Ordre, intervalles et encadrements - Cours et exercices corrigés | TC lettres et enseignement originel

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

Ouvrir et télécharger le cours en PDF

Sur téléphone, utilisez le bouton ci-dessus pour agrandir le document. La lecture est accessible sans inscription.

---

Objectifs. Comparer des nombres, traduire des conditions sur une droite graduée, utiliser la valeur absolue comme une distance et encadrer un résultat à partir d’informations incomplètes. Les signes et les conditions de définition accompagnent chaque calcul.

Cadre. Toutes les lettres désignent des nombres réels, sauf indication contraire. Les propriétés de l’ordre sont admises à ce niveau ; on apprend à les employer et à contrôler les résultats obtenus.

Comparer et transformer une inégalité

Écrire $a<b$ signifie que $a$ est strictement inférieur à $b$. Sur une droite graduée orientée vers la droite, le point d’abscisse $a$ est alors à gauche de celui d’abscisse $b$. L’écriture $a\le b$ autorise aussi l’égalité. Pour comparer deux nombres, on peut étudier le signe de leur différence : $$a<b\iff a-b<0,\qquad a=b\iff a-b=0.$$ Une valeur approchée peut aider à prévoir le résultat ; une comparaison exacte repose sur une propriété ou un calcul exact.

Opérations qui conservent ou renversent l’ordre

Si $a\le b$, alors, pour tout réel $c$, $a+c\le b+c$.

• Si $c>0$, on a $ac\le bc$ et $a/c\le b/c$.

• Si $c<0$, on a $ac\ge bc$ et $a/c\ge b/c$ : le sens s’inverse.

• Si $c=0$, les produits sont tous deux nuls ; la division est interdite.

Pour une inégalité stricte, l’ajout d’un même nombre et la multiplication par un nombre non nul gardent le caractère strict, en inversant le sens lorsque le multiplicateur est négatif.

La comparaison est transitive : si $a\le b$ et $b\le c$, alors $a\le c$. Une écriture telle que $-2\le x<5$ regroupe deux conditions qui doivent être vraies en même temps.

Exemple - Opposé et multiplication négative

De $-1\le x\le4$, on déduit $-12\le-3x\le3$, puis $-10\le2-3x\le5$. Les bornes ont changé de place : multiplier directement les trois termes sans réordonner aurait donné une écriture fausse.

Ne pas opérer avec un signe inconnu

Multiplier une inégalité par $x$ exige de connaître le signe de $x$. De même, une comparaison ne se conserve pas automatiquement en passant aux carrés : $-5<-2$, mais $25>4$. On traite les carrés avec une règle adaptée au signe des nombres.

Intervalles sur la droite réelle

Un intervalle rassemble les nombres compris entre des bornes, avec ou sans les extrémités. Pour $a<b$, on utilise les correspondances suivantes :

Condition	Intervalle	Extrémités admises
$a\le x\le b$	$[a;b]$	$a$ et $b$
$a<x<b$	$]a;b[$	aucune
$a\le x<b$	$[a;b[$	$a$ seulement
$a<x\le b$	$]a;b]$	$b$ seulement
$x\ge a$	$[a;+\infty[$	$a$
$x<b$	$]-\infty;b[$	aucune borne finie admise

Le symbole $\infty$ n’est pas un nombre réel : on ne le prend jamais comme extrémité incluse. L’ensemble $[a;a]$ contient seulement $a$ ; un ensemble sans aucun élément est noté $\varnothing$.

Intersection : satisfaire les deux conditions

L’intersection $A\cap B$ contient les nombres appartenant à la fois à $A$ et à $B$. Par exemple, $$[-2;3]\cap]1;5[=]1;3].$$ Le nombre $1$ est exclu par le second intervalle ; $3$ appartient aux deux. Lorsque les deux intervalles n’ont aucun point commun, leur intersection est vide.

Réunion : satisfaire au moins une condition

La réunion $A\cup B$ contient les nombres appartenant à $A$, à $B$, ou aux deux. Dans l’exemple précédent, $$[-2;3]\cup]1;5[=[-2;5[.$$ Une réunion n’est pas toujours un intervalle. Ainsi $[-2;0]\cup]1;4]$ comporte un trou : les nombres strictement compris entre $0$ et $1$, ainsi que $1$, n’y appartiennent pas.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Un disque plein indique une extrémité incluse ; un cercle vide indique une extrémité exclue. La partie commune doit tenir compte de ces deux informations.

Valeur absolue et distance

La valeur absolue de $x$, notée $|x|$, est sa distance à $0$ sur une droite graduée. Ainsi $$|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\ge0,\\-x&\text{si }x<0.\end{cases}$$ Elle est toujours positive ou nulle : $|-4|=4$, $|0|=0$. L’opposé $-x$ peut être négatif ou positif ; il ne faut donc pas confondre $|x|$ avec $-x$ pour tous les réels.

La distance entre les points d’abscisses $a$ et $b$ est $|a-b|=|b-a|$. L’expression $|x-c|$ mesure la distance de $x$ à un centre $c$.

Distance à un centre, pour $r>0$

$$|x-c|\le r\iff c-r\le x\le c+r.$$ Avec $<$, les deux bornes sont exclues. Pour l’extérieur, $$|x-c|\ge r\iff x\le c-r\ \text{ou}\ x\ge c+r.$$ Avec $>$, les inégalités deviennent strictes. Le mot ou est essentiel : les solutions extérieures forment une réunion de deux intervalles.

Si $r=0$, $|x-c|\le0$ impose $x=c$. Si $r<0$, l’inégalité $|x-c|\le r$ n’a aucune solution. Ces cas viennent de la positivité de la valeur absolue.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Quelques propriétés admises sont utiles pour contrôler un calcul : $|-x|=|x|$, $|xy|=|x|\,|y|$, et, pour $y\ne0$, $|x/y|=|x|/|y|$. On a aussi $|x+y|\le|x|+|y|$. Cette dernière relation donne une majoration ; elle ne signifie pas que les deux membres sont toujours égaux. Par exemple, $|3+(-2)|=1$, tandis que $|3|+|-2|=5$.

Encadrer une expression

Un encadrement $a\le x\le b$ affirme que $a$ est un minorant et $b$ un majorant de la valeur inconnue. Pour calculer avec deux encadrements, chaque transformation doit préserver une information vraie. Les bornes obtenues peuvent être correctes sans être les plus précises possibles.

Somme, différence et multiplication par une constante

Si $a\le x\le b$ et $c\le y\le d$, alors $$\boxed{a+c\le x+y\le b+d},\qquad \boxed{a-d\le x-y\le b-c}.$$ Pour la différence, on commence par $-d\le-y\le-c$, puis on ajoute les encadrements. On ne soustrait pas les bornes de même côté.

Pour $kx$, on multiplie les bornes par $k$ si $k>0$ ; si $k<0$, on les multiplie puis on les échange. Par exemple, $2\le x\le4$ et $-1\le y\le3$ donnent $1\le x+y\le7$ et $-1\le x-y\le5$.

Produit : examiner les signes

Si $0\le a\le x\le b$ et $0\le c\le y\le d$, alors $ac\le xy\le bd$. Cette règle simple exige des bornes positives ou nulles.

Avec des signes quelconques, une méthode sûre consiste à calculer les quatre produits $ac,ad,bc,bd$. Le plus petit est une borne inférieure de $xy$, et le plus grand est une borne supérieure. Cette propriété est admise ici pour deux intervalles bornés.

Exemple - Un facteur positif et un facteur négatif

Pour $-4\le x\le-2$ et $3\le y\le5$, les quatre produits sont $-12,-20,-6,-10$. Ainsi $-20\le xy\le-6$. Le produit est négatif, ce qui fournit un premier contrôle. Le calcul $(-4)3\le xy\le(-2)5$ serait faux : il ignore les effets du signe.

Carré : la position de zéro compte

Encadrer $x^2$ à partir de $a\le x\le b$

• Si $0\le a\le b$, alors $a^2\le x^2\le b^2$.

• Si $a\le b\le0$, alors $b^2\le x^2\le a^2$.

• Si $a\le0\le b$, alors $0\le x^2\le\max(a^2,b^2)$.

Le carré dépend de la distance à zéro. Ainsi $-3\le x\le2$ implique $0\le x^2\le9$, et non $9\le x^2\le4$. Si zéro est dans l’intervalle, il faut le considérer pour la borne inférieure.

Racine carrée

Pour $0\le a\le x\le b$, la racine est définie et l’ordre est conservé : $$\sqrt a\le\sqrt x\le\sqrt b.$$ Par exemple, $4\le x\le9$ donne $2\le\sqrt x\le3$. Pour comparer deux racines de nombres positifs, on compare leurs radicandes. Pour comparer une racine à un nombre positif, on peut comparer leurs carrés. Le contrôle de positivité doit précéder cette opération.

Inverse, puis quotient

Si $a\le x\le b$ avec $0<a\le b$, ou avec $a\le b<0$, alors $$\boxed{\frac1b\le\frac1x\le\frac1a}.$$ L’ordre s’inverse sur chacun des deux intervalles de signe constant. Ainsi $2\le x\le5$ donne $1/5\le1/x\le1/2$, et $-5\le x\le-2$ donne $-1/2\le1/x\le-1/5$.

Pour encadrer $x/y$, on écrit $x/y=x\times(1/y)$ : on encadre d’abord $1/y$, puis on applique la règle du produit. Si $0\le a\le x\le b$ et $0<c\le y\le d$, on obtient directement $$\frac ad\le\frac xy\le\frac bc.$$

Un intervalle contenant zéro ne permet pas cette inversion

Si $-1\le y\le2$, on ne peut pas écrire $1/2\le1/y\le-1$. Le quotient n’est pas défini pour $y=0$ et, même en excluant zéro, l’inverse peut devenir très grand en valeur absolue. Il faut davantage d’informations sur le dénominateur ou séparer des domaines adaptés.

Des bornes valides ne sont pas toujours optimales

Si $0\le x\le1$, appliquer la règle générale de différence à $x-x$ donne $-1\le x-x\le1$, ce qui est vrai. Mais le calcul exact $x-x=0$ est beaucoup plus précis. Les deux occurrences désignent le même nombre : simplifier une expression avant de l’encadrer peut donc améliorer fortement le résultat.

Valeur approchée et erreur absolue

Un nombre exact et son écriture approchée ne sont pas identiques. Si $x$ est la valeur exacte et $q$ une approximation, l’erreur absolue est $|x-q|$.

Précision annoncée

Dire que $q$ approche $x$ avec une erreur au plus $\varepsilon$, où $\varepsilon\ge0$, signifie $$|x-q|\le\varepsilon\quad\Longleftrightarrow\quad q-\varepsilon\le x\le q+\varepsilon.$$ À partir de $a\le x\le b$, le milieu $q=(a+b)/2$ fournit l’erreur garantie $|x-q|\le(b-a)/2$.

Le résultat d’une calculatrice affiché avec un nombre fini de chiffres est généralement une approximation. Le symbole $\approx$ rappelle cette différence ; une borne d’erreur précise ce que l’affichage permet d’affirmer.

Arrondir et encadrer à un rang décimal

Un arrondi au centième est un multiple de $0{,}01$ le plus proche. Il donne une erreur au plus $0{,}005$. Plus généralement, l’arrondi à $n$ décimales donne une erreur au plus $\tfrac12\,10^{-n}$ ; cette borne reste vraie quel que soit le choix conventionnel au milieu exact de deux possibilités.

Pour un nombre positif, une troncature à $n$ décimales donne un encadrement entre le nombre tronqué et ce nombre augmenté de $10^{-n}$, avec la borne supérieure exclue. Pour un nombre négatif, couper les chiffres après la virgule ne donne pas automatiquement une approximation par défaut : $-1{,}23>-1{,}237$.

Exemple - Une mesure et son unité

Si une longueur est annoncée comme $12{,}4$ cm avec une erreur au plus $0{,}1$ cm, la longueur réelle appartient à $[12{,}3;12{,}5]$ cm. Cela ne donne aucune probabilité à chaque valeur : c’est un encadrement déterministe. Pour un périmètre ou une aire, on propage ensuite les bornes avec les règles précédentes.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Comparaisons exactes

Comparer $7/12$ et $5/8$, puis $-4/7$ et $-5/9$, et enfin $\sqrt{13}$ et $3{,}6$.

Correction. On calcule $7/12-5/8=(14-15)/24=-1/24<0$, donc $7/12<5/8$. De même, $-4/7+5/9=(-36+35)/63=-1/63<0$, donc $-4/7<-5/9$. Enfin les deux nombres $\sqrt{13}$ et $3{,}6$ sont positifs ; leurs carrés sont $13$ et $12{,}96$. Comme $13>12{,}96$, on obtient $\sqrt{13}>3{,}6$. Aucun arrondi de la racine n’est nécessaire.

Exercice 2 - Réunir et intersecter sans perdre les bornes

Soient $A=[-3;2[$, $B=]0;5]$ et $C=[2;7[$. Déterminer $A\cap B$, $A\cup B$, $A\cap C$ et $A\cup C$.

Correction. La partie commune à $A$ et $B$ commence strictement après $0$ et s’arrête strictement avant $2$, donc $A\cap B=]0;2[$. Leur réunion est $[-3;5]$ : il n’y a aucun trou et les extrémités sont admises. Pour $A$ et $C$, le seul point de contact possible serait $2$, mais $2\notin A$. Ainsi $A\cap C=\varnothing$. En revanche $2\in C$, donc la réunion ne laisse aucun trou : $A\cup C=[-3;7[$. Une intersection vide n’empêche donc pas la réunion d’être un intervalle.

Exercice 3 - Distances et ensembles de solutions

Résoudre $|2x-3|\le5$, puis $|x+1|>2$. Donner les solutions sous forme d’intervalles.

Correction. La première condition équivaut à $-5\le2x-3\le5$. En ajoutant $3$, puis en divisant par $2>0$, on trouve $-1\le x\le4$. L’ensemble est donc $[-1;4]$. Pour la seconde, la distance à $-1$ doit être strictement supérieure à $2$ : $x<-3$ ou $x>1$. Les solutions sont $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$. Les points $-3$ et $1$ sont exclus, car leur distance au centre vaut exactement $2$.

Exercice 4 - Somme pondérée, produit et quotient

On sait que $-2\le x\le3$ et $4\le y\le5$. Encadrer $2x-3y$, $xy$ et $x/y$.

Correction. On a $-4\le2x\le6$ et $-15\le-3y\le-12$, donc $-19\le2x-3y\le-6$. Pour le produit, les quatre produits des bornes sont $-8,-10,12,15$, d’où $-10\le xy\le15$. Comme $y>0$, $1/5\le1/y\le1/4$. Les quatre produits avec les bornes de $x$ sont $-2/5,-1/2,3/5,3/4$. Ainsi $$\boxed{-\frac12\le\frac xy\le\frac34}.$$ Prendre $x/y$ entre $(-2)/5$ et $3/4$ aurait perdu des valeurs possibles, notamment $x=-2,y=4$.

Exercice 5 - Carrés et inverses de nombres négatifs

Pour $-5\le u\le-2$, encadrer $u^2$ et $1/u$. Pour $-2\le v\le3$, encadrer $v^2$ et $\sqrt{v^2}$.

Correction. L’intervalle de $u$ est négatif : le plus petit carré vient de $-2$, le plus grand de $-5$. Ainsi $4\le u^2\le25$. L’inversion renverse l’ordre et donne $-1/2\le1/u\le-1/5$. Pour $v$, zéro appartient à l’intervalle ; le carré minimal est donc $0$ et le maximal est $3^2=9$. On a $0\le v^2\le9$, puis $0\le\sqrt{v^2}\le3$. Il faut retenir $\sqrt{v^2}=|v|$, et non $v$ pour tous les réels : pour $v=-2$, la racine vaut $2$.

Exercice 6 - Une racine et une erreur garantie

Vérifier $1{,}732<\sqrt3<1{,}733$. En déduire une approximation par le milieu et une borne d’erreur. Encadrer ensuite $2\sqrt3-1$.

Correction. Les nombres sont positifs et $$1{,}732^2=2{,}999824<3<3{,}003289=1{,}733^2.$$ L’ordre des carrés donne donc l’encadrement annoncé. Le milieu est $1{,}7325$ et la demi-largeur $0{,}0005$ : $$|\sqrt3-1{,}7325|<0{,}0005.$$ Ce milieu est une approximation avec une erreur garantie ; on ne le présente pas comme l’arrondi à quatre décimales. Enfin multiplier les deux bornes par $2>0$ puis retrancher $1$ donne $2{,}464<2\sqrt3-1<2{,}466$.

Exercice 7 - Dimensions mesurées d’un rectangle

Les dimensions d’un rectangle satisfont $4{,}95\le L\le5{,}05$ et $2{,}98\le l\le3{,}02$, en mètres. Encadrer son périmètre $P$ et son aire $S$, puis donner pour chacun une approximation centrale et une erreur garantie.

Correction. On a $7{,}93\le L+l\le8{,}07$, donc $$15{,}86\le P=2(L+l)\le16{,}14.$$ Ainsi $P\approx16$ m avec $|P-16|\le0{,}14$ m. Les deux dimensions sont positives, donc $$4{,}95\times2{,}98\le S\le5{,}05\times3{,}02, \qquad14{,}751\le S\le15{,}251.$$ Le milieu est $15{,}001$ et la demi-largeur $0{,}250$. Ainsi $S\approx15{,}001$ m$^2$ avec $|S-15{,}001|\le0{,}250$ m$^2$. Le centre de cet encadrement n’est pas exactement le produit $5\times3=15$ : l’erreur annoncée doit correspondre à l’approximation choisie.

Exercice 8 - Partager un coût fixe

Un transport coûte $300$ DH au total. Le nombre entier $n$ de participants est compris entre $18$ et $22$, bornes incluses. Encadrer la participation exacte $p=300/n$. Un plafond de $16{,}67$ DH par personne couvre-t-il ce coût pour tous ces effectifs ?

Correction. Comme $18\le n\le22$ et $n>0$, on a $1/22\le1/n\le1/18$. En multipliant par $300$, $$\frac{150}{11}\le p\le\frac{50}{3}.$$ Le coût le plus élevé correspond au plus petit effectif. Or $50/3=16{,}666\ldots<16{,}67$. Le plafond suffit donc dans tous les cas. Pour $18$ participants, $18\times16{,}67=300{,}06$ DH : percevoir cette somme de chacun produit un léger excédent. L’encadrement porte sur le partage exact ; la répartition des centimes est une décision distincte.

Exercice 9 - Pourquoi il manque une borne

On sait que $0<t\le0{,}1$. Peut-on en déduire $10\le1/t\le100$ ? Donner une conclusion correcte.

Correction. Le nombre $t$ est positif et $t\le1/10$, donc $1/t\ge10$. En revanche aucune borne inférieure strictement positive de $t$ n’est donnée. Le choix $t=0{,}001$ respecte la condition et donne $1/t=1000>100$. Plus généralement, pour tout nombre $M\ge10$, le choix $t=1/(M+1)$ convient et donne $1/t=M+1>M$. Il n’existe donc pas de majorant fini déduit de ces seules données. L’ensemble des valeurs de $1/t$ est $[10;+\infty[$.

Exercice 10 - Une tolérance et une seconde contrainte

Une quantité $q$ doit satisfaire $|q-50|\le0{,}4$ et $q<50{,}2$. Décrire l’ensemble admissible. Une valeur affichée $49{,}8$ avec une erreur garantie au plus $0{,}1$ suffit-elle à assurer les deux conditions ?

Correction. La tolérance signifie $49{,}6\le q\le50{,}4$. L’intersection avec $]-\infty;50{,}2[$ est donc $[49{,}6;50{,}2[$. L’affichage et sa précision donnent $49{,}7\le q\le49{,}9$. Cet intervalle entier est contenu dans l’ensemble admissible : les deux conditions sont garanties. Vérifier seulement la valeur affichée aurait été insuffisant ; il fallait examiner toutes les valeurs compatibles avec l’erreur annoncée.

Contrôle final d’un encadrement

Identifier les signes et les domaines ; réordonner les bornes après une opération décroissante ; conserver les extrémités incluses ou exclues ; simplifier les expressions lorsque les quantités dépendent l’une de l’autre ; annoncer l’unité et l’erreur d’une approximation. Un essai numérique peut révéler une erreur, mais ne remplace pas la propriété utilisée.

Fin du cours et des exercices corrigés