Statistiques descriptives - Cours et exercices corrigés | TC lettres et enseignement originel

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Organiser des données, lire et construire des graphiques, calculer les fréquences et les cumuls, puis interpréter moyenne, mode, écart moyen, variance et écart-type.

Données pédagogiques. Tous les relevés numériques de ce cours sont des jeux de données fictifs construits pour l’apprentissage. Ils n’affirment rien sur une classe, une population ou un établissement réel.

Décrire une population et un caractère

La population est l’ensemble étudié. Un individu est un élément de cet ensemble : une personne, un objet ou une journée, selon la question. Le caractère est l’information observée pour chaque individu.

Un caractère est qualitatif lorsque ses valeurs sont des catégories, par exemple un moyen de transport. Il est quantitatif lorsque ses valeurs sont des nombres qui mesurent ou comptent quelque chose : nombre de livres, durée, distance. Un compte est généralement discret ; une mesure peut prendre des valeurs continues et être regroupée en classes.

Avant de calculer, on précise la question, l’unité, la population et le mode de recueil. Si l’on étudie seulement un échantillon, les résultats calculés décrivent cet échantillon. Une conclusion sur une population plus large exige des informations supplémentaires sur la sélection des observations.

Effectifs et fréquences

L’effectif $n_i$ d’une valeur ou d’une catégorie est le nombre d’individus correspondants. L’effectif total est $N=n_1+\cdots+n_p$, avec $N>0$. Sa fréquence est $$f_i=\frac{n_i}{N},\qquad\text{pourcentage}=100f_i.$$ Les effectifs ont pour somme $N$, les fréquences pour somme $1$ et les pourcentages pour somme $100\,\%$. Des fréquences arrondies peuvent avoir une somme légèrement différente ; les calculs suivants doivent conserver autant que possible les fractions exactes.

Exemple fil conducteur - Nombre de livres empruntés

Un relevé pédagogique portant sur $20$ personnes donne :

Nombre $x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	Total
Effectif $n_i$	$2$	$6$	$8$	$4$	$20$
Fréquence $f_i$	$0{,}10$	$0{,}30$	$0{,}40$	$0{,}20$	$1$
Pourcentage	$10\,\%$	$30\,\%$	$40\,\%$	$20\,\%$	$100\,\%$

Chaque personne figure une seule fois. La valeur $2$ concerne $8$ personnes, soit $8/20=40\,\%$ de la population étudiée.

Effectifs et fréquences cumulés

Pour un caractère numérique dont les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant, l’effectif cumulé croissant au rang $i$ est $$N_i=n_1+\cdots+n_i.$$ Il compte les observations inférieures ou égales à $x_i$. La fréquence cumulée est $F_i=N_i/N=f_1+\cdots+f_i$. Pour la série des livres :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$N_i$	$2$	$8$	$16$	$20$
$F_i$	$0{,}10$	$0{,}40$	$0{,}80$	$1$

Ainsi $80\,\%$ ont emprunté au plus $2$ livres. Ceux qui en ont emprunté au moins $2$ sont $8+4=12$, soit $60\,\%$. On ne confond pas au plus, strictement moins et au moins.

Un effectif cumulé décroissant compte les valeurs supérieures ou égales à un seuil. Il peut se calculer en additionnant les effectifs depuis la fin, ou en retranchant de $N$ le nombre de valeurs strictement inférieures au seuil. Un cumul n’a pas d’interprétation naturelle pour des catégories sans ordre, telles que des couleurs.

Regrouper des mesures en classes

Pour une durée, on peut utiliser des intervalles disjoints tels que $[0;10[$, $[10;20[$ et $[20;40[$. La valeur $10$ appartient à la deuxième classe, et non à la première. Les classes doivent couvrir les observations sans chevauchement ni omission.

Le cumul des deux premières classes compte ici les durées strictement inférieures à $20$. On ne connaît pas la répartition interne d’une classe : son effectif seul ne donne pas le nombre exact d’observations égales à une borne ou inférieures à un seuil situé dans la classe.

Choisir une représentation graphique

Un graphique comporte un titre ou une légende, des catégories ou des axes identifiés, une unité et une échelle lisible. Sa représentation doit respecter les proportions des données.

Diagramme en bâtons : valeurs numériques discrètes

On place un bâton à chaque valeur $x_i$ ; sa hauteur représente $n_i$ ou $f_i$, selon l’axe choisi. Les abscisses sont placées selon leur valeur numérique, même lorsqu’elles ne sont pas régulièrement espacées.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La hauteur maximale correspond à $2$ livres. Les $8$ personnes de ce groupe représentent $40\,\%$ des $20$ personnes, et non $8\,\%$.

Diagrammes en barres et en secteurs

Pour des catégories, on peut utiliser des barres séparées de même largeur dont les hauteurs représentent les effectifs. Dans un diagramme circulaire, l’angle d’un secteur est $$\theta_i=360^\circ f_i=360^\circ\frac{n_i}{N}.$$ Les angles ont pour somme $360^\circ$. Pour un jeu pédagogique de $20$ déplacements, supposons $8$ à pied, $10$ en bus et $2$ à vélo. Les fréquences sont $40\,\%$, $50\,\%$, $10\,\%$, donc les angles valent $144^\circ$, $180^\circ$, $36^\circ$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les deux graphiques décrivent la même répartition. Les barres facilitent la comparaison des effectifs ; les secteurs montrent la part de chaque catégorie dans le total.

Histogramme : l’aire représente l’effectif

Pour des mesures regroupées en classes, on trace des rectangles contigus dont les bases sont les intervalles de classe. L’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à l’effectif. Lorsque les amplitudes diffèrent, la hauteur ne peut pas être l’effectif brut.

En choisissant la hauteur $h_i=n_i/a_i$, où $a_i$ est l’amplitude de la classe, l’aire vaut exactement $a_ih_i=n_i$. On appelle $h_i$ une densité d’effectif. Si l’on emploie les fréquences, on choisit $h_i=f_i/a_i$ et l’aire représente alors $f_i$.

Durée en minutes	$[0;10[$	$[10;20[$	$[20;40[$
Effectif	$4$	$8$	$8$
Amplitude	$10$	$10$	$20$
Densité d’effectif	$0{,}4$	$0{,}8$	$0{,}4$

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les deux dernières classes ont le même effectif et la même aire. La dernière, deux fois plus large, a une hauteur deux fois plus petite. Comparer seulement les hauteurs sans lire l’axe vertical donnerait une interprétation erronée.

Résumer la position : moyenne et mode

Moyenne arithmétique pondérée

Pour une série numérique de valeurs $x_i$ et d’effectifs $n_i$, la moyenne est $$\boxed{\overline x=\frac{n_1x_1+\cdots+n_px_p}{N}=\sum_{i=1}^p f_ix_i}.$$ On multiplie chaque valeur par le nombre de fois où elle apparaît. Pour la série des livres, $$\overline x=\frac{2\times0+6\times1+8\times2+4\times3}{20}=\frac{34}{20}=1{,}7.$$ Une moyenne de $1{,}7$ livre par personne n’affirme pas qu’une personne a emprunté une fraction de livre. Elle répartit le total $34$ en $20$ parts égales. La moyenne reste entre la plus petite et la plus grande valeur, et possède la même unité que les observations.

Pour réunir deux groupes, on pondère leurs moyennes par leurs effectifs. Si les groupes ont respectivement $N_1,N_2$ observations et moyennes $m_1,m_2$, la moyenne globale est $(N_1m_1+N_2m_2)/(N_1+N_2)$. Faire simplement $(m_1+m_2)/2$ n’est justifié que dans des situations particulières, notamment si les effectifs sont égaux.

Mode et valeurs regroupées

Un mode est une valeur ou une catégorie d’effectif maximal. Pour les livres, le mode est $2$, car son effectif $8$ est le plus grand. Plusieurs valeurs peuvent partager l’effectif maximal ; on les signale toutes. Le mode peut se déterminer pour des catégories, alors qu’une moyenne de catégories telles que les transports n’a pas de sens.

Lorsque les données ne sont connues que par classes, leur valeur exacte à l’intérieur des classes est perdue. On peut estimer la moyenne en remplaçant chaque classe par son centre. Pour les durées précédentes, les centres sont $5,15,30$, et $$\overline t\approx\frac{4\times5+8\times15+8\times30}{20}=19\ \text{minutes}.$$ Il s’agit d’une estimation, pas d’une moyenne exacte des mesures initiales. De même, le mode exact ne se déduit pas des seuls effectifs de classes. Pour comparer la concentration de classes d’amplitudes inégales, on examine les densités de l’histogramme.

Mesurer la dispersion

Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des valeurs très différemment réparties autour d’elle. Les indicateurs de dispersion décrivent cet écart. Dans ce cours, les formules sont descriptives : on divise par l’effectif total $N$.

Écart moyen autour de la moyenne

L’écart de $x_i$ à la moyenne est $x_i-\overline x$. Les écarts signés ont une somme pondérée nulle, car les valeurs au-dessus et au-dessous se compensent. On utilise donc leurs valeurs absolues pour définir l’écart moyen : $$\boxed{e=\frac1N\sum_{i=1}^p n_i|x_i-\overline x|}.$$ Il s’interprète comme une distance moyenne à $\overline x$ et possède la même unité que les données. Pour les livres, $$e=\frac{2(1{,}7)+6(0{,}7)+8(0{,}3)+4(1{,}3)}{20}=\frac{15{,}2}{20}=0{,}76.$$

Variance et écart-type

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L’écart-type est sa racine carrée : $$\boxed{V=\frac1N\sum_{i=1}^p n_i(x_i-\overline x)^2},\qquad \boxed{\sigma=\sqrt V}.$$ Ces nombres sont positifs ou nuls. Ils sont nuls exactement lorsque toutes les observations ont la même valeur. Si les données sont en minutes, $V$ est en minutes carrées et $\sigma$ en minutes.

En développant les carrés et en utilisant $\sum n_ix_i=N\overline x$, on obtient la formule de calcul équivalente $$V=\frac{\sum n_ix_i^2}{N}-\overline x^{\,2}.$$ Pour les livres, $\sum n_ix_i^2=2\times0^2+6\times1^2+8\times2^2+4\times3^2=74$, donc $$V=\frac{74}{20}-1{,}7^2=3{,}7-2{,}89=0{,}81, \qquad\sigma=0{,}9.$$

Précision du calcul et interprétation

Conserver la moyenne exacte jusqu’à la fin évite d’accumuler les erreurs d’arrondi. Une variance négative indique une erreur de calcul ou d’arrondi ; on revient aux données et à la formule des carrés. Un écart-type n’est pas une borne maximale : toutes les observations ne sont pas nécessairement dans $[\overline x-\sigma;\overline x+\sigma]$.

Une comparaison de dispersion doit conserver des unités et des contextes compatibles. La moyenne décrit un niveau central ; le mode indique la valeur la plus fréquente ; l’écart moyen et l’écart-type décrivent la dispersion. Aucun indicateur ne remplace la lecture de l’ensemble des données.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Organiser un relevé brut

Un jeu pédagogique donne les douze valeurs suivantes : $$0,1,2,1,0,3,2,2,1,4,2,2.$$ Construire le tableau des effectifs et cumuls, puis calculer la moyenne, le mode, la fréquence des valeurs au plus $2$ et celle des valeurs au moins $2$.

Correction. Le comptage donne :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$n_i$	$2$	$3$	$5$	$1$	$1$
$N_i$	$2$	$5$	$10$	$11$	$12$

Le total est bien $12$. La somme pondérée vaut $0+3+10+3+4=20$, donc $\overline x=20/12=5/3$. Le mode est $2$, d’effectif $5$. La fréquence des valeurs au plus $2$ est $10/12=5/6\approx83{,}33\,\%$. Celle des valeurs au moins $2$ est $(5+1+1)/12=7/12\approx58{,}33\,\%$. Ces deux événements se recouvrent sur la valeur $2$ ; leurs fréquences ne doivent pas avoir pour somme $1$.

Exercice 2 - Pourcentages et secteurs

Une répartition pédagogique de $80$ réponses comporte $32$ choix A, $28$ choix B et $20$ choix C. Donner les fréquences, pourcentages et angles d’un diagramme circulaire. Quelle catégorie est modale ?

Correction. Les fréquences sont $32/80=0{,}40$, $28/80=0{,}35$ et $20/80=0{,}25$. Les pourcentages sont $40\,\%$, $35\,\%$ et $25\,\%$. En multipliant les fréquences par $360^\circ$, les angles sont $144^\circ$, $126^\circ$ et $90^\circ$. Leur somme est $360^\circ$, comme attendu. La catégorie modale est A, car $32$ est le plus grand effectif. Un cumul A puis B dépendrait d’un ordre arbitraire et n’apporterait pas ici une information de seuil.

Exercice 3 - Réunir deux groupes

Deux groupes pédagogiques de $12$ et $18$ observations ont respectivement pour moyennes $13$ et $11$. Calculer la moyenne globale et expliquer pourquoi la moyenne simple des deux moyennes donne un résultat différent.

Correction. Les sommes des observations sont $12\times13=156$ et $18\times11=198$. Le total est $354$ pour $30$ observations, donc $$\overline x=\frac{354}{30}=11{,}8.$$ La moyenne simple $(13+11)/2=12$ attribue le même poids aux deux groupes malgré leurs effectifs différents. Le groupe de moyenne $11$ étant plus nombreux, il attire davantage la moyenne globale vers $11$. On vérifie que $11<11{,}8<13$.

Exercice 4 - Trois mesures de dispersion

Pour les quatre durées pédagogiques $4,6,6,8$ minutes, calculer la moyenne, le mode, l’écart moyen, la variance et l’écart-type.

Correction. La moyenne est $(4+6+6+8)/4=6$ minutes. Le mode est $6$, qui apparaît deux fois. Les écarts à la moyenne sont $-2,0,0,2$ ; ainsi $$e=\frac{2+0+0+2}{4}=1\ \text{minute},\qquad V=\frac{4+0+0+4}{4}=2\ \text{minutes}^2.$$ L’écart-type est $\sigma=\sqrt2\approx1{,}414$ minute. La somme des écarts signés est $0$, mais la série n’est pas constante ; c’est pourquoi cette somme ne mesure pas la dispersion.

Exercice 5 - Même moyenne, dispersion différente

Comparer les séries pédagogiques A : $8,10,12$ et B : $2,10,18$. Calculer leurs moyennes, leurs écarts moyens et leurs variances.

Correction. Les deux moyennes valent $10$. Dans A, les distances à $10$ sont $2,0,2$ ; dans B, elles sont $8,0,8$. Par conséquent, $$e_A=\frac43,\quad V_A=\frac83,\qquad e_B=\frac{16}3,\quad V_B=\frac{128}3.$$ Les écarts-types sont $\sqrt{8/3}\approx1{,}633$ et $\sqrt{128/3}\approx6{,}532$. La série B est nettement plus dispersée autour du même niveau moyen. Ses écarts moyens et son écart-type sont quatre fois ceux de A ; sa variance est seize fois plus grande, car elle porte sur des carrés.

Exercice 6 - Transformer les valeurs

Dans la série $4,6,6,8$, on remplace chaque valeur $x$ par $y=3x+2$. Donner la nouvelle série, puis calculer sa moyenne, son écart moyen, sa variance et son écart-type.

Correction. La nouvelle série est $14,20,20,26$ ; sa moyenne vaut $80/4=20$. Les écarts sont $-6,0,0,6$, donc $$e_y=\frac{12}{4}=3,\qquad V_y=\frac{72}{4}=18,\qquad\sigma_y=\sqrt{18}=3\sqrt2.$$ On constate ici que la multiplication par $3$ multiplie les distances à la moyenne par $3$, et leurs carrés par $9$. L’ajout de $2$ déplace toutes les valeurs et la moyenne de la même quantité ; il ne modifie pas leurs écarts mutuels.

Exercice 7 - Classes inégales et moyenne estimée

Des durées pédagogiques sont réparties ainsi : $5$ dans $[0;5[$, $10$ dans $[5;15[$ et $15$ dans $[15;30[$. Calculer les hauteurs d’un histogramme d’effectifs et estimer la moyenne par les centres de classes. Quelle proportion est strictement inférieure à $15$ ?

Correction. Les amplitudes sont $5,10,15$, donc les densités valent respectivement $5/5=1$, $10/10=1$ et $15/15=1$. Les trois rectangles ont la même hauteur ; leurs aires $5,10,15$ correspondent aux effectifs. Le plus grand effectif de la dernière classe vient de sa plus grande largeur, sans concentration plus forte par unité de durée.

Les centres sont $2{,}5$, $10$ et $22{,}5$. La moyenne estimée est $$\overline t\approx\frac{5(2{,}5)+10(10)+15(22{,}5)}{30} =\frac{450}{30}=15.$$ La fréquence strictement inférieure à $15$ est $(5+10)/30=1/2=50\,\%$. La moyenne exacte n’est pas déterminée, car les durées individuelles à l’intérieur des classes sont inconnues.

Exercice 8 - Compléter puis calculer

Une série pédagogique de $50$ observations prend les valeurs $1,2,3$ avec les effectifs $10,a,20$. Déterminer $a$, puis calculer la moyenne, l’écart moyen, la variance et l’écart-type.

Correction. Le total impose $10+a+20=50$, donc $a=20$. La moyenne est $$\overline x=\frac{10+40+60}{50}=2{,}2.$$ L’écart moyen vaut $[10(1{,}2)+20(0{,}2)+20(0{,}8)]/50=32/50=0{,}64$. La somme pondérée des carrés est $10+80+180=270$, donc $$V=\frac{270}{50}-2{,}2^2=5{,}4-4{,}84=0{,}56, \qquad\sigma=\sqrt{0{,}56}\approx0{,}748.$$ Le mode n’est pas unique : les valeurs $2$ et $3$ ont toutes deux l’effectif maximal $20$.

Exercice 9 - Lire correctement les bornes des classes

On compte $4$ valeurs dans $[0;10[$, $6$ dans $[10;20[$ et $10$ dans $[20;30]$. Calculer les cumuls, la proportion strictement inférieure à $20$ et celle supérieure ou égale à $10$. Peut-on connaître exactement le nombre de valeurs dans $[10;20]$ ?

Correction. Le total est $20$. Les cumuls croissants aux fins des trois classes sont $4,10,20$, soit $20\,\%$, $50\,\%$, $100\,\%$. La proportion strictement inférieure à $20$ est $(4+6)/20=50\,\%$. Celle supérieure ou égale à $10$ est $(6+10)/20=80\,\%$.

L’intervalle $[10;20]$ contient les $6$ valeurs de la deuxième classe et toutes celles égales à $20$ dans la troisième. Leur nombre exact n’est pas indiqué : le total recherché peut être compris entre $6$ et $16$. Affirmer qu’il vaut forcément $6$ confondrait $[10;20]$ avec $[10;20[$.

Contrôles à effectuer

Vérifier le total des effectifs, la somme des fréquences et les unités ; lire les bornes de classes ; choisir un graphique cohérent ; pondérer la moyenne ; distinguer calcul exact et estimation par centres ; conserver les valeurs exactes avant l’arrondi final ; interpréter les résultats dans le contexte des données étudiées.

Fin du cours et des exercices corrigés