Primitives et calcul intégral - Cours et exercices corrigés | 2e Bac Sciences Mathématiques

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Construire une primitive, calculer et encadrer une intégrale, étudier une fonction définie par intégrale et relier le calcul aux aires, volumes et suites. Ce cours réunit les primitives et leurs applications ; chaque méthode conserve ses conditions de domaine.

Primitives sur un intervalle

Définition et famille de solutions

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$. Aux éventuelles extrémités, les dérivées sont entendues du côté du domaine.

Deux primitives diffèrent d’une constante

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, toutes les primitives y sont $F+C$, où $C\in\mathbb{R}$.

En effet, si $G'=F'$, alors $(G-F)'=0$ ; une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante. Réciproquement, $(F+C)'=f$. L’hypothèse d’intervalle compte : des constantes différentes peuvent être choisies sur deux composantes séparées du domaine.

Une condition $F(x_0)=y_0$, avec $x_0\in I$, détermine une unique constante. Par exemple, pour $f(x)=2x+3$ sur $\mathbb{R}$, $F(x)=x^2+3x+C$. La condition $F(1)=0$ donne $C=-4$.

Table des primitives usuelles

Dans la table, $C$ est une constante arbitraire ; les exposants sont réels sur $x>0$.

Fonction	Une primitive	Domaine
$x^r$, $r\ne-1$	$x^{r+1}/(r+1)$	$]0;+\infty[$
$1/x$	$\ln|x|$	intervalle sans $0$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb{R}$
$1/\cos^2x$	$\tan x$	intervalle sans zéro de $\cos$
$1/(1+x^2)$	$\operatorname{Arctan}x$	$\mathbb{R}$

Les puissances entières non négatives ont leur primitive polynomiale sur tout $\mathbb{R}$. Pour une puissance négative entière, exclure $0$. La formule de $1/\sqrt x$ donne $2\sqrt x$ sur $]0;+\infty[$.

Linéarité

Si $F'=f$ et $G'=g$, alors $(aF+bG)'=af+bg$ pour tous réels $a,b$. On intègre donc terme à terme une combinaison linéaire : une primitive de $3x^2-2\cos x+e^x$ est $x^3-2\sin x+e^x$.

Reconnaître une dérivée composée

Le facteur $u'$ est indispensable

Si $u$ est dérivable et $F'=f$, la dérivée de $F(u(x))$ est $u'(x)f(u(x))$. Cette identité fournit les modèles suivants, sur un intervalle où les expressions sont définies :

Expression à intégrer	Une primitive
$u'u^r$, $r\ne-1$, $u>0$	$u^{r+1}/(r+1)$
$u'/u$, $u\ne0$	$\ln|u|$
$u'e^u$	$e^u$
$u'\cos u$	$\sin u$
$u'\sin u$	$-\cos u$
$u'/(1+u^2)$	$\operatorname{Arctan}u$

Pour les puissances entières, on peut étendre les domaines lorsque les expressions le permettent. La constante multiplicative se rétablit avant de lire la primitive.

Exemple - Un logarithme composé

Pour $f(x)=x/(1+x^2)$, le dénominateur est positif sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée vaut $2x$. Une primitive est donc $$F(x)=\frac12\ln(1+x^2),\qquad F'(x)=\frac{x}{1+x^2}.$$ La vérification par dérivation confirme à la fois le facteur $1/2$ et le domaine.

Exemple - Deux échelles à respecter

Une primitive de $1/(1+4x^2)$ sur $\mathbb{R}$ est $\frac12\operatorname{Arctan}(2x)$, car la dérivée d’Arctan$(2x)$ est $2/(1+4x^2)$. Une primitive de $e^{3x-1}$ est $\frac13e^{3x-1}$.

Quand la reconnaissance directe ne suffit pas

La fonction $x e^{x^2}$ correspond au modèle $u'e^u$, mais $x e^x$ demande une autre technique : l’intégration par parties. L’existence d’une primitive ne signifie pas qu’on puisse l’écrire avec les fonctions usuelles.

Existence d’une primitive

Toute fonction continue sur un intervalle possède une primitive. Le théorème fondamental du calcul intégral donne une construction ; ce résultat d’existence est admis, puis ses conséquences sont utilisées ci-dessous.

Ainsi $e^{-x^2}$ possède des primitives sur $\mathbb{R}$, même si la table ne fournit pas de formule élémentaire. Écrire une intégrale pourra définir la primitive cherchée.

Définir l’intégrale et faire varier une borne

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a,b\in I$. Si $F$ est une primitive de $f$, on définit $$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b.}$$ Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : la constante ajoutée disparaît dans la différence. La lettre $x$ est muette ; on peut la remplacer par $t$.

Bornes et opérations

On a $\int_a^a f=0$ et $\int_b^a f=-\int_a^b f$. Pour $a,b,c\in I$, la relation de Chasles est $$\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f.$$ Elle vient de $F(c)-F(a)=[F(b)-F(a)]+[F(c)-F(b)]$, même si les bornes ne sont pas dans l’ordre croissant. La linéarité des primitives donne $$\int_a^b(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g.$$

Exemple - Calculer puis contrôler le signe

$$\int_0^2(3x^2-1)\,dx=[x^3-x]_0^2=6, \qquad\int_2^0(3x^2-1)\,dx=-6.$$ L’intégrale est un nombre, et non une nouvelle fonction de $x$.

Théorème fondamental

La borne devient la variable

Si $f$ est continue sur $I$ et $a\in I$, la fonction $$H(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$ est l’unique primitive de $f$ qui s’annule en $a$. En particulier $H'(x)=f(x)$.

Une fois une primitive $F$ disponible, $H(x)=F(x)-F(a)$ rend ce résultat immédiat. Il fournit également, via le théorème d’existence, des primitives de fonctions sans formule élémentaire.

Borne composée

Si $u$ est dérivable et prend ses valeurs dans $I$, alors $$\frac{d}{dx}\left(\int_a^{u(x)}f(t)\,dt\right)=u'(x)f(u(x)).$$ Pour deux bornes dérivables $u,v$ dans $I$, écrire la différence de deux intégrales : la dérivée vaut $v'f(v)-u'f(u)$. Ne pas dériver la lettre muette $t$.

Ordre, valeur absolue et valeur moyenne

Dans cette partie, $a<b$ et les fonctions sont continues sur $[a;b]$.

L’intégrale conserve l’ordre

Si $f\ge0$, alors $\int_a^b f\ge0$. Si $f\le g$, alors $\int_a^b f\le\int_a^b g$, en appliquant la positivité à $g-f$. Si $m\le f\le M$, alors $$m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a).$$ La positivité s’interprète géométriquement par les aires, ou se déduit de la croissance d’une primitive de dérivée positive. Les bornes doivent être dans le sens $a<b$.

Si $f\ge0$ et $f$ est strictement positive en au moins un point du segment, sa continuité la rend positive sur un petit intervalle de longueur non nulle. Son intégrale est alors strictement positive. Ainsi une fonction continue positive ou nulle d’intégrale nulle est identiquement nulle.

Valeur absolue

L’inégalité utile pour une erreur

$$\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|\le\int_a^b|f(x)|\,dx.$$ Si $|f(x)|\le K$ sur le segment, le membre de gauche est au plus $K(b-a)$.

Preuve : intégrer $-|f|\le f\le|f|$ encadre l’intégrale entre les deux nombres opposés. Il n’y a pas égalité en général : sur $[-1;1]$, $\int_{-1}^1x\,dx=0$, mais $\int_{-1}^1|x|\,dx=1$.

Valeur moyenne et théorème de la moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est $$\overline f=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Une valeur moyenne réellement atteinte

Il existe $c\in[a;b]$ tel que $\int_a^b f(x)\,dx=(b-a)f(c)$.

En effet, $f$ atteint son minimum $m$ et son maximum $M$ sur le segment. L’encadrement précédent donne $m\le\overline f\le M$ ; les valeurs intermédiaires garantissent un point $c$ avec $f(c)=\overline f$. Ce point n’est pas nécessairement unique.

Exemple - Moyenne d’une fonction quadratique

Sur $[0;2]$, la moyenne de $x^2$ est $\frac12[x^3/3]_0^2=4/3$. Elle est atteinte au point $c=2/\sqrt3$, qui appartient au segment.

Deux techniques de calcul

Intégration par parties

Si $u,v$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $[a;b]$ (dérivées continues), intégrer $(uv)'=u'v+uv'$ donne $$\boxed{\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.}$$ Choisir $u$ pour que sa dérivée simplifie l’expression, et $v'$ pour qu’on sache en trouver une primitive.

Exemple - Polynôme et exponentielle

Avec $u=x$ et $v'=e^x$, on a $u'=1$ et $v=e^x$, donc $$\int_0^1xe^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1.$$ Pour $x^2e^x$, deux intégrations par parties diminuent successivement le degré du polynôme.

Exemple - Un logarithme seul

Sur $[1;e]$, prendre $u=\ln x$ et $v'=1$. Alors $$\int_1^e\ln x\,dx=[x\ln x]_1^e-\int_1^e1\,dx=e-(e-1)=1.$$

Changement de variable

Si $f$ est continue sur un intervalle $J$ et $\varphi$ de classe $\mathcal C^1$ sur $[\alpha;\beta]$, avec $\varphi([\alpha;\beta])\subset J$, alors $$\boxed{\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt =\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,dx.}$$ La preuve utilise une primitive $F$ de $f$ : $F\circ\varphi$ a pour dérivée le premier intégrande. Cette forme ne requiert pas que $\varphi$ soit monotone. Pour remplacer effectivement une variable par son inverse, choisir une substitution inversible sur l’intervalle utilisé.

Exemple - Substitution $t=x^2$

Puisque $dt=2x\,dx$ et les bornes $x=0,1$ deviennent $t=0,1$, $$\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\int_0^1\frac{dt}{1+t}=\ln2.$$ Dans une intégrale définie, changer ensemble l’intégrande, le facteur différentiel et les bornes. Les mélanger donne souvent une expression fausse, même si la primitive ressemble à la bonne.

Aires et volumes de révolution

Aire entre deux courbes

Dans un repère orthonormé, si $f,g$ sont continues sur $[a;b]$ et $f\ge g$, l’aire comprise entre leurs courbes et les droites $x=a,x=b$ vaut $\int_a^b(f-g)\,dx$, en unités d’aire. Dans le cas général, elle vaut $\int_a^b|f-g|\,dx$ ; couper le segment aux changements de signe.

Exemple - Deux courbes qui se rencontrent

Sur $[0;1]$, $x-x^2=x(1-x)\ge0$. L’aire entre $y=x$ et $y=x^2$ vaut $$\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac16.$$

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La droite verte est au-dessus de la parabole bleue ; la différence des ordonnées est la hauteur d’une bande verticale.

Rotation autour d’un axe

La rotation autour de l’axe des abscisses du domaine $a\le x\le b$, $0\le y\le f(x)$, avec $f$ continue et positive ou nulle, donne $$V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx.$$ Chaque section perpendiculaire à l’axe est un disque de rayon $f(x)$. Si le domaine est entre $0\le g\le f$, les sections sont des couronnes : remplacer $f^2$ par $f^2-g^2$.

Autour de l’axe des ordonnées, décrire les rayons en fonction de $y$ : $V=\pi\int_c^d(R(y)^2-r(y)^2)\,dy$, pour $0\le r\le R$. Les rayons sont des distances à l’axe ; ce choix précède le calcul. Une unité de longueur modifiée multiplie les aires par son carré et les volumes par son cube.

Encadrements, sommes et suites d’intégrales

Méthode des rectangles

Si $f$ est continue et croissante sur $[a;b]$, poser $h=(b-a)/n$. L’ordre sur chaque petit segment donne $$h\sum_{k=0}^{n-1}f(a+kh)\le\int_a^b f(x)\,dx \le h\sum_{k=1}^{n}f(a+kh).$$ La différence des deux bornes est $h(f(b)-f(a))\to0$. Les deux sommes convergent donc vers l’intégrale. Pour $f$ décroissante, inverser les bornes. Cela donne aussi une estimation numérique avec une largeur certifiée.

Plus généralement, pour toute $f$ continue sur $[a;b]$, chacune de ces sommes converge vers l’intégrale, même sans monotonie. Ce résultat sur les sommes de Riemann est admis ici ; il découle du contrôle uniforme des variations de $f$ sur des segments de longueur tendant vers zéro.

Exemple - Reconnaître une somme

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{1+k/n} =\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln2.$$ La fonction est décroissante : la somme affichée est une borne inférieure, et la somme aux extrémités gauches est au-dessus. Leur différence vaut $1/(2n)$.

Une famille d’intégrales

Pour $n\ge0$, soit $I_n=\int_0^1x^n/(1+x)\,dx$. Les intégrandes sont continus. Puisque $1/2\le1/(1+x)\le1$, $$\frac1{2(n+1)}\le I_n\le\frac1{n+1},\qquad I_n\longrightarrow0.$$ De plus, $x^{n+1}\le x^n$ sur $[0;1]$, donc $I_{n+1}\le I_n$. Enfin, $$I_n+I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^n(1+x)}{1+x}\,dx=\frac1{n+1}.$$ Avec $I_0=\ln2$, on obtient $I_1=1-\ln2$, puis les termes suivants. La relation de récurrence et la limite proviennent ici de deux arguments différents.

Portée des formules de dérivation

Les formules précédentes traitent un intégrande $f(t)$ fixe avec une borne variable. Une expression $\int_a^x f(x,t)\,dt$, où $x$ intervient aussi dans l’intégrande, demande d’autres hypothèses et d’autres règles ; elle n’est pas couverte par ce cours.

Exercices corrigés - Primitives et calcul

Exercice 1 - Domaine et condition initiale

Déterminer sur $]0;+\infty[$ la primitive de $f(x)=2x+3/x-2/x^2$ qui s’annule en $1$. Donner aussi une primitive de $1/(1+9x^2)$ sur $\mathbb{R}$.

Correction. La table et la linéarité donnent $F(x)=x^2+3\ln x+2/x+C$. Le terme $2/x$ a bien pour dérivée $-2/x^2$. Comme $F(1)=3+C$, on trouve $C=-3$. La seconde primitive est $G(x)=\frac13\operatorname{Arctan}(3x)$ ; la dérivation fournit $G'(x)=1/(1+9x^2)$.

Exercice 2 - Deux intégrations par parties

Calculer $J=\int_0^1x^2e^x\,dx$.

Correction. Toutes les fonctions sont de classe $\mathcal C^1$. Prendre $u=x^2$, $v'=e^x$ donne $$J=[x^2e^x]_0^1-2\int_0^1xe^x\,dx.$$ Une seconde intégration par parties donne $\int_0^1xe^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=1$. Donc $J=e-2>0$, ce qui concorde avec le signe de l’intégrande.

Exercice 3 - Deux substitutions

Calculer $A=\int_0^1x/(1+x^2)^2\,dx$ puis $B=\int_0^{\pi/4}\tan t\,dt$.

Correction. Pour $A$, poser $u=1+x^2$, donc $du=2x\,dx$ ; les bornes deviennent $1$ et $2$. Alors $$A=\frac12\int_1^2u^{-2}\,du=\frac12[-1/u]_1^2=\frac14.$$ Pour $B$, écrire $\tan t=\sin t/\cos t$, et poser $u=\cos t$, donc $du=-\sin t\,dt$. Sur ce segment, $\cos t>0$ ; les bornes sont $1$ puis $1/\sqrt2$. Ainsi $$B=-\int_1^{1/\sqrt2}\frac{du}{u} =-\ln(1/\sqrt2)=\frac12\ln2.$$ La substitution est décroissante : le signe moins et l’ordre des bornes sont tous deux conservés.

Exercices corrigés - Encadrement et fonctions

Exercice 4 - Intégrale signée et valeur absolue

Calculer $\int_{-1}^2(x-1)\,dx$ et $\int_{-1}^2|x-1|\,dx$. Comparer les résultats.

Correction. Une primitive de $x-1$ est $x^2/2-x$ ; la première intégrale vaut $0-(1/2+1)=-3/2$. Pour la seconde, couper en $1$ : $$\int_{-1}^1(1-x)\,dx+\int_1^2(x-1)\,dx =2+\frac12=\frac52.$$ On vérifie $|-3/2|=3/2<5/2$. Les portions de signes opposés se compensent dans l’intégrale signée, mais s’ajoutent pour l’aire.

Exercice 5 - Moyenne et précision sans primitive

Déterminer la moyenne de $f(x)=1+x^2$ sur $[0;3]$ et un point où elle est atteinte. Encadrer ensuite $K=\int_0^{1/2}e^{-x^2}\,dx$.

Correction. La moyenne est $\frac13[x+x^3/3]_0^3=4$. Résoudre $1+c^2=4$ avec $c\in[0;3]$ donne $c=\sqrt3$.

Pour $K$, $0\le x^2\le1/4$, donc $e^{-1/4}\le e^{-x^2}\le1$. En intégrant sur un segment de longueur $1/2$, $$\frac12e^{-1/4}\le K\le\frac12.$$ L’encadrement ne requiert aucune formule de primitive élémentaire.

Exercice 6 - Deux bornes variables

Pour $x\ge1$, définir $H(x)=\int_x^{x^2}dt/(1+t^2)$. Déterminer $H(1)$, le signe de $H$, sa dérivée et sa limite à $+\infty$.

Correction. L’intégrande est continue et positive sur $\mathbb{R}$. Comme $x^2\ge x$, $H(x)\ge0$, avec $H(1)=0$ et $H(x)>0$ pour $x>1$. Par Chasles ou grâce à Arctan, $$H(x)=\operatorname{Arctan}(x^2)-\operatorname{Arctan}x, \qquad H'(x)=\frac{2x}{1+x^4}-\frac1{1+x^2}.$$ Les deux Arctan tendent vers $\pi/2$, donc $H(x)\to0$. Une fonction strictement positive peut ainsi avoir une limite nulle. On ne peut pas conclure au signe de sa dérivée à partir du signe de l’intégrale.

Exercices corrigés - Géométrie

Exercice 7 - Deux changements d’ordre

Calculer l’aire comprise entre les courbes $y=x$ et $y=x^3$ sur $[-1;1]$.

Correction. La différence vaut $x-x^3=x(1-x^2)$. Elle est négative sur $]-1;0[$ et positive sur $]0;1[$. L’aire est donc $$\mathcal A=\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx.$$ Les deux intégrales sont égales par symétrie. Ainsi $$\mathcal A=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac12.$$ L’intégrale de $x-x^3$ sur le segment entier serait nulle, car cette fonction est impaire ; elle ne représente pas l’aire totale.

Exercice 8 - Un domaine, deux axes de rotation

Soit $D=\{(x,y):0\le x\le1,\ 0\le y\le x^2\}$. Calculer les volumes obtenus en faisant tourner $D$ autour de l’axe des abscisses, puis autour de l’axe des ordonnées.

Correction. Autour de l’axe des abscisses, à chaque $x$ correspond un disque de rayon $x^2$. D’où $$V_x=\pi\int_0^1x^4\,dx=\frac\pi5.$$ Autour de l’axe des ordonnées, fixer $y\in[0;1]$. La condition $y\le x^2$, avec $x\ge0$, équivaut à $\sqrt y\le x\le1$. La section est une couronne de rayon extérieur $1$ et intérieur $\sqrt y$. Donc $$V_y=\pi\int_0^1(1-y)\,dy=\frac\pi2.$$ Les deux volumes diffèrent parce que les distances à l’axe et les sections diffèrent. Utiliser $\pi\int_0^1y^2\,dy$ dans le second cas décrirait un autre solide.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La bande horizontale dorée illustre les deux rayons de la couronne ; le schéma n’impose pas une même échelle sur les axes.

Exercices corrigés - Sommes et suites

Exercice 9 - Somme de Riemann et erreur

Pour $n\ge1$, poser $S_n=\sum_{k=1}^n1/(n+k)$. Déterminer sa limite et prouver $0\le\ln2-S_n\le1/(2n)$.

Correction. Écrire $S_n=\frac1n\sum_{k=1}^n1/(1+k/n)$. C’est la somme des rectangles droits pour la fonction continue décroissante $f(x)=1/(1+x)$ sur $[0;1]$. Les rectangles droits sont en dessous de la courbe ; les rectangles gauches donnent $$S_n\le\int_0^1\frac{dx}{1+x}\le T_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{1+k/n}.$$ Par télescopage, $T_n-S_n=(f(0)-f(1))/n=1/(2n)$. Puisque l’intégrale vaut $\ln2$, l’encadrement demandé est établi, et $S_n\to\ln2$. Le rang $n=500$ garantit une erreur au plus $10^{-3}$.

Exercice 10 - Une suite d’intégrales récurrente

Pour $n\ge0$, poser $J_n=\int_0^1x^n/(1+x^2)\,dx$. Étudier sa monotonie et sa limite, puis calculer $J_0,J_1,J_2,J_3$ à l’aide d’une relation de récurrence.

Correction. Les intégrandes sont continus et positifs sur $]0;1]$. Comme $x^{n+1}\le x^n$ sur le segment, $J_{n+1}\le J_n$ ; l’inégalité est stricte car les intégrandes diffèrent sur $]0;1[$. En outre, $$\frac1{2(n+1)}\le J_n\le\frac1{n+1},$$ en utilisant $1/2\le1/(1+x^2)\le1$. Donc $J_n\to0$.

Additionner deux termes d’écart $2$ simplifie le dénominateur : $$J_n+J_{n+2}=\int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1}.$$ La table des primitives donne $J_0=\operatorname{Arctan}1-\operatorname{Arctan}0=\pi/4$, et $J_1=\frac12[\ln(1+x^2)]_0^1=\frac12\ln2$. Ainsi $$J_2=1-\frac\pi4,\qquad J_3=\frac12-\frac12\ln2.$$ La relation relie séparément les termes pairs et impairs. Elle ne suffit pas, à elle seule, à prouver la convergence : l’encadrement précédent l’a établie.

Contrôle final d’un résultat

Vérifier le domaine, les bornes, le signe et l’unité. Une aire ou un volume doit être positif ; une intégrale signée peut être négative. Pour une estimation, annoncer l’erreur garantie et préciser si le rang proposé est seulement suffisant.