Suites numériques - Cours et exercices corrigés | 2e Bac PC et SVT

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, calculer une somme, étudier variations et bornes, déterminer une limite et justifier la convergence d’une suite récurrente. Une formule devinée sur les premiers termes doit être démontrée.

Définir une suite et raisonner sur tous les rangs

Terme général, rang initial et récurrence

Une suite associe à chaque entier $n$ à partir d’un rang initial un réel $u_n$. Le symbole $u_n$ désigne un nombre ; $(u_n)$ désigne la suite entière. Il faut distinguer :

• la forme explicite, par exemple $u_n=(2n+1)/(n+1)$, qui permet de calculer directement un terme ;

• la forme récurrente, par exemple $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$, qui nécessite le terme précédent.

Le domaine de la formule de récurrence compte : un radical doit être défini et un dénominateur ne doit jamais s’annuler. Une preuve par récurrence permet de vérifier ces conditions pour tous les rangs.

Principe de récurrence

Pour démontrer une propriété $P(n)$ pour tout $n\ge n_0$ :

1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$.

2. Hérédité : fixer un entier $n\ge n_0$, supposer $P(n)$ vraie et démontrer $P(n+1)$.

3. Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n\ge n_0$.

Variations et bornes

La suite est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$. Les inégalités strictes définissent la stricte monotonie. Pour étudier ces variations :

• calculer et factoriser $u_{n+1}-u_n$ ;

• si tous les termes sont strictement positifs, comparer $u_{n+1}/u_n$ à $1$ ;

• si $u_n=f(n)$ et $f$ est monotone sur l’intervalle des rangs, utiliser ce résultat.

La suite est majorée s’il existe un réel $M$ tel que $u_n\le M$ pour tout $n$ ; minorée s’il existe $m$ avec $m\le u_n$. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple - Une suite explicite

Pour $u_n=2-1/(n+1)$, $n\ge0$, on a $1\le u_n<2$, donc elle est bornée. De plus, $$u_{n+1}-u_n=\frac1{n+1}-\frac1{n+2}=\frac1{(n+1)(n+2)}>0.$$ Elle est strictement croissante. Le majorant $2$ n’est jamais atteint ; un majorant n’est donc pas nécessairement un terme de la suite.

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique : ajouter toujours la même quantité

Si $u_{n+1}=u_n+r$, la suite est arithmétique de raison $r$. Pour $n\ge p$, $$\boxed{u_n=u_p+(n-p)r.}$$ Le signe de $r$ donne les variations. Si $r>0$, $u_n\to+\infty$ ; si $r<0$, $u_n\to-\infty$ ; si $r=0$, la suite est constante.

Somme arithmétique

Entre les rangs $p$ et $n$ inclus, il y a $n-p+1$ termes : $$u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}.$$ En particulier, $1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$.

Exemple - Ne pas oublier le rang initial

Si $u_3=7$ et $r=2$, alors $u_{10}=7+7\times2=21$. La somme de $u_3$ à $u_{10}$ contient huit termes et vaut $8(7+21)/2=112$.

Suite géométrique : multiplier par une constante

Si $v_{n+1}=qv_n$, la suite est géométrique de raison $q$. Pour $n\ge p$, $v_n=v_pq^{n-p}$. Au rang $p$, on garde simplement $v_p$ ; si $q=0$, tous les termes de rang strictement supérieur à $p$ sont nuls.

Somme géométrique

Pour $q\ne1$ et $n\ge p$, $$v_p+\cdots+v_n=v_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}.$$ Pour $q=1$, tous les termes valent $v_p$ et la somme vaut $(n-p+1)v_p$.

Limite de $q^n$

Valeur de $q$	Comportement quand $n\to+\infty$
$-1<q<1$	$q^n\to0$, même si $q$ est négatif.
$q=1$	$q^n=1$.
$q>1$	$q^n\to+\infty$.
$q=-1$	Les termes alternent entre $1$ et $-1$ : pas de limite.
$q<-1$	Les signes alternent et $|q|^n\to+\infty$ : pas de limite, même infinie.

Pour une suite $v_n=v_0q^n$, il faut aussi tenir compte du signe de $v_0$. Si $v_0=0$, la suite est nulle, quelle que soit la raison. Pour étudier les variations lorsque $q$ est négatif, ne pas appliquer une règle destinée aux suites positives.

Limites et règles de calcul

Converger ou diverger

Dire que $u_n\to\ell$ signifie que les termes deviennent aussi proches que l’on veut du réel $\ell$ à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite est convergente. Si $u_n\to+\infty$, les termes finissent par dépasser tout réel fixé ; cette suite est divergente. Une suite peut aussi diverger sans tendre vers un infini, comme $(-1)^n$.

Limites de référence

Quand $n\to+\infty$, pour tout entier $p\ge1$, $$n^p\to+\infty,\qquad \sqrt n\to+\infty,\qquad \frac1{n^p}\to0,\qquad \frac1{\sqrt n}\to0.$$ Pour un rationnel $r>0$, $n^r\to+\infty$ ; pour $r<0$, $n^r\to0$ (rangs $n\ge1$).

Une suite convergente est bornée. La réciproque est fausse : $(-1)^n$ est bornée mais n’est pas convergente. La limite d’une suite convergente est unique.

Opérations sur les limites

Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to m$ sont des limites finies, alors $$u_n+v_n\to\ell+m,\qquad u_nv_n\to\ell m,\qquad ku_n\to k\ell.$$ Si $m\ne0$, $v_n$ ne s’annule plus à partir d’un certain rang et $u_n/v_n\to\ell/m$. Pour les limites infinies, on applique les règles de signes en évitant les formes indéterminées $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\infty/\infty$ et $0/0$.

Exemple - Quotient de polynômes en $n$

$$\frac{3n^2-n+2}{2n^2+5} =\frac{3-1/n+2/n^2}{2+5/n^2}\longrightarrow\frac32.$$ On a divisé par $n^2$ pour $n\ge1$ ; la valeur d’un nombre fini de termes initiaux ne change pas une limite.

Exemple - Lever une forme $\infty-\infty$

$$\sqrt{n^2+3n}-n=\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n} =\frac3{\sqrt{1+3/n}+1}\longrightarrow\frac32.$$ Le facteur $n$ est positif pour $n\ge1$, donc $\sqrt{n^2}=n$.

Composition avec une fonction continue

Si $u_n\to\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, avec les termes dans son domaine à partir d’un certain rang, alors $f(u_n)\to f(\ell)$. Par exemple, si $u_n\to3$ et $u_n\ge0$, alors $\sqrt{u_n}\to\sqrt3$. L’hypothèse de continuité au point limite est nécessaire à cette règle.

Comparer et démontrer la convergence

Ordre et limites

Si $u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang et si les deux suites ont des limites finies, alors $\lim u_n\le\lim v_n$. Une inégalité stricte entre les termes peut devenir une égalité à la limite : $1/n>0$ mais $\lim1/n=0$.

Encadrement et comparaison

Si $a_n\le u_n\le b_n$ à partir d’un certain rang, avec $a_n\to\ell$ et $b_n\to\ell$, alors $u_n\to\ell$ (théorème des gendarmes).

Si $u_n\ge v_n$ et $v_n\to+\infty$, alors $u_n\to+\infty$. Si $u_n\le v_n$ et $v_n\to-\infty$, alors $u_n\to-\infty$.

Exemple - Oscillation qui s’amortit

Comme $-1\le\sin n\le1$, on a pour $n\ge1$ : $$-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n.$$ Les deux bornes tendent vers $0$, donc $\sin n/n\to0$. Une suite peut converger sans être monotone.

Suite monotone et bornée

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie. Toute suite décroissante et minorée converge vers une limite finie.

Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

Ce théorème garantit une limite mais ne donne pas automatiquement sa valeur. Une borne peut ne pas être la limite : la suite constante $u_n=1$ est majorée par $5$, mais sa limite est $1$.

Une estimation d’erreur fournit aussi une preuve

Si $|u_n-\ell|\le Cq^n$ pour tout $n\ge1$, avec $C\ge0$ et $0\le q<1$, alors $u_n\to\ell$. Le membre de droite indique aussi le nombre de rangs suffisants pour atteindre une précision donnée.

Exemple - Combien de rangs suffisent ?

Si $|u_n-4|\le3(1/2)^n$, une erreur au plus égale à $0.01$ est garantie dès que $2^n\ge300$. Or $2^8=256<300$ et $2^9=512\ge300$, donc tout rang $n\ge9$ convient. C’est un rang suffisant issu de la majoration ; l’erreur réelle peut être plus petite.

Une équation de limite n’est pas une preuve de convergence

Écrire $\ell=f(\ell)$ dans une récurrence permet de trouver des limites possibles. Il faut d’abord démontrer que la suite converge et que le passage à la limite est légitime.

Étudier une récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$

Une méthode en quatre étapes

1. Existence et bornes : trouver un intervalle $I$ contenant $u_0$ et vérifier que $f$ est définie sur $I$ et que $f(I)\subset I$. Une récurrence prouve alors que tous les termes restent dans $I$.

2. Variations : étudier $f(u_n)-u_n$, ou utiliser la croissance de $f$ pour propager le signe de $u_1-u_0$.

3. Convergence : appliquer le théorème des suites monotones bornées, ou établir une estimation d’erreur.

4. Valeur de la limite : si $f$ est continue au point limite $\ell$, passer à la limite et résoudre $\ell=f(\ell)$ en respectant les bornes. Lorsque $I$ est fermé et borné, la limite reste dans $I$.

Exemple complet : $u_0=0$, $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$

Bornes. $u_0\in[0;2]$. Si $0\le u_n\le2$, alors $2\le2+u_n\le4$, donc $0\le\sqrt{2+u_n}\le2$. Par récurrence, tous les termes sont définis et appartiennent à $[0;2]$.

Variations. Pour $x\in[0;2]$, les deux membres de $\sqrt{2+x}\ge x$ sont positifs ; cette inégalité équivaut à $2+x\ge x^2$, soit $(2-x)(x+1)\ge0$. Ainsi $u_{n+1}\ge u_n$.

Convergence et limite. La suite croissante est majorée par $2$ : elle converge vers $\ell\in[0;2]$. La racine étant continue, $\ell=\sqrt{2+\ell}$. En élevant au carré, $\ell^2-\ell-2=0$, donc $\ell=2$ ou $\ell=-1$. Seule la valeur $2$ appartient à $[0;2]$ : $u_n\to2$.

Vitesse d’approche. En rationalisant, $$0\le2-u_{n+1}=\frac{2-u_n}{2+u_{n+1}}\le\frac{2-u_n}{2}.$$ Une récurrence donne $0\le2-u_n\le2/2^n$, autre preuve de la convergence.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les points illustrent la convergence ; la démonstration repose sur les bornes et les variations.

Transformer une récurrence

Suite arithmético-géométrique

Soit $u_{n+1}=au_n+b$, avec $a\ne1$. Le nombre $L=b/(1-a)$ vérifie $L=aL+b$. En posant $v_n=u_n-L$, on obtient $$v_{n+1}=a(u_n-L)=av_n.$$ La suite auxiliaire est géométrique. Ainsi, pour $n\ge1$, $$\boxed{u_n=L+(u_0-L)a^n.}$$ Si $a\ne0$, la formule vaut aussi au rang $0$. Si $a=0$, tous les termes à partir de $u_1$ valent $b$. Si $|a|<1$, alors $u_n\to L$. Si $a=1$, on retrouve une suite arithmétique de raison $b$.

Exemple - Un modèle à apport constant

Un réservoir contient initialement $2$ litres. À chaque étape, on conserve les trois quarts de son contenu et on ajoute $2$ litres. On a $u_0=2$, $u_{n+1}=\tfrac34u_n+2$. Le point fixe est $L=8$, d’où $$u_n=8-6\left(\frac34\right)^n.$$ Les volumes sont positifs, strictement croissants et inférieurs à $8$ ; ils tendent vers $8$ litres. Le modèle suppose que le réservoir possède la capacité suffisante et que la règle reste la même à chaque étape.

Un exemple de récurrence homographique

On définit $u_0=0$ et $\displaystyle u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}$. Pour $0\le x<2$, le dénominateur est positif et $$\frac{3x+2}{x+2}\ge0,\qquad 2-\frac{3x+2}{x+2}=\frac{2-x}{x+2}>0.$$ Par récurrence, $0\le u_n<2$ pour tout $n$, et la suite est donc bien définie. Les deux points fixes sont $2$ et $-1$. On choisit la transformation $$v_n=\frac{u_n-2}{u_n+1},$$ dont le dénominateur est non nul. Un calcul donne $$v_{n+1}=\frac{(u_n-2)/(u_n+2)}{(4u_n+4)/(u_n+2)} =\frac14v_n.$$ Ainsi $v_n=-2/4^n$. En résolvant $v_n(u_n+1)=u_n-2$, on obtient $$\boxed{u_n=\frac{2-2/4^n}{1+2/4^n}\ \longrightarrow\ 2.}$$ Le dénominateur final est strictement positif. La formule retrouve $u_0=0$ et $u_1=1$, ce qui constitue un contrôle, sans remplacer la démonstration.

Choisir la bonne transformation

La forme de la suite auxiliaire dépend de la récurrence. Soustraire un point fixe fonctionne pour une récurrence affine ; cela ne transforme pas automatiquement toute autre récurrence en suite géométrique.

Exercices corrigés - Formules et limites

Exercice 1 - Retrouver une suite arithmétique

Une suite arithmétique vérifie $u_2=5$ et $u_8=23$. Déterminer sa raison, $u_0$, $u_n$ et $S=\sum_{k=2}^8u_k$.

Correction. $u_8-u_2=(8-2)r$, donc $r=18/6=3$. Puis $u_0=u_2-2r=-1$, et $u_n=3n-1$. Entre $2$ et $8$ inclus, il y a sept termes : $S=7(5+23)/2=98$. La suite est strictement croissante et tend vers $+\infty$.

Exercice 2 - Une raison négative

Soit $v_n=3(-1/2)^n$ pour $n\ge0$. Calculer $v_0,v_1,v_2$, étudier sa convergence et calculer la somme de $v_0$ à $v_5$.

Correction. Les trois termes sont $3,-3/2,3/4$ : la suite n’est pas monotone. Cependant $|v_n|=3(1/2)^n\to0$, donc $v_n\to0$. La somme contient six termes : $$\sum_{k=0}^5v_k=3\frac{1-(-1/2)^6}{1+1/2} =2\left(1-\frac1{64}\right)=\frac{63}{32}.$$ Les oscillations ne suffisent pas à prouver une divergence ; ici leur amplitude tend vers zéro.

Exercice 3 - Trois calculs de limite

Calculer les limites, pour $n\to+\infty$, de $$a_n=\frac{5n-2}{2n+3},\qquad b_n=\sqrt{n^2+4n}-n,\qquad c_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.$$ Correction. Pour $n\ge1$, $a_n=(5-2/n)/(2+3/n)\to5/2$. En rationalisant, $$b_n=\frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n} =\frac4{\sqrt{1+4/n}+1}\longrightarrow2.$$ Enfin $|c_n|=1/\sqrt{n+1}\to0$ ; l’encadrement $-|c_n|\le c_n\le|c_n|$ donne $c_n\to0$.

Exercice 4 - Variations et borne précise

Pour $u_n=(3n+1)/(n+2)$, $n\ge0$, prouver que $(u_n)$ est croissante et bornée, puis déterminer sa limite.

Correction. On réécrit $u_n=3-5/(n+2)$. Ainsi $u_n<3$ et $u_n\ge u_0=1/2$ après vérification de la croissance : $$u_{n+1}-u_n=\frac5{n+2}-\frac5{n+3} =\frac5{(n+2)(n+3)}>0.$$ Le théorème de convergence monotone assure une limite finie ; la forme explicite donne $u_n\to3$. La valeur $3$ est une borne supérieure jamais atteinte.

Exercices corrigés - Récurrences

Exercice 5 - Suite affine et précision

On pose $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n/2+3$. Déterminer $u_n$, sa limite et le premier rang à partir duquel $|u_n-6|\le0.01$.

Correction. Le point fixe vaut $6$. Pour $v_n=u_n-6$, on a $v_{n+1}=v_n/2$ et $v_0=-5$. Ainsi $u_n=6-5/2^n$ et $u_n\to6$. L’erreur exacte est $5/2^n$ ; elle est au plus $0.01$ si et seulement si $2^n\ge500$. Comme $2^8=256$ et $2^9=512$, le premier rang est $9$, et tous les rangs suivants conviennent.

Exercice 6 - Une récurrence avec radical

On pose $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$. Prouver l’existence de tous les termes, la convergence, puis trouver la limite.

Correction. Le terme initial appartient à $[1;4]$. Si $1\le u_n\le4$, alors $7\le3u_n+4\le16$, donc $1\le u_{n+1}\le4$. L’intervalle est conservé et tous les termes sont définis. Pour $x\in[1;4]$, $\sqrt{3x+4}\ge x$ équivaut, les membres étant positifs, à $3x+4\ge x^2$, soit $(4-x)(x+1)\ge0$. La suite est donc croissante et majorée par $4$ : elle converge vers $\ell\in[1;4]$.

Par continuité, $\ell=\sqrt{3\ell+4}$, d’où $(\ell-4)(\ell+1)=0$. Seule $\ell=4$ appartient à $[1;4]$. On peut en outre contrôler l’erreur : $$0\le4-u_{n+1}=\frac{3(4-u_n)}{4+u_{n+1}} \le\frac35(4-u_n),$$ puisque $u_{n+1}\ge1$. Par récurrence, $0\le4-u_n\le3(3/5)^n$.

Exercice 7 - Une transformation homographique

On pose $u_0=0$ et $u_{n+1}=(2u_n+1)/(u_n+2)$. Prouver que $0\le u_n<1$, puis utiliser $v_n=(u_n-1)/(u_n+1)$ pour déterminer $u_n$ et sa limite.

Correction. Si $0\le x<1$, alors $x+2>0$, $(2x+1)/(x+2)>0$ et $1-(2x+1)/(x+2)=(1-x)/(x+2)>0$. L’initialisation $u_0=0$ et l’hérédité donnent $0\le u_n<1$ pour tous les rangs. Ainsi $u_n+1>0$ et la suite auxiliaire est définie. On calcule $$v_{n+1}=\frac{(u_n-1)/(u_n+2)}{(3u_n+3)/(u_n+2)}=\frac13v_n.$$ Comme $v_0=-1$, $v_n=-3^{-n}$. L’égalité $v_n(u_n+1)=u_n-1$ donne $$u_n=\frac{1+v_n}{1-v_n}=\frac{1-3^{-n}}{1+3^{-n}}\longrightarrow1.$$ Le dénominateur ne s’annule pas. Les bornes et la limite obtenues concordent ; le résultat ne repose pas sur le seul calcul du point fixe.