Structures algébriques - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences mathématiques

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Identifier les propriétés d’une loi, démontrer qu’un ensemble est un groupe, un anneau ou un corps, utiliser un morphisme et un isomorphisme, puis travailler dans un espace vectoriel réel avec sous-espaces, familles libres, bases et dimension.

Méthode. Une structure porte sur un ensemble et des opérations précises. Le même ensemble peut avoir des propriétés très différentes selon la loi choisie. Les exemples du chapitre utilisent nombres, classes de congruence, transformations, matrices, polynômes et fonctions.

Lois de composition et propriétés

Une loi de composition interne sur $E$ est une application $E\times E\to E$. On note souvent le résultat $x*y$. Il faut donc vérifier que l’opération est définie pour tout couple et que son résultat reste dans $E$.

L’addition est interne dans $\mathbb{Z}$, mais la division ne l’est pas : elle n’est pas définie pour un diviseur nul et ne donne pas toujours un entier. Sur l’ensemble $\mathbb{R}_2[X]$ des polynômes de degré au plus $2$, l’addition est interne ; la multiplication usuelle ne l’est pas, car $X^2\cdot X^2=X^4$ sort de cet ensemble.

Stabilité et loi induite

Un sous-ensemble $F\subseteq E$ est stable pour $*$ si $x*y\in F$ pour tous $x,y\in F$. On peut alors restreindre la loi à $F$ : c’est la loi induite. Une propriété comme l’associativité se transmet à une partie stable ; l’existence d’un neutre ou d’inverses dans cette partie doit encore être vérifiée.

Les propriétés à distinguer

• Associativité : $(x*y)*z=x*(y*z)$ pour tous $x,y,z\in E$.

• Commutativité : $x*y=y*x$ pour tous $x,y\in E$.

• Élément neutre : un élément $e\in E$ tel que $e*x=x*e=x$ pour tout $x\in E$.

• Symétrique de $x$, relativement à $e$ : un élément $y$ tel que $x*y=y*x=e$.

Le neutre, s’il existe, est unique : si $e,e'$ sont neutres, $e=e*e'=e'$. Pour une loi associative avec neutre, le symétrique est unique : si $y,z$ sont deux symétriques de $x$, alors $y=y*(x*z)=(y*x)*z=z$.

En notation additive, le neutre se note $0$ et le symétrique $-x$ ; en notation multiplicative, ils se notent $1$ et $x^{-1}$. Ces symboles désignent les éléments correspondant à la loi étudiée, pas nécessairement les réels usuels $0$ et $1$.

Répéter une opération

Pour une loi associative, $x^n$ représente un produit de $n$ facteurs $x$ et $nx$ une somme de $n$ termes $x$. Avec un neutre, $x^0=e$ en notation multiplicative. Avec un inverse, on définit les puissances négatives. Les règles $x^{m+n}=x^mx^n$ portent sur un même élément ; la formule $(xy)^n=x^ny^n$ exige en général que $x$ et $y$ commutent.

Groupes et sous-groupes

Un groupe $(G,*)$ est un ensemble muni d’une loi interne associative, possédant un élément neutre et un symétrique pour chaque élément. S’il est aussi commutatif, on parle de groupe commutatif ou abélien.

Exemples : $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{R},+)$ et $(\mathbb C,+)$ sont des groupes commutatifs. Les ensembles $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ et $\mathbb C^*$ sont des groupes pour la multiplication. Les racines $n$-ièmes de l’unité forment un groupe multiplicatif $\mathbb U_n$. En revanche, $(\mathbb{N},+)$ n’est pas un groupe, car $1$ n’y possède pas d’opposé.

Les bijections d’un ensemble sur lui-même forment un groupe pour la composition : le neutre est l’identité, et le symétrique la bijection réciproque. Ce groupe n’est pas nécessairement commutatif. Sur $\{1,2,3\}$, si $p$ échange $1,2$ et $q$ échange $2,3$, alors $(p\circ q)(1)=2$ tandis que $(q\circ p)(1)=3$.

Calculer dans un groupe

On peut simplifier un facteur commun du même côté : $ax=ay$ implique $x=y$ en composant à gauche par $a^{-1}$. Les équations $ax=b$ et $xa=b$ ont pour solutions respectives $a^{-1}b$ et $ba^{-1}$. Dans un groupe non commutatif, l’ordre est essentiel. $$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},\qquad (a^{-1})^{-1}=a.$$ La première formule se vérifie en multipliant $ab$ par $b^{-1}a^{-1}$ dans les deux ordres. La simplification n’autorise pas à déplacer librement un facteur de gauche à droite.

Caractériser un sous-groupe

Un sous-groupe $H$ de $G$ est une partie qui, avec la loi induite, est elle-même un groupe.

Critère pratique

$H\subseteq G$ est un sous-groupe si et seulement si $H\ne\varnothing$ et $$\forall x,y\in H,\qquad xy^{-1}\in H.$$ En notation additive, la condition est $x-y\in H$.

En choisissant un élément $a\in H$, le critère donne $aa^{-1}=e\in H$, puis $ey^{-1}=y^{-1}\in H$, et enfin la stabilité par produit. L’associativité est héritée du groupe ambiant.

Pour tout entier $m\ge1$, $m\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$, car $mp-mq=m(p-q)$. Le cercle unité $\mathbb U$ est un sous-groupe de $\mathbb C^*$, puisque $|zw^{-1}|=1$ si $|z|=|w|=1$.

Morphismes, isomorphismes et transport de structure

Une application $\varphi:(G,*)\to(H,\circ)$ est un morphisme de groupes si $$\varphi(x*y)=\varphi(x)\circ\varphi(y)\quad\text{pour tous }x,y\in G.$$ Elle transforme le neutre de $G$ en celui de $H$ et le symétrique de $x$ en celui de $\varphi(x)$. Par exemple, $\varphi(e_G)=\varphi(e_G)\circ\varphi(e_G)$, puis la simplification dans $H$ donne $\varphi(e_G)=e_H$.

L’image $\varphi(G)$ est un sous-groupe de $H$ : elle est non vide et $\varphi(x)\circ\varphi(y)^{-1}=\varphi(x*y^{-1})$. Un morphisme bijectif est un isomorphisme. Sa réciproque respecte elle aussi les lois ; les deux structures sont alors décrites par des éléments différents mais les mêmes règles de calcul.

Le noyau $\ker\varphi=\{x\in G\mid\varphi(x)=e_H\}$ est un sous-groupe de $G$. Le morphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à $\{e_G\}$ : si $\varphi(x)=\varphi(y)$, alors $\varphi(x*y^{-1})=e_H$.

Exemple - Classes et racines de l’unité

L’application $$\varphi:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb U_n, \qquad\overline k\longmapsto e^{2ik\pi/n}$$ est bien définie : changer $k$ d’un multiple de $n$ ne change pas l’exponentielle. Elle transforme une somme de classes en produit, est surjective par la description des racines et injective car $e^{2ik\pi/n}=1$ équivaut à $n\mid k$. C’est un isomorphisme du groupe additif des classes vers le groupe multiplicatif des racines.

Construire une loi à partir d’une bijection

Si $\psi:E\to G$ est une bijection vers un groupe, définir $x*y=\psi^{-1}(\psi(x)\psi(y))$ transporte la structure de groupe sur $E$. L’associativité se déduit de celle de $G$, le neutre est $\psi^{-1}(e_G)$ et l’inverse de $x$ est $\psi^{-1}(\psi(x)^{-1})$.

Il faut vérifier la bijection et la formule de la loi avant d’utiliser ce raccourci. Par exemple, $\psi(x)=x-2$ transporte l’addition réelle sur $\mathbb{R}$ par $x*y=x+y-2$ : le neutre est $2$, et le symétrique de $x$ est $4-x$.

Anneaux, anneaux intègres et corps

Un anneau possède deux lois, notées $+$ et $\times$ : $(A,+)$ est un groupe commutatif, la multiplication est associative, et elle est distributive à gauche et à droite par rapport à l’addition. Dans ce chapitre, les anneaux considérés possèdent aussi un élément unité $1\ne0$. La multiplication peut ne pas être commutative ; si elle l’est, l’anneau est dit commutatif.

Les ensembles $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb C$ avec leurs opérations usuelles et $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, pour $n\ge2$, avec les opérations sur les classes sont des anneaux commutatifs. Les polynômes $\mathbb{R}[X]$ en forment un autre. Les matrices carrées réelles forment des anneaux généralement non commutatifs.

Règles valables dans un anneau

La distributivité donne $a0=0a=0$, $a(-b)=(-a)b=-(ab)$ et $(-a)(-b)=ab$. Par exemple, $a0=a(0+0)=a0+a0$, puis la simplification dans le groupe additif donne $a0=0$.

Dans un anneau non commutatif, $(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2$. Écrire $2ab$ à la place de $ab+ba$ exige que $a$ et $b$ commutent. De même, un produit nul peut avoir deux facteurs non nuls.

Intégrité et simplification

Un anneau commutatif unitaire est intègre si $ab=0$ implique $a=0$ ou $b=0$. Dans un tel anneau, si $a\ne0$ et $ab=ac$, alors $a(b-c)=0$ et donc $b=c$.

$\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}[X]$ sont intègres. En revanche, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ ne l’est pas, car $\overline2\,\overline3=\overline0$ avec deux classes non nulles. L’anneau des fonctions réelles sur $\mathbb{R}$, avec opérations point par point, n’est pas intègre non plus : les fonctions $f(x)=\max(x,0)$ et $g(x)=\max(-x,0)$ sont non nulles, mais leur produit est partout nul.

Corps

Un corps est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Ainsi $(K\setminus\{0\},\times)$ est un groupe. Les ensembles $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb C$ sont des corps ; $\mathbb{Z}$ n’en est pas un, car $2$ n’y possède pas d’inverse.

Tout corps est intègre : si $ab=0$ et $a\ne0$, multiplier par $a^{-1}$ donne $b=0$. La réciproque est fausse, comme le montre $\mathbb{Z}$.

Pour $n\ge2$, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si $n$ est premier. Si $n=p$ est premier, tout entier $a$ non divisible par $p$ vérifie une relation de Bézout $au+pv=1$ ; donc $\overline u$ est un inverse de $\overline a$. Si $n=rs$ avec $1<r,s<n$, alors $\overline r\,\overline s=\overline0$ avec deux facteurs non nuls, ce qui exclut un corps. Ce résultat utilise les acquis d’arithmétique de 2e Bac SM.

Matrices carrées d’ordre 2 ou 3

Une matrice réelle d’ordre $n$, pour $n=2$ ou $3$, est un tableau $A=(a_{ij})$ de $n$ lignes et $n$ colonnes. L’addition se fait terme à terme, et le produit par un réel $\lambda$ multiplie chaque coefficient par $\lambda$. La matrice nulle est le neutre additif ; l’opposée est $-A$.

Le produit de deux matrices est défini par $$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.$$ On multiplie la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ puis on additionne. Il ne s’agit pas d’une multiplication terme à terme. La matrice identité $I_n$, dont la diagonale vaut $1$ et les autres coefficients $0$, vérifie $AI_n=I_nA=A$.

Exemple - Deux produits différents

Pour $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$, $$AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}.$$ La multiplication n’est pas commutative. Elle est cependant associative et distributive ; $(M_n(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire. Deux matrices non nulles peuvent avoir un produit nul : pour $E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$, $E_{11}E_{22}=0$.

Matrices inversibles

Une matrice $A$ est inversible s’il existe $B$ tel que $AB=BA=I_n$. Cette matrice est unique et se note $A^{-1}$. Les matrices inversibles forment un groupe multiplicatif, noté $GL_n(\mathbb{R})$ ; l’ensemble de toutes les matrices n’est pas un groupe multiplicatif, puisque la matrice nulle n’est pas inversible.

Pour $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, si $ad-bc\ne0$, alors $$A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$ Le produit dans les deux ordres donne $I_2$, ce qui vérifie la formule. Si $ad-bc=0$, la matrice n’est pas inversible. Pour des matrices inversibles, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ : on retrouve l’ordre inversé du calcul dans un groupe.

Espaces vectoriels réels et sous-espaces

Un espace vectoriel réel est un ensemble $E$ muni d’une addition et d’une multiplication externe $\mathbb{R}\times E\to E$, notée $(\lambda,u)\mapsto\lambda u$. L’addition fait de $E$ un groupe commutatif, et, pour $u,v\in E$, $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, $$\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v,\quad (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u,\quad (\lambda\mu)u=\lambda(\mu u),\quad 1u=u.$$ Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs, même s’il s’agit de fonctions, de matrices ou de polynômes. Les réels $\lambda$ sont les scalaires. On distingue le réel $0$ du vecteur nul $0_E$, bien que les notations soient souvent abrégées.

On déduit $0u=0_E$, $\lambda0_E=0_E$ et $(-1)u=-u$. Si $\lambda u=0_E$, alors $\lambda=0$ ou $u=0_E$ : pour $\lambda\ne0$, on multiplie par le scalaire $1/\lambda$.

Exemples fondamentaux

$\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb C$ sont des espaces vectoriels réels avec leurs opérations usuelles. Les ensembles $M_2(\mathbb{R})$, $M_3(\mathbb{R})$, $\mathbb{R}_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$, et l’ensemble $\mathcal F(I,\mathbb{R})$ des fonctions réelles définies sur un même intervalle $I$ le sont également. Les opérations sur les fonctions sont point par point ; on ne modifie pas le domaine en additionnant deux fonctions de cet espace.

Le fait que $\mathbb{R}_n[X]$ soit un espace vectoriel ne rend pas la multiplication des polynômes interne pour $n\ge1$. Les structures utilisent ici des opérations différentes : addition et multiplication par un scalaire, non multiplication de deux polynômes.

Critère de sous-espace vectoriel

Une partie $F$ d’un espace vectoriel réel $E$ est un sous-espace si $F\ne\varnothing$ et si $$\lambda u+\mu v\in F\quad\text{pour tous }u,v\in F\text{ et }\lambda,\mu\in\mathbb{R}.$$ On peut aussi vérifier séparément que $0_E\in F$, que $F$ est stable par addition et qu’il est stable par multiplication par un réel.

Un sous-groupe additif n’est pas nécessairement un sous-espace réel : $\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$ est stable par différence, mais pas par multiplication par $1/2$. Un ensemble défini par une équation linéaire homogène est un candidat naturel ; une droite ou un plan ne passant pas par l’origine ne contient pas $0_E$ et n’est donc pas un sous-espace.

Combinaisons linéaires, bases et dimension

Une combinaison linéaire de $u_1,\ldots,u_p$ est un vecteur $\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_pu_p$ avec des coefficients réels. L’ensemble de ces combinaisons, noté $\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_p)$, est un sous-espace : l’addition et le produit par un scalaire conservent cette forme.

La famille est génératrice de $E$ si toutes les combinaisons possibles donnent tout $E$. Elle est libre si $$\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_pu_p=0_E \Longrightarrow \lambda_1=\cdots=\lambda_p=0.$$ Sinon elle est liée. Une famille contenant le vecteur nul est liée. La non-nullité de chaque vecteur ne suffit pas à prouver la liberté : deux vecteurs non nuls colinéaires constituent une famille liée.

Base et coordonnées

Une base est une famille à la fois libre et génératrice. Tout vecteur possède alors une unique écriture comme combinaison de ses éléments : l’existence vient du caractère générateur, l’unicité de la liberté en soustrayant deux écritures.

Dans une base ordonnée $(e_1,\ldots,e_n)$, les coefficients sont les coordonnées du vecteur. Changer de base change généralement les coordonnées, pas le vecteur lui-même.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Ici $(u,v)$ est une base de $\mathbb{R}^2$, car les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le vecteur $w=u+2v$ a pour coordonnées $(1;2)$ dans cette base, alors que ses coordonnées usuelles sont $(4;2)$.

Dimension finie

Si $E$ possède une base finie, toutes ses bases ont le même nombre d’éléments ; ce nombre est sa dimension, notée $\dim E$. Ce résultat est admis ici. Dans un espace de dimension $n$, toute famille libre comporte au plus $n$ vecteurs, toute famille génératrice au moins $n$. Une famille de $n$ vecteurs est une base dès qu’elle est libre, ou dès qu’elle est génératrice.

Un sous-espace $F$ vérifie $\dim F\le\dim E$ ; en dimension finie, l’égalité équivaut à $F=E$. Le sous-espace réduit au vecteur nul a pour dimension $0$.

Les bases usuelles donnent $\dim\mathbb{R}^2=2$, $\dim\mathbb{R}^3=3$, $\dim_{\mathbb{R}}\mathbb C=2$ avec base $(1,i)$, et $\dim\mathbb{R}_n[X]=n+1$ avec base $(1,X,\ldots,X^n)$. Les matrices $E_{ij}$, ayant un seul coefficient $1$ en position $(i,j)$, forment une base de $M_n(\mathbb{R})$ ; ses dimensions sont donc $4$ pour $n=2$ et $9$ pour $n=3$.

Trouver une base d’un sous-espace

On paramètre tous ses éléments pour obtenir une famille génératrice, puis on vérifie qu’elle est libre. Par exemple, $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ s’écrit $$(x,y,z)=(-y-z,y,z)=(-y)(1,-1,0)+(-z)(1,0,-1).$$ Les deux vecteurs proposés sont libres, car leurs deuxième et troisième coordonnées annulent séparément les coefficients d’une combinaison nulle. Ils forment donc une base de $F$ et $\dim F=2$.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Une loi dont le neutre n’est pas 0

Sur $\mathbb{R}$, on définit $x*y=x+y+1$. Montrer qu’il s’agit d’un groupe commutatif, déterminer le neutre et le symétrique de $x$, puis donner un isomorphisme vers $(\mathbb{R},+)$.

Correction. La loi est interne et commutative. Les deux expressions $(x*y)*z$ et $x*(y*z)$ valent $x+y+z+2$, donc elle est associative. La condition $x*e=x$ donne $e=-1$ ; le symétrique $y$ vérifie $x+y+1=-1$, soit $y=-x-2$. Enfin $\varphi(x)=x+1$ est bijective et $\varphi(x*y)=x+y+2=\varphi(x)+\varphi(y)$. C’est l’isomorphisme demandé.

Exercice 2 - Transporter la multiplication

Sur $E=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, poser $x\star y=x+y+xy$. Montrer que $(E,\star)$ est un groupe et déterminer ses symétriques.

Correction. On a $1+x\star y=(1+x)(1+y)\ne0$, donc la loi reste dans $E$. L’application $\psi:E\to\mathbb{R}^*$, $\psi(x)=1+x$, est une bijection et respecte la loi : $\psi(x\star y)=\psi(x)\psi(y)$. Elle transporte le groupe multiplicatif commutatif $\mathbb{R}^*$ sur $E$.

Le neutre est $\psi^{-1}(1)=0$. Le symétrique de $x$ est $\psi^{-1}(1/(1+x))=-x/(1+x)$. Il appartient à $E$, puisque $1-x/(1+x)=1/(1+x)\ne0$. La substitution dans la loi donne bien $x\star(-x/(1+x))=0$.

Exercice 3 - Sous-groupe ou sous-espace ?

Montrer que $3\mathbb{Z}$ est un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$. Est-ce un sous-espace vectoriel réel de $\mathbb{R}$ ?

Correction. La partie contient $0$ et la différence de $3p$ et $3q$ est $3(p-q)$, encore dans $3\mathbb{Z}$. Le critère de sous-groupe s’applique. En revanche, $3\in3\mathbb{Z}$ mais $(1/2)\cdot3=3/2\notin3\mathbb{Z}$ : la stabilité par tout scalaire réel échoue. Ce n’est donc pas un sous-espace réel. La distinction vient de l’opération externe, absente de la définition d’un sous-groupe.

Exercice 4 - Image et noyau d’un morphisme

Étudier $\varphi:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb U,\times)$ définie par $\varphi(t)=e^{it}$. Est-ce un isomorphisme ?

Correction. La formule $e^{i(s+t)}=e^{is}e^{it}$ montre qu’il s’agit d’un morphisme. Tout complexe de module $1$ possède un argument réel, donc l’image est $\mathbb U$. Le noyau est $\{t\mid e^{it}=1\}=2\pi\mathbb{Z}$. Il contient des éléments non nuls, donc l’application n’est pas injective ; par exemple $\varphi(0)=\varphi(2\pi)$. Elle est surjective, mais n’est pas un isomorphisme.

Exercice 5 - Produits et inverse de matrices

Avec $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$, calculer $AB$, $BA$ et $A^{-1}$. Peut-on remplacer $AB+BA$ par $2AB$ ?

Correction. Les produits ligne-colonne donnent $AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}$. Comme le déterminant de $A$ vaut $1$, on obtient $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$ ; les deux produits avec $A$ redonnent $I_2$.

Or $AB+BA=\begin{pmatrix}8&4\\6&8\end{pmatrix}$, tandis que $2AB=\begin{pmatrix}14&4\\6&2\end{pmatrix}$. Ils sont différents. Le regroupement en $2AB$ nécessiterait la commutativité des deux matrices.

Exercice 6 - Deux anneaux de classes

Expliquer pourquoi $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ n’est pas un corps et pourquoi $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ en est un. Résoudre $2x+1\equiv0$ modulo $5$, puis modulo $6$.

Correction. Modulo $6$, les classes non nulles $\overline2,\overline3$ ont un produit nul : il n’y a pas intégrité, donc pas de corps. Modulo $5$, nombre premier, chaque classe non nulle est inversible ; notamment $\overline2\,\overline3=\overline1$ et $\overline4^2=\overline1$.

Modulo $5$, l’équation donne $2x\equiv4$, puis multiplication par $3$ : $x\equiv12\equiv2$. Modulo $6$, elle exige $2x\equiv5$, ce qui est impossible : les restes de $2x$ sont $0,2,4$. Les solutions sont donc $x=5k+2$ dans le premier cas, et aucune dans le second.

Exercice 7 - Une base dans un plan vectoriel

Pour $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y+z=0\}$, montrer que $F$ est un sous-espace, en donner une base et exprimer $(3,2,1)$ dans cette base. Que devient la conclusion pour $x-2y+z=1$ ?

Correction. L’équation homogène est préservée par toute combinaison linéaire, et le vecteur nul la satisfait : $F$ est un sous-espace. En posant $y=s$, $z=t$, on obtient $$(x,y,z)=(2s-t,s,t)=s(2,1,0)+t(-1,0,1).$$ Les deux vecteurs sont libres, car les deuxième et troisième coordonnées d’une combinaison nulle imposent séparément $s=t=0$. C’est une base et $\dim F=2$. Le vecteur $(3,2,1)$ a pour coordonnées $(2,1)$ dans cette base. L’ensemble d’équation $x-2y+z=1$ ne contient pas le vecteur nul : ce n’est pas un sous-espace.

Exercice 8 - Liberté et coordonnées dans $\mathbb{R}^3$

Montrer que $u=(1,1,0)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,1,1)$ forment une base de $\mathbb{R}^3$, puis donner les coordonnées de $(2,3,4)$ dans cette base.

Correction. Une combinaison $\lambda u+\mu v+\nu w=0$ donne $\lambda+\mu=0$, $\lambda+\nu=0$ et $\mu+\nu=0$. En substituant, on obtient $\lambda=\mu=\nu=0$. La famille de trois vecteurs est libre dans un espace de dimension $3$ : c’est une base.

Pour le vecteur demandé, le système devient $\lambda+\mu=2$, $\lambda+\nu=3$, $\mu+\nu=4$. On trouve $\lambda=1/2$, $\mu=3/2$, $\nu=5/2$. Le contrôle donne les coordonnées usuelles $(1/2+3/2,1/2+5/2,3/2+5/2)=(2,3,4)$.

Exercice 9 - Polynômes et base décalée

Dans $\mathbb{R}_2[X]$, montrer que $(1,X-1,(X-1)^2)$ est une base. Donner les coordonnées de $P=2+3X+X^2$ et une base du sous-espace $H=\{P\mid P(1)=0\}$.

Correction. Si $a+b(X-1)+c(X-1)^2=0$, l’identification des coefficients de $X^2$, puis de $X$, puis du terme constant donne $c=b=a=0$. La famille est libre et possède trois éléments dans $\mathbb{R}_2[X]$, de dimension $3$ : c’est une base.

En posant $T=X-1$, on obtient $2+3(T+1)+(T+1)^2=6+5T+T^2$. Les coordonnées de $P$ sont donc $(6,5,1)$. La condition $P(1)=0$ annule exactement la première coordonnée dans cette base. Ainsi $H=\operatorname{Vect}(X-1,(X-1)^2)$, ces deux polynômes sont libres, et $\dim H=2$.

Exercice 10 - Une matrice d’ordre 3

Soit $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$. Calculer $N^2,N^3$ et montrer que $I_3-N$ est inversible.

Correction. Le calcul ligne-colonne donne $$N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad N^3=0.$$ Les puissances d’une même matrice commutent, donc $(I_3-N)(I_3+N+N^2)=I_3-N^3=I_3$, et le produit dans l’autre ordre donne aussi $I_3$. Ainsi $$(I_3-N)^{-1}=I_3+N+N^2=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ La matrice $N$ est non nulle et possède une puissance nulle : ce comportement illustre pourquoi les règles du produit nul réel ne se transposent pas à toutes les matrices.

Exercice 11 - Un espace de fonctions

Soit $F=\{x\mapsto a+b\cos x+c\sin x\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace de $\mathcal F(\mathbb{R},\mathbb{R})$, en donner une base et préciser les coordonnées de $x\mapsto3+2\cos x-\sin x$.

Correction. L’ensemble est $\operatorname{Vect}(1,\cos,\sin)$ : il est donc stable par toute combinaison linéaire et contient la fonction nulle. Pour la liberté, supposons $a+b\cos x+c\sin x=0$ pour tout réel $x$. En $0$ puis en $\pi$, on obtient $a+b=0$ et $a-b=0$, d’où $a=b=0$. En $\pi/2$, on obtient alors $c=0$.

Les trois fonctions constituent donc une base de $F$, qui est de dimension $3$. Les coordonnées de la fonction demandée sont $(3,2,-1)$. Il fallait que l’identité soit vraie pour tout $x$ ; une seule égalité numérique n’aurait pas suffi à prouver la liberté.

Fin du cours et des exercices corrigés