Rotations du plan - Cours et exercices corrigés | 1re Bac scientifique

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Construire l’image d’un point ou d’une figure, utiliser les longueurs et angles conservés, reconnaître une rotation dans une situation géométrique et résoudre un problème de lieu ou de construction.

Parcours. Le noyau commun concerne les sciences expérimentales, les sciences et technologies et les sciences mathématiques. Les sections consacrées à la décomposition en deux symétries axiales et à la composition de rotations sont des compléments SM. Les transformations sont étudiées géométriquement ; aucune formule analytique de rotation n’est nécessaire.

Prérequis. Angles orientés de vecteurs non nuls, cercle, médiatrice, symétrie axiale, symétrie centrale et barycentre. Le plan est orienté : le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre. Les angles sont considérés modulo $2\pi$.

Définir une rotation

Soient $O$ un point et $\theta$ un angle orienté. La rotation $r$ de centre $O$ et d’angle $\theta$, notée $r_{O,\theta}$, associe à chaque point $M$ un point $M'$.

Deux conditions à respecter

Le centre est fixe : $r(O)=O$. Pour $M\ne O$, le point $M'=r(M)$ est l’unique point tel que $$OM'=OM,\qquad \bigl(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'}\bigr)\equiv\theta\pmod{2\pi}.$$ La distance au centre est conservée et le rayon tourne de l’angle indiqué, dans le bon sens. Il faut les deux conditions : la seule égalité des distances ne détermine pas l’image.

Pour construire $M'$, tracer le cercle de centre $O$ passant par $M$, puis le rayon obtenu en tournant $[OM)$ de l’angle $\theta$. Leur intersection détermine $M'$. Le cas $M=O$ se traite séparément car un angle dont l’un des vecteurs est nul n’est pas défini.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Angles particuliers et points fixes

Une rotation d’angle $0$ modulo $2\pi$ est l’identité : tous les points restent fixes et le centre n’est pas déterminé de manière unique. Une rotation d’angle $\pi$ modulo $2\pi$ est la symétrie centrale de centre $O$ : $O$ est le milieu de $[MM']$. Les angles $\pi/2$ et $-\pi/2$ donnent les deux quarts de tour de sens opposés.

Si $\theta\not\equiv0\pmod{2\pi}$, le seul point fixe est $O$. En effet, un point $M\ne O$ laissé fixe donnerait un angle $\bigl(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM}\bigr)\equiv0$, incompatible avec $\theta$.

Rotation réciproque et reconnaissance

Si $M'=r_{O,\theta}(M)$, alors $M=r_{O,-\theta}(M')$. La rotation réciproque, ou inverse, est donc $$r_{O,\theta}^{-1}=r_{O,-\theta}.$$ Cela montre aussi qu’une rotation est bijective : chaque point possède un unique antécédent. La rotation d’angle $-\theta$ annule l’effet de celle d’angle $\theta$ lorsqu’elles ont le même centre.

Exemple - Trois sommets d’un triangle équilatéral

Soit $OAB$ un triangle équilatéral tel que $\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr)\equiv\pi/3$. Alors $r_{O,\pi/3}(A)=B$, car $OA=OB$ et l’angle est le bon. Pour retrouver $A$ à partir de $B$, on utilise l’angle $-\pi/3$, avec le même centre $O$.

Reconnaître une rotation donnée

Pour prouver qu’un point $B$ est l’image de $A$ par une rotation de centre connu $O$, vérifier $OA=OB$ et l’angle orienté $\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr)$. Une figure visuelle ou un angle non orienté ne suffit pas à choisir entre deux sens de rotation.

Si $A\ne B$ et si l’on cherche un centre possible, la condition $OA=OB$ impose que $O$ appartienne à la médiatrice de $[AB]$. Une seconde paire de points homologues fournit une autre médiatrice. Leur intersection est un candidat : il faut encore vérifier que les angles orientés conviennent à la même rotation. Une seule paire de points ne suffit généralement pas à déterminer le centre si l’angle n’est pas fixé.

Ce qu’une rotation conserve

Pour $A'=r(A)$ et $B'=r(B)$, une rotation conserve les distances : $A'B'=AB$. C’est donc une isométrie. Elle conserve aussi les mesures des angles orientés entre deux vecteurs non nuls : $$\bigl(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{C'D'}\bigr) \equiv\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\bigr)\pmod{2\pi}.$$ La direction de chaque vecteur est tournée du même angle ; la différence entre les deux directions reste inchangée. En particulier, une rotation conserve alignement, parallélisme, perpendicularité, angles géométriques et nature d’un triangle.

Une distinction utile

Les angles entre deux vecteurs sont conservés, mais la direction d’une droite n’est généralement pas conservée. L’image d’une droite par un quart de tour est perpendiculaire à cette droite. On ne doit pas conclure automatiquement que toute droite et son image sont parallèles.

Milieux et barycentres

Si $I$ est le milieu de $[AB]$, son image $I'$ est le milieu de $[A'B']$. Plus généralement, une rotation conserve les barycentres avec les mêmes coefficients : si $$G=\operatorname{bar}\{(A_1,\alpha_1),\ldots,(A_n,\alpha_n)\}, \qquad \alpha_1+\cdots+\alpha_n\ne0,$$ alors $r(G)=\operatorname{bar}\{(r(A_1),\alpha_1),\ldots,(r(A_n),\alpha_n)\}$. Les coefficients ne changent pas ; c’est la figure entière qui tourne. Cette propriété permet notamment de transporter un centre de gravité ou un point défini par un partage de segment.

Exemple - Transporter un partage

Si $\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}$, alors $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,1)$. Après une rotation, $\overrightarrow{A'G'}=\frac13\overrightarrow{A'B'}$. On construit donc $G'$ sur le segment image au même tiers, en partant de $A'$.

Pourquoi les triangles sont superposables

Si $A',B',C'$ sont les images de $A,B,C$, les trois longueurs des côtés sont conservées. Les deux triangles sont donc isométriques, avec des sommets homologues dans le même ordre d’orientation. Une symétrie axiale conserve aussi les longueurs, mais inverse l’orientation : cette différence aide à ne pas confondre les deux transformations.

Images de figures et lieux géométriques

Une rotation étant bijective, chaque point de la figure image correspond à un point de la figure de départ. Cela justifie les égalités d’ensembles, et pas seulement une inclusion.

Figure de départ	Image par $r$
Droite $(AB)$, $A\ne B$	Droite $(A'B')$
Segment $[AB]$	Segment $[A'B']$
Demi-droite $[AB)$	Demi-droite $[A'B')$
Cercle de centre $C$, rayon $R>0$	Cercle de centre $C'=r(C)$, rayon $R$
Angle formé par deux demi-droites	Angle formé par leurs images
Intersection $E\cap F$	$r(E)\cap r(F)$

Pour une droite, il suffit donc de construire les images de deux points distincts. Pour un cercle, on transforme son centre et on conserve son rayon. Un cercle centré au centre de rotation reste globalement invariant, même si chacun de ses points se déplace.

Exemple - Un lieu transporté

Si $M$ parcourt le cercle de centre $C$ et de rayon $3$ cm, alors $N=r(M)$ parcourt le cercle de centre $r(C)$ et de rayon $3$ cm. La réciproque est importante : pour tout point $N$ de ce dernier cercle, $M=r^{-1}(N)$ vérifie $CM=3$ cm. Le lieu est donc le cercle entier.

Une méthode de construction par rotation inverse

On cherche $M$ sur une figure $E$ tel que $r(M)$ appartienne à une figure $F$. Cela équivaut à $$M\in E\cap r^{-1}(F).$$ La méthode consiste à construire la figure inverse $r^{-1}(F)$, chercher ses intersections avec $E$, puis vérifier les points obtenus. Selon la position des figures, il peut y avoir zéro, une, plusieurs ou une infinité de solutions.

Utiliser une rotation dans une preuve

Chercher deux rayons de même longueur formant un angle connu, puis identifier une deuxième paire de points transformés par la même rotation. Les segments joignant les points homologues ont alors la même longueur et leurs directions diffèrent de l’angle de la rotation.

Par exemple, si $r(A)=B$ et $r(C)=D$, alors $AC=BD$. Lorsque $A\ne C$, on a aussi $\bigl(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\bigr)\equiv\theta$. Il faut conserver l’ordre des extrémités : remplacer $\overrightarrow{BD}$ par $\overrightarrow{DB}$ ajoute un angle $\pi$.

Complément SM : deux symétries axiales

On note $s_d$ la symétrie orthogonale d’axe $d$. La composée $s_e\circ s_d$ signifie : appliquer d’abord $s_d$, ensuite $s_e$.

Deux axes sécants

Si $d$ et $e$ se coupent en $O$, alors $s_e\circ s_d$ est la rotation de centre $O$ et d’angle $2(d,e)$ modulo $2\pi$. L’angle orienté de deux droites est défini modulo $\pi$ ; son double est donc bien défini modulo $2\pi$.

Pour comprendre le facteur $2$, choisissons des directions d’angles $\alpha$ et $\beta$ pour les axes, et une direction d’angle $t$ pour un rayon issu de $O$. La première symétrie transforme $t$ en $2\alpha-t$ ; la seconde donne $$2\beta-(2\alpha-t)=t+2(\beta-\alpha).$$ La distance à $O$ est conservée par les deux symétries. On retrouve donc la définition de la rotation.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Exemple - Construire un quart de tour

Deux axes passant par $O$ et formant un angle orienté $\pi/4$ donnent, dans cet ordre, une rotation d’angle $\pi/2$. Inverser l’ordre des symétries donne l’angle $-\pi/2$.

Décomposer une rotation

Pour écrire $r_{O,\theta}=s_e\circ s_d$, choisir librement une droite $d$ passant par $O$, puis une droite $e$ telle que $(d,e)\equiv\theta/2\pmod\pi$. La décomposition n’est donc pas unique.

Si les deux axes sont parallèles et distincts, la composée est une translation, de vecteur perpendiculaire aux axes et de longueur égale au double de leur distance, orienté du premier axe vers le second. En effet, sur chaque perpendiculaire commune, les deux réflexions successives déplacent chaque point du même double écart. Si les axes sont confondus, la composée est l’identité.

Complément SM : composer deux rotations

Même centre

Les distances au centre restent identiques et les angles s’additionnent. Ainsi $$r_{O,\beta}\circ r_{O,\alpha}=r_{O,\alpha+\beta}.$$ Une somme multiple de $2\pi$ donne l’identité. Par exemple, deux quarts de tour directs donnent un demi-tour ; six rotations successives d’angle $\pi/3$ et de même centre ramènent chaque point à sa position initiale.

Centres quelconques : le rôle de la somme des angles

Pour $r_1=r_{O_1,\alpha}$ et $r_2=r_{O_2,\beta}$ :

• si $\alpha+\beta\not\equiv0\pmod{2\pi}$, la composée $r_2\circ r_1$ est une rotation d’angle $\alpha+\beta$ ; son centre n’est généralement ni $O_1$ ni $O_2$ ;

• si $\alpha+\beta\equiv0\pmod{2\pi}$, la composée est une translation, éventuellement l’identité.

Pour le justifier lorsque $O_1\ne O_2$, prendre l’axe commun $D=(O_1O_2)$. On peut choisir des axes $d_1$ et $d_2$ tels que $$r_1=s_D\circ s_{d_1},\qquad r_2=s_{d_2}\circ s_D.$$ Comme $s_D\circ s_D$ est l’identité, $r_2\circ r_1=s_{d_2}\circ s_{d_1}$. Les axes restants sont sécants, parallèles ou confondus ; les résultats de la section précédente donnent les cas annoncés.

L’ordre compte

Pour des centres différents, on ne peut généralement pas permuter deux rotations. Même quand les sommes d’angles sont égales, les centres ou les vecteurs de translation obtenus peuvent être différents. Il faut suivre les images successives dans l’ordre indiqué.

Si la composée est une translation $t_{\vec v}$, il suffit de suivre un point $P$ pour déterminer $\vec v=\overrightarrow{P\,r_2(r_1(P))}$. Le choix $P=O_1$ simplifie le calcul puisque $r_1(O_1)=O_1$.

Exemple - Deux symétries centrales

Une symétrie centrale est une rotation d’angle $\pi$. Si $M'=s_A(M)$ puis $N=s_B(M')$, les milieux des segments $[MM']$ et $[M'N]$ sont respectivement $A$ et $B$. Dans le triangle $MM'N$, le théorème des milieux donne $$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AB}.$$ Donc $s_B\circ s_A$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{AB}$. L’ordre inverse donne $2\overrightarrow{BA}$ ; pour $A=B$, on obtient l’identité.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Images de sommets d’un carré

Soit $ABCD$ un carré dont les sommets sont écrits dans le sens direct, et $O$ son centre. Pour $r=r_{O,\pi/2}$, déterminer les images de $A$, de $[AB]$, de $(AC)$ et du cercle circonscrit. Donner aussi $r^{-1}(A)$.

Correction. Les quatre sommets sont sur le même cercle de centre $O$ et les rayons consécutifs forment un angle direct $\pi/2$. Ainsi $A\mapsto B$, $B\mapsto C$, $C\mapsto D$, $D\mapsto A$. Donc $r([AB])=[BC]$ et $r((AC))=(BD)$. Le cercle circonscrit reste invariant, car son centre est fixe et son rayon conservé. L’antécédent de $A$ est $D$ : $r^{-1}(A)=D$. Les diagonales image et initiale sont ici perpendiculaires, non parallèles.

Exercice 2 - Reconnaître un angle orienté

Un triangle $OAB$ est équilatéral avec $\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr)\equiv-\pi/3$. Quelle rotation de centre $O$ envoie $A$ sur $B$ ? La rotation d’angle $\pi/3$ convient-elle ?

Correction. Comme $OA=OB$, l’angle donné montre que $r_{O,-\pi/3}(A)=B$. L’angle $\pi/3$ n’est pas congru à $-\pi/3$ modulo $2\pi$ ; la rotation directe de $\pi/3$ ne convient donc pas. Elle envoie $A$ sur l’autre sommet possible du triangle équilatéral construit sur $[OA]$. L’angle non orienté de $60$ degrés ne suffisait pas à choisir le sens.

Exercice 3 - Un lieu et sa réciproque

Soit $r$ une rotation, $C'=r(C)$, et $M$ un point tel que $CM=4$ cm. Quel est le lieu de $N=r(M)$ ? Que devient ce lieu si $M$ est limité à un arc de ce cercle ?

Correction. La conservation des distances donne $C'N=CM=4$ cm. Réciproquement, si $C'N=4$ cm, alors $M=r^{-1}(N)$ vérifie $CM=4$ cm. Le lieu de $N$ est donc le cercle entier de centre $C'$ et de rayon $4$ cm. Si $M$ ne parcourt qu’un arc, $N$ parcourt uniquement son arc image : les extrémités sont transformées et l’orientation de parcours est conservée. On ne remplace pas un arc par le cercle entier.

Exercice 4 - Barycentre transporté

On sait que $G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,1),(C,3)\}$. Une rotation envoie $A,B,C$ sur $A',B',C'$. Caractériser $G'=r(G)$. Si $I$ est le milieu de $[AC]$, que vaut $r(I)$ ?

Correction. La somme des coefficients est $6\ne0$, donc le barycentre existe et est unique. La rotation conserve les coefficients : $$G'=\operatorname{bar}\{(A',2),(B',1),(C',3)\},\qquad 2\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+3\overrightarrow{G'C'}=\vec0.$$ Le point $r(I)$ est le milieu de $[A'C']$. Il n’est pas nécessaire de chercher des coordonnées pour transporter ces constructions.

Exercice 5 - Deux triangles équilatéraux

On suppose $OA=OB$, $OC=OD$ et $\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr)\equiv \bigl(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}\bigr)\equiv\pi/3$. Les points $A,C$ sont distincts et aucun des quatre points n’est $O$. Montrer que $AC=BD$ et déterminer l’angle orienté entre $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$.

Correction. Les deux couples de conditions définissent la même rotation $r_{O,\pi/3}$ : elle envoie $A$ sur $B$ et $C$ sur $D$. Elle transforme donc le segment $[AC]$ en $[BD]$, d’où $AC=BD$. Comme la direction d’un vecteur est tournée de l’angle de la rotation, $$\bigl(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\bigr)\equiv\pi/3\pmod{2\pi}.$$ La distinction $A\ne C$ assure que ces vecteurs sont non nuls, la rotation étant injective.

Exercice 6 - Une construction avec deux droites

Soient $r$ une rotation et $d,e$ deux droites. Construire tous les points $M\in d$ tels que $r(M)\in e$, et expliquer le nombre possible de solutions.

Correction. Construire $e'=r^{-1}(e)$ en prenant deux points distincts de $e$ et en construisant leurs images par la rotation inverse. Les solutions sont exactement les points de $d\cap e'$. Si les droites sont sécantes, il y a une solution ; si elles sont parallèles distinctes, aucune ; si elles sont confondues, tous les points de $d$ conviennent. La réciproque vient de $M\in e'\Longrightarrow r(M)\in e$. Les points trouvés satisfont donc bien les deux conditions.

Exercice 7 - Décomposition en symétries (SM)

Deux axes $d,e$ se coupent en $O$ avec $(d,e)\equiv\pi/6\pmod\pi$. Identifier $s_e\circ s_d$ et $s_d\circ s_e$. Proposer une décomposition de $r_{O,-\pi/2}$.

Correction. La première composée est $r_{O,\pi/3}$ ; l’ordre inverse donne $r_{O,-\pi/3}$. Pour décomposer le quart de tour indirect, choisir un axe $u$ passant par $O$, puis un axe $v$ tel que $(u,v)\equiv-\pi/4\pmod\pi$. Alors $s_v\circ s_u=r_{O,-\pi/2}$. Les demi-angles et l’ordre des symétries sont indispensables.

Exercice 8 - Même centre et itérations (SM)

Soient $r=r_{O,2\pi/3}$ et $q=r_{O,\pi/2}$. Identifier $q\circ r$, puis $r^3$ et $q\circ q$.

Correction. Le centre est commun, donc on additionne les angles : $$q\circ r=r_{O,7\pi/6}=r_{O,-5\pi/6}.$$ Trois applications de $r$ donnent l’angle $2\pi$, donc $r^3$ est l’identité. Deux applications de $q$ donnent $\pi$ : $q\circ q$ est la symétrie centrale de centre $O$. L’égalité entre $7\pi/6$ et $-5\pi/6$ est une congruence modulo $2\pi$, pas une égalité réelle.

Exercice 9 - Deux centres et l’ordre (SM)

Soient $A\ne B$ et $s_A,s_B$ les symétries centrales de centres $A,B$. Identifier $s_B\circ s_A$ et son inverse. Pour une rotation $r_1$ de centre $A$ et d’angle $\theta$, puis une rotation $r_2$ de centre $B$ et d’angle $-\theta$, comment trouver le vecteur de la composée ?

Correction. Le théorème des milieux donne $s_B\circ s_A=t_{2\overrightarrow{AB}}$. Son inverse est $t_{2\overrightarrow{BA}}=s_A\circ s_B$. Dans la seconde question, la somme des angles est nulle modulo $2\pi$, donc $r_2\circ r_1$ est une translation. Comme $r_1(A)=A$, son vecteur vaut $$\vec v=\overrightarrow{A\,r_2(A)}.$$ On construit donc l’image de $A$ par $r_2$. Si $\theta\not\equiv0\pmod{2\pi}$, alors $r_2$ a pour seul point fixe $B$ ; puisque $A\ne B$, le vecteur est non nul. Si $\theta\equiv0$, les deux rotations sont l’identité et $\vec v=\vec0$.

Fin du cours et des exercices corrigés