Logique et raisonnements | 1re bac lettres, originel et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Comprendre exactement une affirmation, en écrire la négation et distinguer une implication de sa réciproque. Justifier une réponse par une démonstration directe, un raisonnement par l’absurde, une séparation des cas ou une chaîne d’équivalences.

Point de départ. Les exemples utilisent les nombres, les équations et les inégalités déjà étudiés. On adopte $\mathbb{N}=\{0;1;2;\ldots\}$. La logique sert à organiser les idées et les preuves : une conclusion correcte doit être reliée à ses hypothèses par des étapes justifiées.

Affirmations, variables et domaine

Une proposition est vraie ou fausse

Une proposition est une affirmation à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité. Ainsi, $9$ est un carré d’entier est vraie, tandis que $9$ est pair est fausse. Une question, une demande de calcul ou une phrase dont le sens n’est pas fixé n’est pas une proposition mathématique complète.

La phrase $x+2=5$ dépend d’une variable : elle est vraie si $x=3$, fausse si $x=1$. On peut la noter $P(x)$, puis préciser une valeur de $x$ ou dire pour quelles valeurs elle est affirmée.

Préciser de quoi l’on parle

Le domaine indique les objets autorisés. L’affirmation $x^2=2$ possède des solutions réelles, mais aucune solution entière. L’expression $1/x$ n’a de sens que pour $x\ne0$. Avant de discuter la vérité d’une égalité, vérifier que ses deux membres sont définis.

Pour savoir si une propriété est toujours vraie, quelques essais ne suffisent pas. Par exemple, $x^2\ge x$ est vérifiée pour $x=0$, $1$, $2$ et $3$, mais elle échoue pour $x=1/2$, car $1/4<1/2$. En revanche, une seule valeur qui contredit une affirmation universelle suffit à la réfuter.

Lire les mots qui modifient une affirmation

Les expressions « tous », « au moins un », « exactement un » et « aucun » n’ont pas le même sens. Dans une liste de résultats, affirmer qu’au moins une note vaut $12$ ne signifie ni que toutes valent $12$, ni qu’une seule le vaut.

En mathématiques, les données d’une situation doivent être séparées de ce qui est à prouver. Si un nombre est supposé positif, on peut utiliser cette information. Si sa positivité est la conclusion recherchée, on ne peut pas l’introduire comme une hypothèse sans démonstration.

Nier et combiner des propositions

La négation conserve les cas oubliés

La négation de $P$, notée $\neg P$, affirme exactement que $P$ est fausse. Nier $x>4$ donne $x\le4$, et non $x<4$ : la valeur $x=4$ doit être incluse. Nier $x=y$ donne $x\ne y$ ; nier $x\in A$ donne $x\notin A$.

Conjonction et disjonction

La proposition $P\land Q$ signifie « $P$ et $Q$ » : les deux conditions doivent être remplies. La proposition $P\lor Q$ signifie « $P$ ou $Q$ » : au moins une suffit. Ce ou inclusif autorise que les deux soient vraies.

Ainsi, $1\le x<5$ signifie $(x\ge1)\land(x<5)$. À l’opposé, $x\le1$ ou $x\ge5$ décrit deux régions séparées. Le mot « ou » ne permet pas de remplacer un système de deux contraintes par une seule contrainte au choix.

Négation d’une combinaison

Pour que $P$ et $Q$ ne soient pas toutes deux vraies, il suffit que l’une soit fausse : $$\neg(P\land Q)\iff(\neg P)\lor(\neg Q).$$ Pour que ni $P$ ni $Q$ ne soit vraie, les deux doivent être fausses : $$\neg(P\lor Q)\iff(\neg P)\land(\neg Q).$$

Par exemple, nier $1\le x<5$ donne $x<1$ ou $x\ge5$. Les bornes et les signes sont essentiels : $1$ appartient à l’intervalle initial, mais $5$ n’y appartient pas.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Un point plein est inclus ; un point creux est exclu. Les deux dessins partagent tous les réels : chaque réel appartient à exactement l’une des deux régions.

Implication, réciproque et équivalence

Distinguer hypothèse et conclusion

L’implication $P\Rightarrow Q$ se lit « si $P$, alors $Q$ ». Elle interdit uniquement le cas où $P$ est vraie et $Q$ fausse. Pour la réfuter, il faut donc un exemple qui réalise précisément ce cas.

Pour tout réel $x$, $x>3\Rightarrow x^2>9$ est vraie : un nombre strictement supérieur à $3$ est positif et son carré dépasse $9$. La réciproque $x^2>9\Rightarrow x>3$ est fausse, car $x=-4$ vérifie l’hypothèse sans vérifier la conclusion.

Une condition suffisante n’est pas toujours nécessaire

Être supérieur à $3$ est suffisant pour avoir un carré supérieur à $9$. Ce n’est pas nécessaire : être inférieur à $-3$ convient aussi. Dans $P\Rightarrow Q$, $P$ est une condition suffisante de $Q$, et $Q$ est une condition nécessaire de $P$.

Une implication ne permet pas de conclure $Q$ lorsque l’hypothèse $P$ n’est pas établie. De même, connaître la conclusion ne prouve pas l’hypothèse : du fait qu’un nombre est pair, on ne peut déduire qu’il est multiple de $6$.

La contraposée donne une implication équivalente

L’implication $P\Rightarrow Q$ possède la même valeur de vérité que $$\neg Q\Rightarrow\neg P.$$ Cette dernière s’appelle la contraposée. Si un entier multiple de $6$ est pair, alors un entier impair ne peut pas être multiple de $6$. La contraposée inverse l’ordre et nie les deux propositions ; la réciproque inverse seulement l’ordre.

Deux sens à démontrer

L’équivalence $P\Leftrightarrow Q$ signifie que $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$ sont toutes deux vraies. On la lit « $P$ si et seulement si $Q$ ».

Par exemple, pour $x\in\mathbb{R}$, $$x^2=16\iff(x=4\text{ ou }x=-4).$$ On peut factoriser $x^2-16=(x-4)(x+4)$ pour obtenir le premier sens. Inversement, chacune des deux valeurs possède un carré égal à $16$. Écrire seulement $x^2=16\Rightarrow x=4$ ferait perdre une solution.

Quantifier une propriété et en écrire la négation

Pour tout et il existe

Le symbole $\forall$ signifie « pour tout ». L’énoncé $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge0$ affirme que chaque réel vérifie la propriété. Pour le prouver, on travaille avec un réel quelconque ; pour le réfuter, un contre-exemple suffirait.

Le symbole $\exists$ signifie « il existe au moins un ». L’énoncé $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=9$ est vrai parce que $x=3$ convient. La présence d’une autre solution, $-3$, ne le rend pas faux. L’existence ne signifie pas l’unicité.

Nier le quantificateur et la propriété

$$\neg(\forall x\in E,\ P(x))\iff\exists x\in E,\ \neg P(x),$$ $$\neg(\exists x\in E,\ P(x))\iff\forall x\in E,\ \neg P(x).$$ Le domaine $E$ reste le même. Nier « toutes les notes sont au moins $10$ » donne « au moins une note est strictement inférieure à $10$ ».

La négation de $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2<0$ est $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge0$. Ce n’est pas $\forall x,\ x^2>0$ : le carré de $0$ vaut $0$.

L’ordre des choix compte

L’énoncé $\forall x\in\mathbb{R},\ \exists y\in\mathbb{R},\ y>x$ est vrai : une fois $x$ donné, on choisit $y=x+1$. Le choix de $y$ peut dépendre de $x$.

L’énoncé $\exists y\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ y>x$ est faux. Il demanderait un même réel plus grand que tous les réels. Pour n’importe quel candidat $y$, prendre $x=y$ contredit déjà $y>x$. Les mêmes symboles dans un autre ordre expriment donc une autre affirmation.

Choisir et rédiger un raisonnement

Raisonnement direct et contre-exemple

Pour démontrer $P\Rightarrow Q$ directement, on part de $P$ et on établit $Q$. Si $n$ est un entier pair, il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k$. Alors $n^2=4k^2=2(2k^2)$ ; comme $2k^2$ est entier, $n^2$ est pair.

Pour montrer qu’une affirmation universelle est fausse, on fournit une valeur admissible et on vérifie les deux points : elle respecte les hypothèses et ne respecte pas la conclusion. Dire seulement « ce n’est pas toujours vrai » n’est pas une justification.

Raisonnement par l’absurde

On suppose fausse la conclusion recherchée, en conservant les hypothèses, puis on aboutit à une contradiction. Démontrons qu’il n’existe pas de plus grand entier naturel. S’il en existait un, noté $N$, alors $N+1$ serait encore naturel et serait plus grand que $N$. Cela contredit la propriété supposée de $N$ ; aucun plus grand naturel n’existe.

Disjonction des cas

On partage tous les cas possibles, sans en oublier, puis on établit la conclusion dans chacun. Pour un entier $n$, les deux cas « $n$ pair » et « $n$ impair » couvrent tous les entiers. Dans les deux cas, l’un des nombres $n$ et $n+1$ est pair ; leur produit est donc pair.

Raisonnement par équivalences

On remplace successivement une propriété par une autre ayant exactement les mêmes solutions. Pour $x\in\mathbb{R}$, $$3x-2=10\iff3x=12\iff x=4.$$ Ajouter un même nombre ou diviser par une constante non nulle sont des opérations réversibles. En revanche, élever au carré peut introduire des solutions : $x=2$ implique $x^2=4$, mais la réciproque est fausse. On termine donc toujours par une vérification quand une étape n’est qu’une implication.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Une phrase complète

Parmi $4+5=9$, $x+5=9$, « calculer $4+5$ » et $\forall x\in\mathbb{R},\ x+5>0$, identifier les propositions et leur vérité.

Correction. La première est une proposition vraie. La deuxième est une propriété dépendant de $x$ ; elle devient vraie pour $x=4$, fausse pour $x=0$. La troisième est une consigne. La dernière est une proposition quantifiée, mais elle est fausse : $x=-6$ donne $-1>0$, qui est faux. La valeur de $x$ n’a donc pas besoin d’être fixée pour qu’une phrase quantifiée soit une proposition.

Exercice 2 - Nier sans perdre les bornes

Pour $x\in\mathbb{R}$, nier : $-2<x\le3$ ; $x=0$ ou $x\ge4$ ; $x<1$ et $x\ne-3$.

Correction. On applique les règles de négation à chaque condition : $$\begin{align*} \neg(-2<x\le3)&\iff x\le-2\text{ ou }x>3,\\ \neg(x=0\text{ ou }x\ge4)&\iff x\ne0\text{ et }x<4,\\ \neg(x<1\text{ et }x\ne-3)&\iff x\ge1\text{ ou }x=-3. \end{align*}$$ Dans la première réponse, $-2$ est inclus, car il ne satisfait pas l’inégalité initiale ; $3$ est exclu de la négation, car il satisfait la double inégalité initiale.

Exercice 3 - Implication et réciproque

Étudier sur $\mathbb{R}$ l’implication $x>5\Rightarrow x^2>25$, sa réciproque et sa contraposée.

Correction. L’implication est vraie puisque $x>5>0$ permet de comparer les carrés. La réciproque $x^2>25\Rightarrow x>5$ est fausse : $x=-6$ donne $36>25$, mais $-6>5$ est faux. La contraposée est $x^2\le25\Rightarrow x\le5$ ; elle est vraie et équivalente à l’implication de départ. On peut la vérifier directement : $x^2\le25$ impose $-5\le x\le5$.

Exercice 4 - Quantificateurs et témoins

Étudier puis nier les affirmations $A:\forall x\in\mathbb{R},\ x^2+1>0$ et $B:\exists n\in\mathbb{Z},\ n^2=2$.

Correction. $A$ est vraie car $x^2\ge0$ entraîne $x^2+1\ge1>0$. Sa négation est $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2+1\le0$, fausse. $B$ est fausse : pour un entier $n$, soit $|n|\le1$ et $n^2\le1$, soit $|n|\ge2$ et $n^2\ge4$. Aucun carré entier ne vaut $2$. Sa négation vraie est $\forall n\in\mathbb{Z},\ n^2\ne2$.

Exercice 5 - L’ordre de deux quantificateurs

Comparer $A:\forall x\in\mathbb{R},\exists y\in\mathbb{R},\ x+y=0$ et $B:\exists y\in\mathbb{R},\forall x\in\mathbb{R},\ x+y=0$.

Correction. $A$ est vraie : pour chaque $x$, choisir $y=-x$. $B$ est fausse : si un même $y$ convenait pour tous les $x$, le choix $x=0$ imposerait $y=0$, puis $x=1$ imposerait $y=-1$, contradiction. Dans $A$, le témoin varie avec $x$ ; dans $B$, il doit être fixé avant tous les choix de $x$.

Exercice 6 - Justification directe et cas

Montrer que la somme de deux entiers impairs est paire, puis que $n(n+1)$ est pair pour tout $n\in\mathbb{Z}$.

Correction. Deux impairs s’écrivent $2a+1$ et $2b+1$, avec $a,b\in\mathbb{Z}$. Leur somme est $2(a+b+1)$, donc paire. Pour le produit, si $n=2k$, alors $n(n+1)=2k(2k+1)$ est pair. Si $n=2k+1$, alors $n+1=2(k+1)$ et le produit est encore pair. Ces deux cas épuisent tous les entiers, y compris les négatifs et $0$.

Exercice 7 - Un argument par l’absurde

Montrer qu’il n’existe aucun plus petit réel strictement positif.

Correction. Supposons qu’un tel réel $a$ existe. Comme $a>0$, le réel $a/2$ vérifie $0<a/2<a$. Il est donc strictement positif et plus petit que $a$, contrairement au choix de $a$. L’hypothèse conduit à une contradiction. Le nombre $0$ ne résout pas le problème : il n’est pas strictement positif.

Exercice 8 - Une transformation non réversible

Un élève résout $\sqrt{x+2}=x$ en écrivant $x+2=x^2$, puis conclut $x=-1$ ou $x=2$. Corriger le raisonnement.

Correction. Le radical exige $x\ge-2$, et le membre gauche positif ou nul impose aussi $x\ge0$. Avec cette dernière condition, les deux membres sont positifs ou nuls : l’élévation au carré devient réversible. On écrit $$\sqrt{x+2}=x\iff\bigl(x\ge0\text{ et }x^2-x-2=0\bigr).$$ Or $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Parmi les racines $2$ et $-1$, seule $2$ est non négative ; elle vérifie $\sqrt4=2$. La solution unique est donc $2$. Le candidat $-1$ échoue, puisque $\sqrt1=1\ne-1$.

Exercice 9 - Tester une affirmation universelle

L’égalité $(a+b)^2=a^2+b^2$ est-elle vraie pour tous réels $a,b$ ? Déterminer exactement quand elle est vraie.

Correction. Prendre $a=b=1$ donne $4\ne2$ ; l’affirmation universelle est fausse. En développant, pour tous $a,b\in\mathbb{R}$, $$(a+b)^2=a^2+b^2\iff2ab=0\iff a=0\text{ ou }b=0.$$ Le contre-exemple réfute le caractère universel, tandis que la chaîne d’équivalences décrit tous les cas où l’égalité tient. Ces deux demandes ne doivent pas être confondues.

Exercice 10 - Relire une règle de format

Dans un projet fictif d’exposition, une affiche de largeur $a>0$ et de hauteur $b>0$, en centimètres, est acceptée si $18\le a\le24$ et $b\ge30$. Écrire la condition de refus. Une hauteur d’au moins $30$ cm est-elle nécessaire ? Est-elle suffisante ? Tester les formats $(20;30)$ et $(18;29)$.

Correction. L’acceptation est $(a\ge18)\land(a\le24)\land(b\ge30)$. Son refus est $$a<18\quad\text{ou}\quad a>24\quad\text{ou}\quad b<30.$$ Il suffit qu’une condition manque. La hauteur $b\ge30$ est nécessaire, puisque toute affiche acceptée la respecte. Elle n’est pas suffisante : un format $(25;35)$ a une hauteur convenable mais une largeur trop grande. Le format $(20;30)$ est accepté ; $(18;29)$ est refusé à cause de sa hauteur. Les bornes $18$, $24$ et $30$ sont incluses dans les conditions d’acceptation. Cette règle est pédagogique et ne décrit aucun règlement réel.

Pour rédiger une preuve lisible

Préciser le domaine et les hypothèses ; annoncer ce qu’il faut établir ; choisir un raisonnement ; justifier chaque transition ; conclure avec la portée exacte du résultat. Un essai numérique peut suggérer une propriété, mais ne démontre pas une affirmation portant sur tous les nombres.

Fin du cours et des exercices corrigés