Équations, inéquations et systèmes - Cours corrigé | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Déterminer les valeurs autorisées, résoudre des équations et inéquations des premier et second degrés, étudier un produit ou un quotient, puis résoudre un système et interpréter les solutions.

I. Avant et pendant la résolution

Domaine et équivalence

Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs pour lesquelles les deux membres sont définis et égaux. Pour une inéquation, on recherche les valeurs qui vérifient l’inégalité. On note $S$ l’ensemble des solutions. Une fraction impose un dénominateur non nul ; une racine carrée réelle impose un radicand positif ou nul. Par exemple $\sqrt{x+2}/(x-1)$ n’est définie que pour $x\ge-2$ et $x\ne1$.

Transformer sans changer les solutions

On peut ajouter une même expression définie aux deux membres. On peut multiplier une équation par un même nombre non nul. Pour une inéquation, multiplier par un nombre strictement positif conserve le sens ; multiplier par un nombre strictement négatif le renverse.

Si le multiplicateur dépend de $x$, son signe ou son éventuelle nullité doit être étudié. Élever au carré peut ajouter des solutions : il faut garder les conditions de signe et vérifier les candidats.

Premier degré et cas particuliers

L’équation $ax+b=0$ admet la solution $-b/a$ si $a\ne0$. Si $a=0$, il reste $b=0$ : toutes les valeurs sont solutions si $b=0$, aucune si $b\ne0$.

Exemple - Une inéquation avec un coefficient négatif

$$3-2x\ge7\iff-2x\ge4\iff x\le-2.$$ On écrit $S=]-\infty;-2]$. Le crochet fermé signifie que $-2$ est solution ; l’infini n’est jamais une borne incluse.

Équations avec une fraction ou une racine

Exemple 1 - Ne pas oublier la valeur interdite

Pour $(x+1)/(x-2)=3$, on impose $x\ne2$, puis $$x+1=3(x-2)\iff2x=7\iff x=\tfrac72.$$ Cette valeur est autorisée, donc $S=\{7/2\}$.

Exemple 2 - Contrôler après le carré

Pour $\sqrt{x+2}=x$, on a d’abord $x\ge0$. Le carré donne $x+2=x^2$, soit $(x-2)(x+1)=0$. Le candidat $-1$ ne vérifie pas $x\ge0$ ; $2$ vérifie l’équation initiale. Ainsi $S=\{2\}$.

II. Équation du second degré

Discriminant et solutions réelles

Avec $a\ne0$

Pour $ax^2+bx+c=0$, on calcule $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle.

• Si $\Delta=0$, il existe une unique solution $x_0=-b/(2a)$.

• Si $\Delta>0$, il existe deux solutions distinctes $$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.$$

Ces formules viennent de la forme canonique $$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right].$$ Si $\Delta<0$, le crochet est strictement positif, donc il ne peut pas être nul. Si $\Delta\ge0$, on isole le carré et l’on obtient les solutions annoncées.

Exemple - Deux solutions puis factorisation

Pour $2x^2-5x+2=0$, $\Delta=25-16=9$, donc $$x=\frac{5-3}{4}=\tfrac12\quad\text{ou}\quad x=\frac{5+3}{4}=2.$$ Ainsi $2x^2-5x+2=2(x-\tfrac12)(x-2)=(2x-1)(x-2)$. Pour $x^2-6x+9$, $\Delta=0$ et l’expression vaut $(x-3)^2$. Pour $x^2+2x+5$, $\Delta=-16$, donc aucune racine réelle.

Somme et produit des racines

Lorsque les racines réelles existent, comptées avec leur multiplicité, $$x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.$$ On peut s’en servir pour contrôler un calcul. Si l’on cherche deux réels de somme $s$ et de produit $p$, ces nombres sont les racines de $X^2-sX+p=0$.

Exemple - Retrouver deux nombres

Deux nombres ont pour somme $7$ et pour produit $10$. Ils vérifient $X^2-7X+10=0$, soit $(X-2)(X-5)=0$. Ce sont $2$ et $5$.

Ordre des racines

Si $a<0$, l’expression avec $-\sqrt\Delta$ au numérateur ne donne pas nécessairement la plus petite racine. Pour un tableau de signes, calculer puis ranger les racines dans l’ordre croissant.

III. Signe d’un trinôme et inéquations

Trois situations à distinguer

Le signe de $ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$

Si $\Delta<0$, le trinôme est toujours du signe de $a$. Si $\Delta=0$, il a le signe de $a$ sauf à sa racine double, où il est nul.

Si $\Delta>0$ et si $\alpha<\beta$ sont les racines, le trinôme a le signe de $a$ à l’extérieur de $[\alpha;\beta]$, et le signe opposé à l’intérieur de $]\alpha;\beta[$. Il est nul aux deux racines.

En effet, $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$. À l’extérieur, les deux facteurs ont le même signe ; entre les racines, leurs signes sont opposés.

Exemple - Inclure ou exclure les racines

Résoudre $2x^2-5x+2\le0$. Les racines sont $1/2$ et $2$, et $a=2>0$. Le trinôme est négatif entre ses racines et nul aux bornes. Ainsi $S=[1/2;2]$. Pour $2x^2-5x+2>0$, on obtient au contraire $S=]-\infty;1/2[\,\cup\,]2;+\infty[$. L’inégalité stricte exclut les racines.

Tableau de signes d’un quotient

On détermine les zéros du numérateur, les valeurs interdites du dénominateur, puis on étudie le signe sur chaque intervalle.

Exemple - Un quotient ne se multiplie pas à l’aveugle

Résoudre $\dfrac{x-1}{x+2}\ge0$. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$. Les valeurs à placer sont $-2$ et $1$.

$x$	$]-\infty;-2[$	$-2$	$]-2;1[$	$1$	$]1;+\infty[$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
Quotient	$+$	interdit	$-$	$0$	$+$

On conclut $S=]-\infty;-2[\,\cup\,[1;+\infty[$. La valeur $1$ est incluse car elle annule le quotient ; $-2$ est toujours exclue.

Valeur absolue et distance

Pour $r>0$, $|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r$ et $|x-a|\ge r\iff x\le a-r$ ou $x\ge a+r$. Par exemple $|2x-1|<3$ équivaut à $-3<2x-1<3$, puis $-1<x<2$.

Une simplification ne restaure pas le domaine

Dans $\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+2}=0$, on simplifie pour $x\ne-2$ seulement. On obtient $x=1$ ; la valeur $-2$ reste interdite.

IV. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Substitution et élimination

Une solution est un couple $(x;y)$ vérifiant simultanément les deux équations. La substitution isole une inconnue dans une équation et la remplace dans l’autre. L’élimination combine les équations pour faire disparaître une inconnue.

Exemple - Résolution puis vérification

$$\begin{cases}2x+y=7,\\3x-2y=0.\end{cases}$$ La première donne $y=7-2x$. Dans la seconde, $3x-2(7-2x)=0$, donc $7x=14$ et $x=2$. Puis $y=3$.

Par élimination, deux fois la première équation ajoutée à la seconde donne également $7x=14$. On vérifie $2\cdot2+3=7$ et $3\cdot2-2\cdot3=0$. Ainsi $S=\{(2;3)\}$.

Une, aucune ou une infinité de solutions

Pour le système $$\begin{cases}ax+by=e,\\cx+dy=f,\end{cases}$$ si $ad-bc\ne0$, il existe une unique solution. Si $ad-bc=0$, il faut comparer les équations : elles peuvent être incompatibles ou représenter la même contrainte. Ainsi $x+2y=3$ et $2x+4y=8$ sont incompatibles : la seconde devrait donner $6$ au lieu de $8$. Il n’y a aucune solution. En revanche, $x+2y=3$ et $2x+4y=6$ sont équivalentes. Les solutions sont tous les couples $(3-2t;t)$, avec $t\in\mathbb{R}$. Lorsque chaque équation représente une droite, ces trois cas correspondent respectivement à deux droites sécantes, parallèles distinctes ou confondues.

Mettre un problème en équations

Choisir les inconnues avec leurs unités, traduire chaque information, résoudre, puis vérifier que la solution a un sens dans le contexte.

Exemple - Deux tarifs

Une sortie vend $30$ billets. Le billet adulte coûte $40$ DH et le billet élève $25$ DH ; la recette est $930$ DH. Si $a$ et $e$ désignent leurs nombres, $$a+e=30,\qquad40a+25e=930.$$ Remplacer $e$ par $30-a$ donne $15a+750=930$, donc $a=12$ et $e=18$. Les nombres sont entiers positifs et $12\cdot40+18\cdot25=930$. Fin du cours

V. Exercices corrigés

Exercice 1 - Équation fractionnaire

Résoudre $\dfrac{2x+1}{x-3}=\dfrac{x-1}{x-3}$.

Correction. $x\ne3$. On multiplie l’équation par $x-3$, non nul sur le domaine : $2x+1=x-1$, donc $x=-2$. Cette valeur est autorisée, d’où $S=\{-2\}$.

Exercice 2 - Second degré

Résoudre $3x^2+x-2=0$, puis factoriser le trinôme.

Correction. $\Delta=1+24=25$. Les racines sont $(-1-5)/6=-1$ et $(-1+5)/6=2/3$. Ainsi $S=\{-1;2/3\}$ et $3x^2+x-2=(x+1)(3x-2)$.

Exercice 3 - Signe du trinôme

Résoudre $-x^2+5x-6\ge0$ et $-x^2+5x-6<0$.

Correction. Le trinôme vaut $-(x-2)(x-3)$. Il est positif entre les racines et négatif à l’extérieur. La première solution est $[2;3]$, la seconde $]-\infty;2[\cup]3;+\infty[$.

Exercice 4 - Quotient factorisé

Résoudre $\dfrac{(x-1)(x-4)}{x+2}\le0$.

Correction. $-2$ est interdit. Les valeurs critiques, rangées, sont $-2,1,4$. Les signes du quotient sur les quatre intervalles successifs sont $-,+,-,+$. Les racines $1$ et $4$ sont admises. Ainsi $S=]-\infty;-2[\cup[1;4]$.

Exercice 5 - Racine carrée

Résoudre $\sqrt{2x+3}=x+1$.

Correction. Il faut $2x+3\ge0$ et $x+1\ge0$, donc $x\ge-1$. Le carré donne $2x+3=x^2+2x+1$, soit $x^2=2$. Le candidat $-\sqrt2<-1$ est exclu. $\sqrt2$ satisfait la condition de signe et l’égalité des carrés : $S=\{\sqrt2\}$.

Exercice 6 - Système et problème

Un rectangle a un périmètre de $34$ cm ; sa longueur dépasse sa largeur de $5$ cm. Déterminer ses dimensions.

Correction. Si $L$ et $l$ sont les dimensions en cm, $L+l=17$ et $L-l=5$. En additionnant, $2L=22$, donc $L=11$ et $l=6$. Les dimensions sont positives, $2(11+6)=34$ et $11-6=5$.

Exercice 7 - Paramètre et premier degré

Discuter, selon le réel $m$, les solutions de $(m-2)x=m-2$.

Correction. Si $m\ne2$, on peut diviser par $m-2$ et $S=\{1\}$. Si $m=2$, l’équation devient $0=0$ : tout réel est solution, donc $S=\mathbb{R}$. Diviser sans discuter le coefficient ferait perdre ce cas.