Calcul vectoriel dans le plan - Cours et exercices corrigés | Tronc commun

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Traduire une situation géométrique avec des vecteurs, calculer une somme, utiliser la relation de Chasles et reconnaître un alignement ou un parallélisme. Le calcul en coordonnées permet de vérifier les constructions.

I. Comprendre un vecteur

Direction, sens et longueur

Pour deux points distincts $A$ et $B$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ décrit le déplacement de $A$ vers $B$. Il possède la direction de la droite $(AB)$, le sens de $A$ vers $B$ et la longueur $AB$.

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Des flèches placées à des endroits différents peuvent donc représenter le même vecteur.

Pour tout point $A$, $\overrightarrow{AA}=\vec0$ est le vecteur nul. Il n’a pas de direction ni de sens privilégié. Le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$ : même longueur, mais sens contraire. $$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.$$

Une égalité qui caractérise un parallélogramme

Pour quatre points $A,B,C,D$, l’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ caractérise un parallélogramme $ABCD$, éventuellement aplati. Si les points ne sont pas alignés, on obtient un parallélogramme non aplati.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Exemple expliqué

Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. En revanche, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont opposés : inverser l’ordre des lettres change le sens.

Ne pas confondre point, distance et vecteur

$A$ désigne un point, $AB$ une distance positive ou nulle et $\overrightarrow{AB}$ un vecteur. Une égalité de longueurs, seule, ne prouve pas une égalité de vecteurs.

II. Additionner des vecteurs

La relation de Chasles

Décomposer un déplacement

Pour tous points $A,B,C$ : $$\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.}$$ Le point d’arrivée du premier vecteur est le point de départ du deuxième. Cette relation reste vraie lorsque certains points sont confondus.

Pour construire $\vec u+\vec v$, on place un représentant de $\vec v$ à l’extrémité d’un représentant de $\vec u$. La somme relie le départ du premier à l’arrivée du second.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Propriétés de la somme

La somme est commutative et associative : $$\vec u+\vec v=\vec v+\vec u,\qquad (\vec u+\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w).$$ De plus $\vec u+\vec0=\vec u$ et $\vec u+(-\vec u)=\vec0$. Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé.

Exemple 1 - Réordonner avant d’appliquer Chasles

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.$$

Exemple 2 - Transformer une différence

$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}.$$

Le bon réflexe

Dans une somme, rapprocher les vecteurs dont les lettres permettent d’enchaîner les déplacements. Dans une différence, remplacer d’abord le signe moins par le vecteur opposé.

III. Multiplier un vecteur par un réel

Définition géométrique

Pour $\vec u\ne\vec0$ et $k\ne0$, $k\vec u$ a la direction de $\vec u$ et une longueur égale à $|k|$ fois celle de $\vec u$. Son sens est le même si $k>0$ et contraire si $k<0$. On pose $0\vec u=\vec0$ et $k\vec0=\vec0$.

Ainsi $2\overrightarrow{AB}$ prolonge le déplacement dans le même sens ; $-\frac12\overrightarrow{AB}$ décrit un déplacement opposé, deux fois plus court.

Propriétés de calcul

Pour tous réels $a,b$ et tous vecteurs $\vec u,\vec v$ : $$(a+b)\vec u=a\vec u+b\vec u,\qquad a(\vec u+\vec v)=a\vec u+a\vec v,\qquad a(b\vec u)=(ab)\vec u.$$

Exemple - Simplifier une expression vectorielle

$$3(\vec u-2\vec v)-2(\vec u+\vec v) =3\vec u-6\vec v-2\vec u-2\vec v =\vec u-8\vec v.$$

Milieu d’un segment

Trois écritures équivalentes

$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $$\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB} \quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0.$$ Pour tout point $M$, on a alors $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}.$$

Justification. Par Chasles, la somme du membre de gauche vaut $2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}$.

Colinéarité, alignement et parallélisme

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est un multiple réel de l’autre. Lorsque $\vec u\ne\vec0$, cela signifie qu’il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $\vec v=k\vec u$. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Si $A\ne B$, les points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel $k$. Deux droites sont parallèles, éventuellement confondues, si leurs vecteurs directeurs non nuls sont colinéaires.

Le coefficient donne aussi la position

Dans $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$, si $0\le k\le1$, alors $C\in[AB]$. Si $k<0$, $C$ est de l’autre côté de $A$ ; si $k>1$, $C$ se trouve au-delà de $B$.

IV. Calculer dans un repère

Coordonnées d’un vecteur

Dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$, écrire $\vec u=x\vec i+y\vec j$ revient à dire que $\vec u$ a pour coordonnées $(x;y)$.

Les formules utiles

Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, alors $$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A).$$ Si $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$, alors $$\vec u+\vec v=(x+x';y+y'),\qquad k\vec u=(kx;ky).$$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $$I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right).$$

Ces calculs ne nécessitent pas un repère orthonormé. En revanche, calculer une longueur par $\sqrt{x^2+y^2}$ nécessite un repère orthonormé.

Un critère de colinéarité

Le déterminant

$\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si $$\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'=0.$$

Exemple complet - Vérifier un alignement

Soient $A(1;2)$, $B(4;3)$ et $C(10;5)$. On calcule $$\overrightarrow{AB}=(3;1),\qquad\overrightarrow{AC}=(9;3).$$ Comme $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$, les trois points sont alignés. Le calcul $3\times3-1\times9=0$ le confirme. Le coefficient $3>1$ place $C$ au-delà de $B$ sur la demi-droite $[AB)$.

Exemple - Compléter un parallélogramme

Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, on doit avoir $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, donc $D=A+C-B$ en coordonnées. Avec $A(1;2)$, $B(4;3)$ et $C(6;7)$ : $$D(1+6-4\,;\,2+7-3)=D(3;6).$$

Une méthode fiable

Écrire la relation vectorielle avant de calculer les coordonnées. Dans $\overrightarrow{AB}$, on soustrait toujours les coordonnées du départ à celles de l’arrivée.

Fin du cours

V. Exercices et corrections

Exercice 1 - Relation de Chasles

Simplifier $U=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$ et $V=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}$.

Correction. $U=\overrightarrow{AD}$. Pour $V$, remplacer $-\overrightarrow{DB}$ par $\overrightarrow{BD}$ ; ainsi $V=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

Exercice 2 - Calcul vectoriel

Réduire $W=2(3\vec u-\vec v)-3(\vec u+2\vec v)$.

Correction. $W=6\vec u-2\vec v-3\vec u-6\vec v=3\vec u-8\vec v$.

Exercice 3 - Un point défini par une relation

Soient $A(-1;2)$ et $B(3;0)$. Déterminer $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=-\frac12\overrightarrow{AB}$. Les trois points sont-ils alignés ? Où se trouve $C$ ?

Correction. $\overrightarrow{AB}=(4;-2)$, donc $\overrightarrow{AC}=(-2;1)$. On obtient $C(-3;3)$. Les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés. Le coefficient est négatif : $C$ est de l’autre côté de $A$ par rapport à $B$.

Exercice 4 - Milieu et parallélogramme

On donne $A(1;2)$, $B(4;3)$ et $C(6;7)$. Calculer le milieu de $[AC]$, puis trouver $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme. Vérifier que les diagonales ont le même milieu.

Correction. Le milieu de $[AC]$ est $I(7/2;9/2)$. Comme $D=A+C-B$, $D(3;6)$. Le milieu de $[BD]$ est $((4+3)/2;(3+6)/2)=(7/2;9/2)=I$. Les deux diagonales se coupent bien en leur milieu.

Exercice 5 - Déterminer un paramètre

Pour quelle valeur de $m$ les points $A(0;1)$, $B(2;3)$ et $C(m;7)$ sont-ils alignés ?

Correction. $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ et $\overrightarrow{AC}=(m;6)$. Le déterminant vaut $12-2m$. Il est nul exactement lorsque $m=6$. Ainsi $C(6;7)$ et $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$.

Exercice 6 - Justifier une relation géométrique

$I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et de $[AC]$. Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{BC}$, puis préciser la conséquence si $B\ne C$.

Correction. Par Chasles, $$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} =-\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC} =\tfrac12\overrightarrow{BC}.$$ Si $B\ne C$, alors $I\ne J$, les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles et $IJ=\frac12BC$.