Primitives d'une fonction - Cours et exercices corrigés | 2e Bac PC et SVT

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Reconnaître une primitive, décrire toutes les primitives sur un intervalle, utiliser les formes usuelles et composées, puis déterminer une primitive à l’aide d’une condition initiale. Le calcul intégral fera l’objet d’un chapitre séparé.

Une opération liée à la dérivation

Définition sur un intervalle

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x\in I$, $F'(x)=f(x)$. Pour un intervalle fermé ou semi-ouvert, la relation se lit à l’intérieur, avec les conditions aux extrémités précisées dans l’énoncé.

Vérifier une primitive

On précise l’intervalle, on dérive la fonction proposée et on compare exactement le résultat à $f$. Une ressemblance entre les expressions ne suffit pas.

Exemple - Une famille de réponses

Pour $f(x)=3x^2-2$ sur $\mathbb{R}$, les fonctions $F(x)=x^3-2x$, $G(x)=x^3-2x+7$ et $H(x)=x^3-2x-\pi$ sont des primitives, car une constante a une dérivée nulle. En revanche, $x^3-x$ n’en est pas une : sa dérivée vaut $3x^2-1$.

Pourquoi ajoute-t-on une constante ?

Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur le même intervalle $I$, alors $(G-F)'=0$ sur $I$. Le théorème des accroissements finis implique que $G-F$ est constante sur cet intervalle. Réciproquement, $(F+C)'=F'=f$ pour toute constante réelle $C$.

Toutes les primitives sur un intervalle

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $$x\longmapsto F(x)+C,\qquad C\in\mathbb{R}.$$ Le mot intervalle est essentiel : sur deux intervalles disjoints, les constantes peuvent être différentes.

Existence et limite de la règle

Théorème admis. Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle. Cela assure l’existence ; cela ne fournit pas toujours une expression avec les fonctions usuelles. On n’invente donc pas une formule quand aucune règle du cours ne convient.

Ne pas confondre fonction et valeur

Une primitive est une fonction. Si $F(2)=5$, le nombre $5$ est une valeur imposée ; il ne remplace pas l’expression de $F(x)$. Trouver une primitive et la calculer en un point sont deux étapes distinctes.

Les primitives usuelles

Un tableau à vérifier en dérivant

Dans le tableau, chaque expression de la colonne de droite représente une primitive. On ajoute $C$ pour obtenir la famille complète sur l’intervalle considéré.

$f(x)$	Une primitive $F(x)$	Intervalle / condition
$k$	$kx$	$\mathbb{R}$, $k$ constant
$x^n$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$n\in\mathbb{N}$, sur $\mathbb{R}$
$x^n$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$n\le-2$ entier, sans $0$
$x^\alpha$	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$	$x>0$, $\alpha\ne-1$
$\dfrac1x$	$\ln|x|$	$]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$
$\dfrac1{\sqrt x}$	$2\sqrt x$	$]0;+\infty[$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb{R}$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$

La ligne des puissances réelles s’utilise lorsque ces puissances ont déjà été étudiées. Les cas entiers et la racine carrée suffisent à de nombreux exercices de ce chapitre. La ligne logarithmique s’appuie sur $(\ln x)'=1/x$ pour $x>0$ et $(\ln(-x))'=1/x$ pour $x<0$.

Le cas $n=-1$ est séparé

La formule $x^{n+1}/(n+1)$ serait une division par zéro pour $n=-1$. Une primitive de $1/x$ est $\ln|x|$, et non $x^0/0$. De même, une primitive de $1/x^2$ est $-1/x$, car $(-x^{-1})'=x^{-2}$.

Linéarité

Si $F'=f$ et $G'=g$ sur un intervalle $I$, alors, pour deux constantes réelles $a,b$, $$(aF+bG)'=af+bg.$$ Une somme se traite donc terme à terme. Cette règle ne s’étend pas aux produits : le produit de deux primitives n’est généralement pas une primitive du produit.

Exemple - Réécrire les puissances

Sur $]0;+\infty[$, une primitive de $f(x)=6x^2-4x+3+2/x^2$ est $$F(x)=2x^3-2x^2+3x-\frac2x.$$ En dérivant chaque terme, on retrouve $6x^2-4x+3+2/x^2$. Toutes les primitives sur cet intervalle sont $F+C$.

Reconnaître la dérivée d’une composée

Un changement affine dans une formule usuelle

Si $F'=f$ et $a\ne0$, alors une primitive de $x\mapsto f(ax+b)$ est $$x\longmapsto\frac1aF(ax+b).$$ En effet, la dérivée est $(1/a)\,a\,f(ax+b)=f(ax+b)$. L’intervalle doit être choisi de façon que $ax+b$ reste dans le domaine de $f$.

Exemple - Garder le facteur intérieur

Sur $\mathbb{R}$, une primitive de $\cos(3x-1)$ est $\frac13\sin(3x-1)$. Sur $]-\frac12;+\infty[$, une primitive de $1/\sqrt{2x+1}$ est $\sqrt{2x+1}$. Le coefficient intérieur vaut $2$ ; il compense le $2$ de la dérivée de la racine.

Les formes avec $u'$

Pour une fonction dérivable $u$, les identités suivantes se déduisent directement de la dérivation des composées. Toutes les conditions valent sur l’intervalle étudié.

Expression à primitiver	Une primitive	Condition
$u'\,u^n$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$n\in\mathbb{Z}$, $n\ne-1$ ; $u\ne0$ si $n<0$
$\dfrac{u'}u$	$\ln|u|$	$u$ ne s’annule pas
$\dfrac{u'}{\sqrt u}$	$2\sqrt u$	$u>0$
$u'e^u$	$e^u$	$u$ réelle
$u'\cos u$	$\sin u$	$u$ réelle
$u'\sin u$	$-\cos u$	$u$ réelle

Exemple - Faire apparaître un coefficient manquant

Sur $\mathbb{R}$, posons $u(x)=x^2+1$, donc $u'(x)=2x$. On écrit $$\frac{3x}{x^2+1}=\frac32\frac{u'}u. \qquad\text{Une primitive est }\frac32\ln(x^2+1).$$ Sur $]0;+\infty[$, une primitive de $2x(x^2+1)^4$ est $(x^2+1)^5/5$ ; la même formule est d’ailleurs valable sur tout $\mathbb{R}$.

Le facteur $u'$ est indispensable

La dérivée de $\ln(x^2+1)$ est $2x/(x^2+1)$, pas $1/(x^2+1)$. On ne peut pas enlever un facteur variable comme s’il s’agissait d’une constante. Si la forme n’est pas reconnue, on cherche une réécriture adaptée ou on s’arrête à la méthode réellement disponible.

Déterminer la constante et contrôler le résultat

Une condition en un point

Soit $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$. Si $F_0$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives sont $F_0+C$. La condition $F(x_0)=y_0$ donne une unique valeur $$C=y_0-F_0(x_0).$$

La primitive imposée par une condition initiale

$$F(x)=F_0(x)+y_0-F_0(x_0).$$ Il faut vérifier simultanément $F'=f$ et $F(x_0)=y_0$. Le point $x_0$ doit appartenir à l’intervalle sur lequel on travaille.

Exemple - Une condition avec une fonction trigonométrique

Cherchons $F$ telle que $F'(x)=2\cos(2x)+3$ sur $\mathbb{R}$ et $F(0)=-1$. Les primitives sont $F(x)=\sin(2x)+3x+C$. En $0$, la condition donne $C=-1$. Ainsi $$F(x)=\sin(2x)+3x-1.$$ La dérivation donne bien $2\cos(2x)+3$ et la valeur initiale est bien $-1$.

Une application : retrouver une position

Un mobile se déplace sur un axe. Le temps $t$ est en secondes, la position $s(t)$ en mètres, et la vitesse est $v(t)=s'(t)$. Si $v(t)=6t-2$ pour $0\le t\le3$ et $s(0)=5$, alors $$s(t)=3t^2-2t+5.$$ On obtient $s(2)=13$ mètres. La position à $t=2$ n’est pas la distance totale parcourue ; un changement de sens peut rendre ces deux informations différentes.

Pourquoi le domaine ne peut pas être oublié

Pour $f(x)=1/x$, les primitives sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ peuvent s’écrire $$F(x)=\begin{cases}\ln x+C_+&x>0,\\\ln(-x)+C_-&x<0.\end{cases}$$ Une seule condition positive, par exemple $F(1)=2$, fixe $C_+=2$ mais ne fixe pas $C_-$. Il faut travailler intervalle par intervalle. Il n’existe aucune prolongation continue de ces primitives en $0$, puisque $\ln|x|\to-\infty$ quand $x\to0$.

Méthode en quatre contrôles

1. Écrire le domaine et choisir l’intervalle demandé.

2. Réécrire l’expression puis reconnaître une dérivée connue.

3. Ajouter une constante, et la déterminer si une condition est imposée.

4. Dériver la réponse et vérifier les valeurs imposées.

Exercices corrigés

Essayer chaque exercice avant de lire sa solution. Les constantes sont indépendantes d’un exercice à l’autre.

Exercice 1 - Puissances et linéarité

Déterminer toutes les primitives de $f(x)=4x^3-6x+5-3/x^2$ sur $]0;+\infty[$, puis celle qui vérifie $F(1)=2$. Solution. La primitive terme à terme donne $$F(x)=x^4-3x^2+5x+\frac3x+C. \qquad F'(x)=4x^3-6x+5-\frac3{x^2}.$$ Puis $F(1)=1-3+5+3+C=6+C$. Il faut donc $C=-4$.

Conclusion

La primitive demandée est $F(x)=x^4-3x^2+5x+3/x-4$ sur $]0;+\infty[$.

Exercice 2 - Trois formes composées

Trouver une primitive, en précisant le domaine, pour chacune des fonctions $$f(x)=\frac{6x}{(x^2+2)^2},\qquad g(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+2}},\qquad h(x)=3\sin(2x-1).$$ Solution. Pour $f$, $u=x^2+2$ est strictement positive et $u'=2x$. Donc $f=3u'u^{-2}$, d’où $F(x)=-3/(x^2+2)$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est bien $6x/(x^2+2)^2$.

Pour $g$, $u=x^2+x+2=(x+1/2)^2+7/4>0$ sur $\mathbb{R}$, et $u'=2x+1$. Ainsi $G(x)=2\sqrt{x^2+x+2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$.

Pour $h$, le coefficient intérieur est $2$. La primitive $H(x)=-\frac32\cos(2x-1)$ est définie sur $\mathbb{R}$ ; en dérivant, les deux signes négatifs se compensent et on retrouve $3\sin(2x-1)$.

Exercice 3 - Logarithme et exponentielle

Sur $]0;+\infty[$, déterminer la primitive de $$f(x)=\frac2x+4e^{2x}\quad\text{telle que }F(1)=0.$$ Solution. Une primitive est $2\ln x+2e^{2x}$ : la dérivée de $2e^{2x}$ vaut $4e^{2x}$. Les primitives sont donc $F(x)=2\ln x+2e^{2x}+C$. En $x=1$, $\ln1=0$, donc $C=-2e^2$.

Conclusion

$F(x)=2\ln x+2e^{2x}-2e^2$. Le domaine $x>0$ est conservé et $F(1)=0$.

Exercice 4 - Deux intervalles, deux constantes

On cherche une primitive $F$ de $f(x)=1/x$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ qui vérifie $F(1)=2$ et $F(-1)=-3$. Donner son expression et dire si elle se prolonge continûment en $0$. Solution. Sur les réels positifs, $F(x)=\ln x+C_+$ et $C_+=2$. Sur les réels négatifs, $F(x)=\ln(-x)+C_-$ et $C_-=-3$. Ainsi $$F(x)=\begin{cases}\ln x+2&x>0,\\\ln(-x)-3&x<0.\end{cases}$$ Sur l’intervalle négatif, la dérivée vaut $(-1)/(-x)=1/x$, comme demandé. Aux deux côtés de $0$, $F(x)\to-\infty$. Aucune valeur réelle attribuée en $0$ ne peut donc rendre $F$ continue.

Exercice 5 - Une primitive et sa tangente

Soit $F$ la primitive de $f(x)=2x/(x^2+1)$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=1$. Déterminer $F$, étudier ses variations et écrire la tangente à sa courbe au point d’abscisse $1$. Solution. Puisque $x^2+1>0$, les primitives sont $\ln(x^2+1)+C$. La condition $F(0)=1$ donne $C=1$, donc $$F(x)=\ln(x^2+1)+1.$$ Le signe de $F'(x)=2x/(x^2+1)$ est celui de $x$. Ainsi $F$ décroît sur $]-\infty;0]$ et croît sur $[0;+\infty[$. Son minimum est $F(0)=1$.

On calcule $F(1)=\ln2+1$ et $F'(1)=1$. La tangente a donc pour équation $$y=F'(1)(x-1)+F(1)=x+\ln2.$$ La dérivée fournit ici à la fois la primitive à identifier, le sens de variation et la pente de la tangente.

Exercice 6 - Position et sens du mouvement

Pour $0\le t\le4$, un mobile a une vitesse $v(t)=3t^2-6t$ en mètres par seconde et une position initiale $s(0)=2$ mètres. Déterminer sa position, les intervalles de déplacement dans chaque sens et son déplacement entre $0$ et $4$. Solution. Les primitives donnent $s(t)=t^3-3t^2+C$. La condition initiale fixe $C=2$.

La vitesse est $v(t)=3t(t-2)$. Elle est négative pour $0<t<2$ et positive pour $2<t\le4$. La position décroît donc de $s(0)=2$ à $s(2)=-2$, puis croît jusqu’à $s(4)=18$.

Le déplacement est $s(4)-s(0)=16$ mètres. La distance parcourue est $|{-2}-2|+|18-(-2)|=4+20=24$ mètres : elle est différente du déplacement car le mobile change de sens.

Avant de terminer

Une primitive correcte doit être dérivable sur l’intervalle annoncé. Le contrôle par dérivation vérifie la formule ; le domaine et la condition initiale vérifient que cette formule répond bien à l’énoncé.