Logarithme népérien et logarithme décimal - Cours et exercices corrigés | 2e Bac lettres, sciences humaines et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Utiliser les propriétés du logarithme, contrôler ses domaines, résoudre des équations et étudier des fonctions simples. Le logarithme décimal correspond au programme Lettres et Sciences humaines; les primitives composées et systèmes sont repérés comme compléments Arts appliqués. Le socle commun convient aussi à la filière Langue arabe de l’enseignement originel.

Un logarithme défini sur les nombres positifs

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de $x\mapsto1/x$ sur $]0;+\infty[$ qui s’annule en $1$. On admet son existence et les propriétés utilisées dans ce chapitre. Ainsi $$\boxed{\ln1=0},\qquad \boxed{(\ln x)'=\frac1x}\quad(x>0).$$ Le nombre $e$ est le nombre positif dont le logarithme vaut $1$; $e\approx2{,}71828$. La calculatrice donne, par exemple, $\ln2\approx0{,}69315$. Un logarithme peut être négatif : c’est son argument qui doit être strictement positif.

Transformer produits et quotients

Pour $a>0$ et $b>0$, $$\boxed{\ln(ab)=\ln a+\ln b},\qquad \boxed{\ln(a/b)=\ln a-\ln b}.$$ On en déduit $\ln(1/b)=-\ln b$, ainsi que $$\ln(a^m)=m\ln a\quad(m\in\mathbb{Z}),\qquad \ln\sqrt a=\tfrac12\ln a.$$ Ces identités exigent les conditions indiquées. Si $x<0$, $\ln(x^2)$ existe mais $2\ln x$ n’existe pas; pour $x\ne0$, la formule correcte est $\ln(x^2)=2\ln|x|$.

Regrouper sans arrondir trop tôt

$$\ln12-\ln3+\ln\sqrt2=\ln4+\tfrac12\ln2=\tfrac52\ln2.$$ Une expression exacte garde la précision; on n’utilise une valeur approchée qu’à la fin.

Le logarithme d’une somme

Il n’existe pas d’identité $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$. Pour $a=b=1$, le membre de gauche vaut $\ln2$, alors que celui de droite vaut $0$. On transforme des produits, des quotients et des puissances, pas des sommes arbitraires.

Variation, signe et limites de la fonction logarithme

La dérivée $1/x$ est positive sur $]0;+\infty[$, donc $\ln$ est strictement croissante. Il en résulte, pour $a,b>0$, $$\ln a=\ln b\ \Longleftrightarrow\ a=b,\qquad \ln a\leq\ln b\ \Longleftrightarrow\ a\leq b.$$ Comme $\ln1=0$, le logarithme est négatif sur $]0;1[$, nul en $1$, positif sur $]1;+\infty[$.

Deux limites de référence

On admet $$\boxed{\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty},\qquad \boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty}.$$ La droite $x=0$ est une asymptote verticale. La tangente en $1$ a pour équation $y=x-1$, car $\ln1=0$ et $\ln'(1)=1$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Domaine avant calcul

Pour $\ln(3x-6)$, le domaine est $]2;+\infty[$. À droite de $2$, l’argument tend vers $0^+$ et le logarithme tend vers $-\infty$. Lorsque $x\to+\infty$, l’argument tend vers $+\infty$, donc le logarithme aussi. Pour $\ln((x-1)/(x+2))$, il faut $(x-1)/(x+2)>0$. Le tableau de signe donne $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$. Écrire séparément $\ln(x-1)-\ln(x+2)$ ne convient que sur $]1;+\infty[$ : les deux logarithmes séparés n’existent pas pour $x<-2$.

Résoudre équations et inéquations

La démarche comporte trois étapes : établir les conditions d’existence, transformer avec les identités autorisées, puis retenir seulement les solutions appartenant au domaine initial.

Une équation avec deux logarithmes

Résolvons $\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln4$. Il faut $x>1$. Sur ce domaine, $$\ln((x-1)(x+2))=\ln4\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+x-6=0.$$ Les candidats sont $2$ et $-3$, car $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$. Seul $2$ est admis, donc $S=\{2\}$. Vérification : $\ln1+\ln4=\ln4$.

Une comparaison de deux arguments

Pour $\ln(5-x)\geq\ln(2x+1)$, on impose $x<5$ et $x>-1/2$. Sur cet intervalle, la croissance de $\ln$ donne $$5-x\geq2x+1\quad\Longleftrightarrow\quad x\leq\frac43.$$ La solution est donc $\boxed{x\in]-\tfrac12;\tfrac43]}$. Le bord $-1/2$ est exclu parce qu’un argument y serait nul.

Retrouver un nombre à partir de son logarithme

L’égalité $\ln x=c$ détermine un unique nombre positif. Avec la notation du chapitre exponentiel, on écrit $x=e^c$. On utilise notamment $\ln x=0\Leftrightarrow x=1$ et $\ln x=1\Leftrightarrow x=e$. La touche exponentielle de la calculatrice retrouve une valeur approchée.

Changer d’inconnue lorsque cela simplifie

Pour $x>0$, l’équation $(\ln x)^2-3\ln x+2=0$ devient $t^2-3t+2=0$ avec $t=\ln x$. On obtient $t=1$ ou $t=2$, donc $x=e$ ou $x=e^2$. Le logarithme lui-même peut être négatif dans d’autres problèmes : la variable $t$ n’est pas soumise à $t>0$.

Ne pas perdre les restrictions

Une transformation peut faire disparaître visuellement une condition sans la supprimer mathématiquement. Le produit $(x-1)(x+2)$ peut être positif lorsque les deux facteurs sont négatifs, mais les deux logarithmes séparés de l’exemple ne sont alors pas définis.

Logarithme décimal et compléments Arts

Lettres et Sciences humaines - Logarithme décimal

Pour $x>0$, le logarithme décimal est $$\boxed{\log x=\frac{\ln x}{\ln10}}.$$ Il vérifie $\log10=1$, $\log1=0$, $\log(10^m)=m$ pour tout entier $m$. Puisque $\ln10>0$, il est strictement croissant et possède les mêmes règles de produit, quotient et puissance que $\ln$. Sur une calculatrice, les touches log et ln sont donc différentes.

Un ordre de grandeur

Comme $10^2<450<10^3$, on a $2<\log450<3$. La valeur approchée est $\log450\approx2{,}65321$. Inversement $\log x=2{,}4$ donne $x=10^{2{,}4}\approx251{,}19$. On interprète les puissances réelles positives dans le chapitre exponentiel.

Arts appliqués - Dérivée composée et primitive

Si $u$ est dérivable et $u>0$ sur un intervalle, $$\boxed{(\ln u)'=\frac{u'}u}.$$ Si $u$ ne s’annule pas sur l’intervalle, la même reconnaissance donne une primitive de $u'/u$ : $$\boxed{\int\frac{u'}u\,dx=\ln|u|+C}.$$ La notation sans bornes désigne ici l’ensemble des primitives. Ainsi, sur $\mathbb{R}$, une primitive de $2x/(x^2+4)$ est $\ln(x^2+4)$, le dénominateur étant toujours positif. Une primitive de $1/x$ est $\ln x$ sur $]0;+\infty[$ et $\ln(-x)$ sur $]-\infty;0[$; les constantes des deux intervalles peuvent différer.

Arts appliqués - Un système logarithmique

Résolvons, avec $x,y>0$, $$\begin{cases}\ln x+\ln y=\ln15,\\\ln x-\ln y=\ln(5/3).\end{cases}$$ Le système équivaut à $xy=15$ et $x/y=5/3$. Ainsi $x=5y/3$, donc $y^2=9$. La positivité impose $y=3$, puis $x=5$. Les deux équations sont vérifiées; le couple solution est $(5,3)$.

Étudier une fonction contenant le logarithme

Un carré de logarithme

Soit $f(x)=(\ln x-1)^2$ sur $]0;+\infty[$. La dérivation donne $$f'(x)=\frac{2(\ln x-1)}x.$$ Comme $x>0$, le signe est celui de $\ln x-1$. Il est négatif pour $0<x<e$, nul en $e$, positif pour $x>e$. La fonction décroît de $+\infty$ à $0$, puis croît vers $+\infty$. Son minimum est $f(e)=0$. On calcule les deux limites à partir de celles de $\ln x$, puis du carré.

Un rapport dans un logarithme

Sur $]0;+\infty[$, posons $$g(x)=\ln(x+1)-\ln x=\ln\left(1+\frac1x\right).$$ La première écriture facilite la dérivation; la seconde facilite la limite à l’infini. On obtient $$g'(x)=\frac1{x+1}-\frac1x=-\frac1{x(x+1)}<0.$$ Lorsque $x\to0^+$, $\ln(x+1)\to0$ et $\ln x\to-\infty$, donc $g(x)\to+\infty$. Lorsque $x\to+\infty$, $1+1/x\to1$ et $g(x)\to\ln1=0$. La fonction est strictement positive puisque $1+1/x>1$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La courbe décroît, reste au-dessus de l’axe horizontal et s’en rapproche. Une différence de deux logarithmes tendant vers $+\infty$ ne se traite pas en soustrayant les symboles infinis : l’identité de quotient est décisive.

Exercices corrigés - Identités et solutions

Exercice 1 - Calcul exact

Simplifier $A=\ln18-\ln2-2\ln3$ et $B=\ln(1/25)+\ln\sqrt5$. Solution. Tous les arguments sont positifs. Alors $$A=\ln9-\ln9=\boxed0,\qquad B=-2\ln5+\tfrac12\ln5=\boxed{-\tfrac32\ln5}.$$ Le logarithme transforme les facteurs en sommes; il n’est pas nécessaire d’arrondir.

Exercice 2 - Deux domaines différents

Comparer les domaines de $f(x)=\ln(x^2-4)$ et $g(x)=\ln(x-2)+\ln(x+2)$. Solution. Pour $f$, il faut $(x-2)(x+2)>0$, donc $$D_f=]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[.$$ Pour $g$, les deux facteurs doivent être positifs, donc $D_g=]2;+\infty[$. Les fonctions sont égales sur $D_g$, mais $g$ n’est pas définie pour $x<-2$, alors que $f$ l’est.

Exercice 3 - Produit puis sélection

Résoudre $\ln(x-2)+\ln(x+1)=\ln10$. Solution. Le domaine est $x>2$. L’équation y équivaut à $$(x-2)(x+1)=10\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-x-12=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-4)(x+3)=0.$$ Seul $4$ respecte $x>2$. Donc $\boxed{S=\{4\}}$. La vérification donne $\ln2+\ln5=\ln10$.

Exercices corrigés - Inéquation et étude

Exercice 4 - Une restriction au bord

Résoudre $\ln(2x+3)\leq\ln(7-x)$. Solution. Le domaine commun est $]-3/2;7[$. La croissance du logarithme permet d’écrire $$2x+3\leq7-x\quad\Longleftrightarrow\quad x\leq\frac43.$$ Après intersection avec le domaine, $$\boxed{S=]-\tfrac32;\tfrac43]}.$$ Le bord gauche reste exclu, même si l’inégalité entre les arguments y serait satisfaite : $\ln0$ n’existe pas.

Exercice 5 - Un minimum et deux points de niveau

Étudier $f(x)=(\ln x+2)^2$ et résoudre $f(x)=1$. Solution. Sur $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\frac{2(\ln x+2)}x.$$ Elle est négative avant $e^{-2}$ et positive après. La fonction décroît puis croît, avec minimum $f(e^{-2})=0$. Aux deux extrémités du domaine, le carré tend vers $+\infty$. L’équation demandée donne $$\ln x+2=1\quad\text{ou}\quad\ln x+2=-1.$$ Ainsi $\ln x=-1$ ou $-3$, donc $\boxed{S=\{e^{-1},e^{-3}\}}$. Les deux valeurs sont positives et se situent de part et d’autre du point de minimum.

Exercice 6 - Logarithme décimal, parcours Lettres et Sciences humaines

Calculer $\log(0{,}001)$ et résoudre $\log x+\log4=3$. Solution. Comme $0{,}001=10^{-3}$, son logarithme décimal vaut $-3$. L’équation exige $x>0$ et devient $$\log(4x)=3\quad\Longleftrightarrow\quad4x=10^3.$$ Donc $\boxed{x=250}$. Le nombre $3$ est un logarithme décimal; écrire $4x=e^3$ correspondrait à une autre base.

Exercices corrigés - Compléments Arts appliqués

Exercice 7 - Primitive et condition initiale

Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=6x/(3x^2+2)$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0)=1$. Solution. Le dénominateur est positif et sa dérivée est $6x$. Ainsi $$F(x)=\ln(3x^2+2)+C.$$ La condition $F(0)=1$ impose $\ln2+C=1$, donc $$\boxed{F(x)=\ln(3x^2+2)+1-\ln2}.$$ La dérivation confirme $F'=6x/(3x^2+2)$. Le logarithme ne fait pas disparaître un facteur variable : la présence de $6x$ au numérateur est ce qui permet cette reconnaissance.

Exercice 8 - Système avec une somme connue

Résoudre $$\begin{cases}\ln x+\ln y=\ln12,\\x+y=7.\end{cases}$$ Solution. Il faut $x,y>0$. La première équation donne $xy=12$. Avec $y=7-x$, $$x(7-x)=12\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-7x+12=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-3)(x-4)=0.$$ Si $x=3$, alors $y=4$; si $x=4$, alors $y=3$. Les deux couples sont positifs et vérifient les équations. Ainsi $$\boxed{(x,y)\in\{(3,4),(4,3)\}}.$$ Il s’agit de couples ordonnés : les deux résultats sont distincts, même si le système est symétrique.

Les contrôles qui évitent les erreurs

Avant chaque transformation, vérifier les arguments positifs. Après résolution, revenir au domaine initial. Pour une étude, distinguer le signe de $\ln x$ de celui de sa dérivée. Pour une primitive, dériver le résultat; pour un logarithme décimal, conserver la base $10$.