Suites numériques - Cours et exercices corrigés | 1re Bac scientifique

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Distinguer forme explicite et récurrence, étudier des variations et des bornes, utiliser le raisonnement par récurrence, reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et calculer des sommes. Ce chapitre de première année ne suppose ni théorie des limites de suites ni théorème de convergence.

Du rang au terme

Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers à partir d’un rang initial, à valeurs réelles. Le terme de rang $n$ se note $u_n$ ; la suite entière se note $(u_n)$. On prend $\mathbb{N}=\{0;1;2;\ldots\}$, mais une suite peut commencer au rang $1$ ou à un autre rang indiqué.

Une expression explicite

Lorsque $u_n$ est donné directement en fonction de $n$, on peut calculer un terme sans connaître les précédents. Par exemple, $$u_n=\frac{2n+3}{n+1},\quad n\ge0, \qquad u_0=3,\quad u_1=\frac52,\quad u_2=\frac73.$$ Ici le dénominateur est non nul pour tous les rangs autorisés. Le terme $u_{n+1}$ s’obtient en remplaçant chaque $n$ par $n+1$ : $$u_{n+1}=\frac{2(n+1)+3}{(n+1)+1}=\frac{2n+5}{n+2}.$$

Une relation de récurrence

Une suite peut être donnée par un premier terme et une règle reliant un terme au suivant. Pour $v_0=1$ et $v_{n+1}=2v_n+3$, on calcule successivement $v_1=5$, $v_2=13$, $v_3=29$. La seule règle $v_{n+1}=2v_n+3$ ne fixe pas la suite : changer $v_0$ change les termes.

Indices et calculs : quatre objets distincts

$u_{n+1}$ est le terme suivant ; $u_n+1$ est le terme actuel augmenté de $1$ ; $u_{2n}$ est le terme de rang double ; $2u_n$ est le double du terme actuel. En général, ces quatre nombres sont différents.

Exemple - Lire une suite dans une situation

Une rangée de sièges contient $12$ places ; chaque nouvelle rangée en contient $2$ de plus. Si la première porte le rang $1$, alors $u_1=12$ et $u_{n+1}=u_n+2$. Si elle porte le rang $0$, le terme initial est $u_0=12$. Les deux conventions décrivent la même situation mais donnent des formules d’indices différentes.

Une représentation discrète

On place les points $(n;u_n)$ dans un repère. Les rangs sont entiers : le dessin ne comprend pas automatiquement les valeurs entre deux rangs. Les premiers points peuvent suggérer une propriété ; ils ne démontrent pas qu’elle est vraie pour tous les rangs.

Étudier les variations et les bornes

Comparer deux termes consécutifs

Définitions

La suite est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tous les rangs, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$. Elle est strictement monotone quand les inégalités sont strictes. Une suite constante satisfait les deux inégalités larges.

La méthode générale est l’étude du signe de $u_{n+1}-u_n$. Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer $u_{n+1}/u_n$ à $1$. Sans cette positivité, la règle du quotient peut donner une conclusion fausse.

Exemple - Factoriser une différence

Pour $u_n=n^2-3n$, $n\ge0$, $$u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-3(n+1)-(n^2-3n)=2n-2.$$ La différence est négative au rang $0$, nulle au rang $1$, positive pour $n\ge2$. Ainsi $u_0=0$, $u_1=u_2=-2$, puis les termes augmentent strictement à partir de $u_2$. La suite n’est pas monotone sur tous les rangs.

Majorer, minorer et borner

La suite est majorée s’il existe un réel $M$ avec $u_n\le M$ pour tous les rangs. Elle est minorée s’il existe $m$ avec $m\le u_n$. Elle est bornée lorsque les deux conditions sont satisfaites. Les constantes $m$ et $M$ ne doivent pas dépendre de $n$.

Exemple - Une borne non atteinte

Pour $v_n=2+1/(n+1)$, $n\ge0$, $0<1/(n+1)\le1$, donc $$2<v_n\le3.$$ Le majorant $3$ est atteint au rang $0$ ; le minorant $2$ n’est jamais atteint. De plus, $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+2}-\frac1{n+1} =-\frac1{(n+1)(n+2)}<0.$$ La suite est strictement décroissante, tout en restant positive.

Une propriété ne remplace pas une autre

La suite $w_n=(-1)^n$ est bornée par $-1$ et $1$, mais n’est pas monotone. La suite $z_n=n$ est croissante mais n’est pas majorée : pour toute borne proposée $M$, un entier $n>M$ la dépasse. Une suite peut être positive sans être croissante ; les variations comparent les termes entre eux, le signe les compare à $0$.

Le tableau de premiers termes sert au contrôle

Une valeur numérique calculée avec erreur peut fausser une conjecture. Pour une propriété sur tous les rangs, rechercher une identité, une inégalité générale ou une preuve par récurrence.

Suites arithmétiques

Une différence constante

Une suite est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1}-u_n=r$ pour tout $n$. La raison est une constante indépendante du rang. En ajoutant $r$ à chaque étape, on obtient, pour $n\ge p$, $$\boxed{u_n=u_p+(n-p)r.}$$ En particulier, si le premier terme est $u_0$, $u_n=u_0+nr$ ; s’il est $u_1$, $u_n=u_1+(n-1)r$.

Justification par récurrence

La formule est vraie pour $n=p$. Si elle est vraie au rang $n$, alors $u_{n+1}=u_n+r=u_p+(n-p)r+r=u_p+(n+1-p)r$. Elle est donc vraie pour tous les rangs à partir de $p$.

Variations et reconnaissance

Si $r>0$, la suite est strictement croissante ; si $r<0$, strictement décroissante ; si $r=0$, constante. Pour reconnaître une suite arithmétique, on calcule la différence à un rang quelconque. Deux premières différences égales ne suffisent pas pour une suite dont la définition générale est inconnue.

Exemple - Reconnaître ou rejeter

$u_n=5-3n$ est arithmétique car $u_{n+1}-u_n=-3$. En revanche, pour $v_n=n^2$, la différence $2n+1$ dépend de $n$ : la suite n’est pas arithmétique.

Somme de termes consécutifs

Nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes

Pour $n\ge p$, il y a $N=n-p+1$ termes entre $u_p$ et $u_n$, bornes comprises. Leur somme vaut $$u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=N\frac{u_p+u_n}{2}.$$ La formule fonctionne aussi pour une raison négative ou nulle.

Preuve. Écrivons la somme $S$ dans l’ordre croissant des indices puis dans l’ordre inverse. Chaque paire verticale a la même somme $u_p+u_n$. Les $N$ paires donnent $2S=N(u_p+u_n)$.

Exemple - Somme de nombres impairs

Les $n$ premiers entiers impairs sont $1,3,\ldots,2n-1$. Ils forment une suite arithmétique de raison $2$, donc $$1+3+\cdots+(2n-1)=n\frac{1+(2n-1)}2=n^2.$$

Application - Les rangées de sièges

Dans une salle, la première rangée a $12$ places et chaque suivante $2$ de plus. La vingtième a $12+19\times2=50$ places. Les vingt rangées contiennent $20(12+50)/2=620$ places. Le calcul tient compte du nombre réel de rangées, et non de la seule différence $20-1$.

Suites géométriques

Un facteur multiplicatif constant

Une suite est géométrique de raison $q$ si $v_{n+1}=qv_n$ pour tous les rangs. Lorsque $q\ne0$, pour $n\ge p$, $$\boxed{v_n=v_pq^{n-p}.}$$ Si $q=0$, tous les termes strictement après le rang $p$ sont nuls ; on conserve séparément le terme $v_p$. Cette distinction évite de faire intervenir $0^0$.

Exemple - Un pourcentage répété

Une population de bactéries augmente de $20\,\%$ à chaque étape du modèle. Alors $v_{n+1}=v_n+0{,}2v_n=1{,}2v_n$. La raison est $1{,}2$, et non $0{,}2$. Si $v_0=1000$, le modèle donne $v_n=1000(1{,}2)^n$.

Signe et variations

La différence $v_{n+1}-v_n=(q-1)v_n$ permet d’étudier les variations. Pour $v_0>0$ et $q>0$, les termes sont positifs : la suite est strictement croissante si $q>1$, décroissante si $0<q<1$, constante si $q=1$. Pour $v_0<0$, les sens s’inversent. Si $v_0=0$, la suite est nulle.

Si $q<0$ et $v_0\ne0$, les signes alternent. La suite n’est pas monotone sur tous les rangs. Par exemple $v_n=4(-1/2)^n$ commence par $4,-2,1,-1/2$ : une raison plus petite que $1$ ne suffit pas à conclure à la décroissance.

Somme géométrique

Garder le nombre de termes dans l’exposant

Pour une suite géométrique et $N=n-p+1$ termes, $$v_p+\cdots+v_n=v_p\frac{1-q^N}{1-q}\quad(q\ne1).$$ Si $q=1$, la somme vaut $Nv_p$. Pour $q=0$, $N\ge1$ et la même formule donne bien $v_p$.

Preuve. Posons $S=v_p+v_pq+\cdots+v_pq^{N-1}$. La soustraction $S-qS$ annule les termes intermédiaires et donne $(1-q)S=v_p-v_pq^N$. On peut diviser par $1-q$ seulement si $q\ne1$.

Exemple - Six termes, pas cinq

La somme $3+6+12+24+48+96$ contient six termes, de premier terme $3$ et de raison $2$. Elle vaut $$3\frac{1-2^6}{1-2}=3(64-1)=189.$$ Le dernier exposant dans la somme est $5$, mais celui de la formule est $6$, car il représente le nombre de termes.

Récurrence et étude d’un modèle simple

Trois étapes pour tous les rangs

Pour établir une propriété $P(n)$ pour $n\ge n_0$, on vérifie d’abord $P(n_0)$, puis on suppose $P(n)$ vraie à un rang quelconque et on démontre $P(n+1)$. On conclut enfin par récurrence. L’hypothèse temporaire ne remplace pas l’initialisation.

Une suite définie sur tous les rangs

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=(u_n+3)/2$. Montrons $1\le u_n<3$.

Initialisation. $u_0=1$ satisfait les deux inégalités. Hérédité. Si $1\le u_n<3$, alors $4\le u_n+3<6$, donc $2\le u_{n+1}<3$, ce qui implique bien $1\le u_{n+1}<3$. Par récurrence, tous les termes restent dans $[1;3[$.

La différence est $u_{n+1}-u_n=(3-u_n)/2>0$. La suite est donc strictement croissante et bornée. Ces propriétés ne nécessitent pas de connaître une formule explicite.

Trouver puis prouver une formule

Le nombre $3$ vérifie $3=(3+3)/2$. Posons $w_n=3-u_n$. Alors $$w_{n+1}=3-\frac{u_n+3}2=\frac{3-u_n}2=\frac12w_n.$$ La suite $(w_n)$ est géométrique, de premier terme $w_0=2$. Ainsi $$w_n=2\left(\frac12\right)^n, \qquad u_n=3-2\left(\frac12\right)^n.$$ On retrouve $u_0=1$, $u_1=2$, $u_2=5/2$. Les termes restent strictement inférieurs à $3$, puisque la quantité soustraite est strictement positive à chaque rang.

Une situation à apport constant

Un récipient contient initialement $20$ litres. À chaque étape, on en conserve $80\,\%$, puis on ajoute $10$ litres : $u_{n+1}=0{,}8u_n+10$. Cette suite n’est pas arithmétique, car $u_{n+1}-u_n=10-0{,}2u_n$ varie avec le volume. Elle n’est pas géométrique non plus, car un apport fixe s’ajoute à la multiplication.

Le nombre $50$ vérifie $50=0{,}8\times50+10$. Soustraire ce nombre donne $$u_{n+1}-50=0{,}8(u_n-50).$$ L’écart à $50$ suit donc une règle géométrique. Cette observation fournit une méthode de calcul dans ce modèle précis, sans prétendre transformer ainsi toutes les récurrences.

Ce chapitre ne conclut pas par un théorème de convergence

Les formules, variations et bornes obtenues sont des résultats complets de première année. La notion de limite d’une suite et les théorèmes de convergence seront étudiés dans le chapitre de deuxième année ; un dessin qui semble se stabiliser ne remplace pas ces théorèmes.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Forme explicite, variations et bornes

Pour $n\ge0$, $u_n=(3n+2)/(n+1)$. Calculer $u_0,u_1,u_2$, puis montrer que la suite est strictement croissante et bornée. Solution. On obtient $u_0=2$, $u_1=5/2$, $u_2=8/3$. Pour tous les rangs, $u_n=3-1/(n+1)$, donc $2\le u_n<3$. $$u_{n+1}-u_n=\frac1{n+1}-\frac1{n+2} =\frac1{(n+1)(n+2)}>0.$$ La suite est strictement croissante, minorée par $2$ et majorée par $3$. La borne $2$ est atteinte ; $3$ ne l’est pas.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les points représentent les rangs entiers $0$ à $8$ ; aucune ligne ne les relie.

Exercice 2 - Deux termes d’une suite arithmétique

Une suite arithmétique, définie pour $n\ge1$, vérifie $u_3=10$ et $u_9=28$. Déterminer $r$, $u_n$ et la somme des vingt premiers termes. Solution. $u_9-u_3=(9-3)r$, donc $r=18/6=3$. Puis $u_1=10-2\times3=4$ et $u_n=4+3(n-1)=3n+1$. Le vingtième terme vaut $61$ ; la somme de $u_1$ à $u_{20}$ contient vingt termes : $$S=20\frac{4+61}2=650.$$

Exercice 3 - Retrouver une raison géométrique

Une suite géométrique vérifie $v_1=3$ et $v_4=24$. Déterminer sa raison, son terme général et la somme de $v_1$ à $v_8$. Solution. $v_4=v_1q^3$ donne $24=3q^3$, donc $q^3=8$ et $q=2$. Ainsi $v_n=3\cdot2^{n-1}$ pour $n\ge1$. Il y a huit termes dans la somme demandée, d’où $$S=3\frac{1-2^8}{1-2}=3(256-1)=765.$$ La suite est strictement croissante car son premier terme est positif et sa raison vaut $2>1$.

Exercice 4 - Une raison négative et une somme

Pour $v_n=4(-1/2)^n$, calculer $v_0,v_1,v_2$, dire si la suite est monotone et calculer $v_0+\cdots+v_6$. Solution. Les termes sont $4,-2,1$ : la suite décroît puis croît, donc elle n’est ni croissante ni décroissante sur tous les rangs. Les sept termes ont pour somme $$S=4\frac{1-(-1/2)^7}{1+1/2} =\frac83\left(1+\frac1{128}\right)=\frac{43}{16}.$$ La puissance est impaire : $(-1/2)^7=-1/128$. Oublier ce signe changerait la somme.

Exercice 5 - Une identité par récurrence

Démontrer que $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ pour tout entier $n\ge1$, en utilisant la récurrence et non directement la formule de somme arithmétique. Solution. Au rang $1$, le membre de gauche vaut $1=1^2$. Fixons un $n\ge1$ et supposons l’identité vraie à ce rang. En ajoutant le terme impair suivant $2n+1$, on obtient $$1+3+\cdots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2.$$ Cette expression est la formule attendue au rang $n+1$. L’initialisation et l’hérédité sont établies : par récurrence, l’identité est vraie pour tout $n\ge1$. La démonstration justifie la formule indépendamment de la méthode de somme utilisée dans le cours.

Exercice 6 - Une récurrence, des bornes et une formule

On pose $u_0=2$ et $u_{n+1}=(u_n+4)/2$. Montrer $2\le u_n<4$, étudier les variations, puis trouver $u_n$ à l’aide de $w_n=4-u_n$. Solution. L’encadrement est vrai au rang $0$. Si $2\le u_n<4$, alors $6\le u_n+4<8$, donc $3\le u_{n+1}<4$, ce qui entraîne l’encadrement voulu au rang suivant. Par récurrence, la suite est définie et bornée à tous les rangs.

On a $u_{n+1}-u_n=(4-u_n)/2>0$, donc la suite est strictement croissante. Ensuite, $$w_{n+1}=4-\frac{u_n+4}2=\frac{4-u_n}2=\frac12w_n.$$ Comme $w_0=2$, $w_n=2(1/2)^n$ et $$u_n=4-2\left(\frac12\right)^n.$$ La formule redonne $u_0=2$ et $u_1=3$. Elle prouve aussi directement que la valeur $4$ n’est atteinte à aucun rang.

Exercice 7 - Atteindre un seuil dans un modèle

Dans le modèle du récipient, $u_0=20$ et $u_{n+1}=0{,}8u_n+10$. Déterminer $u_n$, prouver que les volumes augmentent tout en restant inférieurs à $50$, puis trouver le premier rang où $u_n\ge40$. Solution. Posons $v_n=u_n-50$. On a $v_{n+1}=0{,}8v_n$ et $v_0=-30$, donc $$u_n=50-30(0{,}8)^n.$$ Puis $0<(0{,}8)^n\le1$ donne $20\le u_n<50$, et $$u_{n+1}-u_n=30(0{,}8)^n(1-0{,}8)=6(0{,}8)^n>0.$$ La condition $u_n\ge40$ équivaut à $(0{,}8)^n\le1/3$. Les puissances sont décroissantes et on calcule $(0{,}8)^4=0{,}4096>1/3$, $(0{,}8)^5=0{,}32768<1/3$. Le premier rang est donc $5$ ; $u_4=37{,}712<40$ et $u_5=40{,}1696>40$. Aucun logarithme n’est nécessaire pour ce seuil de première année.