Probabilités et dénombrement - Cours et exercices corrigés | 2e Bac lettres, sciences humaines et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Décrire une expérience aléatoire finie, calculer une probabilité, utiliser les événements et interpréter une simulation. Les sections et exercices Arts appliqués développent les arrangements, permutations, combinaisons et modèles de tirage. Le socle commun concerne aussi la filière Langue arabe de l’enseignement originel.

Décrire ce qui peut se produire

Une expérience est aléatoire lorsqu’on connaît les résultats possibles sans pouvoir prévoir avec certitude celui qui se réalisera. L’ensemble des issues est l’univers $\Omega$. Un événement $A$ est un ensemble d’issues : il se réalise lorsque le résultat appartient à $A$.

Un dé à six faces

Pour un dé numéroté de $1$ à $6$, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. L’événement $A$ : obtenir un nombre pair est $\{2,4,6\}$. Son contraire $\overline A$ : obtenir un nombre impair est $\{1,3,5\}$. L’événement impossible est $\varnothing$; l’événement certain est $\Omega$.

Probabilité et équiprobabilité

Une probabilité attribue à chaque issue une valeur positive ou nulle, avec une somme égale à $1$. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de ses issues. On a toujours $0\leq P(A)\leq1$, $P(\Omega)=1$ et $P(\varnothing)=0$. Si les issues sont équiprobables, c’est-à-dire de même probabilité, alors $$\boxed{P(A)=\frac{\text{nombre d'issues de }A}{\text{nombre d'issues de }\Omega}}.$$ Pour le dé équilibré, $P(A)=3/6=1/2$. L’hypothèse équilibré justifie l’équiprobabilité. Des catégories de tailles différentes ne deviennent pas équiprobables simplement parce qu’elles portent des noms différents.

Une issue doit être assez précise

Lorsqu’on tire une carte parmi des cartes distinctes uniformément, chaque carte peut être une issue équiprobable. Les couleurs ne le sont pas nécessairement. Dans un sac de trois cartes bleues et une rouge, les quatre cartes ont la probabilité $1/4$, mais les événements couleur bleue et couleur rouge ont les probabilités $3/4$ et $1/4$.

Une probabilité ne garantit pas un résultat

Une probabilité $1/2$ n’impose pas une alternance des résultats. Elle décrit le modèle; les fréquences d’une série finie peuvent être différentes. Avant un calcul, préciser l’expérience, ses issues et la règle de sélection.

Combiner des événements

L’intersection $A\cap B$ correspond à la réalisation des deux événements. L’union $A\cup B$ correspond à la réalisation d’au moins l’un des deux. Les événements sont incompatibles si $A\cap B=\varnothing$.

Trois règles essentielles

$$P(\overline A)=1-P(A),\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$ Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

On soustrait l’intersection parce qu’elle a été comptée deux fois dans $P(A)+P(B)$. Si $A\subset B$, on a $P(A)\leq P(B)$.

Deux visites dans un musée

Parmi $120$ visiteurs, $60$ ont visité l’espace peinture $A$, $50$ l’espace sculpture $B$, et $20$ les deux. On choisit un visiteur uniformément. Les effectifs sont

	$B$	$\overline B$	Total
$A$	$20$	$40$	$60$
$\overline A$	$30$	$30$	$60$
Total	$50$	$70$	$120$

Ainsi $P(A\cap B)=20/120=1/6$. L’union contient $60+50-20=90$ visiteurs, donc $P(A\cup B)=3/4$. Aucun des deux espaces correspond au contraire de l’union, de probabilité $1/4$. Exactement un espace correspond aux deux cases $40$ et $30$, donc sa probabilité est $70/120=7/12$.

Incompatibles ne signifie pas contraires

Deux événements contraires sont incompatibles et leur union est tout l’univers. Avec le dé, obtenir $1$ et obtenir $2$ sont incompatibles, mais pas contraires : les résultats $3,4,5,6$ ne sont dans aucun des deux événements.

Traduire avant de calculer

Au moins un invite souvent à utiliser le contraire aucun. Exactement un de $A,B$ exclut leur intersection. Les deux désigne l’intersection. Dessiner un tableau d’effectifs ou lister les issues évite de confondre ces formulations.

Compter des possibilités simples

Pour des étapes successives, on multiplie le nombre de choix lorsque chaque choix initial permet le même nombre de choix suivants. Pour des cas disjoints, on additionne. Un arbre de choix représente les issues sans introduire de formule nouvelle de probabilité.

Deux formes et trois couleurs

Un motif comporte une forme, cercle $C$ ou triangle $T$, puis une couleur, rouge $R$, bleue $B$ ou verte $V$. Les six motifs possibles sont visibles dans l’arbre :

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le compte est $2\times3=6$. Si les six motifs sont choisis uniformément, la probabilité d’un motif circulaire est $3/6$ et celle d’un motif rouge est $2/6$.

Ordre, répétition et simultanéité

Parmi quatre cartes distinctes $A,B,C,D$, choisir deux cartes simultanément donne six paires : $AB,AC,AD,BC,BD,CD$. La paire $AB$ est la même que $BA$.

Si l’on choisit une première carte puis une seconde différente, l’ordre compte et il y a $4\times3=12$ listes. Si la première carte est remise avant le second choix, on obtient $4\times4=16$ listes, dont $AA,BB,CC,DD$.

Garder le même modèle au numérateur et au dénominateur

Si le dénominateur compte des paires sans ordre, le numérateur doit aussi compter des paires sans ordre. Il ne faut pas compter les cas favorables comme des listes ordonnées et les cas possibles comme des groupes.

Arts appliqués - Formules de dénombrement

Listes et permutations

Pour $n\geq1$ objets distincts, une liste de $k\geq1$ choix avec répétition donne $n^k$ possibilités. Sans répétition, avec $0\leq k\leq n$, le nombre d’arrangements est $$\boxed{A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}}.$$ Pour $k\geq1$, cela correspond au produit $n(n-1)\cdots(n-k+1)$. Une liste vide compte pour une possibilité, donc $A_n^0=1$. On pose $0!=1$. Une permutation ordonne tous les $n$ objets : il y en a $n!$. Par exemple, ordonner quatre affiches distinctes donne $4!=24$ présentations.

Groupes sans ordre

Une combinaison de $k$ objets parmi $n$ est un groupe non ordonné. Chaque groupe correspond à $k!$ listes, donc $$\boxed{\binom nk=C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\qquad(0\leq k\leq n).$$ Choisir trois dessins parmi huit donne $\binom83=56$ groupes. Choisir un premier, un deuxième et un troisième prix parmi ces huit dessins donne $A_8^3=336$ classements.

Identités utiles

$$\binom n0=\binom nn=1,\qquad \binom nk=\binom n{n-k}.$$ La symétrie signifie que choisir les objets conservés revient à choisir ceux que l’on écarte. Pour $1\leq k\leq n$, $$\boxed{\binom nk+\binom n{k-1}=\binom{n+1}k}.$$ Pour comprendre cette relation, distinguons un objet parmi $n+1$. Un groupe de taille $k$ soit ne le contient pas, ce qui donne $\binom nk$ possibilités, soit le contient et choisit les $k-1$ autres parmi $n$, ce qui donne $\binom n{k-1}$. Les cas sont disjoints et couvrent tous les groupes.

Une contrainte par étapes

Pour choisir un groupe comprenant deux dessins parmi cinq et une photographie parmi quatre, on a $\binom52\binom41=10\times4=40$ possibilités. Les deux catégories sont distinctes et les choix au sein d’une catégorie ne sont pas ordonnés.

Arts appliqués - Adapter le compte au tirage

Un lot contient cinq cartes bleues et trois rouges, toutes distinctes. Les sélections ci-dessous sont uniformes parmi les issues précisément indiquées.

Trois cartes choisies simultanément

Les issues sont les groupes de trois cartes, au nombre de $\binom83=56$. Pour obtenir exactement deux rouges, on choisit deux cartes parmi les trois rouges et une parmi les cinq bleues : $$\boxed{P(\text{exactement deux rouges})=\frac{\binom32\binom51}{\binom83}=\frac{15}{56}}.$$ Pour obtenir au moins une rouge, on peut compter le contraire, trois bleues : $$P(\text{au moins une rouge})=1-\frac{\binom53}{\binom83}=1-\frac{10}{56}=\frac{23}{28}.$$

Trois cartes successives sans remise

Les issues sont les listes de trois cartes distinctes. Il y en a $8\times7\times6=336$. Pour exactement deux rouges, on choisit la place de la carte bleue de trois façons, puis les deux cartes rouges dans leur ordre de $3\times2$ façons et la bleue de cinq façons. Le compte favorable est $3\times6\times5=90$, donc $$P=\frac{90}{336}=\frac{15}{56}.$$ Le résultat rejoint le tirage simultané, car chaque groupe de trois cartes possède le même nombre $3!$ d’ordres possibles.

Trois cartes successives avec remise

Les $8^3=512$ listes sont maintenant possibles, y compris celles qui répètent une carte. Pour exactement deux rouges, on choisit leurs deux places de $\binom32=3$ façons; chaque place rouge possède trois choix et la place bleue cinq choix. Ainsi $$\boxed{P=\frac{3\times3^2\times5}{8^3}=\frac{135}{512}}.$$ Ce calcul repose sur un comptage des listes équiprobables du modèle. Le changement de règle de tirage change l’univers, et généralement la probabilité.

Des cartes distinctes, même si leurs couleurs coïncident

Deux cartes rouges différentes restent deux objets différents. Les listes de couleurs seules ne sont pas nécessairement équiprobables. On compte les cartes précises, puis on regroupe selon l’événement demandé.

Fréquences et simulation - Socle commun

Après $N$ répétitions d’une expérience, si un événement s’est réalisé $k$ fois, sa fréquence est $k/N$. Il s’agit d’un nombre observé, tandis que la probabilité décrit le modèle. Les deux valeurs n’ont pas à être égales pour un nombre fini d’essais.

Construire une simulation simple

Pour représenter un événement de probabilité $0{,}3$, on peut générer uniformément un entier de $0$ à $99$ et déclarer un succès pour les nombres de $0$ à $29$. Il y a bien $30$ succès possibles sur $100$ issues équiprobables.

1. Fixer le nombre d’essais et initialiser le compteur de succès à zéro.

2. Générer un nouveau nombre à chaque essai selon la règle prévue; augmenter le compteur si ce nombre représente un succès.

3. Diviser le compteur par le nombre d’essais et noter la fréquence.

4. Refaire l’expérience pour observer les fluctuations, puis augmenter le nombre d’essais.

Un tableur, une calculatrice ou un petit programme peut réaliser ces étapes. Pour une expérience comportant plusieurs tirages, la simulation doit aussi reproduire la règle de remise; elle ne doit pas réutiliser une carte retirée si la remise est interdite.

Interpréter une série de résultats

Voici des résultats illustratifs possibles pour le modèle précédent :

Nombre d’essais	Succès observés	Fréquence
$100$	$32$	$0{,}32$
$1\,000$	$291$	$0{,}291$
$10\,000$	$3\,027$	$0{,}3027$

Sur de nombreuses répétitions, on constate une stabilisation approximative autour de la probabilité. Ce constat n’affirme ni une égalité exacte ni une amélioration à chaque nouvel essai. Des séries distinctes donnent généralement des fréquences distinctes.

Vérifier ce qui a été simulé

Une simulation mal construite peut approcher très précisément la probabilité d’une autre expérience. Il faut d’abord vérifier l’univers, la sélection uniforme lorsque celle-ci est supposée, le codage du succès et la règle de remise. Une fréquence observée ne justifie pas à elle seule ces hypothèses.

Exercices corrigés - Événements et fréquences

Exercice 1 - Intersection et union sur un dé

Sur un dé équilibré, $A$ signifie nombre pair et $B$ nombre strictement supérieur à $4$. Calculer les probabilités de l’intersection, de l’union et de son contraire. Solution. $A=\{2,4,6\}$ et $B=\{5,6\}$, donc $A\cap B=\{6\}$ et $A\cup B=\{2,4,5,6\}$. Les probabilités sont respectivement $\boxed{1/6}$, $\boxed{2/3}$ et $\boxed{1/3}$. L’union n’a pas cinq issues : le $6$ ne compte qu’une fois.

Exercice 2 - Une roue non uniforme par couleur

Une roue tournée uniformément en angle comporte quatre secteurs colorés de $180^\circ$, $90^\circ$, $60^\circ$ et $30^\circ$. Quelles sont les probabilités des couleurs? Solution. Les probabilités sont proportionnelles aux angles, donc $$\boxed{\frac12,\quad\frac14,\quad\frac16,\quad\frac1{12}}.$$ La somme vaut $1$. Les quatre couleurs ne sont pas équiprobables. La probabilité de l’une des deux dernières couleurs est $1/6+1/12=1/4$, car les secteurs sont disjoints.

Exercice 3 - Deux expositions

Parmi $200$ visiteurs, $110$ ont vu l’exposition photo, $80$ l’exposition design et $35$ les deux. On choisit un visiteur uniformément. Calculer les probabilités d’au moins une exposition, d’aucune et d’exactement une. Solution. L’union compte $110+80-35=155$ visiteurs; son contraire en compte $45$. Exactement une exposition concerne $155-35=120$ visiteurs. Les résultats sont $$\boxed{31/40},\qquad\boxed{9/40},\qquad\boxed{3/5}.$$

Exercice 4 - Lire une fréquence

Une simulation de $5\,000$ tirages d’un dé équilibré produit $812$ fois le résultat $6$. Calculer la fréquence et la comparer à la probabilité du modèle. Solution. La fréquence est $812/5000=0{,}1624$, contre $1/6\approx0{,}166667$. L’écart absolu vaut environ $0{,}004267$, soit $0{,}4267$ point de pourcentage. La différence ne contredit pas à elle seule le modèle; une simulation finie ne doit pas produire exactement $N/6$ succès.

Exercices corrigés - Dénombrement Arts appliqués

Exercice 5 - Codes avec ou sans répétition

Un code comprend quatre chiffres de $0$ à $9$, le zéro étant autorisé en première position. Combien de codes existent avec répétition? Et sans répétition? Solution. Avec répétition, chaque position possède dix choix : $\boxed{10^4=10\,000}$. Sans répétition, on obtient $$10\times9\times8\times7=\boxed{5\,040}.$$ Un code n’est pas nécessairement un nombre à quatre chiffres : exclure le zéro initial changerait l’énoncé.

Exercice 6 - Groupe ou fonctions distinctes

Parmi six élèves, on choisit trois participants, puis on compare avec le choix d’un responsable, d’un adjoint et d’un rapporteur distincts. Solution. Le groupe sans rôle possède $\binom63=\boxed{20}$ possibilités. Les trois fonctions sont ordonnées, donc $$A_6^3=6\times5\times4=\boxed{120}.$$ Chaque groupe peut se répartir les trois rôles de $3!=6$ façons, et $20\times6=120$.

Exercice 7 - Deux livres voisins

On range uniformément cinq livres distincts sur une étagère. Deux livres désignés doivent être voisins. Calculer le nombre de rangements favorables et leur probabilité. Solution. Le nombre total est $5!=120$. On regroupe les deux livres désignés en un bloc : le bloc et les trois autres livres donnent $4!$ ordres. Le bloc possède deux ordres internes. Ainsi le nombre favorable est $$2\times4!=\boxed{48},\qquad P=48/120=\boxed{2/5}.$$ Chaque rangement favorable correspond exactement à un ordre des quatre objets et un ordre interne; il n’y a donc pas de double compte.

Exercices corrigés - Tirages Arts appliqués

Exercice 8 - Un groupe de quatre cartes

Parmi quatre cartes rouges et six bleues distinctes, on choisit uniformément quatre cartes simultanément. Calculer les probabilités d’exactement deux rouges et d’au moins une rouge. Solution. L’univers possède $\binom{10}4=210$ groupes. Pour exactement deux rouges, $$P=\frac{\binom42\binom62}{210}=\frac{6\times15}{210}=\boxed{3/7}.$$ Pour au moins une rouge, on écarte les groupes de quatre bleues : $$P=1-\frac{\binom64}{210}=1-\frac{15}{210}=\boxed{13/14}.$$

Exercice 9 - La remise change le modèle

Un lot contient cinq cartes rouges et trois bleues distinctes. On tire deux cartes successivement et on souhaite une carte de chaque couleur. Comparer sans remise et avec remise, les listes possibles étant uniformes dans chaque modèle. Solution. Sans remise, le total vaut $8\times7=56$. Les listes favorables sont rouge-bleue ou bleue-rouge, donc $5\times3+3\times5=30$. La probabilité est $\boxed{15/28}$.

Avec remise, le total devient $8^2=64$, tandis que les listes de couleurs différentes sont toujours au nombre de $30$. La probabilité vaut alors $\boxed{15/32}$. Le dénominateur change parce qu’une carte peut maintenant réapparaître.

Exercice 10 - Vérifier une identité par deux cas

On choisit quatre affiches parmi huit, dont une affiche désignée. Compter séparément les groupes qui la contiennent et ceux qui ne la contiennent pas. Solution. Si elle est retenue, on choisit les trois autres parmi sept : $\binom73=35$ groupes. Sinon, on en choisit quatre parmi sept : $\binom74=35$ groupes. Ces cas disjoints donnent $$\binom73+\binom74=35+35=70=\boxed{\binom84}.$$ La relation de Pascal exprime cette séparation complète des possibilités.