict.

Plans parallèles

Deux directions sont nécessaires

Si un plan $P$ contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan $Q$, alors $P$ et $Q$ sont parallèles ou confondus. Si l’on sait qu’ils sont distincts, ils sont strictement parallèles.

Une seule paire de droites parallèles ne suffit pas à prouver que deux plans sont parallèles : deux plans sécants peuvent contenir des droites parallèles à leur intersection. Dans le pavé, $(AB)\parallel(EF)$ et $(AD)\parallel(EH)$, avec deux directions sécantes dans chaque face. Les plans $(ABD)$ et $(EFH)$ sont donc parallèles.

Sections de plans parallèles

Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième, suivant deux droites, ces deux droites sont parallèles. C’est ce qui permet de construire des côtés parallèles dans une section. De même, si deux plans sécants contiennent chacun une droite parallèle à une même direction, leur droite d’intersection est parallèle à cette direction. Cette propriété est souvent appelée théorème du toit.

Exemple - Plan parallèle dans un tétraèdre

Dans un tétraèdre $ABCD$, soient $I,J,K$ les milieux respectifs de $[AB],[AC],[AD]$. Dans les triangles $ABC$ et $ABD$, le théorème des milieux donne $$(IJ)\parallel(BC),\qquad(IK)\parallel(BD).$$ Les droites $(IJ),(IK)$ sont sécantes en $I$ ; $(BC),(BD)$ sont sécantes en $B$. Ainsi le plan $(IJK)$ est parallèle au plan $(BCD)$. Les trois milieux ne sont pas alignés, puisque $A,B,C,D$ ne sont pas coplanaires.

Deux précautions

Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas nécessairement parallèles entre elles. Deux plans contenant des droites parallèles ne sont pas nécessairement parallèles : il faut le critère à deux directions sécantes.

IV. Orthogonalité et distances

Droites orthogonales ou perpendiculaires

Deux droites de l’espace sont orthogonales lorsque leurs directions forment un angle droit. Elles sont perpendiculaires lorsqu’elles sont en plus sécantes. Ainsi deux droites gauches peuvent être orthogonales, mais on ne les dit pas perpendiculaires.

Droite perpendiculaire à un plan

Une droite est perpendiculaire à un plan si sa direction est orthogonale à toutes les directions de ce plan. Pour le démontrer, il suffit qu’elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan.

Si la droite passe par le point d’intersection de ces deux droites, on peut dire qu’elle leur est perpendiculaire. La condition de sécance des deux directions du plan est indispensable.

Exemple - Une arête normale à une face

Dans le pavé droit, $(AE)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et à $(AD)$, sécantes dans la face $(ABD)$. Donc $(AE)\perp(ABD)$. Elle est alors orthogonale à toute droite de la base, notamment à sa diagonale $(BD)$, même si ces deux droites ne sont pas sécantes. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles ou confondus.

Projection et distance à un plan

Pour un point $M$ et un plan $P$, le projeté orthogonal $H$ est le point de $P$ tel que $(MH)\perp P$ lorsque $M\notin P$ ; si $M\in P$, $H=M$. La distance de $M$ au plan est $MH$. Pour tout point $A\in P$, le triangle $MHA$ est rectangle en $H$ si $A\ne H$ et $M\notin P$, donc $MA^2=MH^2+HA^2\ge MH^2$. Cela prouve que $H$ est le point du plan le plus proche de $M$.

Plans perpendiculaires

Deux plans sont perpendiculaires lorsque leur angle dièdre est droit. Un critère utile : si un plan contient une droite perpendiculaire à un autre plan, alors ces plans sont perpendiculaires. Dans le pavé, la face $(ABF)$ contient $(AE)$, normale au plan de la base. Ces deux faces sont donc perpendiculaires. Cela ne veut pas dire que toute droite de l’une est perpendiculaire à toute droite de l’autre : leur arête commune fournit déjà un contre-exemple.

Calculer une diagonale

Pour un pavé de dimensions $a,b,c$, une diagonale de base a pour longueur $\sqrt{a^2+b^2}$. La diagonale de l’espace a donc pour longueur $$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2},$$ en appliquant deux fois Pythagore dans deux triangles rectangles identifiés.

V. Aires et volumes de solides

La hauteur est perpendiculaire à la base

La hauteur d’un prisme, d’un cylindre, d’une pyramide ou d’un cône est la distance entre le sommet ou la base supérieure et le plan de la base. Une arête oblique ou une génératrice n’est pas automatiquement une hauteur.

Solide et données	Volume
Pavé droit de dimensions $a,b,c$	$abc$
Cube d’arête $a$	$a^3$
Prisme de base d’aire $B$ et de hauteur $h$	$Bh$
Cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$	$\pi r^2h$
Pyramide de base d’aire $B$ et de hauteur $h$	$Bh/3$
Cône de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$	$\pi r^2h/3$
Boule de rayon $r$	$4\pi r^3/3$

Le volume s’exprime en unités cubes ; une aire en unités carrées. Il faut convertir toutes les longueurs dans une même unité avant d’appliquer les formules.

Aires de surfaces usuelles

L’aire totale d’un pavé est $2(ab+ac+bc)$ ; celle d’un cube est $6a^2$. Pour un cylindre droit fermé, l’aire totale vaut $2\pi rh+2\pi r^2$. Pour un cône de révolution de génératrice $g=\sqrt{r^2+h^2}$, l’aire latérale vaut $\pi rg$ et l’aire totale $\pi rg+\pi r^2$. Une sphère a pour aire $4\pi r^2$.

Exemple - Pyramide à base carrée

Une pyramide de base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $4$ cm a pour volume $6^2\cdot4/3=48\ \text{cm}^3$. Si le sommet est à la verticale du centre de la base, la hauteur d’une face triangulaire vaut $\sqrt{4^2+3^2}=5$ cm. L’aire latérale vaut $4\cdot(6\cdot5/2)=60\ \text{cm}^2$, et l’aire totale $96\ \text{cm}^2$.

Agrandissement et réduction

Si toutes les longueurs sont multipliées par $k>0$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Une réduction de rapport $1/2$ divise donc une aire par $4$ et un volume par $8$. Fin du cours

VI. Exercices corrigés

Exercice 1 - Positions dans un cube

Dans le cube $ABCDEFGH$ nommé comme la figure du cours, préciser les positions de $(AB)$ et $(HG)$, puis de $(AB)$ et $(DH)$.

Correction. $(AB)\parallel(HG)$, car ces arêtes ont la même direction. $(AB)$ et $(DH)$ sont gauches : le plan contenant $(AB)$ et $D$ est celui de la base et ne contient pas $H$. Leurs directions sont cependant orthogonales.

Exercice 2 - Intersection de plans

Déterminer l’intersection des plans $(ACG)$ et $(ABF)$ du même cube.

Correction. Le plan $(ACG)$ contient $A$ et la droite $(CG)$. Il contient donc la parallèle à $(CG)$ passant par $A$, qui est $(AE)$. Le plan $(ABF)$ est la face $(ABFE)$ : il contient aussi $(AE)$. Les deux plans sont distincts, donc leur intersection est $(AE)$.

Exercice 3 - Diagonales

Un pavé a pour dimensions $3$, $4$ et $12$ cm. Calculer la diagonale de la base $3\times4$, puis sa diagonale de l’espace.

Correction. La première vaut $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. La seconde vaut $\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm. Chaque calcul s’effectue dans un triangle rectangle du pavé.

Exercice 4 - Section d’un tétraèdre

Dans un tétraèdre $ABCD$, les points $I,J,K$ sont les milieux de $[AB],[AC],[AD]$. Que peut-on dire de $IJK$ par rapport à $BCD$ ?

Correction. L’homothétie de centre $A$ et de rapport $1/2$ envoie $B,C,D$ sur $I,J,K$. Les plans sont parallèles, chaque côté image mesure la moitié du côté initial et l’aire du triangle $IJK$ est le quart de celle de $BCD$.

Exercice 5 - Cône

Un cône de révolution a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $4$ cm. Calculer sa génératrice, son volume et son aire totale.

Correction. $g=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. $V=\pi\cdot9\cdot4/3=12\pi\ \text{cm}^3$. L’aire totale vaut $\pi\cdot3\cdot5+\pi\cdot9=24\pi\ \text{cm}^2$.

Exercice 6 - Projection sur un plan

Un point $M$ a pour projeté orthogonal $H$ sur un plan $P$, avec $MH=6$ cm. Un point $A\in P$ vérifie $HA=8$ cm. Calculer $MA$ et la distance de $M$ à $P$.

Correction. $(MH)\perp P$, donc $(MH)\perp(HA)$. Pythagore donne $MA=\sqrt{36+64}=10$ cm. La distance au plan est $MH=6$ cm, pas la distance à un point quelconque du plan.