Suites numériques et modèles économiques - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Calculer et interpréter les termes d’une suite, déterminer des limites, prouver une convergence et résoudre des récurrences simples. Traduire une évolution commerciale ou financière en précisant les dates, les taux et l’ordre des opérations.

Décrire une évolution discrète

Une suite $(u_n)$ associe une valeur à chaque entier d’un ensemble d’indices. L’expression $u_n=f(n)$ est une formule explicite. Une récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ exige aussi une valeur initiale : elle permet de calculer les termes successivement. Dans un modèle, $u_0$ peut désigner le stock aujourd’hui et $u_n$ le stock après $n$ périodes. Une période doit rester la même dans toute la question. Un taux de $3\,\%$ s’écrit $0{,}03$ ; augmenter de $3\,\%$ revient à multiplier par $1{,}03$.

Rappels : deux modèles de référence

Arithmétique et géométrique

Si $u_{n+1}=u_n+r$, alors $u_n=u_0+nr$ : la différence est constante. Si $u_{n+1}=qu_n$ avec $q\ne0$, alors $u_n=u_0q^n$ : le coefficient multiplicateur est constant. Pour $q=0$, on garde $u_0$ au rang $0$, puis tous les termes valent $0$. Si le premier terme est $u_p$, on écrit $u_n=u_p+(n-p)r$ ou, pour $q\ne0$, $u_n=u_pq^{n-p}$.

Une suite arithmétique croît si $r>0$ et décroît si $r<0$. Pour une suite géométrique positive avec $q>0$, elle croît si $q>1$ et décroît si $0<q<1$. Avec des termes négatifs, il faut étudier $u_{n+1}-u_n$, sans appliquer cette règle de signe automatiquement.

Additionner sans perdre un terme

Pour $N\ge1$ termes consécutifs d’une suite arithmétique, $$\boxed{\text{somme}=N\,\frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}2}.$$ Pour $q\ne1$, $$\boxed{1+q+\cdots+q^{N-1}=\frac{1-q^N}{1-q}}.$$ Si $q=1$, cette somme vaut $N$. De $u_p$ à $u_n$ inclus, on compte $n-p+1$ termes.

Exemple - Des versements qui n’ont pas tous la même ancienneté

Avec un coefficient annuel $q$, un versement $V$ effectué à la fin de chaque année donne, juste après le troisième versement, $Vq^2+Vq+V$. Le dernier versement ne produit encore aucun intérêt. Des versements en début d’année donneraient une autre formule.

Comprendre les limites

Dire que $u_n\to\ell$ signifie que les termes se rapprochent durablement du réel $\ell$ quand $n$ devient grand. La suite est alors convergente. Si $u_n\to+\infty$, elle finit par dépasser n’importe quel seuil fixé ; elle n’est pas convergente vers un réel. Une suite divergente peut tendre vers un infini ou n’avoir aucune limite. Ainsi $(-1)^n$ alterne entre $1$ et $-1$ : elle ne tend ni vers un réel ni vers un infini.

Les références usuelles

Pour un entier $p\ge1$, quand $n\to+\infty$, $$n\to+\infty,\quad n^p\to+\infty,\quad\sqrt n\to+\infty, \qquad\frac1{n^p}\to0,\quad\frac1{\sqrt n}\to0.$$ Les suites inverses sont considérées pour $n\ge1$. Ajouter ou retirer un nombre fini de termes initiaux ne modifie pas une limite.

La limite d’une puissance

Pour $q>0$, la suite $q^n$ tend vers $0$ si $0<q<1$, vaut constamment $1$ si $q=1$, et tend vers $+\infty$ si $q>1$. On a aussi $q^n\to0$ pour $-1<q<0$, car $|q^n|=|q|^n\to0$. Pour $q=-1$, il y a oscillation ; pour $q<-1$, les deux parités ont des comportements opposés.

Opérations et expressions indéterminées

Si $u_n\to a$ et $v_n\to b$, alors $u_n+v_n\to a+b$, $u_nv_n\to ab$, et $u_n/v_n\to a/b$ si $b\ne0$. Le quotient doit être défini à partir d’un certain rang. On ne conclut pas directement devant $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\infty/\infty$ ou $0/0$. On transforme l’expression : factorisation, division par la puissance dominante ou quantité conjuguée.

Exemple - Diviser par la puissance dominante

$$u_n=\frac{5n^2+n-2}{2n^2+3} =\frac{5+1/n-2/n^2}{2+3/n^2}\longrightarrow\frac52.$$

Exemple - Une différence de racines

$$\sqrt{n+4}-\sqrt n=\frac4{\sqrt{n+4}+\sqrt n}\longrightarrow0.$$ La suite tend vers $0$ bien que chacune des deux racines tende vers $+\infty$.

Comparaison, encadrement et convergence

Trois résultats utiles

Les inégalités suivantes peuvent être vérifiées seulement à partir d’un certain rang.

Comparer pour déterminer la limite

Si $u_n\le v_n\le w_n$ et $u_n,w_n\to\ell$, alors $v_n\to\ell$ : c’est le théorème d’encadrement. Si $v_n\ge u_n$ et $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$. Si $|v_n-\ell|\le a_n$, avec $a_n\ge0$ et $a_n\to0$, alors $v_n\to\ell$.

Une inégalité large se conserve au passage à la limite entre deux suites convergentes. Une inégalité stricte peut devenir une égalité : $1/n>0$ mais sa limite vaut $0$.

Monotonie et bornes

Une suite est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ et décroissante si $u_{n+1}\le u_n$. Elle est majorée si tous ses termes sont inférieurs ou égaux à un même réel $M$ ; minorée si tous sont supérieurs ou égaux à un réel $m$.

Critères admis de convergence

Toute suite croissante et majorée converge vers un réel. Toute suite décroissante et minorée converge vers un réel.

Être bornée ne suffit pas : $(-1)^n$ est bornée. Être monotone ne suffit pas : $n$ croît sans limite finie. Les deux hypothèses du critère doivent être établies.

Une récurrence ne donne pas la limite à elle seule

Pour $u_{n+1}=f(u_n)$, une démarche sûre est : prouver que les termes restent dans un intervalle ; établir la monotonie et une borne ; en déduire la convergence ; puis seulement calculer la limite. Si $u_n\to\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(u_n)\to f(\ell)$. La suite décalée $u_{n+1}$ tend aussi vers $\ell$, d’où $$\boxed{\ell=f(\ell)}.$$ On vérifie que $\ell$ est dans le domaine de continuité, par exemple grâce à un intervalle fermé invariant. Résoudre l’équation des points fixes fournit des candidats, pas une preuve de convergence.

Exemple - Une limite transportée par une fonction

Si $u_n\to3$ et $u_n\ge0$, alors $v_n=\sqrt{u_n+1}\to2$ par continuité de $x\mapsto\sqrt{x+1}$ en $3$. La limite de la fonction composée se calcule au point d’arrivée.

Les récurrences affines dans un modèle

Soit $u_{n+1}=au_n+b$. Si $a=1$, la suite est arithmétique. Si $a\ne1$, posons $$L=\frac b{1-a},\qquad v_n=u_n-L.$$ Puisque $aL+b=L$, on a $v_{n+1}=av_n$. Donc $$\boxed{u_n=L+(u_0-L)a^n}\quad(a\ne1).$$ Pour $a=0$, la suite vaut $b$ dès le rang $1$ ; on peut traiter ce cas directement sans discuter $0^0$. Si $|a|<1$, $u_n\to L$. La position par rapport à $L$ et le signe de $a$ déterminent l’allure des termes.

Exemple - Un portefeuille de clients

Une entreprise conserve $90\,\%$ de ses clients d’une année à l’autre et en gagne $80$ après cette évolution. Le modèle est $u_{n+1}=0{,}9u_n+80$. Pour $u_0=300$, $L=800$, donc $$u_n=800-500(0{,}9)^n.$$ Le modèle croît vers $800$. Les valeurs décimales représentent une prévision : si l’on arrondit chaque année, on définit une autre récurrence.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Capital avec un versement à la fin de chaque période

Un capital initial $C_0$ produit des intérêts au taux $i>0$ par période, puis reçoit un versement $V$. Ainsi $C_{n+1}=(1+i)C_n+V$ et $$\boxed{C_n=C_0(1+i)^n+V\frac{(1+i)^n-1}{i}}.$$ Le premier terme correspond au capital initial ; le second additionne les versements et leurs intérêts. Pour $i=0$, la formule devient directement $C_n=C_0+nV$. Un retrait constant remplace $+V$ par une quantité négative ; le modèle doit s’arrêter si ses conditions économiques cessent d’être valables.

Une récurrence homographique guidée

Étudions $u_0=4$ et $u_{n+1}=(3u_n+2)/(u_n+2)$. Posons $f(x)=(3x+2)/(x+2)$. Son dénominateur est non nul sur $[2;4]$.

Un intervalle invariant et une variation

Pour $x\in[2;4]$, $f'(x)=4/(x+2)^2>0$, donc $$2=f(2)\le f(x)\le f(4)=\frac73<4.$$ Ainsi $f([2;4])\subset[2;4]$. Une récurrence, initialisée par $u_0=4$, montre que tous les termes sont dans cet intervalle. De plus, $$f(x)-x=-\frac{(x-2)(x+1)}{x+2}\le0\quad(x\in[2;4]).$$ La suite est décroissante et minorée par $2$, donc elle converge. Sa limite $\ell\in[2;4]$ vérifie, par continuité de $f$, $$\ell=\frac{3\ell+2}{\ell+2}\iff(\ell-2)(\ell+1)=0.$$ Seule la valeur $\ell=2$ appartient à $[2;4]$.

Une transformation révèle une suite géométrique

Posons $v_n=(u_n-2)/(u_n+1)$, bien défini puisque $u_n\ge2$. Les identités $$f(x)-2=\frac{x-2}{x+2},\qquad f(x)+1=\frac{4(x+1)}{x+2}$$ donnent $v_{n+1}=v_n/4$. Comme $v_0=2/5$, $$v_n=\frac{2}{5\cdot4^n},\qquad \boxed{u_n=\frac{2+v_n}{1-v_n}}.$$ Le dénominateur est positif car $0<v_n\le2/5<1$. On retrouve $u_n\to2$, avec une formule explicite obtenue par une transformation adaptée.

Ce que l’exemple enseigne

Une récurrence rationnelle n’est généralement ni arithmétique ni géométrique. On vérifie d’abord ses dénominateurs et ses bornes. Une suite auxiliaire peut ensuite simplifier un cas particulier ; il n’existe pas de formule unique à appliquer sans vérifier ses conditions.

Calcul numérique raisonné

Un tableur ou une calculatrice permet de calculer des termes, de repérer une variation et de tester un seuil. Ces observations orientent la preuve. Pour une récurrence, chaque ligne utilise le terme précédent, tandis qu’une formule explicite utilise directement l’indice. On conserve assez de chiffres pour ne pas changer artificiellement un seuil.

Exercices corrigés - Évolutions et sommes

Exercice 1 - Une production à hausse constante

Une production mensuelle est de $1\,200$ unités le premier mois, puis augmente de $75$ unités par mois. Calculer la production du douzième mois et la production totale des douze premiers mois. Solution. Notons $p_1=1\,200$. La suite est arithmétique de raison $75$, donc $p_n=1\,200+75(n-1)$. Ainsi $p_{12}=2\,025$. Il y a douze termes dans la somme : $$\boxed{\sum_{n=1}^{12}p_n=12\,\frac{1\,200+2\,025}{2}=19\,350\text{ unités}}.$$ Le rang initial $1$ explique le facteur $n-1$ dans la formule.

Exercice 2 - Une dépréciation proportionnelle

Un matériel vaut $80\,000$ DH à l’achat. Sa valeur est multipliée par $0{,}85$ à chaque fin d’année. Donner sa valeur après $n$ années et la première année où elle devient inférieure à la moitié du prix initial. Solution. Si $V_0=80\,000$, alors $V_n=80\,000(0{,}85)^n$. On cherche $(0{,}85)^n<1/2$. Le logarithme donne $$n>\frac{\ln(1/2)}{\ln(0{,}85)},$$ car $\ln(0{,}85)<0$ et la division inverse le sens. Pour vérifier le premier rang, $0{,}85^4=0{,}52200625>1/2$ tandis que $0{,}85^5=0{,}4437053125<1/2$. La première année est donc $\boxed{n=5}$. Le modèle tend vers $0$ sans jamais l’atteindre à un rang fini.

Exercice 3 - Épargne avec versements réguliers

Un compte initialement vide reçoit $1\,000$ DH à la fin de chaque mois. Entre deux versements, le solde est multiplié par $1{,}005$. Calculer le solde juste après le douzième versement. Solution. Si $C_n$ est le solde juste après le $n$-ième versement, $C_0=0$ et $C_{n+1}=1{,}005C_n+1\,000$. Le premier versement produit onze périodes d’intérêts, le dernier aucune. Donc $$\boxed{C_{12}=1\,000\frac{1{,}005^{12}-1}{0{,}005}}.$$ Ce résultat est supérieur à $12\,000$ DH, somme des versements. La formule ne doit pas être multipliée par $1{,}005$ : cela ajouterait une période d’intérêts après le dernier versement demandé.

Exercices corrigés - Limites et seuils

Exercice 4 - Un quotient polynomial

Déterminer la limite de $u_n=(3n^2-2n+7)/(2n^2+1)$. Solution. Pour $n\ge1$, divisons par $n^2$ : $$u_n=\frac{3-2/n+7/n^2}{2+1/n^2}\longrightarrow\boxed{\frac32}.$$ Le dénominateur limite est $2\ne0$. La règle du quotient s’applique après transformation de la forme initiale $\infty/\infty$.

Exercice 5 - Une oscillation de plus en plus faible

Pour $n\ge1$, étudier la limite de $v_n=(n+(-1)^n)/n$. Solution. La suite $(-1)^n$ ne converge pas, mais ce n’est pas elle seule que l’on étudie. On écrit $$v_n=1+\frac{(-1)^n}{n},\qquad |v_n-1|=\frac1n\longrightarrow0.$$ Le critère d’encadrement donne $\boxed{v_n\to1}$. Une suite peut converger sans être monotone.

Exercice 6 - Fidélisation et nombre de clients

Un modèle de clientèle est donné par $u_0=200$ et $u_{n+1}=0{,}8u_n+120$. Trouver sa formule, sa limite et le premier rang où la prévision est au moins égale à $550$. Solution. Le point fixe vaut $L=120/(1-0{,}8)=600$. La suite $v_n=u_n-600$ vérifie $v_{n+1}=0{,}8v_n$ et $v_0=-400$. Donc $$\boxed{u_n=600-400(0{,}8)^n},\qquad\boxed{u_n\to600}.$$ La suite croît car $u_{n+1}-u_n=80(0{,}8)^n>0$. La condition $u_n\ge550$ équivaut à $(0{,}8)^n\le1/8$, soit $$n\ge\frac{\ln(1/8)}{\ln(0{,}8)}.$$ Pour identifier exactement l’entier, $0{,}8^9=0{,}134217728>0{,}125$ et $0{,}8^{10}=0{,}1073741824<0{,}125$. Le premier rang est $\boxed{10}$. La limite est un niveau de long terme du modèle ; elle ne signifie pas que la suite atteindra exactement $600$.

Exercices corrigés - Remboursement et convergence

Exercice 7 - Adapter le dernier remboursement

Une dette initiale de $10\,000$ DH augmente de $2\,\%$ par période, puis un paiement de $1\,100$ DH est effectué en fin de période tant que la somme due le permet. Déterminer le nombre de paiements et exprimer le dernier paiement. Solution. Tant que le paiement reste $1\,100$, le capital restant dû après $n$ paiements vérifie $D_{n+1}=1{,}02D_n-1\,100$. Le point fixe est $55\,000$ et $$D_n=55\,000-45\,000(1{,}02)^n.$$ Cette formule peut être calculée au-delà du remboursement pour repérer le premier franchissement, mais une dette négative n’est pas conservée dans le modèle réel. On a $$1{,}02^{10}<\frac{11}{9}<1{,}02^{11},$$ donc $D_{10}>0$ et la formule donnerait $D_{11}<0$. Il y a dix paiements complets de $1\,100$ DH, puis un dernier paiement ajusté à la somme due : $$\boxed{P_{11}=1{,}02D_{10} =1{,}02\bigl(55\,000-45\,000(1{,}02)^{10}\bigr)}.$$ Il est positif et inférieur à $1\,100$ DH. La dette est alors nulle. Les dix premiers paiements sont possibles car, avant le onzième, les soldes après paiement restent positifs. Tous les taux et frais du modèle sont ceux de l’énoncé ; on ne rajoute aucun coût implicite.

Exercice 8 - Prouver avant de calculer la limite

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$. Montrer que la suite converge et déterminer sa limite. Solution. Si $1\le x\le2$, alors $\sqrt3\le\sqrt{2+x}\le2$. L’intervalle $[1;2]$ est invariant, et $u_0$ y appartient ; tous les termes y sont donc. Pour $x\in[1;2]$, les deux membres étant positifs, $$\sqrt{2+x}\ge x\iff 2+x\ge x^2 \iff(x-2)(x+1)\le0.$$ La suite est croissante et majorée par $2$, donc converge vers un réel $\ell\in[1;2]$. Par continuité de la racine carrée, $$\ell=\sqrt{2+\ell}\quad\Longrightarrow\quad(\ell-2)(\ell+1)=0.$$ La racine $-1$ est exclue par l’intervalle et par l’équation avant élévation au carré. Ainsi $\boxed{\ell=2}$.

Exercices corrigés - Transformation et composition

Exercice 9 - Transformer une récurrence rationnelle

Soit $w_0=5$ et $w_{n+1}=(2w_n+3)/(w_n+4)$. Établir que $w_n\in[1;5]$, puis étudier $v_n=(w_n-1)/(w_n+3)$ et en déduire une formule et une limite pour $w_n$. Solution. Posons $f(x)=(2x+3)/(x+4)$. Sur $[1;5]$, $f'(x)=5/(x+4)^2>0$, donc $f([1;5])=[1;13/9]\subset[1;5]$. L’initialisation $w_0=5$ et une récurrence assurent la propriété demandée. Tous les dénominateurs qui suivent sont strictement positifs. $$f(x)-1=\frac{x-1}{x+4},\qquad f(x)+3=\frac{5(x+3)}{x+4}.$$ Il en résulte $v_{n+1}=v_n/5$. Comme $v_0=4/8=1/2$, $$v_n=\frac1{2\cdot5^n}.$$ L’égalité $v_n(w_n+3)=w_n-1$ donne $$\boxed{w_n=\frac{1+3v_n}{1-v_n}} \quad\text{avec }0<v_n\le\frac12<1.$$ Puisque $v_n\to0$, $\boxed{w_n\to1}$. On peut aussi vérifier la décroissance grâce à $$f(x)-x=-\frac{(x-1)(x+3)}{x+4}\le0\quad(x\in[1;5]).$$ L’intervalle invariant valide la transformation, et la suite géométrique auxiliaire résout cet exemple particulier.

Exercice 10 - Transmettre une limite à un coût

Une quantité normalisée $q_n$ vérifie $q_n\ge0$ et $q_n\to4$. Un indicateur de coût est $c_n=(3q_n^2+1)/(q_n+2)$. Déterminer sa limite. Que change le remplacement de $q_n+2$ par $q_n-4$ ? Solution. La fonction $f(x)=(3x^2+1)/(x+2)$ est continue sur $[0;+\infty[$ et en particulier en $4$. Donc $$\boxed{c_n\longrightarrow f(4)=\frac{49}{6}}.$$ Avec $q_n-4$ au dénominateur, la limite du dénominateur serait $0$ et la fonction ne serait pas définie en $4$. Il serait incorrect d’écrire $49/0$. Si $q_n=4$ pour certains rangs, le quotient n’y serait même pas défini. S’il s’approche toujours par valeurs supérieures, le quotient tend vers $+\infty$ ; par valeurs inférieures, il tend vers $-\infty$. Les seules données initiales ne permettent donc pas une conclusion unique pour cette variante.