Primitives et calcul intégral - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Reconnaître et vérifier une primitive, calculer une intégrale, utiliser ses propriétés et l’intégration par parties. Déterminer une valeur moyenne ou une aire et interpréter une accumulation à partir d’un coût marginal ou d’un débit de ventes.

Primitives sur un intervalle

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. Trouver une primitive revient à reconnaître une fonction dont la dérivée est donnée.

Exemple - Vérifier avant de conclure

La fonction $F(x)=x^3-2x+7$ est une primitive de $f(x)=3x^2-2$ sur $\mathbb{R}$, car sa dérivée est $3x^2-2$. La fonction $x^3-2x$ en est une autre : dériver une constante donne zéro.

Toutes les primitives et une valeur initiale

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont $F+C$, où $C\in\mathbb{R}$. Si une valeur $G(a)=b$ est imposée en un point $a\in I$, elle détermine une unique constante $C=b-F(a)$.

En effet, si $F$ et $G$ ont la même dérivée, $(G-F)'=0$ : la différence est constante sur l’intervalle. Réciproquement, ajouter une constante ne change pas la dérivée.

Existence et rôle du domaine

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives ; on admet ce résultat. Il n’affirme pas que chaque primitive possède une expression simple avec les fonctions usuelles. Le mot intervalle compte : sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, les primitives de $1/x$ peuvent avoir des constantes différentes sur $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$. Sur chacun de ces intervalles, une primitive est $\ln|x|$.

Linéarité et limite de la méthode

Si $F'=f$ et $G'=g$ sur le même intervalle, alors, pour $a,b\in\mathbb{R}$, $$\boxed{(aF+bG)'=af+bg}.$$ On peut donc chercher une primitive d’une somme terme à terme. En revanche, le produit de deux primitives n’est pas une primitive du produit : sa dérivée obéit à la règle du produit.

Exemple - Une constante fixée

Pour $f(x)=4x+3$, les primitives sont $F(x)=2x^2+3x+C$. Si $F(1)=10$, alors $5+C=10$, donc $F(x)=2x^2+3x+5$.

Reconnaître les formes usuelles

Fonction	Une primitive	Domaine
$k$	$kx$	$\mathbb{R}$
$x^n$	$x^{n+1}/(n+1)$	$n\in\mathbb{Z}$, $n\ne-1$ ; exclure $0$ si nécessaire
$1/x$	$\ln|x|$	intervalle sans $0$
$1/\sqrt x$	$2\sqrt x$	$x>0$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$e^{ax+b}$	$e^{ax+b}/a$	$a\ne0$

Pour la ligne $x^n$, le cas $n=-1$ est traité par le logarithme. Le cas $n=0$ est la fonction constante $1$. Une formule écrite sur plusieurs intervalles doit être appliquée séparément sur chaque intervalle. Pour un exposant réel $\alpha\ne-1$, sur le domaine positif où $x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$ est défini, une primitive est $x^{\alpha+1}/(\alpha+1)$. Sa dérivée vaut $x^\alpha$ ; le cas $\alpha=-1$ reste celui de $\ln x$.

Les compositions qui contiennent une dérivée intérieure

Si les expressions sont définies sur l’intervalle étudié, $$\boxed{\int u'e^u\,dx=e^u+C},\qquad \boxed{\int\frac{u'}u\,dx=\ln|u|+C\quad(u\ne0)}.$$ La notation $\int f(x)\,dx$ désigne ici les primitives, sans bornes. On a aussi, pour un entier $n\ne-1$, $$\int u'u^n\,dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,$$ avec les conditions qui rendent la puissance définie ; et $\int u'/\sqrt u\,dx=2\sqrt u+C$ lorsque $u>0$. Si $u>0$ et $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, la même règle donne $\int u'u^\alpha\,dx=u^{\alpha+1}/(\alpha+1)+C$. La positivité de $u$ permet ici un exposant réel quelconque.

Exemple - Une reconnaissance exacte

Une primitive de $(2x+3)e^{x^2+3x}$ est $e^{x^2+3x}$. Une primitive de $x/(x^2+5)$ est $\tfrac12\ln(x^2+5)$, car la dérivée du dénominateur vaut $2x$.

Exemple - Préparer une somme

Sur $]0;+\infty[$, une primitive de $f(x)=2x+3/x-4/x^2$ est $$F(x)=x^2+3\ln x+\frac4x.$$ Sa dérivée est bien $2x+3/x-4/x^2$. Le signe du dernier terme se vérifie par $(1/x)'=-1/x^2$.

Le coefficient variable ne disparaît pas

$\ln(x^2+5)$ n’est pas une primitive de $1/(x^2+5)$, car sa dérivée comporte $2x$ au numérateur. Le tableau s’utilise par reconnaissance et vérification, pas en supprimant un facteur variable.

L’intégrale définie à partir d’une primitive

Soit $f$ continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$. Si $F$ est une primitive de $f$, on définit $$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b}.$$ Le résultat ne dépend pas de la constante de la primitive : elle se soustrait. La variable $x$ est une variable de calcul ; on peut la remplacer par $t$ sans changer le nombre obtenu.

Exemple - Évaluer aux deux bornes

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=[x^2+x]_1^3=(9+3)-(1+1)=10.$$ Les parenthèses évitent d’oublier un signe devant la valeur à la borne inférieure.

Bornes identiques ou inversées

On a $\int_a^a f=0$ et $$\boxed{\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx}.$$ Une intégrale avec des bornes inversées peut donc être négative même si la fonction est positive. On garde l’ordre exact demandé par l’énoncé.

Une fonction continue sur tout le segment

Pour calculer une intégrale ordinaire avec cette définition, on vérifie la continuité sur tout le segment entre les bornes. Le calcul $[\ln|x|]_{-1}^{1}$ ne permet pas de définir $\int_{-1}^{1}1/x\,dx$ : la fonction n’est pas définie en $0$, point intérieur du segment.

Une borne variable

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $a\in I$, la fonction $$H(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$. Si $F$ est une primitive quelconque, $H(x)=F(x)-F(a)$, donc $H'(x)=f(x)$.

Exemple - Accumulation depuis une date de départ

Si un débit de ventes est $v(t)=60+10t$ unités par heure pour $0\le t\le4$, le nombre de ventes accumulées depuis $t=0$ est $$N(t)=\int_0^t(60+10s)\,ds=60t+5t^2.$$ Ainsi $N(0)=0$, $N'(t)=v(t)$ et $N(4)=320$ unités. La dérivée porte l’unité unités par heure, l’intégrale l’unité unités.

Propriétés, ordre et valeur moyenne

Relation de Chasles et linéarité

Pour des fonctions continues sur les intervalles concernés, $$\boxed{\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f},\qquad \boxed{\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g}.$$ La relation de Chasles est valable quel que soit l’ordre de $a,b,c$, en conservant l’orientation des bornes.

Exemple - Retrouver une portion d’accumulation

Si $\int_0^5 f=180$ et $\int_0^2 f=60$, alors $\int_2^5 f=120$. Le total jusqu’à la date $5$ contient déjà celui jusqu’à la date $2$.

Positivité et comparaison

Pour $a<b$, si $f\ge0$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f\ge0$. Si $f\le g$ sur ce segment, alors $\int_a^b f\le\int_a^b g$. En particulier, si $m\le f(x)\le M$ pour tout $x\in[a;b]$, $$\boxed{m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a)}.$$ La condition $a<b$ est essentielle pour ces inégalités écrites dans ce sens. Les propriétés peuvent se comprendre géométriquement lorsque les fonctions sont positives.

Valeur moyenne d’une fonction

La valeur moyenne de $f$ sur un segment $[a;b]$, avec $a<b$, est $$\boxed{\overline f=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx}.$$ Si $f$ est continue, il existe $c\in[a;b]$ tel que $f(c)=\overline f$. La valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de la fonction. Elle n’est pas toujours la moyenne des deux valeurs aux extrémités.

Exemple - Un débit moyen

Pour un débit $v(t)=80+20t$ sur $[0;6]$, le total vaut $$\int_0^6v(t)\,dt=[80t+10t^2]_0^6=840.$$ Le débit moyen vaut $840/6=140$ unités par heure. L’égalité $v(3)=140$ fournit ici un instant où ce débit moyen est atteint.

Deux moyennes à distinguer

Le coût moyen par unité pour une quantité $q>0$ est $C(q)/q$. La valeur moyenne d’une fonction coût sur $[a;b]$ est $\frac1{b-a}\int_a^bC(x)\,dx$. Ce sont deux définitions différentes, répondant à deux questions différentes.

Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ des fonctions de classe $C^1$ sur $[a;b]$ : elles sont dérivables et leurs dérivées sont continues. Comme $(uv)'=u'v+uv'$, on obtient $$\boxed{\int_a^b u(x)v'(x)\,dx =[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx}.$$ La formule conserve un terme aux bornes et un signe moins. Elle est utile lorsque la dérivée de $u$ simplifie le produit et que l’on sait trouver $v$ à partir de $v'$.

Produit d’un polynôme et d’une exponentielle

Calculons $I=\int_0^1xe^{3x}\,dx$. Prenons $u=x$, $u'=1$, $v'=e^{3x}$ et $v=e^{3x}/3$. Alors $$I=\left[\frac{xe^{3x}}3\right]_0^1 -\frac13\int_0^1e^{3x}\,dx =\frac{e^3}3-\frac{e^3-1}{9} =\boxed{\frac{2e^3+1}{9}}.$$ Le facteur $1/3$ provient de la primitive de $e^{3x}$ ; il doit être conservé dans les deux termes.

Produit avec un logarithme

Calculons $J=\int_1^2x\ln x\,dx$. Prenons $u=\ln x$, $u'=1/x$, $v'=x$, $v=x^2/2$. Les fonctions sont régulières sur $[1;2]$ et $$J=\left[\frac{x^2}2\ln x\right]_1^2 -\frac12\int_1^2x\,dx =2\ln2-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2 =\boxed{2\ln2-\frac34}.$$ La nouvelle intégrale est plus simple. L’expression est positive, en accord avec le signe de $x\ln x$ sur le segment.

Un contrôle après calcul

Une primitive candidate peut toujours être dérivée pour vérifier le résultat. Pour une intégrale, on peut aussi comparer à des bornes simples : si l’intégrande est positif et inférieur à $M$ sur $[a;b]$, le résultat doit être entre $0$ et $M(b-a)$.

Choisir une méthode adaptée

Avant une intégration par parties, chercher une somme de primitives usuelles ou une forme $u'e^u$, $u'/u$. Une formule complexe n’est pas nécessaire lorsque l’on reconnaît directement une dérivée. Une intégration par parties doit rendre le calcul restant plus accessible.

Aires et interprétations économiques

Une aire est positive

Si $f\ge0$ sur $[a;b]$, l’aire entre sa courbe, l’axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$ vaut $\int_a^bf$. Si $f\le0$, elle vaut $-\int_a^bf$. Si $f$ change de signe, on découpe aux zéros et on additionne les aires positives. Entre deux courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$, on intègre fonction supérieure moins fonction inférieure sur chaque intervalle où leur ordre est constant. Les points d’intersection déterminent les découpages.

Exemple - Aire entre deux courbes

Sur $[0;3]$, les fonctions $d(x)=12-x$ et $s(x)=x^2$ vérifient $d\ge s$, car $d-s=-(x-3)(x+4)\ge0$. L’aire vaut $$\mathcal A=\int_0^3(12-x-x^2)\,dx =\left[12x-\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]_0^3 =\boxed{\frac{45}{2}}.$$

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

L’aire est exprimée en unités d’aire. Si les axes représentent des grandeurs économiques, son unité est le produit des unités des deux axes ; une interprétation supplémentaire doit être donnée par le modèle.

Coût marginal et variation du coût total

Si un coût total $C$ est dérivable et que $C'$ est continu, le coût additionnel entre deux quantités $a<b$ est $$\boxed{C(b)-C(a)=\int_a^bC'(x)\,dx}.$$ Connaître $C'$ et un coût fixe $C(0)$ permet de retrouver $C$. Par exemple, $C'(x)=6x+10$ et $C(0)=120$ donnent $C(x)=3x^2+10x+120$. L’intégrale de $C'$ donne une variation de coût ; elle ne rajoute pas une seconde fois le coût fixe.

Exercices corrigés - Primitives et calcul direct

Exercice 1 - Une primitive avec valeur initiale

Déterminer la primitive de $6x^2-4x+5$ sur $\mathbb{R}$ qui vaut $12$ en $0$. Solution. Les primitives sont $F(x)=2x^3-2x^2+5x+C$. La condition $F(0)=12$ impose $C=12$. Ainsi $$\boxed{F(x)=2x^3-2x^2+5x+12}.$$ La dérivée redonne chaque terme de la fonction de départ.

Exercice 2 - Un quotient et sa constante

Déterminer la primitive $F$ de $(4x+2)/(2x^2+2x+5)$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0)=0$. Solution. Le dénominateur est $2(x+1/2)^2+9/2>0$ et sa dérivée vaut $4x+2$. Les primitives sont $\ln(2x^2+2x+5)+C$. La condition donne $C=-\ln5$, donc $$\boxed{F(x)=\ln(2x^2+2x+5)-\ln5}.$$ La positivité sur tout $\mathbb{R}$ valide le logarithme sans valeur absolue.

Exercice 3 - Des bornes inversées

Calculer $I=\int_2^1(3x^2+2)\,dx$. Solution. La fonction est continue et une primitive est $x^3+2x$. Donc $$I=[x^3+2x]_2^1=(1+2)-(8+4)=\boxed{-9}.$$ Le signe négatif concorde avec les bornes inversées d’une fonction positive.

Exercice 4 - Une exponentielle composée

Calculer $J=\int_0^1(2x+1)e^{x^2+x}\,dx$. Solution. L’intégrande est la dérivée de $e^{x^2+x}$, donc $$J=[e^{x^2+x}]_0^1=\boxed{e^2-1}.$$ Le résultat est positif, en accord avec l’intégrande. Aucun changement de variable supplémentaire n’est nécessaire.

Exercices corrigés - Parties, moyenne et aire

Exercice 5 - Une intégration par parties

Calculer $I=\int_0^2xe^{-x}\,dx$. Solution. Prenons $u=x$, $u'=1$, $v'=e^{-x}$ et $v=-e^{-x}$. Ainsi $$I=[-xe^{-x}]_0^2+\int_0^2e^{-x}\,dx =-2e^{-2}+1-e^{-2}=\boxed{1-3e^{-2}}.$$ Le signe plus devant la deuxième intégrale résulte des deux signes moins. On peut contrôler en dérivant $-(x+1)e^{-x}$ : sa dérivée est $xe^{-x}$.

Exercice 6 - Valeur moyenne et instant correspondant

Calculer la valeur moyenne de $f(t)=2t^2+3$ sur $[0;3]$, puis trouver un instant $c$ où cette valeur est atteinte. Solution. On a $$\int_0^3(2t^2+3)\,dt =\left[\frac23t^3+3t\right]_0^3=27.$$ La longueur de l’intervalle est $3$, donc $\overline f=27/3=\boxed9$. Résoudre $2c^2+3=9$ sur $[0;3]$ donne $\boxed{c=\sqrt3}$. La moyenne des valeurs extrêmes serait $(3+21)/2=12$, qui n’est pas la valeur moyenne de la fonction.

Exercice 7 - Deux courbes qui changent d’ordre

Calculer l’aire entre $y=x^2$ et $y=2x$, pour $0\le x\le3$. Solution. Les intersections satisfont $x^2=2x$, donc $x=0$ ou $2$. Sur $[0;2]$, $2x\ge x^2$ ; sur $[2;3]$, l’ordre s’inverse. L’aire est donc $$\mathcal A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx+\int_2^3(x^2-2x)\,dx.$$ Le premier terme vaut $[x^2-x^3/3]_0^2=4/3$. Le second vaut $[x^3/3-x^2]_2^3=4/3$. Ainsi $$\boxed{\mathcal A=\frac83\text{ unités d'aire}}.$$ Intégrer $x^2-2x$ sur tout $[0;3]$ aurait donné zéro, par compensation de deux contributions de signes contraires ; ce ne serait pas l’aire demandée.

Exercices corrigés - Coût, débit et accumulation

Exercice 8 - Retrouver le coût total

Sur $[0;20]$, un coût marginal est $C'(x)=0{,}06x^2-1{,}2x+15$ et le coût fixe vaut $C(0)=200$. Déterminer $C$, puis le coût additionnel entre les quantités $10$ et $20$. Solution. Une primitive est $0{,}02x^3-0{,}6x^2+15x+K$. La condition impose $K=200$, donc $$\boxed{C(x)=0{,}02x^3-0{,}6x^2+15x+200}.$$ Le coût marginal est positif, car $C'(x)=0{,}06(x-10)^2+9$. On calcule $C(10)=310$ et $C(20)=420$. Le coût additionnel vaut donc $\boxed{110}$ unités monétaires, ou encore $\int_{10}^{20}C'(x)\,dx$. Par unité additionnelle sur cette tranche, la moyenne est $110/10=11$ ; ce nombre est distinct de $C(20)/20$.

Exercice 9 - Total et débit moyen des ventes

Pendant huit heures, un débit de ventes est $v(t)=120e^{-t/4}$ unités par heure. Déterminer le total vendu et le débit moyen sur $[0;8]$. Solution. Une primitive du débit est $-480e^{-t/4}$. Le total est $$\boxed{N=\int_0^8v(t)\,dt=480(1-e^{-2})\text{ unités}}.$$ Le débit moyen vaut $\boxed{N/8=60(1-e^{-2})}$ unités par heure. Il se situe entre $v(8)=120e^{-2}$ et $v(0)=120$, comme l’imposent les bornes sur la fonction. Multiplier simplement le débit initial par huit ne tiendrait pas compte de sa décroissance.

Exercice 10 - Étudier une intégrale à borne variable

Pour $x>0$, on définit $H(x)=\int_1^x\ln t\,dt$. Donner son expression, ses variations et son signe. Solution. Une primitive de $\ln t$ est $t\ln t-t$, car sa dérivée vaut $\ln t+1-1$. Ainsi $$H(x)=x\ln x-x+1,\qquad H'(x)=\ln x.$$ La fonction décroît sur $]0;1]$, puis croît sur $[1;+\infty[$. Son minimum est $H(1)=0$, donc $\boxed{H(x)\ge0}$ pour tout $x>0$, avec égalité seulement pour $x=1$. Pour $0<x<1$, le logarithme est négatif sur $[x;1]$, mais les bornes de $\int_1^x$ sont inversées. Cela explique que $H(x)$ soit positif sur cet intervalle, sans contredire le signe de l’intégrande.