Suites numériques et modèles économiques - Cours et exercices corrigés | 1re Bac Sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Définir une suite, étudier ses variations et ses bornes, reconnaître une progression arithmétique ou géométrique, calculer des sommes et justifier une formule par récurrence. Les situations économiques sont des modèles scolaires avec des taux supposés constants ; les limites de suites ne sont pas nécessaires à ce chapitre.

Une valeur à chaque rang

Une suite réelle associe à chaque entier $n$ de son ensemble d’indices un nombre réel noté $u_n$. La notation $(u_n)$ désigne la suite ; $u_n$ désigne un de ses termes. On précisera si le premier rang est $0$, $1$ ou un autre entier.

Formule explicite

Une formule comme $u_n=150+25n$, pour $n\ge0$, permet de calculer directement n’importe quel terme. Ainsi $u_0=150$ et $u_4=250$. Le rang n’est pas une valeur du terme : $u_{n+1}$, $u_n+1$ et $u_{2n}$ désignent en général des nombres différents.

Définition par récurrence

On donne un terme initial et une règle de passage. Avec $C_0=1000$ et $C_{n+1}=1{,}02C_n+100$, on obtient successivement $$C_1=1120,\qquad C_2=1242{,}40,\qquad C_3=1367{,}248.$$ Cette règle décrit un capital qui reçoit $2\,\%$ d’intérêt pendant chaque période, puis un versement de $100$ à la fin de cette période. Le terme $C_n$ est le solde immédiatement après le $n$-ième versement.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La date d’un versement change le modèle

Un versement en début de période donnerait $D_{n+1}=1{,}02(D_n+100)$. Avec $D_0=1000$, le premier solde serait $1122$, et non $1120$. Définir le terme et l’ordre des opérations avant de calculer.

Variations et bornes

Comparer deux termes consécutifs

La suite est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout rang admissible, et décroissante si $u_{n+1}\le u_n$. Les versions strictes utilisent $>$ ou $<$. Une suite constante est à la fois croissante et décroissante.

Deux méthodes de comparaison

Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ convient pour toute suite réelle.

Si tous les $u_n$ sont strictement positifs, comparer $u_{n+1}/u_n$ à $1$ est aussi possible. Sans cette positivité, le sens de la comparaison peut changer ou le quotient peut ne pas exister.

Exemple - Une baisse de coût unitaire

Pour $u_n=500+200/(n+2)$, $n\ge0$, les dénominateurs sont positifs et $$u_{n+1}-u_n=\frac{200}{n+3}-\frac{200}{n+2} =\frac{-200}{(n+2)(n+3)}<0.$$ La suite est donc strictement décroissante. Des premiers termes décroissants ne suffiraient pas à prouver le résultat pour tous les rangs.

Majorant, minorant et suite bornée

Un réel $M$ est un majorant si $u_n\le M$ pour tout $n$ ; un réel $m$ est un minorant si $u_n\ge m$ pour tout $n$. La suite est bornée si elle admet les deux. Les bornes choisies n’ont pas besoin d’être des valeurs de la suite.

Dans l’exemple précédent, $0<200/(n+2)\le100$, donc $$500<u_n\le600.$$ Le nombre $500$ est un minorant jamais atteint, tandis que le majorant $600$ est atteint au rang $0$.

Exemple - Bornée ne signifie pas monotone

La suite $v_n=100+20(-1)^n$ alterne entre $120$ aux rangs pairs et $80$ aux rangs impairs. Elle est bornée, mais elle n’est ni croissante ni décroissante.

Une propriété porte sur tous les rangs

Un tableau ou un graphique suggère un comportement ; une formule, un calcul de différence ou un raisonnement par récurrence le justifie. Les variations et les bornes sont deux questions distinctes.

Suites arithmétiques : un ajout constant

Définition et terme général

Une suite est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1}=u_n+r$. En additionnant les mêmes accroissements, on obtient, pour $n\ge p$, $$\boxed{u_n=u_p+(n-p)r}.$$ Cette formule se démontre aussi par récurrence : elle vaut au rang $p$ et l’ajout de $r$ fait passer de $n-p$ à $n+1-p$ accroissements. La suite est strictement croissante si $r>0$, constante si $r=0$ et strictement décroissante si $r<0$.

Somme de termes consécutifs

De $p$ à $n$ inclus, il y a $N=n-p+1$ termes. En écrivant la somme dans les deux sens, chaque paire de termes de même position a pour somme $u_p+u_n$. Ainsi $$\boxed{u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}2}.$$

Exemple - Une progression de rémunérations

Un modèle prévoit une rémunération de $2500$ au premier mois, puis une hausse fixe de $80$ chaque mois. Avec $u_1=2500$ et $r=80$, $$u_{12}=2500+11\times80=3380,\qquad \sum_{k=1}^{12}u_k=\frac{12(2500+3380)}2=35280.$$ La somme représente ici le total des douze rémunérations, car chaque terme correspond à un paiement distinct.

Intérêts simples

Pour un capital initial $C_0$ et un taux $t$ par période, des intérêts simples calculés uniquement sur le capital initial donnent $$C_n=C_0+nC_0t.$$ Cette suite est arithmétique de raison $C_0t$. Pour $C_0=5000$ et $t=0{,}04$, on a $C_n=5000+200n$.

Une somme doit avoir un sens

Additionner des rémunérations donne un total reçu. Additionner les soldes successifs d’un même compte ne donne ni le capital final ni le total des intérêts : la même somme d’argent serait comptée plusieurs fois.

Suites géométriques : un facteur constant

Définition et terme général

Une suite est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1}=qu_n$. Pour $q\ne0$ et $n\ge p$, on obtient $u_n=u_pq^{n-p}$. Si $q=0$, tous les termes après le premier sont nuls : on traite ce cas directement, sans utiliser une écriture $0^0$.

Si $u_p>0$ et $q>0$, les termes restent positifs ; la suite est strictement croissante pour $q>1$, constante pour $q=1$ et strictement décroissante pour $0<q<1$. Pour un premier terme négatif, les sens s’inversent. Si $q<0$ et le premier terme est non nul, les signes alternent. Dans tous les cas, $u_{n+1}-u_n=(q-1)u_n$ donne la comparaison exacte.

Une somme géométrique

Pour $N\ge1$ termes de premier terme $a$, on a $$\boxed{a+aq+\cdots+aq^{N-1}=a\frac{1-q^N}{1-q}\quad(q\ne1).}$$ En effet, soustraire $qS$ de $S$ annule les termes intermédiaires et donne $(1-q)S=a(1-q^N)$. Pour $q=1$, la somme vaut $Na$. Pour $q=0$, elle vaut $a$.

Taux successifs et dépréciation

Une hausse de $t$ correspond au coefficient $1+t$, et une baisse de $t$ au coefficient $1-t$. Par exemple, un bien évalué initialement à $20000$ et perdant $10\,\%$ de sa valeur par période suit le modèle $V_n=20000(0{,}9)^n$. Les pertes ne sont pas constantes : elles portent chaque fois sur une valeur différente.

Exemple - Capitalisation des intérêts

Un capital de $5000$ produisant $4\,\%$ d’intérêt par période, avec intérêts conservés sur le compte, devient $C_n=5000(1{,}04)^n$. Après trois périodes, $C_3=5624{,}32$, contre $5600$ avec des intérêts simples.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Récurrence, versements et changement de suite

Le principe de récurrence

Pour prouver une propriété $P(n)$ à partir du rang $n_0$, on vérifie $P(n_0)$ : c’est l’initialisation. Puis, pour un entier $n\ge n_0$ quelconque, on suppose $P(n)$ et on démontre $P(n+1)$ : c’est l’hérédité. On peut alors conclure que $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$.

Un capital avec versements en fin de période

Reprenons $C_0=1000$ et $C_{n+1}=1{,}02C_n+100$. Posons $W_n=C_n+5000$. Alors $$W_{n+1}=1{,}02C_n+5100=1{,}02(C_n+5000)=1{,}02W_n.$$ Puisque $W_0=6000$, on obtient $W_n=6000(1{,}02)^n$, d’où $$\boxed{C_n=6000(1{,}02)^n-5000}.$$

Vérification par récurrence de la formule trouvée

Au rang $0$, le membre droit vaut $1000=C_0$. Si la formule est vraie au rang $n$, alors $$C_{n+1}=1{,}02\bigl(6000(1{,}02)^n-5000\bigr)+100 =6000(1{,}02)^{n+1}-5000.$$ L’hérédité est établie, donc la formule est valable à tout rang $n\ge0$.

Séparer versements et intérêts

Après $n$ périodes, les apports personnels sont $1000+100n$. Les intérêts cumulés sont donc $C_n-(1000+100n)$. Au rang $2$, le solde est $1242{,}40$, les apports sont $1200$ et les intérêts sont $42{,}40$.

Formule pour un modèle affine

Si $C_{n+1}=qC_n+d$, avec $C_0$ donné et $q\ne1$, alors $$C_n=C_0q^n+d\frac{q^n-1}{q-1}\quad(n\ge1).$$ On peut développer la récurrence : $C_n=C_0q^n+d(1+q+\cdots+q^{n-1})$, puis utiliser la somme géométrique. Le rang $0$ se traite avec la donnée initiale. Pour $q=1$, on retrouve $C_n=C_0+nd$.

Ce résultat peut être vérifié par récurrence, même si $d$ est négatif. Mais l’interprétation économique peut imposer un arrêt du modèle, par exemple lorsqu’une dette est entièrement remboursée.

Justifier les propriétés d’un modèle récurrent

Une borne conservée d’un rang au suivant

Un modèle de stock est donné par $u_0=1000$ et $u_{n+1}=0{,}9u_n+300$. À chaque période, $90\,\%$ du stock précédent reste disponible, puis $300$ unités sont ajoutées.

Montrons par récurrence que $1000\le u_n<3000$. Au rang $0$, c’est vrai. Si $1000\le u_n<3000$, alors $$1200\le0{,}9u_n+300<3000,$$ donc $1000\le u_{n+1}<3000$. La propriété est héréditaire et vaut à tout rang.

Utiliser la borne pour étudier les variations

$$u_{n+1}-u_n=300-0{,}1u_n=0{,}1(3000-u_n)>0.$$ La suite est strictement croissante, tout en restant strictement inférieure à $3000$. L’inégalité démontrée est ce qui permet de fixer le signe de la différence.

Trouver une expression explicite

Posons $v_n=3000-u_n$. On obtient $$v_{n+1}=3000-(0{,}9u_n+300)=0{,}9(3000-u_n)=0{,}9v_n.$$ Avec $v_0=2000$, il vient $v_n=2000(0{,}9)^n$ et $$u_n=3000-2000(0{,}9)^n.$$ Cette formule permet de retrouver les bornes et les variations : pour $n\ge0$, $0<(0{,}9)^n\le1$ et $u_{n+1}-u_n=200(0{,}9)^n>0$.

Rang $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Stock $u_n$	$1000$	$1200$	$1380$	$1542$	$1687{,}8$

Méthode pour un problème appliqué

Définir le rang, l’unité et l’instant d’observation ; traduire les opérations dans leur ordre ; calculer quelques termes de contrôle ; justifier la formule et les propriétés utiles ; interpréter le résultat en tenant compte des contraintes du modèle.

Dans les exercices financiers suivants, les calculs sont effectués sans arrondi intermédiaire, puis arrondis au centime si nécessaire. Une convention d’arrondi à chaque période peut donner des montants légèrement différents.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Les indices dans une formule explicite

Pour $u_n=150+25n$, $n\ge0$, calculer $u_0,u_5,u_{n+1},u_{2n}$ et comparer $u_{2n}$ avec $2u_n$.

Solution. On remplace le rang par l’indice demandé : $$u_0=150,\quad u_5=275,\quad u_{n+1}=175+25n,\quad u_{2n}=150+50n.$$ En revanche, $2u_n=300+50n$. Ainsi $u_{2n}=2u_n-150$ ; doubler l’indice ne double pas le terme.

Exercice 2 - Variation et encadrement d’un coût

Pour $n\ge0$, soit $u_n=(500n+1200)/(n+2)$. Montrer que la suite décroît strictement et donner deux bornes.

Solution. La division donne $u_n=500+200/(n+2)$. Les dénominateurs sont positifs, donc $$u_{n+1}-u_n=\frac{-200}{(n+2)(n+3)}<0.$$ La suite décroît strictement. Comme $0<200/(n+2)\le100$, on a $500<u_n\le600$. Le maximum est $u_0=600$ ; le nombre $500$ est une borne inférieure et n’est pas une valeur de la suite.

Exercice 3 - Reconstituer une suite arithmétique

Une suite arithmétique indexée à partir de $1$ vérifie $u_3=180$ et $u_{10}=390$. Déterminer sa raison, son terme général et la somme des douze premiers termes.

Solution. Entre les rangs $3$ et $10$, il y a sept accroissements : $7r=390-180=210$, donc $r=30$. Puis $u_1=u_3-2r=120$ et $$u_n=120+30(n-1)=90+30n.$$ Comme $u_{12}=450$, la somme cherchée est $$S_{12}=\frac{12(120+450)}2=3420.$$ Le nombre d’accroissements entre deux rangs et le nombre de termes d’une somme ne se comptent pas de la même manière.

Exercice 4 - Intérêts simples ou composés

Un capital initial de $8000$ est placé pendant trois périodes au taux de $5\,\%$ par période. Comparer les capitaux obtenus avec des intérêts simples et avec des intérêts composés, sans versement supplémentaire.

Solution. Les intérêts simples de chaque période valent $8000\times0{,}05=400$. Le capital est donc $8000+3\times400=9200$.

Avec capitalisation, chaque solde est multiplié par $1{,}05$, donc $$C_3=8000(1{,}05)^3=9261.$$ Les intérêts cumulés sont respectivement $1200$ et $1261$. La différence est $61$ ; elle vient des intérêts produits par les intérêts déjà acquis.

Exercice 5 - Reconstituer une suite géométrique

Une suite géométrique réelle vérifie $v_1=600$ et $v_4=75$. Déterminer sa raison, son terme général et la somme $v_1+\cdots+v_8$.

Solution. $v_4=v_1q^3$ donne $q^3=75/600=1/8$, donc l’unique raison réelle est $q=1/2$. Ainsi $$v_n=600\left(\frac12\right)^{n-1},\qquad S_8=600\frac{1-(1/2)^8}{1-1/2}=\frac{38250}{32}=1195{,}3125.$$ Les huit termes correspondent aux exposants $0$ à $7$ ; le numérateur de la formule de somme contient la puissance $8$.

Exercice 6 - Une baisse régulière de consommation

Une consommation vaut $400$ unités pendant la période $0$, puis diminue de $10\,\%$ à chaque période. Calculer la consommation totale des six périodes de rangs $0$ à $5$.

Solution. Le coefficient multiplicateur est $0{,}9$ : $w_n=400(0{,}9)^n$. Ce sont des consommations distinctes, que l’on peut additionner. On obtient $$\sum_{n=0}^{5}w_n=400\frac{1-(0{,}9)^6}{1-0{,}9}=1874{,}236.$$ Vérification par les six termes : $400+360+324+291{,}6+262{,}44+236{,}196=1874{,}236$.

Exercice 7 - Une formule démontrée par récurrence

Soit $w_0=300$ et $w_{n+1}=2w_n+50$. Démontrer que $w_n=350\cdot2^n-50$, puis calculer $w_5$.

Solution. Au rang $0$, $350\cdot2^0-50=300=w_0$ : la propriété est initialisée.

Supposons la formule vraie pour un entier $n\ge0$. Alors $$w_{n+1}=2(350\cdot2^n-50)+50=350\cdot2^{n+1}-50.$$ La propriété est héréditaire, donc vraie à tout rang. On en déduit $w_5=350\times32-50=11150$. La suite auxiliaire $w_n+50$ est géométrique de raison $2$, ce qui explique le choix de la formule.

Exercice 8 - Une raison négative

La suite géométrique $(z_n)$ vérifie $z_0=-12$ et $q=-1/2$. Étudier ses variations, donner un encadrement et calculer $z_0+\cdots+z_5$.

Solution. Les premiers termes sont $-12,6,-3,1{,}5$. Il y a une hausse puis une baisse : la suite n’est pas monotone. La formule est $z_n=-12(-1/2)^n$.

Aux rangs pairs, $z_{2k}=-12/4^k$ appartient à $[-12;0[$. Aux rangs impairs, $z_{2k+1}=6/4^k$ appartient à $]0;6]$. Donc $-12\le z_n\le6$ pour tout $n\ge0$. $$\sum_{n=0}^{5}z_n=-12\frac{1-(-1/2)^6}{1+1/2} =-12\frac{63/64}{3/2}=-\frac{63}{8}.$$ La formule de somme s’applique aussi à une raison négative ; les règles de croissance énoncées pour des termes positifs ne s’y appliquent pas directement.

Exercice 9 - Quatre versements en fin de période

Un compte initialement vide reçoit $200$ à la fin de chaque période, après application d’un intérêt de $3\,\%$ au solde existant. Calculer le capital après quatre périodes et les intérêts cumulés.

Solution. $C_0=0$ et $C_{n+1}=1{,}03C_n+200$. Les quatre versements produisent respectivement trois, deux, un et zéro période d’intérêt jusqu’au rang $4$ : $$C_4=200\bigl((1{,}03)^3+(1{,}03)^2+1{,}03+1\bigr) =200\frac{(1{,}03)^4-1}{0{,}03}=836{,}7254.$$ Les apports sont $4\times200=800$. Le solde arrondi est $836{,}73$ et les intérêts arrondis sont $36{,}73$. Le dernier versement ne produit pas encore d’intérêt à cet instant.

Exercice 10 - Une dette et le dernier remboursement

Une dette initiale de $2000$ produit un intérêt de $1\,\%$ par période. Un remboursement de $300$ est prévu à la fin de chaque période tant que la somme due le permet. On s’arrête dès que la dette est soldée. Déterminer le nombre de paiements de $300$ et le dernier paiement ajusté.

Solution. Tant qu’un paiement complet a lieu, le solde vérifie $B_{n+1}=1{,}01B_n-300$. La formule algébrique associée est $$B_n=2000(1{,}01)^n-300\frac{(1{,}01)^n-1}{0{,}01} =30000-28000(1{,}01)^n.$$ Cette formule décrit les soldes après des paiements complets. Elle donne :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$B_n$ arrondi	$2000$	$1720$	$1437{,}20$	$1151{,}57$	$863{,}09$	$571{,}72$	$277{,}44$

La formule décroît avec $n$, puisque $(1{,}01)^n$ croît. Les soldes jusqu’au rang $6$ restent positifs : six paiements complets sont possibles. Après ces six paiements, $$B_6=277{,}435783172.$$ À la fin de la période suivante, avant remboursement, la somme due est $$1{,}01B_6=280{,}21014100372<300.$$ Le septième paiement est donc ajusté à environ $280{,}21$ ; il solde la dette. On ne prélève pas un septième paiement complet de $300$.

Ne pas prolonger le modèle au-delà de son sens

Le calcul formel donnerait $B_7=-19{,}78985899628$ après un paiement de $300$. Ce nombre négatif ne représente pas une dette restante : il indique que le paiement prévu dépasse la somme due. Le modèle réel s’arrête à zéro avec un paiement ajusté.

Repères de méthode à conserver

• Une différence constante caractérise une suite arithmétique ; une relation multiplicative constante caractérise une suite géométrique.

• Le premier indice détermine l’exposant et le nombre de termes d’une somme.

• Une preuve par récurrence exige une initialisation et une hérédité.

• Dans une application, distinguer stock, flux, capital, apports et intérêts ; respecter les dates des opérations et les contraintes d’arrêt.