Proportionnalité, pourcentages et échelles | 1re bac lettres, originel et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Reconnaître une situation proportionnelle, choisir une méthode de calcul, interpréter un pourcentage et utiliser une échelle en contrôlant les unités. Les applications proposées concernent des achats, des documents, des déplacements, des répartitions et des projets graphiques.

Données pédagogiques. Les prix, effectifs, tarifs et mesures des exemples sont fictifs. Ils servent à étudier des modèles simples ; ils ne décrivent aucun tarif ou relevé réel.

Reconnaître la proportionnalité

Un coefficient commun à toutes les valeurs

Deux grandeurs $x$ et $y$ sont proportionnelles lorsque, dans la situation étudiée, on passe de chaque valeur de $x$ à la valeur correspondante de $y$ en multipliant par un même nombre $k$ : $$\boxed{y=kx.}$$ Le nombre $k$ est le coefficient de proportionnalité de $x$ vers $y$. Il dépend du sens choisi et des unités. Lorsque $k\ne0$, le coefficient de $y$ vers $x$ est $1/k$. Pour des quantités et des prix strictement positifs, on obtient un coefficient positif.

Exemple - Une impression sans frais fixes

Un service fictif facture chaque page $0{,}40$ DH, sans frais supplémentaires. Pour $n$ pages, le prix est $P=0{,}40n$.

Nombre de pages $n$	$10$	$25$	$40$	$100$
Prix $P$ en DH	$4$	$10$	$16$	$40$

Le coefficient est $0{,}40$ DH par page. Pour retrouver le nombre de pages à partir du prix, on divise par $0{,}40$. Le modèle porte ici sur des nombres entiers de pages.

Trois contrôles utiles

Pour les colonnes dont la première valeur est non nulle, on compare les quotients $y/x$. Ils doivent être égaux. Si une colonne contient $x=0$, on doit avoir $y=0$ : on ne calcule jamais $y/0$.

Si l’on multiplie une quantité par un nombre, la quantité correspondante doit être multipliée par le même nombre. Par exemple, doubler le nombre de pages double le prix du service précédent.

Enfin, dans un modèle proportionnel, la somme de deux valeurs de $x$ correspond à la somme des valeurs de $y$ : $$k(x_1+x_2)=kx_1+kx_2.$$ Ces propriétés aident à compléter un tableau ; elles ne remplacent pas l’examen des conditions du problème.

Un tarif fixe change le modèle

Avec $5$ DH de frais fixes puis $0{,}40$ DH par page, $P=5+0{,}40n$. Pour $10$ et $20$ pages, on paierait $9$ et $13$ DH : le prix ne double pas. Ce tarif n’est pas proportionnel.

Une remise par quantité peut aussi empêcher l’existence d’un coefficient unique. Un tableau compatible avec la proportionnalité décrit les valeurs fournies. Pour appliquer le même coefficient à d’autres valeurs, il faut que l’énoncé ou les conditions de la situation autorisent ce modèle.

Calculer dans un tableau de proportionnalité

Passage par l’unité, coefficient et linéarité

Supposons que $6$ cahiers identiques coûtent $45$ DH, avec un prix constant par cahier. Un cahier coûte $45/6=7{,}50$ DH. Ainsi $14$ cahiers coûtent $$14\times7{,}50=105\ \text{DH}.$$ On peut aussi décomposer $14=6+6+2$ : deux cahiers coûtent le tiers de $45$, soit $15$ DH, puis $45+45+15=105$ DH. On choisit la méthode qui rend le calcul et sa justification les plus clairs.

Quatrième proportionnelle

Dans le tableau proportionnel $$\begin{array}{c|cc} \text{Première grandeur}&a&b\\\hline \text{Deuxième grandeur}&c&d \end{array}$$ on a $ad=bc$. Si $a\ne0$, la valeur manquante est $d=bc/a$. Cette relation, appelée égalité des produits en croix, est une conséquence de la proportionnalité. Elle ne prouve pas à elle seule que la situation entière doit être modélisée ainsi.

Exemple - Adapter un mélange

Une recette de boisson utilise $180$ mL de sirop pour $1{,}5$ L de boisson finale. On veut $4$ L de la même boisson, de composition inchangée. Le volume de sirop recherché est $$s=\frac{180\times4}{1{,}5}=480\ \text{mL}.$$ Le rapport entre volumes finaux est $4/1{,}5=8/3$ ; il multiplie aussi le volume de sirop. Ici, les deux volumes finaux sont exprimés en litres. Si l’on compare directement sirop et boisson finale, on convertit $180$ mL en $0{,}180$ L.

Une méthode en quatre étapes

Identifier les deux grandeurs et le modèle ; indiquer leurs unités ; écrire le coefficient ou l’égalité des rapports ; calculer puis vérifier l’ordre de grandeur. Une quantité multipliée par $3$ doit entraîner une quantité correspondante multipliée par $3$.

Lire un graphique proportionnel

Dans un repère, les points d’une relation $y=kx$ sont sur une droite passant par l’origine $O(0;0)$. Réciproquement, les points d’une droite passant par $O$, non verticale, vérifient une relation de cette forme. Un alignement sur une droite ne suffit donc pas : le passage par l’origine est essentiel.

Pour une durée positive et une vitesse constante de $4$ km/h, la distance parcourue en $t$ heures est $d=4t$. Le domaine utile est $t\ge0$ : on représente une demi-droite. Une durée de $1$ h $30$ min vaut $1{,}5$ h, et non $1{,}30$ h.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le point $A$ signifie qu’en $1$ h $30$ min on parcourt $6$ km. Le coefficient $d/t=4$ se lit avec les unités des axes. Une graduation différente change l’inclinaison apparente du tracé, mais pas la relation physique.

Comprendre un pourcentage

Partie, total et taux

Dire qu’une partie représente $p\,\%$ d’un total positif $T$ signifie que son effectif ou sa valeur $A$ vérifie $$\boxed{A=\frac{p}{100}T.}$$ Selon l’inconnue, on utilise les trois formes suivantes : $$A=\frac{pT}{100},\qquad p=\frac{100A}{T}\ (T>0),\qquad T=\frac{100A}{p}\ (p>0).$$ Pour une partie incluse dans un ensemble, $0\le A\le T$ et le pourcentage appartient à $[0;100]$. Un rapport entre deux autres grandeurs de même nature peut dépasser $100\,\%$ : $150$ est $125\,\%$ de $120$.

Exemples - Trois questions différentes

Dans un groupe pédagogique de $240$ personnes, $35\,\%$ choisissent un atelier : il y a $0{,}35\times240=84$ inscriptions. Si $54$ personnes sur $180$ choisissent une activité, leur part vaut $100\times54/180=30\,\%$. Enfin, si $63$ personnes représentent $45\,\%$ d’un groupe, le total est $63/0{,}45=140$ personnes.

On vérifie la cohérence des effectifs. Une quantité de personnes doit être entière ; une donnée arrondie en pourcentage peut ne permettre qu’une estimation du total.

Toujours identifier la base

Dans un établissement fictif de $500$ élèves, $40\,\%$ sont membres d’un club, et $30\,\%$ de ces membres participent à une sortie. Les bases successives sont $500$, puis $200$ : $$500\times0{,}40=200,\qquad 200\times0{,}30=60.$$ La sortie concerne $60/500=12\,\%$ de l’établissement. Un pourcentage d’un pourcentage se calcule en multipliant les deux proportions : $0{,}40\times0{,}30=0{,}12$.

Pourcentage et points de pourcentage

Une proportion passant de $20\,\%$ à $25\,\%$ augmente de $5$ points de pourcentage. Son augmentation relative est $(25-20)/20=25\,\%$. Les nombres $5$ et $25$ répondent à deux questions différentes.

Augmentations, diminutions et retour à la valeur initiale

Le coefficient multiplicateur

Si une valeur positive $V_i$ augmente de $p\,\%$, on ajoute $pV_i/100$ : $$V_f=V_i\left(1+\frac p{100}\right).$$ Si elle diminue de $p\,\%$, avec $0\le p\le100$, alors $$V_f=V_i\left(1-\frac p{100}\right).$$ Une hausse de $8\,\%$ correspond au coefficient $1{,}08$ ; une baisse de $15\,\%$ au coefficient $0{,}85$. Le taux d’évolution, écrit sous forme décimale, est $$t=\frac{V_f-V_i}{V_i},\qquad V_i>0.$$ On le multiplie par $100$ pour l’exprimer en pourcentage. Il est négatif en cas de baisse.

Exemple - Retrouver un prix avant remise

Après une remise de $12\,\%$, un objet coûte $352$ DH. Si $P$ désigne le prix initial, $0{,}88P=352$, d’où $P=352/0{,}88=400$ DH. Ajouter $12\,\%$ à $352$ ne convient pas : cette augmentation utiliserait $352$ comme base, alors que la remise utilisait $400$.

Évolutions successives

Deux évolutions de coefficients $c_1$ puis $c_2$ donnent le coefficient global $c_1c_2$. Pour une hausse de $20\,\%$ suivie d’une baisse de $10\,\%$, $$1{,}20\times0{,}90=1{,}08.$$ Le résultat est une hausse de $8\,\%$. On ne peut pas additionner directement $20$ et $-10$, car la deuxième évolution porte sur une nouvelle base.

Pour annuler une évolution de coefficient $c>0$, on applique $1/c$. Une baisse de $20\,\%$ donne $c=0{,}8$ ; le retour exige $1/0{,}8=1{,}25$, soit une hausse de $25\,\%$. Après une baisse de $100\,\%$, la valeur est nulle : aucun coefficient multiplicateur fini ne reconstitue une valeur initiale positive.

Réunir deux groupes

Les pourcentages de groupes d’effectifs différents ne se moyennent pas directement. Pour des groupes d’effectifs $N_1,N_2$ et des proportions $r_1,r_2$ écrites sous forme décimale, la proportion globale est $$r=\frac{r_1N_1+r_2N_2}{N_1+N_2},\qquad N_1+N_2>0.$$ On calcule d’abord les effectifs concernés. Cette méthode respecte la taille de chaque groupe.

Utiliser une échelle

Comparer des longueurs dans la même unité

L’échelle d’un plan ou d’une carte est le rapport $$\boxed{e=\frac{\text{longueur représentée}}{\text{longueur réelle}}}$$ lorsque les deux longueurs sont exprimées dans la même unité. Pour une réduction à l’échelle $1:n$, avec $n>1$, une unité sur le dessin représente $n$ unités dans la réalité : $$L_{\text{plan}}=\frac{L_{\text{réel}}}{n}, \qquad L_{\text{réel}}=nL_{\text{plan}}.$$ Une reproduction agrandie à l’échelle $3:1$ multiplie les longueurs par $3$. On ne confond pas le rapport lui-même, $e$, et son dénominateur $n$.

Exemple - Distance sur une carte

À l’échelle $1:25\,000$, une distance de $3{,}6$ cm représente $$3{,}6\times25\,000=90\,000\ \text{cm}=900\ \text{m}=0{,}9\ \text{km}.$$ Réciproquement, $1{,}2$ km valent $120\,000$ cm et occupent $120\,000/25\,000=4{,}8$ cm sur cette carte. On peut mémoriser ici que $1$ cm représente $250$ m.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le schéma est coté : on utilise les mesures écrites, sans mesurer l’image à l’écran. À l’échelle $1:100$, $6$ cm correspondent à $600$ cm et $3{,}5$ cm à $350$ cm.

Une échelle de longueur n’est pas une échelle d’aire

Si chaque longueur est multipliée par $k>0$, l’aire d’un rectangle est multipliée par $k^2$, car $$(kL)(k\ell)=k^2L\ell.$$ Pour la salle précédente, l’aire réelle vaut $6\times3{,}5=21$ m$^2$. L’aire du plan, calculée à partir des cotes, vaut $21$ cm$^2$. Le facteur entre ces aires dans une même unité est $100^2=10\,000$, et non $100$ ; ainsi $21\times10\,000=210\,000$ cm$^2=21$ m$^2$.

Une photocopie agrandie à $150\,\%$ multiplie les longueurs par $1{,}5$ et les aires par $2{,}25$. Si le document initial était à l’échelle $1:300$, la nouvelle échelle est $1{,}5/300=1/200$. L’indication d’échelle d’origine doit donc être adaptée après un changement de taille.

Pour conserver les proportions d’une affiche, on applique le même coefficient à sa largeur et à sa hauteur. Une affiche de $30$ cm sur $45$ cm portée à $72$ cm de hauteur utilise le facteur $72/45=1{,}6$ : sa largeur devient $48$ cm. L’étirer à $50$ cm sur $72$ cm emploierait deux facteurs différents, $50/30$ et $72/45$, et déformerait son contenu. Ce contrôle est utile pour une maquette, un logo ou une reproduction.

Exercices entièrement corrigés

Les exercices suivants utilisent des données pédagogiques. Chaque correction explicite la base du calcul et l’unité du résultat.

Exercice 1 - Tester trois tableaux

Déterminer lesquels de ces tableaux sont proportionnels ; donner leur coefficient lorsqu’il existe. $$\begin{array}{c|rrr} x&2&5&8\\\hline y&7&17{,}5&28 \end{array} \qquad \begin{array}{c|rrr} x&0&2&4\\\hline y&3&7&11 \end{array} \qquad \begin{array}{c|rrr} x&3&6&9\\\hline y&12&24&35 \end{array}$$ Correction. Pour le premier, $7/2=17{,}5/5=28/8=3{,}5$ : le coefficient vaut $3{,}5$. Dans le deuxième, $x=0$ correspond à $y=3$ ; ce seul constat exclut la proportionnalité. Il décrit ici $y=2x+3$. Dans le troisième, $12/3=24/6=4$, mais $35/9\ne4$ ; la troisième valeur devrait être $36$. Deux colonnes cohérentes ne dispensent pas de vérifier la troisième.

Exercice 2 - Compléter et comparer des méthodes

À prix unitaire constant, $12$ enveloppes coûtent $18$ DH. Calculer le prix de $7$ puis de $30$ enveloppes. Combien peut-on acheter d’enveloppes avec exactement $45$ DH ? Correction. Le prix unitaire est $18/12=1{,}50$ DH. Les prix sont donc $7\times1{,}50=10{,}50$ DH et $30\times1{,}50=45$ DH. On peut aussi obtenir le second résultat avec $30/12=2{,}5$, puis $18\times2{,}5=45$. Le budget permet $45/1{,}50=30$ enveloppes, sans reste. Le coefficient du prix vers le nombre d’enveloppes vaut $1/1{,}50=2/3$ enveloppe par DH.

Exercice 3 - Interpréter un graphique

Une droite passant par l’origine contient le point $A(2{,}5;15)$, où l’abscisse est une durée en heures et l’ordonnée une distance en kilomètres. Le mouvement est modélisé à vitesse constante. Déterminer la distance en $45$ minutes et la durée nécessaire pour $21$ km. Correction. Le coefficient est $15/2{,}5=6$ km/h. Or $45$ minutes valent $45/60=0{,}75$ h. La distance est $6\times0{,}75=4{,}5$ km. Pour $21$ km, la durée vaut $21/6=3{,}5$ h, soit $3$ h $30$ min. La relation est $d=6t$, pour $t\ge0$. Utiliser $0{,}45$ h aurait représenté $27$ minutes et aurait faussé le calcul.

Exercice 4 - Une recette et un partage proportionnel

Une recette pour $8$ personnes utilise $600$ g de semoule et $1{,}2$ L de liquide. Adapter les quantités à $14$ personnes. Par ailleurs, partager $900$ DH entre trois activités dans le rapport $2:3:5$. Correction. Le facteur d’adaptation est $14/8=1{,}75$. Il faut $600\times1{,}75=1\,050$ g de semoule, soit $1{,}05$ kg, et $1{,}2\times1{,}75=2{,}1$ L de liquide. On suppose conservées les quantités par personne.

Le rapport $2:3:5$ représente $2+3+5=10$ parts égales. Une part vaut $900/10=90$ DH. Les montants sont donc $180$, $270$ et $450$ DH. Leur somme est $900$ DH et leurs rapports à $2$, $3$ et $5$ sont tous égaux à $90$.

Exercice 5 - Partie, pourcentage et total

Un groupe de $320$ personnes comporte $120$ inscrits à une activité. Calculer leur pourcentage. Une autre activité rassemble $18\,\%$ d’un groupe de $250$ personnes : combien d’inscrits ? Enfin, $72$ inscrits représentent $24\,\%$ d’un troisième groupe : déterminer son effectif. Correction. Pour la première question, la base est $320$, donc $100\times120/320=37{,}5\,\%$. Pour la deuxième, l’effectif est $0{,}18\times250=45$. Pour la troisième, $0{,}24N=72$, d’où $N=72/0{,}24=300$. Les bases respectives sont $320$, $250$ et $300$ ; changer de groupe change le total de référence.

Exercice 6 - Deux évolutions et leur annulation

Un prix de $800$ DH augmente de $15\,\%$, puis diminue de $20\,\%$. Calculer le prix final et le taux global. Quelle hausse faudrait-il ensuite appliquer pour revenir à $800$ DH ? Correction. Après la hausse, le prix vaut $800\times1{,}15=920$ DH. Après la baisse, il vaut $920\times0{,}80=736$ DH. Le coefficient global est $1{,}15\times0{,}80=0{,}92$ ; le taux global est donc $-8\,\%$.

Pour revenir à $800$ DH, le coefficient nécessaire est $800/736=25/23$. La hausse vaut $(25/23-1)\times100=200/23\,\%\approx8{,}70\,\%$. Elle n’est pas de $8\,\%$, car sa base est $736$. On garde la fraction exacte si l’on veut retrouver exactement $800$.

Exercice 7 - Évolution inverse et points de pourcentage

Après une hausse de $6\,\%$, une cotisation fictive atteint $318$ DH. Retrouver la cotisation initiale. Dans un relevé indépendant, une proportion passe de $32\,\%$ à $40\,\%$ : exprimer les deux façons usuelles de décrire cette évolution. Correction. Si $C$ est la cotisation initiale, $1{,}06C=318$, d’où $C=300$ DH. La hausse en valeur est $18$ DH, et $18/300=0{,}06$.

La proportion gagne $40-32=8$ points de pourcentage. Son augmentation relative est $(40-32)/32=1/4=25\,\%$. La première mesure est une différence de proportions ; la seconde compare cette différence à la proportion initiale.

Exercice 8 - Regroupement et pourcentage d’un pourcentage

Un groupe A de $120$ élèves compte $35\,\%$ d’inscrits à un atelier. Un groupe B de $80$ élèves en compte $60\,\%$. Calculer la proportion d’inscrits dans les deux groupes réunis. Parmi ces inscrits, $40\,\%$ participent à une exposition : quel pourcentage de l’ensemble des élèves cela représente-t-il ? Correction. Le groupe A fournit $0{,}35\times120=42$ inscrits ; B en fournit $0{,}60\times80=48$. Il y a donc $90$ inscrits sur $200$ élèves, soit $45\,\%$. La moyenne simple $(35+60)/2=47{,}5\,\%$ serait incorrecte, car les effectifs diffèrent.

L’exposition réunit $0{,}40\times90=36$ élèves, soit $36/200=18\,\%$ de l’ensemble. On retrouve $0{,}40\times0{,}45=0{,}18$.

Exercice 9 - Mesures sur une carte

Sur une carte à l’échelle $1:50\,000$, deux lieux sont séparés de $7{,}4$ cm en ligne droite. Calculer la distance réelle correspondante. Une autre distance réelle est de $5$ km : quelle longueur la représente ? Une nouvelle carte représente $3$ km par $12$ cm : quelle est son échelle ? Correction. La première distance est $$7{,}4\times50\,000=370\,000\ \text{cm}=3\,700\ \text{m}=3{,}7\ \text{km}.$$ La deuxième longueur vaut $500\,000/50\,000=10$ cm, après conversion de $5$ km en centimètres. Pour la nouvelle carte, $3$ km valent $300\,000$ cm, donc $$e=\frac{12}{300\,000}=\frac1{25\,000}.$$ Son échelle est $1:25\,000$. Une distance entre deux lieux mesurée en ligne droite ne donne pas forcément la longueur d’une route qui les relie.

Exercice 10 - Plan, aire et agrandissement

Un espace d’exposition rectangulaire mesure $18$ m sur $12$ m. On le représente à l’échelle $1:300$. Déterminer les dimensions et l’aire du rectangle sur le plan. Une photocopie agrandit ensuite chaque longueur à $150\,\%$ : calculer les nouvelles dimensions, la nouvelle aire sur le document et la nouvelle échelle. Correction. Les dimensions réelles sont $1\,800$ cm et $1\,200$ cm. Sur le plan, elles deviennent $1\,800/300=6$ cm et $1\,200/300=4$ cm ; l’aire vaut donc $24$ cm$^2$. L’aire réelle est $18\times12=216$ m$^2$.

Après agrandissement, les dimensions sont $9$ cm et $6$ cm ; l’aire vaut $54$ cm$^2$, soit $24\times1{,}5^2$. L’échelle devient $1{,}5/300=1/200$. Vérification : $9\times200=1\,800$ cm et $6\times200=1\,200$ cm. L’espace réel n’a pas changé ; seule sa représentation a été agrandie.

Contrôle final. Nommer la grandeur, vérifier la base du pourcentage et les unités ; distinguer valeur finale et variation ; convertir les longueurs, garder les valeurs exactes jusqu’au dernier calcul, puis conclure par une phrase.