Suites numériques et limites - Cours et exercices corrigés | 2e Bac lettres et sciences humaines

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Passer d’une règle de récurrence à une expression explicite, représenter les termes d’une suite et calculer des limites simples. Interpréter les résultats dans des situations discrètes. Ce chapitre concerne également la filière Langue arabe de l’enseignement originel.

Des termes, des rangs et deux modèles usuels

Une suite $(u_n)$ associe un nombre à chaque rang entier de son ensemble de définition. Une formule explicite donne directement $u_n$; une récurrence donne le terme suivant à partir d’un terme connu. La donnée du premier terme est alors indispensable.

Un rang n’est pas une durée continue

Si $u_0=7$ et $u_{n+1}=2u_n-1$, alors $u_1=13$, $u_2=25$ et $u_3=49$. Pour calculer $u_3$, on applique trois fois la règle. Les points représentant la suite ont pour abscisses $0,1,2,3,\ldots$; on ne relie pas automatiquement ces points.

Suite arithmétique

La différence $u_{n+1}-u_n$ est une constante $r$, appelée raison. Pour $n\geq p$, $$\boxed{u_n=u_p+(n-p)r},\qquad u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}.$$ Il y a $n-p+1$ termes dans cette somme. La suite est croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$, constante si $r=0$.

Suite géométrique

La relation est $u_{n+1}=qu_n$, où $q$ est constant. Si $q\ne0$, $$\boxed{u_n=u_pq^{n-p}}.$$ Si $q=0$, le terme au rang $p$ reste $u_p$, puis tous les termes suivants sont nuls : on traite ce cas directement. Pour une somme de $m\geq1$ termes de premier terme $v$, $$\boxed{v+vq+\cdots+vq^{m-1}=v\frac{1-q^m}{1-q}}\quad(q\ne1).$$ Si $q=1$, la somme vaut $mv$. Lorsque $q<0$, les signes peuvent alterner : la suite n’est pas automatiquement monotone.

Une évolution à pourcentage constant

Une quantité initiale de $500$ diminue de $10\%$ à chaque étape. Elle est multipliée par $0{,}9$, donc $u_n=500(0{,}9)^n$. Retrancher $50$ à chaque étape produirait une autre suite, arithmétique.

Étudier une récurrence affine

On considère $u_{n+1}=au_n+b$, avec $a,b$ constants. Si $a\ne1$, cherchons le nombre fixe $\ell$ satisfaisant $\ell=a\ell+b$. Il vaut $\ell=b/(1-a)$. En soustrayant les deux relations, $$u_{n+1}-\ell=a(u_n-\ell).$$ La suite $v_n=u_n-\ell$ est donc géométrique. Pour $a\ne0,1$,

Expression explicite

$$u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n,\qquad \ell=\frac{b}{1-a}.$$ Pour $a=0$, on a directement $u_n=b$ dès $n\geq1$. Pour $a=1$, la suite est arithmétique : $u_n=u_0+nb$.

Une fréquentation qui se rapproche d’un équilibre

Un modèle de fréquentation hebdomadaire donne $u_0=40$ et $u_{n+1}=0{,}75u_n+20$. Le nombre fixe vaut $80$. Ainsi $u_n-80=-40(0{,}75)^n$, donc $$\boxed{u_n=80-40(0{,}75)^n}.$$ Les premiers termes sont $40$, $50$, $57{,}5$, $63{,}125$. Il s’agit de valeurs moyennes dans le modèle : elles peuvent ne pas être entières. Pour tout $n$, $u_n<80$ et $$u_{n+1}-u_n=10(0{,}75)^n>0.$$

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La droite pointillée indique l’équilibre $80$. Les points représentent les termes effectivement définis. On peut aussi construire les termes avec les droites $y=0{,}75x+20$ et $y=x$ : monter jusqu’à la première droite, puis reporter horizontalement sur la seconde. Le calcul exact reste nécessaire pour justifier une propriété.

Limites de référence et calculs

Dire que $u_n$ tend vers un réel $L$ signifie que ses termes finissent par rester aussi proches de $L$ que souhaité. Dire que $u_n$ tend vers $+\infty$ signifie qu’ils dépassent finalement toute borne fixée. Cette lecture intuitive accompagne ici les règles admises, sans définition théorique supplémentaire.

Suites de référence

Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $$n,\ n^2,\ n^3,\ \sqrt n,\ n^p\longrightarrow+\infty\quad(p\in\mathbb{N},\ p\geq1),$$ $$\frac1n,\ \frac1{n^2},\ \frac1{n^3},\ \frac1{\sqrt n},\ \frac1{n^p}\longrightarrow0.$$ Ces inverses sont utilisés pour $n\geq1$. Une suite constante égale à $c$ a pour limite $c$.

Opérations et précautions

Si $u_n\to L$ et $v_n\to M$ avec $L,M$ réels, alors $$u_n+v_n\to L+M,\qquad u_nv_n\to LM.$$ Si $M\ne0$, alors $u_n/v_n\to L/M$, le quotient étant défini pour les rangs considérés. Les règles avec des limites infinies s’utilisent en conservant les signes. Les écritures $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\infty/\infty$ et $0/0$ ne donnent pas de résultat : il faut transformer l’expression.

Comparer les degrés

Pour $n\geq1$, $$\frac{3n^2+2n-1}{n^2+4}=\frac{3+2/n-1/n^2}{1+4/n^2}\longrightarrow3.$$ On divise par la plus grande puissance utile, et non pas par un symbole infini. De même $-2n^2+5n=n^2(-2+5/n)\to-\infty$.

Une différence de racines

Pour $n\geq1$, $$\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\longrightarrow0.$$ La multiplication par la quantité conjuguée révèle un quotient. Le fait que les deux racines tendent vers $+\infty$ ne suffisait pas à conclure.

Une limite décrit les rangs lointains

Modifier un nombre fini de premiers termes ne change pas la limite. En revanche, une suite peut alterner indéfiniment : une impression tirée de trois termes ne décide pas de sa convergence.

Puissances géométriques et suites affines

La raison commande le comportement

Pour une raison réelle $q$, les puissances $q^n$ ont les comportements suivants :

Condition	Comportement de $q^n$
$q>1$	tend vers $+\infty$
$q=1$	vaut $1$
$-1<q<1$	tend vers $0$
$q=-1$	alterne entre $1$ et $-1$, sans limite
$q<-1$	valeurs absolues non bornées et signes alternés, sans limite

Pour $q=0$, on considère les puissances aux rangs $n\geq1$; la suite géométrique elle-même est définie au rang initial par son terme donné. Pour $q<-1$, il ne faut pas écrire une limite $+\infty$ : les rangs impairs donnent des valeurs négatives.

En déduire une limite affine

Pour $a\ne0,1$, on utilise $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$.

• Si $|a|<1$, alors $u_n\to\ell$, même lorsque les termes oscillent autour de $\ell$.

• Si $a>1$, le signe de $u_0-\ell$ décide entre $+\infty$, $-\infty$ ou la suite constante $\ell$.

• Si $a=-1$ et $u_0\ne\ell$, la suite alterne entre deux valeurs distinctes. Si $a<-1$ et $u_0\ne\ell$, les écarts à $\ell$ alternent avec une amplitude croissante.

Le cas $a=0$ est constant dès le rang $1$. Pour $a=1$, on étudie $u_0+nb$ selon le signe de $b$.

Converger sans être monotone

Si $w_n=5+3(-0{,}4)^n$, alors $w_n\to5$. Les rangs pairs donnent des valeurs supérieures à $5$ et les rangs impairs des valeurs inférieures. La convergence ne signifie donc pas que tous les termes arrivent du même côté.

Le point fixe ne prouve pas la convergence

Si une suite affine possède une limite finie $L$, la relation de récurrence impose $L=aL+b$. Cette équation donne seulement une limite possible. Pour $u_{n+1}=2u_n-3$ avec $u_0=4$, le point fixe est $3$, mais $u_n=3+2^n\to+\infty$.

Pour vérifier une réponse, confronter la formule explicite au terme initial et à la récurrence. Ces deux contrôles détectent souvent une erreur de signe ou de rang.

Exercices corrigés - Modèles et formules

Exercice 1 - Une progression régulière

Une bibliothèque reçoit $120$ inscriptions durant la semaine de rang $0$, puis $15$ de plus chaque semaine. Déterminer les inscriptions de la semaine $8$ et le total des semaines $0$ à $8$. Solution. La suite est arithmétique de raison $15$ : $$u_n=120+15n,\qquad \boxed{u_8=240}.$$ Les semaines de $0$ à $8$ sont au nombre de $9$, donc $$S=9\frac{120+240}{2}=\boxed{1620}.$$ Le total n’est pas $8u_8$ : les effectifs changent, et le rang initial compte.

Exercice 2 - Une raison négative

Soit $u_0=16$ et $u_{n+1}=-\tfrac12u_n$. Donner $u_3$, la somme $u_0+\cdots+u_4$ et la limite. Solution. La formule est $u_n=16(-1/2)^n$, d’où $u_3=-2$. La somme a cinq termes : $$S=16\frac{1-(-1/2)^5}{1+1/2}=\boxed{11}.$$ On peut vérifier $16-8+4-2+1=11$. Puisque $|-1/2|<1$, $u_n\to0$. L’alternance de signe n’empêche pas cette limite.

Exercice 3 - Transformer une récurrence

On donne $u_0=10$ et $u_{n+1}=\tfrac23u_n+4$. Déterminer $u_n$, son sens de variation et sa limite. Solution. Le point fixe est $12$. Avec $v_n=u_n-12$, $$v_{n+1}=\tfrac23v_n,\qquad v_0=-2.$$ Donc $$\boxed{u_n=12-2(2/3)^n}.$$ On obtient $u_{n+1}-u_n=\tfrac23(2/3)^n>0$. La suite croît et reste strictement inférieure à $12$. Enfin $(2/3)^n\to0$, donc $u_n\to12$. Cette conclusion provient ici de la formule explicite.

Exercices corrigés - Seuils et limites

Exercice 4 - Atteindre la moitié d’un écart

Un modèle donne $u_n=100-80(0{,}8)^n$. Trouver le premier rang où $u_n\geq60$. Solution. La condition équivaut à $$80(0{,}8)^n\leq40\quad\Longleftrightarrow\quad(0{,}8)^n\leq0{,}5.$$ La suite $(0{,}8)^n$ décroît strictement. Or $(0{,}8)^3=0{,}512>0{,}5$ et $(0{,}8)^4=0{,}4096<0{,}5$. Le premier rang est donc $\boxed{n=4}$. Le contrôle des deux rangs voisins établit qu’il s’agit du premier.

Exercice 5 - Quotient de polynômes

Pour $n\geq1$, soit $u_n=(4n^2-3)/(2n^2+n)$. Calculer sa limite et dire de quel côté de celle-ci se situent les termes. Solution. En divisant par $n^2$, $$u_n=\frac{4-3/n^2}{2+1/n}\longrightarrow\boxed{2}.$$ De plus, $$u_n-2=\frac{-2n-3}{2n^2+n}<0.$$ Tous les termes sont inférieurs à $2$. Cette information de position ne suffit pas à elle seule à établir une monotonie, qui n’est pas demandée.

Exercice 6 - Une différence indéterminée

Calculer la limite de $u_n=\sqrt{n^2+4n}-n$, pour $n\geq1$. Solution. Les deux termes tendent vers $+\infty$, donc on rationalise : $$u_n=\frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n} =\frac4{\sqrt{1+4/n}+1}\longrightarrow\boxed{2}.$$ Dans le passage au quotient réduit, $n>0$ permet d’écrire $\sqrt{n^2}=n$. Remplacer la racine par $n$ avant de soustraire aurait perdu le terme qui détermine la limite.

Exercices corrigés - Oscillation et équilibre

Exercice 7 - Des termes de part et d’autre

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=-\tfrac12u_n+9$. Déterminer une formule explicite, la limite et la position des termes par rapport à cette limite. Solution. Le point fixe vérifie $\ell=-\ell/2+9$, donc $\ell=6$. Alors $$u_{n+1}-6=-\tfrac12(u_n-6),\qquad \boxed{u_n=6-6(-1/2)^n}.$$ Puisque $(-1/2)^n\to0$, la limite est $6$. Pour un rang pair $n=2k$, $u_{2k}=6-6/4^k<6$. Pour un rang impair $n=2k+1$, $u_{2k+1}=6+3/4^k>6$.

Les premiers termes $0$, $9$, $4{,}5$, $6{,}75$ montrent l’alternance. Les termes de rang pair augmentent vers $6$, ceux de rang impair diminuent vers $6$, mais la suite entière n’est pas monotone.

Exercice 8 - Même règle, comportements différents

On considère $u_{n+1}=2u_n-3$. Étudier la limite selon que $u_0=4$, $u_0=3$ ou $u_0=2$. Solution. Le point fixe est $3$, et $$u_n=3+(u_0-3)2^n.$$

• Pour $u_0=4$, $u_n=3+2^n\to+\infty$.

• Pour $u_0=3$, tous les termes valent $3$ : la limite est $3$.

• Pour $u_0=2$, $u_n=3-2^n\to-\infty$.

Ainsi, résoudre seulement $L=2L-3$ ne permet pas de conclure que toute suite de cette famille converge vers $3$. L’écart initial est amplifié par $2^n$.

Une démarche complète

Identifier le rang initial et la règle; chercher une suite arithmétique ou géométrique; contrôler la formule obtenue; utiliser les limites de référence; enfin interpréter le résultat dans la situation donnée. Pour une récurrence affine, traiter séparément les coefficients particuliers avant de diviser par $1-a$.