Logique et raisonnements mathématiques - Cours et exercices corrigés | 1re Bac Sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Lire une proposition, combiner des conditions, utiliser les quantificateurs, écrire une négation et choisir une méthode de preuve. Les exemples relient le calcul à des contraintes de coût, de quantité ou de stock, sans remplacer la précision du langage mathématique.

Propositions, variables et domaine

Une affirmation vraie ou fausse

Une proposition est une affirmation à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité : vraie ou fausse. La phrase $7>3$ est vraie ; la phrase $5$ est un nombre pair est fausse. Une question ou une consigne n’est pas une proposition.

La phrase $x^2=4$ dépend de la valeur de $x$. Elle est vraie pour $x=2$ et $x=-2$, fausse pour $x=0$. Tant que $x$ n’est ni fixé ni quantifié, on parle d’une propriété dépendant d’une variable, ou d’un prédicat, noté par exemple $P(x)$.

Le domaine fait partie de l’énoncé

L’affirmation il existe un nombre dont le carré vaut $2$ est vraie dans $\mathbb{R}$, puisque $\sqrt2$ convient. Elle est fausse dans $\mathbb{Z}$ : si $|n|\le1$, son carré est au plus $1$, et si $|n|\ge2$, son carré est au moins $4$.

Pour discuter $1/x>0$, il faut $x\ne0$. Pour discuter $\sqrt{x-1}=2$, il faut $x\ge1$. Une expression non définie ne peut pas être manipulée comme une valeur ordinaire.

Exemple - Une condition sur une quantité

Un modèle de coût est $C(q)=50+12q$, pour $q\ge0$. La propriété $P(q)$ : le coût ne dépasse pas $170$ s’écrit $$50+12q\le170\iff q\le10.$$ Compte tenu du domaine, elle est vraie pour $q\in[0;10]$. Si les objets sont indivisibles, on retient seulement les entiers de $0$ à $10$.

Préciser les objets avant de raisonner

Indiquer le domaine des variables, les unités utiles et les conditions d’existence des expressions. Une affirmation correcte sur les quantités positives peut être fausse sur tous les réels.

Négation, conjonction et disjonction

Nier une proposition

La négation de $P$, notée $\neg P$, est vraie exactement lorsque $P$ est fausse. Nier $x>3$ donne $x\le3$, et non $x<3$ : l’égalité doit être conservée. Nier $x=y$ donne $x\ne y$.

Les mots et et ou

$P\land Q$ exige que les deux propositions soient vraies. $P\lor Q$ exige qu’au moins l’une soit vraie : le ou mathématique est inclusif, donc les deux peuvent être vraies simultanément.

$P$	$Q$	$P\land Q$	$P\lor Q$
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	F

Par exemple, $0<q\le10$ signifie $(q>0)\land(q\le10)$. La condition $x^2=9$ équivaut à $(x=3)\lor(x=-3)$, sans imposer les deux valeurs en même temps.

Lois de négation

$$\neg(P\land Q)\iff(\neg P)\lor(\neg Q),$$ $$\neg(P\lor Q)\iff(\neg P)\land(\neg Q).$$ Pour nier que les deux conditions soient satisfaites, au moins une doit échouer. Pour nier qu’au moins une le soit, les deux doivent échouer.

Exemple - Deux conditions d’admissibilité

Une commande respecte une règle si sa quantité $q$ est au moins $20$ et si son prix unitaire $p$ est au plus $15$. La condition est $(q\ge20)\land(p\le15)$. Sa négation est $$(q<20)\lor(p>15).$$ Une seule condition non respectée suffit à faire échouer la règle. On ne remplace pas le ou de la négation par et .

Lire les bornes

La négation de $-1<x\le4$ est $x\le-1$ ou $x>4$. Celle de $x=0$ ou $y=0$ est $x\ne0$ et $y\ne0$ . Un dessin sur une droite graduée peut aider à vérifier que tous les cas sont couverts.

Implication, réciproque et équivalence

Une hypothèse et une conclusion

$P\Rightarrow Q$ se lit si $P$, alors $Q$ . L’implication est fausse uniquement lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse. Si $P$ est fausse, elle ne permet pas de décider si $Q$ est vraie ou fausse.

Dire $P\Rightarrow Q$, c’est dire que $P$ est une condition suffisante pour $Q$, et que $Q$ est une condition nécessaire pour $P$. La phrase $P$ seulement si $Q$ exprime aussi $P\Rightarrow Q$.

Exemple - Deux seuils de quantité

Pour $q\ge0$, la condition $q\ge10$ implique $q\ge5$. La réciproque est fausse : $q=7$ satisfait $q\ge5$ mais pas $q\ge10$. Un contre-exemple à une implication doit vérifier son hypothèse et contredire sa conclusion.

La contraposée conserve la vérité

Deux règles à distinguer

$$(P\Rightarrow Q)\iff(\neg Q\Rightarrow\neg P),$$ $$\neg(P\Rightarrow Q)\iff P\land\neg Q.$$ La première formule donne la contraposée ; la deuxième décrit exactement le cas qui rend l’implication fausse.

La contraposée de $q\ge10\Rightarrow q\ge5$ est $q<5\Rightarrow q<10$. La réciproque $q\ge5\Rightarrow q\ge10$ est une autre affirmation et n’a pas la même garantie.

L’équivalence exige les deux sens

$P\Leftrightarrow Q$ signifie à la fois $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$. On dit $P$ si et seulement si $Q$ . Pour tout réel $x$, $$|x|\le3\iff-3\le x\le3.$$ En revanche, $x=2$ implique $x^2=4$, mais n’est pas équivalent à $x^2=4$, car $x=-2$ donne un contre-exemple au sens inverse.

Une transformation peut n’être qu’une implication

Élever au carré conserve une égalité, mais l’égalité des carrés ne garantit pas l’égalité initiale sans condition de signe. Dans une résolution, les symboles $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ doivent refléter les transformations réellement justifiées.

Quantificateurs et négations

Pour tout et il existe

$\forall x\in E,\ P(x)$ signifie que la propriété est vraie pour chaque élément de $E$. Une seule valeur qui la contredit suffit à réfuter l’affirmation.

$\exists x\in E,\ P(x)$ signifie qu’au moins un élément de $E$ convient. Pour la prouver, on peut donner un témoin explicite. Cela ne dit pas que tous les éléments conviennent, ni que le témoin est unique.

Exemple - Tous les coûts ou au moins un coût

Pour $q\ge0$ et $C(q)=50+12q$, l’affirmation $\forall q\ge0,\ C(q)\ge50$ est vraie, car $12q\ge0$. L’affirmation $\exists q\ge0,\ C(q)=170$ est vraie avec le témoin $q=10$.

Nier change le quantificateur

$$\neg(\forall x\in E,\ P(x))\iff\exists x\in E,\ \neg P(x),$$ $$\neg(\exists x\in E,\ P(x))\iff\forall x\in E,\ \neg P(x).$$ La négation de tous les coûts sont au plus $B$ est au moins un coût dépasse $B$ . La négation de il existe un coût inférieur à $B$ est tous les coûts sont au moins $B$ .

L’ordre peut modifier le sens

L’énoncé $\forall x\in\mathbb{R},\exists y\in\mathbb{R},\ y>x$ est vrai : pour chaque $x$, on peut choisir $y=x+1$. Le témoin peut dépendre de $x$.

L’énoncé $\exists y\in\mathbb{R},\forall x\in\mathbb{R},\ y>x$ est faux : un même $y$ ne peut pas dépasser tous les réels, puisque $x=y+1$ le contredit.

Exemple - Nier deux quantificateurs successifs

Pour des ensembles de quantités $D$ et de choix $S$, considérons $$\forall q\in D,\exists s\in S,\ C(q,s)\le B.$$ Sa négation est $$\exists q\in D,\forall s\in S,\ C(q,s)>B.$$ Elle dit qu’une quantité au moins ne permet aucun choix respectant le budget. On change chaque quantificateur en conservant leur ordre, puis on nie la condition finale.

Raisonnement direct, contraposée et cas

Partir des hypothèses

Dans une preuve directe, on utilise les hypothèses et des propriétés connues pour obtenir la conclusion. Pour prouver que $x^2+2x+2>0$ pour tout réel $x$, on écrit $$x^2+2x+2=(x+1)^2+1\ge1>0.$$ Cette transformation démontre la propriété pour tous les réels, sans se limiter à quelques valeurs numériques.

Démontrer la contraposée

Pour prouver $P\Rightarrow Q$, on peut prouver $\neg Q\Rightarrow\neg P$ lorsque cette direction est plus simple.

Exemple - Parité d’un entier

Montrons que si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair. La contraposée est : si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair. Si $n=2k$ avec $k\in\mathbb{Z}$, alors $n^2=4k^2=2(2k^2)$, qui est pair. La contraposée est prouvée, donc l’implication initiale l’est aussi.

Séparer des cas exhaustifs

On partage les possibilités en cas qui couvrent tout le domaine. Dans chaque cas, on prouve la conclusion. Il ne faut oublier ni les frontières, ni les cas particuliers.

Exemple - La valeur absolue

Pour montrer $|x-2|\ge x-2$ sur $\mathbb{R}$, on distingue :

• Si $x\ge2$, $|x-2|=x-2$ : il y a égalité.

• Si $x<2$, $|x-2|=2-x$ et $(2-x)-(x-2)=4-2x>0$.

Les deux cas couvrent tous les réels ; la propriété est établie.

Réfuter avec un contre-exemple

L’affirmation pour tout réel $x$, $x^2\ge x$ est fausse : pour $x=1/2$, $x^2=1/4<1/2$. Un exemple favorable ne démontre pas une affirmation universelle ; un seul exemple défavorable bien choisi suffit à la réfuter.

La méthode choisie doit rester visible

Annoncer l’hypothèse de départ, préciser le cas étudié ou la contraposée, puis conclure avec l’énoncé prouvé. Une suite de calculs sans domaine ni conclusion peut masquer une hypothèse oubliée.

Absurde et raisonnement par équivalences

Supposer le contraire pour obtenir une contradiction

Pour démontrer une affirmation $P$ par l’absurde, on suppose $\neg P$, puis on déduit une contradiction avec une hypothèse ou une propriété connue. On conclut que $\neg P$ est impossible et que $P$ est vraie.

Exemple - L’irrationalité de $\sqrt2$

Supposons $\sqrt2=p/q$ avec $p,q$ entiers positifs, $q\ne0$, et la fraction irréductible. Alors $p^2=2q^2$, donc $p^2$ est pair. Un entier impair a un carré impair, puisque $(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1$ ; ainsi $p$ est pair.

Écrivons $p=2r$. L’égalité devient $4r^2=2q^2$, donc $q^2=2r^2$ et $q$ est aussi pair. Le numérateur et le dénominateur ont alors le facteur commun $2$, contradiction avec l’irréductibilité. Donc $\sqrt2$ n’est pas rationnel.

Transformer sans perdre ni ajouter de solution

Un raisonnement par équivalences remplace une condition par une autre ayant exactement les mêmes solutions sur le domaine fixé. Ajouter une même expression à deux membres, ou multiplier une égalité par une quantité non nulle, conserve l’équivalence.

Exemple - Une équation rationnelle

Pour $x\ne1$, $$\frac1{x-1}=2\iff1=2(x-1)\iff x=\frac32.$$ La valeur $3/2$ est admissible. La condition $x\ne1$ justifie la multiplication et reste présente pendant toute la résolution.

Une condition de signe avant le carré

Pour $\sqrt{F(x)}=G(x)$, les conditions $F(x)\ge0$ et $G(x)\ge0$ permettent d’écrire l’équivalence avec $F(x)=G(x)^2$. Sans le signe de $G$, élever au carré pourrait créer des candidats qui ne vérifient pas l’équation initiale.

Absurde et contraposée ne sont pas interchangeables

Dans la contraposée de $P\Rightarrow Q$, on part de $\neg Q$ pour établir $\neg P$. Dans une preuve par l’absurde de cette implication, on peut supposer simultanément $P$ et $\neg Q$, puis obtenir une contradiction. Les deux démarches sont valides lorsqu’elles sont correctement menées.

Raisonnement par récurrence

Une propriété à tous les rangs entiers

Pour démontrer $P(n)$ pour tout entier $n\ge n_0$, on suit trois étapes :

1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$.

2. Hérédité : prendre un entier $n\ge n_0$ quelconque, supposer $P(n)$ et démontrer $P(n+1)$.

3. Conclusion : la propriété vaut pour tout entier $n\ge n_0$.

L’hypothèse de récurrence n’affirme pas d’emblée la propriété à tous les rangs : elle sert à prouver le passage d’un rang au suivant.

Exemple - Une somme classique

Montrons $1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$ pour $n\ge1$. Au rang $1$, les deux membres valent $1$. Si la formule est vraie au rang $n$, alors $$1+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}2+(n+1) =\frac{(n+1)(n+2)}2.$$ C’est la formule au rang $n+1$. Elle est donc vraie pour tout entier $n\ge1$.

Exemple - Un budget augmenté d’un montant fixe

Une suite est définie par $u_0=500$ et $u_{n+1}=u_n+80$. Montrons que $u_n=500+80n$ pour tout $n\ge0$.

Au rang $0$, la formule donne $500$. Si $u_n=500+80n$, alors $u_{n+1}=500+80n+80=500+80(n+1)$. Le passage est établi, donc la formule vaut à tout rang.

Ce qui ne constitue pas une preuve

Calculer les cinq premiers termes peut suggérer une formule, mais ne prouve pas qu’elle reste vraie ensuite. Inversement, prouver seulement le passage $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ sans vérifier un premier rang ne permet pas de démarrer la chaîne.

Choisir un raisonnement adapté

Un témoin prouve une existence ; un contre-exemple réfute une affirmation universelle ; une preuve directe établit une conséquence ; la contraposée ou l’absurde peuvent simplifier la logique ; les cas traitent les expressions dépendant d’un signe ; la récurrence relie les rangs entiers successifs.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Domaine et valeur de vérité

Pour $C(q)=50+12q$, $q\ge0$, décider si les affirmations $\forall q\ge0,\ C(q)\ge50$ et $\exists q\ge0,\ C(q)<50$ sont vraies. L’implication $x^2\ge4\Rightarrow x\ge2$ est-elle vraie sur $\mathbb{R}$ ? Et sur $[0;+\infty[$ ?

Solution. $12q\ge0$, donc $C(q)\ge50$ pour tout $q\ge0$ : la première affirmation est vraie, la seconde fausse. Sur $\mathbb{R}$, $x=-3$ réfute l’implication, car $9\ge4$ mais $-3<2$. Sur les réels positifs ou nuls, $x^2\ge4$ équivaut à $x\ge2$, donc l’implication y est vraie.

Exercice 2 - Nier des conditions combinées

Nier $1<x\le5$, puis $x=0$ ou $y\ge2$ .

Solution. La première condition est $(x>1)\land(x\le5)$ ; sa négation est $x\le1$ ou $x>5$. La deuxième est une disjonction ; sa négation est $x\ne0$ et $y<2$. Les frontières $1,5,2$ sont traitées conformément aux inégalités initiales.

Exercice 3 - Réciproque et contraposée

Pour $n\in\mathbb{Z}$, soit $P$ : $n$ est multiple de $6$ , et $Q$ : $n$ est multiple de $3$ . Étudier $P\Rightarrow Q$, sa réciproque et sa contraposée.

Solution. Si $n=6k$, alors $n=3(2k)$ : $P\Rightarrow Q$ est vraie. La réciproque est fausse, car $n=3$ est multiple de $3$ sans être multiple de $6$. La contraposée est : si $n$ n’est pas multiple de $3$, alors il n’est pas multiple de $6$ ; elle est vraie, équivalente à l’implication initiale. Être multiple de $6$ est suffisant pour être multiple de $3$, et être multiple de $3$ est nécessaire pour être multiple de $6$.

Exercice 4 - Quantificateur et négation

Écrire la négation de $\forall x\in[0;1],\ x^2\le x$, puis décider quelle affirmation est vraie.

Solution. La négation est $\exists x\in[0;1],\ x^2>x$. Or, sur $[0;1]$, $x(1-x)\ge0$, donc $x-x^2\ge0$. L’affirmation universelle est vraie et sa négation est fausse. Vérifier seulement les extrémités n’aurait pas suffi à la démontrer sur tout l’intervalle.

Exercice 5 - L’ordre des quantificateurs

Comparer les affirmations $\forall x\in\mathbb{R},\exists y\in\mathbb{R},\ y=x+2$ et $\exists y\in\mathbb{R},\forall x\in\mathbb{R},\ y=x+2$.

Solution. La première est vraie : pour chaque $x$, choisir $y=x+2$ donne un témoin. La seconde impose un même $y$ pour tous les $x$ ; en prenant $x=y$, elle imposerait $y=y+2$, impossible. Elle est donc fausse. Dans la première affirmation, le témoin dépend de $x$ ; dans la seconde, il serait fixé avant $x$.

Exercice 6 - Trois cas pour une somme de distances

Montrer que $|x-3|+|x+1|\ge4$ pour tout réel $x$, et préciser quand il y a égalité.

Solution. Les signes changent en $-1$ et $3$.

• Si $x<-1$, la somme vaut $(3-x)+(-x-1)=2-2x>4$.

• Si $-1\le x\le3$, elle vaut $(3-x)+(x+1)=4$.

• Si $x>3$, elle vaut $(x-3)+(x+1)=2x-2>4$.

Les trois cas couvrent $\mathbb{R}$ et prouvent l’inégalité. L’égalité a lieu exactement pour $x\in[-1;3]$. L’expression mesure la somme des distances de $x$ aux points $-1$ et $3$.

Exercice 7 - Une contraposée sur un produit

Pour $m,n\in\mathbb{Z}$, démontrer : si $mn$ est impair, alors $m$ et $n$ sont tous deux impairs.

Solution. La négation de $m$ et $n$ sont impairs est au moins l’un des deux est pair , puisque tout entier est pair ou impair. Prouvons la contraposée : si $m$ ou $n$ est pair, alors $mn$ est pair.

Si $m=2k$, alors $mn=2(kn)$ est pair. Si $n=2k$, alors $mn=2(mk)$ est pair. Les deux cas prouvent la contraposée, donc l’implication initiale. Il fallait bien nier une conjonction par une disjonction.

Exercice 8 - Un raisonnement par l’absurde

Montrer qu’il n’existe pas de plus petit réel strictement positif.

Solution. Supposons qu’un tel nombre $a$ existe. Il vérifie $a>0$ et tout réel strictement positif devrait être au moins égal à $a$. Mais $a/2>0$ et $a/2<a$, contradiction. Donc aucun réel strictement positif n’est le plus petit de tous. Cela ne contredit pas le fait que $0$ soit un minorant de cet ensemble : $0$ n’y appartient pas.

Exercice 9 - Résoudre par équivalences contrôlées

Résoudre $\sqrt{x+4}=x-2$ sur les réels.

Solution. Le radical impose $x\ge-4$, et le membre droit doit être positif ou nul, donc $x\ge2$. Sur ce dernier domaine, les deux membres sont positifs ou nuls et l’élévation au carré est réversible : $$\sqrt{x+4}=x-2\iff x+4=(x-2)^2\iff x(x-5)=0.$$ Les candidats sont $0$ et $5$, mais seul $5$ appartient au domaine $x\ge2$. La vérification donne $\sqrt9=3=5-2$. L’ensemble solution est $\{5\}$ ; retenir $0$ aurait oublié la condition de signe.

Exercice 10 - Récurrence et comparaison de deux modèles

Pour un réel fixé $t\ge0$, démontrer $(1+t)^n\ge1+nt$ pour tout entier $n\ge0$. Interpréter le résultat pour des intérêts simples et composés à taux constant, sans versement supplémentaire.

Solution. Au rang $0$, les deux membres valent $1$. Supposons $(1+t)^n\ge1+nt$. Comme $1+t>0$, on peut multiplier en conservant le sens : $$(1+t)^{n+1}\ge(1+nt)(1+t)=1+(n+1)t+nt^2\ge1+(n+1)t.$$ La propriété est héréditaire, donc vraie à tout rang.

Pour un capital initial $C_0\ge0$, multiplier par $C_0$ conserve l’inégalité : $C_0(1+t)^n\ge C_0(1+nt)$. Dans ce modèle scolaire, le capital à intérêts composés est donc au moins égal au capital à intérêts simples après le même nombre de périodes. La conclusion utilise les hypothèses $t\ge0$, $C_0\ge0$ et l’absence de versements supplémentaires.