Généralités sur les fonctions - Cours et exercices corrigés

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Déterminer un domaine, lire une courbe, étudier la parité et les variations sans dérivation, calculer des extremums et représenter des fonctions usuelles.

I. Définition, images et courbe

Une valeur de départ, une seule image

Une fonction numérique $f$ définie sur un ensemble $D_f\subset\mathbb{R}$ associe à chaque réel $x\in D_f$ un unique réel noté $f(x)$ . Le réel $x$ est la variable ; $f(x)$ est son image. Un antécédent de $y$ est un réel $x\in D_f$ tel que $f(x)=y$ . Une même image peut avoir plusieurs antécédents ou aucun. Pour $f(x)=x^2$ , l’image de $-3$ est $9$ ; $4$ a deux antécédents, $-2$ et $2$ , tandis que $-1$ n’en a aucun dans $\mathbb{R}$ .

Déterminer l’ensemble de définition

Les contraintes se cumulent

Un dénominateur doit être non nul. Sous une racine carrée réelle, l’expression doit être positive ou nulle. Si plusieurs contraintes apparaissent, on prend leur intersection.

Exemple - Une racine et une fraction

Pour $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x+4}}{x-1}$ , les conditions sont $x\ge-2$ et $x\ne1$ . Donc $D_f=[-2;1[\,\cup\,]1;+\infty[.$ Pour $g(x)=\sqrt{(x-1)(x-3)}$ , on étudie le signe du produit : $D_g=]-\infty;1]\cup[3;+\infty[$ .

Courbe représentative et égalité de fonctions

Dans un repère, la courbe $C_f$ est l’ensemble des points $M(x;f(x))$ avec $x\in D_f$ . Pour tester si $M(a;b)$ lui appartient, vérifier $a\in D_f$ puis $f(a)=b$ . Deux fonctions sont égales si elles ont le même domaine et donnent la même image à chaque élément de ce domaine. Ainsi $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ et $g(x)=x+1$ ont la même formule simplifiée pour $x\ne1$ , mais leurs domaines naturels diffèrent : $f$ n’est pas définie en $1$ .

Lire une équation ou une inéquation

Les solutions de $f(x)=k$ sont les abscisses des intersections de $C_f$ avec la droite $y=k$ . Pour $f(x)\ge k$ , on garde les abscisses où la courbe est au-dessus de cette droite, points d’égalité compris. Une lecture graphique donne une valeur approchée si les coordonnées exactes ne sont pas établies.

II. Parité et symétries

Commencer par le domaine

Un ensemble $D$ est symétrique par rapport à $0$ lorsque $x\in D$ entraîne $-x\in D$ . Par exemple $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ et $[-3;3]$ sont symétriques ; $[0;+\infty[$ ne l’est pas.

Paire ou impaire

Une fonction est paire si son domaine est symétrique et si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de ce domaine. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Elle est impaire si son domaine est symétrique et si $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$ de ce domaine. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple 1 - Une fonction paire

Pour $f(x)=x^4-3x^2+2$ , $D_f=\mathbb{R}$ et $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+2=x^4-3x^2+2=f(x).$ Il suffit d’étudier sa courbe pour $x\ge0$ , puis de compléter par symétrie axiale.

Exemple 2 - Une fonction impaire

Pour $g(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ , le domaine est $\mathbb{R}$ car $x^2+1>0$ . Puis $g(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+1}=-\frac{x}{x^2+1}=-g(x).$ On complète sa courbe par symétrie centrale de centre $O$ .

Une fonction peut n’être ni l’une ni l’autre

Pour $h(x)=x^2+x$ , $h(1)=2$ et $h(-1)=0$ . On n’a ni $h(-1)=h(1)$ ni $h(-1)=-h(1)$ ; elle n’est ni paire ni impaire. Une fonction impaire définie en $0$ vérifie nécessairement $f(0)=0$ , car $f(0)=-f(0)$ . La réciproque est fausse : $h(0)=0$ ne rend pas la fonction précédente impaire.

Une vérification sur quelques nombres n’est pas une preuve

Pour prouver la parité, calculer $f(-x)$ pour tout $x$ du domaine. Un seul contre-exemple suffit en revanche pour réfuter une identité annoncée pour toutes les valeurs. La fonction nulle est à la fois paire et impaire.

III. Variations et extremums

Comparer deux images

Soit $I$ un intervalle inclus dans $D_f$ . La fonction $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a<b$ de $I$ , $f(a)\le f(b)$ . Elle est strictement croissante si $f(a)<f(b)$ . Pour une fonction décroissante, les inégalités entre les images sont renversées.

Utiliser le taux d’accroissement

Pour $a\ne b$ dans $I$ , on pose $T=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Si $T>0$ pour tous les couples distincts de $I$ , $f$ est strictement croissante sur $I$ . Si $T<0$ pour tous ces couples, elle est strictement décroissante. Si tous ces taux sont nuls, elle est constante.

Le mot tous est essentiel : un taux positif calculé entre deux points particuliers ne suffit pas pour conclure sur tout l’intervalle.

Exemple - Étudier la fonction carré

Pour $a<b$ , $b^2-a^2=(b-a)(a+b)$ et le taux vaut $a+b$ . Sur $[0;+\infty[$ , ce taux est positif : $x^2$ est strictement croissante. Sur $]-\infty;0]$ , il est négatif : $x^2$ est strictement décroissante. Pour $f(x)=1/x$ , avec $a,b$ non nuls, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{(a-b)/(ab)}{b-a}=-\frac1{ab}.$ Ce taux est négatif lorsque $a,b$ sont tous deux positifs ou tous deux négatifs. La fonction inverse décroît donc sur chacun des intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$ .

Maximum et minimum

Une borne atteinte

$f(a)$ est un minimum sur $I$ si $a\in I$ et $f(x)\ge f(a)$ pour tout $x\in I$ . C’est un maximum si $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in I$ . Le mot extremum désigne un minimum ou un maximum.

Pour $f(x)=(x-2)^2-3$ , on a toujours $f(x)\ge-3$ , avec égalité en $x=2$ . Le minimum sur $\mathbb{R}$ est donc $-3$ , atteint en $2$ . En revanche, $f(x)=x$ sur $]0;1[$ n’a ni minimum ni maximum : les bornes $0$ et $1$ ne sont pas atteintes.

Ne pas traverser une coupure du domaine

La fonction $1/x$ ne décroît pas sur tout $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ : $-1<1$ , mais $f(-1)=-1<f(1)=1$ . Les deux intervalles séparés par $0$ doivent être étudiés séparément.

IV. Fonctions affines et trinômes

Fonction affine

Pour $f(x)=ax+b$ , le domaine est $\mathbb{R}$ et le taux d’accroissement vaut $a$ . La fonction est strictement croissante si $a>0$ , strictement décroissante si $a<0$ , et constante si $a=0$ . Sa courbe est une droite d’ordonnée à l’origine $b$ .

Forme canonique du second degré

Sommet et axe de symétrie

Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , on écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta,\qquad\alpha=-\frac b{2a},\quad\beta=f(\alpha).$ La courbe est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et d’axe $x=\alpha$ . Si $a>0$ , elle décroît jusqu’à $\alpha$ , puis croît ; $\beta$ est son minimum. Si $a<0$ , les variations sont inversées et $\beta$ est un maximum.

Exemple - Étude de $f(x)=x^2-4x+1$

On complète le carré : $f(x)=(x-2)^2-3$ . La fonction décroît sur $]-\infty;2]$ et croît sur $[2;+\infty[$ . Le minimum est $-3$ . Pour construire la courbe, on place le sommet et des points symétriques : $f(1)=f(3)=-2$ , $f(0)=f(4)=1$ .

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les intersections avec l’axe horizontal vérifient $(x-2)^2=3$ , donc $x=2-\sqrt3$ ou $x=2+\sqrt3$ .

Déplacer une courbe connue

Passer de $y=f(x)$ à $y=f(x-h)+k$ translate la courbe du vecteur $(h;k)$ . Le signe devant $h$ dans l’argument est opposé au déplacement horizontal. Ainsi $(x-2)^2-3$ se déduit de $x^2$ par un déplacement de $2$ vers la droite et de $3$ vers le bas.

V. Fonction inverse et fonction homographique

Reconnaître une forme décalée

Pour $f(x)=(ax+b)/(cx+d)$ avec $c\ne0$ , on exclut $x=-d/c$ . Lorsque $ad-bc\ne0$ , la fonction est homographique et peut s’écrire $f(x)=\frac ac+\frac{bc-ad}{c^2}\,\frac1{x+d/c}.$ Sa courbe est une hyperbole de centre $(-d/c;a/c)$ , obtenue à partir d’une fonction inverse par déplacement et changement de coefficient. Les droites $x=-d/c$ et $y=a/c$ sont ses asymptotes.

Exemple - Une étude sans dérivée

Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}=2+\dfrac3{x-1}$ . Le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . Le centre de symétrie est $S(1;2)$ ; les asymptotes sont $x=1$ et $y=2$ . Pour $a<b$ situés du même côté de $1$ , $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=-\frac3{(a-1)(b-1)}<0.$ La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty;1[$ et $]1;+\infty[$ . Elle reste sous $y=2$ à gauche et au-dessus à droite. Pour les intersections avec les axes, $f(0)=-1$ , et $f(x)=0$ donne $2x+1=0$ , donc $x=-1/2$ . La valeur $2$ n’a pas d’antécédent, puisque $3/(x-1)$ ne peut pas être nul.

Ne pas appeler hyperbole un cas dégénéré

Si $ad-bc=0$ , le quotient peut devenir constant après simplification, sur son domaine seulement. Par exemple $(2x+2)/(x+1)=2$ pour $x\ne-1$ ; la courbe est alors la droite $y=2$ privée d’un point, et non une hyperbole.

Méthode de lecture et de construction

Pour présenter une étude au tronc commun :

déterminer le domaine et les symétries éventuelles ;
choisir une forme utile : réduite, factorisée ou canonique ;
établir les variations par comparaison ou taux d’accroissement ;
calculer les extremums et quelques points exacts ;
construire la courbe, puis contrôler les signes et les intersections.

Un tableau de valeurs aide à tracer, mais ne démontre pas les variations. Un tableau de variations doit respecter les coupures du domaine ; aucune flèche ne traverse une valeur interdite. Fin du cours

VI. Exercices corrigés

Exercice 1 - Domaine

Déterminer le domaine de $f(x)=\sqrt{3-x}/(x+2)$ .

Correction. Il faut $x\le3$ et $x\ne-2$ . Donc $D_f=]-\infty;-2[\cup]-2;3]$ . La borne $3$ est admise : le numérateur y est nul et le dénominateur vaut $5$ .

Exercice 2 - Images et antécédents

Pour $f(x)=(x-1)^2-4$ , calculer $f(-2)$ et trouver les antécédents de $0$ , puis de $-5$ .

Correction. $f(-2)=9-4=5$ . $f(x)=0\iff(x-1)^2=4\iff x=-1$ ou $x=3$ . Enfin $f(x)\ge-4$ pour tout réel $x$ , donc $-5$ n’a aucun antécédent.

Exercice 3 - Parité

Étudier la parité de $g(x)=x/(x^2-4)$ et de $h(x)=\sqrt{x+1}$ sur leurs domaines naturels.

Correction. $D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}$ est symétrique et $g(-x)=-g(x)$ : $g$ est impaire. $D_h=[-1;+\infty[$ n’est pas symétrique ; $h$ n’est ni paire ni impaire sur ce domaine.

Exercice 4 - Parabole

Étudier les variations et l’extremum de $p(x)=-2x^2+8x-5$ .

Correction. $p(x)=-2(x-2)^2+3$ . Elle croît strictement sur $]-\infty;2]$ , puis décroît strictement sur $[2;+\infty[$ . Son maximum sur $\mathbb{R}$ est $3$ , atteint en $2$ . Le sommet est $(2;3)$ .

Exercice 5 - Fonction homographique

Étudier $q(x)=(x+3)/(x+1)$ : domaine, forme décalée, variations et antécédent de $3$ .

Correction. $D_q=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ et $q(x)=1+2/(x+1)$ . Pour $a<b$ d’un même intervalle du domaine, le taux est $-2/((a+1)(b+1))<0$ . Elle décroît donc sur chacun des deux intervalles. $q(x)=3\iff x+3=3x+3\iff x=0$ , valeur autorisée.

Exercice 6 - Comparer deux courbes

Déterminer les positions relatives de $f(x)=x^2$ et de $g(x)=2x+3$ .

Correction. $f(x)-g(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ . Les courbes se coupent aux abscisses $-1$ et $3$ , soit aux points $(-1;1)$ et $(3;9)$ . La parabole est au-dessus de la droite pour $x<-1$ ou $x>3$ , et en dessous pour $-1<x<3$ .

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