Limites et continuité - Cours et exercices corrigés | 2e Bac Sciences Mathématiques

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Justifier les passages à la limite, étudier les raccordements, encadrer une solution par dichotomie et construire une fonction réciproque. Les racines $n$-ièmes, puissances rationnelles et la fonction Arctan prolongent ces outils. Les raisonnements de ce cours n’utilisent pas la dérivation.

Préciser le sens d’une limite

Limite finie en un point

Soit $f$ définie sur un domaine $D$, et $a$ un réel qu’on peut approcher par des points de $D$ distincts de $a$. Dire que $f(x)\to\ell$ lorsque $x\to a$ signifie que les valeurs de $f(x)$ deviennent aussi proches que souhaité de $\ell$ dès que $x$ est assez proche de $a$, avec $x\ne a$.

Formulation précise

$$\forall\varepsilon>0,\quad\exists\delta>0,\quad x\in D,\ 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(x)-\ell|<\varepsilon.$$ La valeur $f(a)$ n’intervient pas dans cette définition : elle peut être différente de $\ell$, ou ne pas être définie.

Par exemple, $(x^2-1)/(x-1)=x+1$ pour $x\ne1$, donc cette fonction tend vers $2$ en $1$ bien qu’elle ne soit pas définie en ce point.

Limites latérales

La limite à droite utilise les $x>a$ du domaine ; la limite à gauche les $x<a$. Si les deux côtés du domaine permettent d’approcher $a$, la limite en $a$ existe exactement lorsque les deux limites latérales existent et sont égales.

Ainsi $1/x\to+\infty$ quand $x\to0^+$, mais $1/x\to-\infty$ quand $x\to0^-$. Il n’existe donc pas de limite bilatérale en $0$.

Limites infinies et limites à l’infini

$f(x)\to+\infty$ en $a$ signifie que, pour tout seuil réel $H$, il existe $\delta>0$ tel que $x\in D$ et $0<|x-a|<\delta$ impliquent $f(x)>H$. Pour $-\infty$, remplacer $>$ par $<$.

$f(x)\to\ell$ quand $x\to+\infty$ signifie que pour tout $\varepsilon>0$ il existe $A$ tel que $x\in D$ et $x>A$ impliquent $|f(x)-\ell|<\varepsilon$. On combine de même les seuils pour une limite infinie à l’infini ; à $-\infty$, on utilise $x<A$.

Unicité

Une limite réelle est unique. Si $\ell_1\ne\ell_2$ étaient deux limites, choisir $\varepsilon=|\ell_1-\ell_2|/3$ donnerait, assez près du point, des valeurs simultanément dans deux intervalles disjoints. Cette contradiction établit l’unicité.

Règles de calcul et limites de référence

Opérations et comparaisons

Si $f(x)\to a$ et $g(x)\to b$ réels au même point ou au même infini, alors $f+g\to a+b$, $fg\to ab$ et, pour $b\ne0$, $f/g\to a/b$. Le dénominateur est alors non nul assez près du point considéré.

Si $f\le g$ au voisinage considéré et les limites sont réelles, alors $\lim f\le\lim g$. Une inégalité stricte peut devenir large : $x^2>0$ pour $x\ne0$, mais sa limite en $0$ est $0$.

Encadrement et comparaison à l’infini

Si $a(x)\le f(x)\le b(x)$ près du point et si $a(x),b(x)\to\ell$, alors $f(x)\to\ell$. Si $f\ge g$ et $g\to+\infty$, alors $f\to+\infty$ ; le cas $f\le g\to-\infty$ est analogue.

Le premier critère se prouve en enfermant les deux bornes dans $]\ell-\varepsilon;\ell+\varepsilon[$. Les critères infinis se déduisent de la définition par seuil. Les formes $0/0$, $\infty/\infty$, $\infty-\infty$ et $0\times\infty$ demandent une transformation supplémentaire.

Puissances entières

Pour $m\ge1$, $x^m\to0$ quand $x\to0$ et $x^m\to+\infty$ quand $x\to+\infty$. À $-\infty$, la limite vaut $+\infty$ si $m$ est pair et $-\infty$ s’il est impair. Les limites des inverses s’en déduisent en gardant les signes.

Limites trigonométriques en radians

Trois limites fondamentales

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12.$$

Pour $0<x<\pi/2$, l’encadrement géométrique $\cos x\le\sin x/x\le1$ établit la première limite ; la fonction $\sin x/x$ est paire, donc les deux côtés donnent $1$. La deuxième utilise $\tan x/x=(\sin x/x)/\cos x$. Pour la troisième, $$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2.$$

Composition

Si $g(x)\to\ell$ et $f$ est continue en $\ell$, alors $f(g(x))\to f(\ell)$, à condition que la composée soit définie près du point. Si l’on utilise seulement $\lim_{t\to\ell}f(t)=L$, sans continuité en $\ell$, il faut en plus que $g(x)\ne\ell$ assez près du point. Respecter aussi le domaine et le côté d’approche pour une limite latérale.

Choisir la transformation adaptée

Factoriser une forme $0/0$

Lorsque numérateur et dénominateur s’annulent, chercher un facteur commun. La simplification se fait pour $x\ne a$, ce qui suffit pour calculer une limite.

Exemple - Un polynôme factorisé

$$\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2} =\lim_{x\to2}(x^2+2x+4)=12.$$ Cela ne rend pas la fraction initiale définie en $2$ ; le prolongement par continuité sera une nouvelle fonction.

Multiplier par l’expression conjuguée

Exemple - Une différence de racines

Pour $x\ne0$ proche de $0$, $$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac1{\sqrt{1+x}+1}\longrightarrow\frac12.$$ Le domaine est $x\ge-1$ et $x\ne0$ ; le dénominateur après simplification reste positif.

Comparer les termes dominants à l’infini

Dans un quotient de polynômes, diviser par la plus grande puissance utile. Par exemple, $$\frac{2x^3-x+1}{x^3+4x^2}= \frac{2-1/x^2+1/x^3}{1+4/x}\longrightarrow2 \quad(x\to\pm\infty).$$ Pour les racines, ne pas oublier $\sqrt{x^2}=|x|$. À $+\infty$, $\sqrt{x^2+3x}/x=\sqrt{1+3/x}\to1$ ; à $-\infty$, cette même expression tend vers $-1$.

Encadrer une oscillation

La fonction $\sin(1/x)$ oscille lorsque $x\to0$, mais $|\sin(1/x)|\le1$. Donc $$-|x|\le x\sin(1/x)\le|x|,$$ et le théorème d’encadrement donne $x\sin(1/x)\to0$. La forme apparente ne suffit pas : c’est le facteur qui tend vers zéro qui contrôle l’oscillation.

Adapter la limite trigonométrique

Pour $a\ne0$, poser $t=ax$ donne $$\frac{\sin(ax)}{x}=a\frac{\sin(ax)}{ax}\longrightarrow a.$$ De même, $(1-\cos(ax))/x^2\to a^2/2$. Pour $a=0$, les expressions valent identiquement $0$ lorsqu’elles sont définies. Vérification. Une substitution doit conserver le domaine et le côté d’approche. Près d’un zéro du dénominateur, étudier séparément les signes à droite et à gauche.

Continuité et prolongement

Continuité en un point et sur un intervalle

Une fonction $f$ est continue en un point $a$ de son domaine si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, la limite étant prise dans le domaine. Aux extrémités d’un intervalle, on utilise la limite du côté où la fonction est définie. La continuité à droite ou à gauche se définit de façon analogue.

Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en chacun de ses points, avec cette convention aux extrémités. Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$ ; les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur ne s’annule pas ; les fonctions trigonométriques usuelles sont continues sur leur domaine.

Stabilité par opérations et composition

Sommes, produits et composées de fonctions continues sont continus sur les domaines où les expressions sont définies. Un quotient exige un dénominateur non nul. Ainsi $x\mapsto\sqrt{1+x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$, et $x\mapsto\tan(x^2)$ est continue aux points où $\cos(x^2)\ne0$.

Prolonger par continuité

Si $f$ n’est pas définie en $a$ mais admet une limite réelle $\ell$ en $a$, l’unique prolongement continu en $a$ est obtenu en posant $\widetilde f(a)=\ell$ et $\widetilde f(x)=f(x)$ ailleurs.

Exemple - Réparer une valeur manquante

Pour $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$, la limite en $1$ vaut $2$. La fonction prolongée est simplement $\widetilde f(x)=x+1$ sur tout $\mathbb{R}$.

En revanche, $|x|/x$ a pour limites latérales $-1$ et $1$ en $0$. Aucun choix d’une seule valeur en $0$ ne rend cette fonction continue. Une limite infinie ne permet pas non plus un prolongement à valeurs réelles.

Fonctions définies par morceaux

À chaque point de raccord, calculer la limite à gauche, la limite à droite et la valeur effectivement définie. La continuité exige l’égalité des trois, lorsque les deux côtés existent.

Exemple - Un raccordement avec paramètre

Soit $f(x)=x+1$ pour $x<1$, et $f(x)=ax+b$ pour $x\ge1$. La limite gauche vaut $2$, tandis que la limite droite et $f(1)$ valent $a+b$. Ainsi la continuité sur $\mathbb{R}$ équivaut à $a+b=2$.

Composition avec une suite

Si $u_n\to a$, avec $u_n$ dans le domaine de $f$, et si $f$ est continue en $a$, alors $f(u_n)\to f(a)$. Pour le prouver, choisir d’abord le voisinage de $a$ donné par la continuité, puis le rang à partir duquel $u_n$ reste dans ce voisinage. Cette propriété justifie les passages à la limite dans les récurrences, une fois la convergence établie.

Valeurs intermédiaires et dichotomie

Images d’intervalles

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L’image d’un segment $[a;b]$ est un segment $[m;M]$ : la fonction atteint un minimum et un maximum. Ces deux résultats sont admis ici.

Attention : $m,M$ ne sont pas forcément $f(a),f(b)$. Par exemple, $x^2$ transforme $[-2;1]$ en $[0;4]$ ; le minimum est atteint à l’intérieur. Si $f$ est de plus croissante, l’image de $[a;b]$ est $[f(a);f(b)]$ ; pour une fonction décroissante, inverser l’ordre des bornes.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a;b]$, tout réel $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteint : il existe $c\in[a;b]$ tel que $f(c)=k$. Si $f$ est en plus strictement monotone, cette solution est unique. Lorsque $k$ est strictement entre les deux valeurs, $c\in]a;b[$.

Le théorème découle du fait que l’image est un intervalle contenant $f(a)$ et $f(b)$. Il prouve une existence, pas une unicité sans hypothèse supplémentaire.

Une solution unique

Pour $g(x)=x^3+x-1$, on a $g(0)=-1$ et $g(1)=1$. La continuité donne un zéro dans $]0;1[$. Pour $y>x$, $$g(y)-g(x)=(y-x)(y^2+xy+x^2+1)>0,$$ car $y^2+xy+x^2=(y+x/2)^2+3x^2/4\ge0$. Donc $g$ est strictement croissante et le zéro $\alpha$ est unique.

Dichotomie : un intervalle certifié

Partir d’un segment $[a_0;b_0]$ où $g(a_0)\le0\le g(b_0)$. Calculer $m_n=(a_n+b_n)/2$. Si $g(m_n)=0$, on a trouvé la solution. Sinon, garder la moitié où les signes encadrent zéro.

Les segments sont emboîtés, contiennent $\alpha$ et vérifient $b_n-a_n=(b_0-a_0)/2^n$. Les suites $a_n,b_n$ sont adjacentes et convergent vers $\alpha$. Le milieu approche $\alpha$ avec une erreur au plus $(b_0-a_0)/2^{n+1}$.

Étape	Milieu testé	Signe	Segment conservé
$0$	$1/2$	$g(1/2)=-3/8$	$[1/2;1]$
$1$	$3/4$	$g(3/4)=11/64$	$[1/2;3/4]$
$2$	$5/8$	$g(5/8)=-67/512$	$[5/8;3/4]$

À partir de $[0;1]$, dix subdivisions donnent une largeur $2^{-10}<10^{-3}$. La largeur de l’intervalle et l’erreur du milieu sont deux garanties différentes.

Fonctions réciproques

Théorème de la bijection

Une fonction continue et strictement monotone

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, elle établit une bijection de $I$ sur l’intervalle $J=f(I)$. Il existe une unique fonction réciproque $f^{-1}:J\to I$ telle que $$f^{-1}(f(x))=x\quad(x\in I),\qquad f(f^{-1}(y))=y\quad(y\in J).$$ La réciproque est continue sur $J$ et possède le même sens de variation que $f$.

L’existence des antécédents vient de la définition de $J$ et des valeurs intermédiaires ; leur unicité vient de la stricte monotonie. Si $f$ est croissante, $y_1<y_2$ impose $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$, sinon l’ordre des images serait inversé. Le cas décroissant est analogue.

Pourquoi la réciproque est continue

Pour une fonction croissante et un point intérieur $x_0\in I$, choisir $x_-<x_0<x_+$ aussi proches que souhaité de $x_0$. Alors $f(x_-)<f(x_0)<f(x_+)$. Si $y$ est assez proche de $y_0=f(x_0)$ pour rester entre $f(x_-)$ et $f(x_+)$, son antécédent reste entre $x_-$ et $x_+$. C’est la continuité de $f^{-1}$ en $y_0$. Aux extrémités, on utilise un seul côté ; pour une fonction décroissante, on renverse les inégalités.

Déterminer l’intervalle image

Pour une fonction strictement croissante sur un intervalle ouvert, les limites aux extrémités donnent les bornes de l’image ; elles ne sont pas atteintes. Une extrémité incluse dans le domaine apporte sa valeur à l’image. Les infinis ne sont jamais des valeurs réelles atteintes.

Par exemple, $h(x)=x/(1+x)$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$, car $h(y)-h(x)=(y-x)/((1+x)(1+y))>0$ pour $y>x$. Comme $h(0)=0$ et $h(x)\to1$ à $+\infty$, son image est $[0;1[$. Résoudre $y=x/(1+x)$ donne $h^{-1}(y)=y/(1-y)$ sur $[0;1[$.

Lecture graphique

Dans un repère orthonormé, les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à $y=x$, car le point $(x;f(x))$ devient $(f(x);x)$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La courbe bleue est celle de $x^3$ ; la verte celle de sa réciproque, la racine cubique. $f^{-1}$ désigne une fonction réciproque, et non $1/f$.

Racines $n$-ièmes et puissances rationnelles

Définir une racine par une bijection

Pour un entier $n\ge1$, $x\mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$, d’image $[0;+\infty[$. Chaque $a\ge0$ possède donc une unique racine positive ou nulle $\sqrt[n]{a}$ telle que $(\sqrt[n]{a})^n=a$.

Si $n$ est impair, la fonction puissance est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$ et son image est $\mathbb{R}$ : la racine $n$-ième est alors définie sur $\mathbb{R}$ et impaire. Pour $n$ pair, il n’existe pas de racine réelle d’un nombre négatif, et le symbole $\sqrt[n]{a}$ désigne la racine non négative.

Conséquences du théorème de la réciproque

La racine $n$-ième est continue et strictement croissante sur son domaine. On a $$\sqrt[n]{a}\longrightarrow0\ (a\to0^+),\qquad \sqrt[n]{a}\longrightarrow+\infty\ (a\to+\infty).$$ Pour $n$ impair, la limite en $-\infty$ vaut $-\infty$.

Exposant rationnel sur les réels positifs

Pour $x>0$, $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}^*$, on définit $$\boxed{x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}=(\sqrt[q]{x})^p.}$$ Cette définition ne dépend pas de l’écriture de la fraction : en passant à un dénominateur commun, l’unicité des racines positives donne le même nombre. Elle prolonge les puissances entières.

Pour $r,s\in\mathbb{Q}$ et $x,y>0$, on obtient $x^{r+s}=x^rx^s$, $(x^r)^s=x^{rs}$, $(xy)^r=x^ry^r$ et $x^{-r}=1/x^r$. L’hypothèse de positivité évite les ambiguïtés des racines paires.

Exemple - Calculer exactement

$16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$ et $27^{-2/3}=1/(\sqrt[3]{27})^2=1/9$. Pour un exposant $r>0$, on peut prolonger à $0$ en posant $0^r=0$ ; ce n’est pas possible pour $r<0$.

Continuité, ordre et limites

$x\mapsto x^r$ est continue sur $]0;+\infty[$. Pour $r>0$, elle est strictement croissante, tend vers $0$ en $0^+$ et vers $+\infty$ en $+\infty$. Pour $r<0$, elle est strictement décroissante et ces deux limites sont respectivement $+\infty$ et $0$. Pour $r=0$, la fonction vaut $1$.

Ces résultats se déduisent des propriétés des racines et puissances entières. Certaines puissances rationnelles se définissent aussi pour $x<0$ ; chaque cas exige son domaine propre. Les règles énoncées ci-dessus sont utilisées ici avec $x>0$.

La fonction Arctan

Inverser la tangente sur le bon intervalle

Sur $I=]-\pi/2;\pi/2[$, la tangente est continue, strictement croissante et vérifie $$\lim_{t\to-\pi/2^+}\tan t=-\infty,\qquad \lim_{t\to\pi/2^-}\tan t=+\infty.$$ Sa stricte croissance peut se voir sans dérivée : pour $x<y$ dans $I$, $$\tan y-\tan x=\frac{\sin(y-x)}{\cos x\cos y}>0,$$ puisque $0<y-x<\pi$ et les deux cosinus sont positifs. Elle est donc bijective de $I$ sur $\mathbb{R}$.

Définition et identités

La fonction réciproque est $\operatorname{Arctan}:\mathbb{R}\to]-\pi/2;\pi/2[$. Elle vérifie $$\tan(\operatorname{Arctan}x)=x\quad(x\in\mathbb{R}),\qquad \operatorname{Arctan}(\tan t)=t\quad(-\pi/2<t<\pi/2).$$

Propriétés et valeurs usuelles

Arctan est continue, strictement croissante et impaire. L’imparité vient de celle de la tangente et de l’unicité de l’antécédent dans l’intervalle choisi. $$\operatorname{Arctan}0=0,\quad\operatorname{Arctan}1=\frac\pi4,\quad \operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac\pi3,\quad\operatorname{Arctan}\frac1{\sqrt3}=\frac\pi6.$$ De plus, $$\lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}x=\frac\pi2,\qquad \lim_{x\to-\infty}\operatorname{Arctan}x=-\frac\pi2.$$ Ces bornes ne sont jamais atteintes. La première limite se justifie ainsi : pour chaque $t<\pi/2$ dans $I$, $x>\tan t$ implique $\operatorname{Arctan}x>t$, tandis que $\operatorname{Arctan}x<\pi/2$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Exemple - Ramener un angle à l’intervalle principal

$\tan(3\pi/4)=-1$, donc $\operatorname{Arctan}(\tan(3\pi/4))=-\pi/4$, et non $3\pi/4$. On ne peut supprimer les deux fonctions que lorsque l’angle de départ appartient à $]-\pi/2;\pi/2[$.

Exercices corrigés - Limites et continuité

Exercice 1 - Une preuve avec $\varepsilon$

Prouver directement que $3x-1\to5$ lorsque $x\to2$.

Correction. $|(3x-1)-5|=3|x-2|$. Pour chaque $\varepsilon>0$, choisir $\delta=\varepsilon/3$. Alors $0<|x-2|<\delta$ implique $|(3x-1)-5|<\varepsilon$. C’est exactement la définition de la limite.

Exercice 2 - Quatre limites usuelles

Calculer les limites de $(x^2-4)/(x-2)$ en $2$, $(\sqrt{1+x}-1)/x$ en $0$, $\sin(3x)/x$ en $0$ et $(2x^3-x)/(x^3+4)$ à $+\infty$.

Correction. La première fraction vaut $x+2$ pour $x\ne2$, donc tend vers $4$. La deuxième vaut $1/(\sqrt{1+x}+1)$ pour $x\ne0$, donc tend vers $1/2$. La troisième vaut $3\sin(3x)/(3x)$, donc tend vers $3$. Enfin, diviser par $x^3$ donne $(2-1/x^2)/(1+4/x^3)\to2$.

Exercice 3 - Le signe sous une racine

Étudier $f(x)=\sqrt{x^2+x}-x$ à $+\infty$ et à $-\infty$.

Correction. Le domaine est $]-\infty;-1]\cup[0;+\infty[$. Pour $x>0$, rationaliser puis diviser par $x$ donne $$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac1{\sqrt{1+1/x}+1}\longrightarrow\frac12.$$ À $-\infty$, utiliser $f(x)\ge-x\to+\infty$, donc $f(x)\to+\infty$. On ne peut pas employer la même simplification avec $\sqrt{x^2}=x$ pour les $x$ négatifs.

Exercice 4 - Prolongement et oscillation

Déterminer la valeur $a$ rendant continue la fonction égale à $(x^2-1)/(x-1)$ pour $x\ne1$ et à $a$ en $1$. Puis prolonger $g(x)=x\sin(1/x)$ en $0$.

Correction. La première limite vaut $2$, donc l’unique choix est $a=2$. Pour $g$, $|g(x)|\le|x|\to0$ ; le prolongement continu est $g(0)=0$. L’existence d’une limite du produit ne suppose pas que $\sin(1/x)$ ait lui-même une limite.

Exercices corrigés - Existence et réciproques

Exercice 5 - Une racine encadrée

Montrer que $x^3+x-1=0$ admet un unique réel $\alpha$, puis établir $0{,}682<\alpha<0{,}683$.

Correction. La fonction $g(x)=x^3+x-1$ est continue sur $\mathbb{R}$, tend vers $-\infty$ et $+\infty$ aux deux extrémités, et est strictement croissante par la différence factorisée de la partie V. Elle possède donc un unique zéro. Le calcul exact donne $g(0{,}682)=-0{,}000785432<0$ et $g(0{,}683)=0{,}001611987>0$. La monotonie et les valeurs intermédiaires donnent l’encadrement, de largeur $10^{-3}$.

Exercice 6 - Image et restriction du domaine

Déterminer l’image de $[-2;1]$ par $x\mapsto x^2$. Cette fonction y est-elle bijective ? Donner ensuite sa réciproque lorsqu’on restreint le domaine à $[0;2]$.

Correction. Le minimum est $0$, atteint en $0$ ; le maximum est $4$, atteint en $-2$. Par continuité, l’image est $[0;4]$. La fonction n’est pas injective sur $[-2;1]$, car $(-1)^2=1^2$. Sur $[0;2]$, elle est continue et strictement croissante, donc bijective sur $[0;4]$ ; la réciproque est $y\mapsto\sqrt y$ sur $[0;4]$.

Exercice 7 - Une réciproque rationnelle

Soit $h(x)=(2x-1)/(x+1)$ sur $I=]-1;+\infty[$. Déterminer son image et sa réciproque.

Correction. $h(x)=2-3/(x+1)$ est continue sur $I$. Si $y>x>-1$, $h(y)-h(x)=3(y-x)/((x+1)(y+1))>0$, donc $h$ croît strictement. Ses limites sont $-\infty$ en $-1^+$ et $2$ en $+\infty$, avec $h(x)<2$. L’image est $]-\infty;2[$.

Résoudre $z=(2x-1)/(x+1)$ donne $x=(z+1)/(2-z)$. Pour $z<2$, cette valeur vérifie $x+1=3/(2-z)>0$, donc appartient à $I$. Ainsi $h^{-1}(z)=(z+1)/(2-z)$, pour $z<2$.

Exercice 8 - Puissance et racine cubique

Résoudre $x^{3/2}=27$ pour $x>0$, puis calculer la limite de $(\sqrt[3]{x}-2)/(x-8)$ en $8$.

Correction. La puissance $3/2$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ ; l’unique solution est $x=27^{2/3}=9$. Pour la limite, poser $t=\sqrt[3]{x}\to2$. Pour $x\ne8$, $$\frac{t-2}{t^3-8}=\frac1{t^2+2t+4}\longrightarrow\frac1{12}.$$

Exercices corrigés - Arctan et suites

Exercice 9 - Intervalle principal et passage à la limite

Calculer $\operatorname{Arctan}(\tan(5\pi/6))$, résoudre $\operatorname{Arctan}(x-1)=\pi/4$, puis déterminer les limites de $a_n=\operatorname{Arctan}((2n+1)/(n+1))$ et $b_n=\operatorname{Arctan}n$.

Correction. $\tan(5\pi/6)=-1/\sqrt3$, dont l’angle dans $]-\pi/2;\pi/2[$ est $-\pi/6$. Le premier résultat vaut donc $-\pi/6$. Pour l’équation, l’angle $\pi/4$ appartient au bon intervalle ; appliquer la tangente donne $x-1=1$, donc $x=2$, qui vérifie l’équation initiale.

Ensuite $(2n+1)/(n+1)=2-1/(n+1)\to2$. Arctan étant continue en $2$, $a_n\to\operatorname{Arctan}2$. Comme $n\to+\infty$, la limite à l’infini d’Arctan donne $b_n\to\pi/2$. Aucun terme $b_n$ n’est égal à cette limite : l’image d’Arctan est un intervalle ouvert.

Exercice 10 - Une réciproque sans formule explicite

Soit $f(x)=x^3+x$ sur $\mathbb{R}$. Montrer qu’elle possède une réciproque continue $g$ sur $\mathbb{R}$. Pour $n\ge1$, étudier $v_n=g((-1)^n/n)$ et donner une majoration de $|v_n|$.

Correction. La fonction est continue. Pour $y>x$, $f(y)-f(x)=(y-x)(y^2+xy+x^2+1)>0$ : elle est strictement croissante. Ses limites en $\pm\infty$ sont $\pm\infty$, donc son image est $\mathbb{R}$. Le théorème de la bijection donne une réciproque continue $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Puisque $f(0)=0$, on a $g(0)=0$.

La suite $(-1)^n/n$ tend vers $0$ par encadrement. La continuité de $g$ donne donc $v_n\to0$. Pour contrôler l’erreur, l’identité $f(v_n)=(-1)^n/n$ donne $$|v_n|\,(v_n^2+1)=\frac1n.$$ Comme $v_n^2+1\ge1$, $|v_n|\le1/n$. Cette estimation fournit aussi une preuve directe de la convergence, sans expression explicite de $g$.

Les hypothèses font partie de la conclusion

Le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité sur tout le segment. Ainsi $1/x$ prend des valeurs de signes opposés en $-1$ et $1$, mais n’a pas de zéro : il n’est pas continu sur $[-1;1]$. De même, une fonction continue peut avoir plusieurs antécédents ; la stricte monotonie garantit l’unicité utilisée pour une réciproque.