Les vecteurs de l'espace - Cours et exercices corrigés | 1re Bac Sciences expérimentales et SM

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

Ouvrir et télécharger le cours en PDF

Sur téléphone, utilisez le bouton ci-dessus pour agrandir le document. La lecture est accessible sans inscription.

---

Objectifs. Calculer avec des vecteurs de l’espace, caractériser une droite ou un plan, démontrer des alignements, des coplanarités et des parallélismes. Ce cours est commun aux deux filières ; le chapitre de géométrie analytique reprend ces idées avec trois coordonnées.

Les mêmes opérations, une dimension de plus

Vecteur et représentants

Un vecteur non nul décrit une direction, un sens et une longueur. Plusieurs couples de points peuvent représenter le même vecteur. L’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que la translation qui envoie $A$ sur $B$ envoie aussi $C$ sur $D$.

Le vecteur $\overrightarrow{AA}=\vec0$ n’a ni direction ni sens. L’opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$. Les règles de calcul du plan restent valables dans l’espace.

Relation de Chasles et calcul

Pour tous points $A,B,C$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Pour tous vecteurs $\vec u,\vec v$ et réels $a,b$, $$(a+b)\vec u=a\vec u+b\vec u,\qquad a(\vec u+\vec v)=a\vec u+a\vec v,\qquad a(b\vec u)=(ab)\vec u.$$ L’addition est commutative et associative. Il faut néanmoins respecter le sens des flèches dans chaque relation de Chasles.

Lire un parallélépipède

Dans le parallélépipède $ABCDEFGH$, les faces $ABCD$ et $EFGH$ se correspondent par translation, avec $E$ au-dessus de $A$. Posons $\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec b=\overrightarrow{AD}$, $\vec c=\overrightarrow{AE}$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Par Chasles et égalité des arêtes opposées, $$\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b,\quad \overrightarrow{AF}=\vec a+\vec c,\quad \overrightarrow{AG}=\vec a+\vec b+\vec c.$$ Ainsi $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AH}=-\vec a+\vec b+\vec c$. La figure aide à choisir un chemin ; la relation vectorielle constitue la justification.

Colinéarité et droites

Deux vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction. Si $\vec u\ne\vec0$, un vecteur $\vec v$ est colinéaire à $\vec u$ si et seulement s’il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que $\vec v=t\vec u$. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Pour $t>0$, les vecteurs non nuls sont de même sens ; pour $t<0$, ils sont de sens opposés. La norme de $t\vec u$ vaut $|t|\,\|\vec u\|$.

Définition vectorielle d’une droite

Pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\ne\vec0$, $$D=\{M\ ;\ \overrightarrow{AM}=t\vec u,\ t\in\mathbb{R}\}.$$ Un vecteur directeur de $D$ est $\vec u$ ; tout multiple non nul de $\vec u$ convient également. Si $A\ne B$, on peut prendre $\vec u=\overrightarrow{AB}$.

La condition $\vec u\ne\vec0$ est indispensable : avec un vecteur nul, cette expression ne donne que le point $A$.

Alignement et position sur une droite

Si $A\ne B$, les points $A,B,M$ sont alignés exactement lorsque $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ pour un réel $t$. Le segment $[AB]$ correspond à $0\le t\le1$ ; la demi-droite $[AB)$ à $t\ge0$.

Exemple - Lire un coefficient

Si $\overrightarrow{AM}=-\tfrac12\overrightarrow{AB}$, alors $M$ est sur la demi-droite issue de $A$ opposée à $[AB)$ et $AM=AB/2$. Si $\overrightarrow{AN}=\tfrac32\overrightarrow{AB}$, $N$ est au-delà de $B$ et $BN=AB/2$.

Droites parallèles

Deux droites ont la même direction si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles sont alors parallèles, éventuellement confondues. Pour distinguer les deux cas, tester si un point de l’une appartient à l’autre.

Exemple - Le segment des milieux

Dans un triangle $ABC$, soient $I$ milieu de $[AB]$ et $J$ milieu de $[AC]$. Alors $$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} =-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC} =\frac12\overrightarrow{BC}.$$ Les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles. Cette démonstration reste valable lorsque le triangle est situé dans un plan quelconque de l’espace.

L’absence de parallélisme ne prouve pas l’intersection

Dans le plan, deux droites non parallèles sont sécantes. Dans l’espace, elles peuvent ne pas être dans un même plan : on parle alors de droites non coplanaires.

Coplanarité et plans

Deux directions indépendantes dans un plan

Deux vecteurs non colinéaires $\vec u,\vec v$, placés avec la même origine, déterminent une direction de plan. Un vecteur $\vec w$ appartient à cette direction lorsqu’il existe deux réels $s,t$ tels que $$\vec w=s\vec u+t\vec v.$$ Les trois vecteurs sont alors dits coplanaires. Les coefficients $s,t$ sont uniques lorsque $\vec u,\vec v$ ne sont pas colinéaires.

En effet, si $s\vec u+t\vec v=s'\vec u+t'\vec v$ et $t\ne t'$, on pourrait exprimer $\vec v$ comme un multiple de $\vec u$, contradiction. Donc $t=t'$, puis $s=s'$.

Définition vectorielle d’un plan

Pour un point $A$ et deux vecteurs non colinéaires $\vec u,\vec v$, $$P=\{M\ ;\ \overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v,\ (s,t)\in\mathbb{R}^2\}.$$ Si $A,B,C$ sont non alignés, le plan $(ABC)$ est obtenu avec $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$.

Si les deux vecteurs sont colinéaires, cette expression décrit au plus une droite : elle ne définit pas un plan.

Trois vecteurs ou quatre points

Trois vecteurs sont coplanaires s’ils peuvent être représentés dans un même plan avec une origine commune. Si deux sont non colinéaires, il suffit d’exprimer le troisième comme leur combinaison. Si tous sont colinéaires, ils sont aussi coplanaires, mais ne déterminent pas une unique direction de plan.

Pour des points $A,B,C$ non alignés, $D\in(ABC)$ si et seulement si $\overrightarrow{AD}$ est une combinaison de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

Exemple - Une relation qui place un point

Si $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$, alors $M\in(ABC)$. Les coefficients ne sont pas forcément entre $0$ et $1$ : appartenir au plan ne signifie pas appartenir au triangle.

Trois directions non coplanaires

Dans un tétraèdre $ABCD$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont non coplanaires. Une relation $$a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}+c\overrightarrow{AD}=\vec0$$ impose $a=b=c=0$. Sinon, on pourrait isoler un vecteur de coefficient non nul comme combinaison des deux autres, ce qui contredirait la non-coplanarité.

Utiliser les directions pour comparer des objets

Une droite et un plan

Soit $P$ défini par deux directions non colinéaires $\vec u,\vec v$. Si une droite $D$ a pour direction $a\vec u+b\vec v\ne\vec0$, sa direction est parallèle à $P$. Elle est contenue dans $P$ si un de ses points appartient à $P$ ; sinon, elle est strictement parallèle au plan.

Si la direction de $D$ n’appartient pas à la direction de $P$, la droite coupe le plan en un unique point. La recherche de ce point se fera par une équation vectorielle, puis par des coordonnées dans le chapitre suivant.

Deux plans

Deux plans de même direction sont parallèles ou confondus. Il suffit de comparer deux directions non colinéaires de chaque plan, puis de tester l’appartenance d’un point. Deux plans de directions différentes sont sécants suivant une droite.

Exemple - Des plans parallèles dans un tétraèdre

Dans le tétraèdre $ABCD$, soient $I,J,K$ les milieux de $[AB],[AC],[AD]$. Alors $$\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{IK}=\frac12\overrightarrow{BD}.$$ Les vecteurs $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}$ sont non colinéaires. Les plans $(IJK)$ et $(BCD)$ ont donc la même direction. Ils sont distincts car $I\notin(BCD)$ : la droite $(AB)$ coupe $(BCD)$ en $B$ seulement. Ainsi $(IJK)$ est strictement parallèle à $(BCD)$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Deux directions, pas une seule

Une seule direction commune ne suffit pas à rendre deux plans parallèles : deux plans sécants partagent la direction de leur droite d’intersection. Il faut deux directions communes non colinéaires.

Méthodes de résolution

Choisir une origine et trois arêtes

Dans un tétraèdre $ABCD$, choisir $A$ comme origine des calculs et poser $\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec b=\overrightarrow{AC}$, $\vec c=\overrightarrow{AD}$. Toute différence s’écrit alors comme une différence de vecteurs issus de $A$ : $$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}.$$ Cette écriture évite de confondre un point avec un vecteur et permet de comparer les coefficients de trois directions non coplanaires.

Exemple - Vérifier une coplanarité sans dessin

Supposons $\overrightarrow{AM}=\vec a+\vec b$, $\overrightarrow{AN}=\vec a+\vec c$ et $\overrightarrow{AP}=\vec b-\vec c$. Alors $$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\vec b-\vec c=\overrightarrow{AP}.$$ Les vecteurs $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AP}$ sont coplanaires. Les deux premiers ne sont pas colinéaires : une relation entre eux imposerait simultanément des coefficients incompatibles devant $\vec b$ et $\vec c$. Donc les points $A,M,N,P$ sont dans le plan $(AMN)$.

Résoudre une intersection

Un point commun à deux droites doit admettre deux descriptions du même vecteur. On utilise un paramètre pour chaque droite, puis on compare les coefficients.

Exemple - Une intersection dans un plan de l’espace

Soient $\vec u,\vec v$ non colinéaires. Les droites sont décrites par $$D:\overrightarrow{AM}=t(\vec u+\vec v),\qquad E:\overrightarrow{AM}=2\vec u+s(\vec u-\vec v).$$ L’égalité impose $t=2+s$ et $t=-s$. Donc $s=-1$, $t=1$, et le point commun $I$ vérifie $\overrightarrow{AI}=\vec u+\vec v$. La solution est unique.

Reconnaître deux droites non coplanaires

Dans un tétraèdre $ABCD$, les droites $(AB)$ et $(CD)$ n’ont pas de point commun : sinon ce point permettrait de placer $D$ dans le plan $(ABC)$. Elles ne sont pas parallèles non plus, car $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$ ne peut pas être un multiple de $\overrightarrow{AB}$. Ce sont des droites non coplanaires.

Bilan de méthode. Une figure en perspective peut faire croire à une intersection. Pour conclure, écrire une relation vectorielle et exploiter l’alignement, la coplanarité ou la non-coplanarité des directions choisies.

Exercices corrigés - Calcul et alignement

Exercice 1 - Réduire une somme

Pour quatre points quelconques $A,B,C,D$, simplifier $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}$, puis $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}$.

Correction. Par commutativité et Chasles, la première somme vaut $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. La seconde vaut $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$. Remplacer une soustraction par le vecteur opposé permet de suivre un chemin cohérent.

Exercice 2 - Une diagonale et un milieu

Dans le parallélépipède de la partie I, exprimer $\overrightarrow{DF}$ et $\overrightarrow{AO}$, où $O$ est le milieu de $[AG]$, avec $\vec a,\vec b,\vec c$.

Correction. $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}=\vec a-\vec b+\vec c$. Puis $\overrightarrow{AO}=\tfrac12\overrightarrow{AG}=\tfrac12(\vec a+\vec b+\vec c)$. Ces calculs ne supposent pas que le parallélépipède soit rectangle.

Exercice 3 - Une équation vectorielle

Pour $A\ne B$, déterminer le point $M$ tel que $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec0$ et préciser sa position.

Correction. Remplacer $\overrightarrow{MB}$ par $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ donne $5\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AB}=\vec0$, soit $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}/5$. Il existe un unique point, situé dans $[AB]$, avec $AM=3AB/5$ et $MB=2AB/5$.

Exercice 4 - Parallélisme dans un tétraèdre

Dans un tétraèdre $ABCD$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AD]$. Montrer que $(IJ)$ est parallèle au plan $(BCD)$, puis préciser si elle y est contenue.

Correction. $\overrightarrow{IJ}=\tfrac12(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\tfrac12\overrightarrow{BD}$. Sa direction est donc une direction de $(BCD)$. Le point $I$ n’appartient pas à ce plan, car $(AB)$ le rencontre seulement en $B$. Ainsi la droite est strictement parallèle au plan.

Exercices corrigés - Plans et intersections

Exercice 5 - Coplanarité et coefficients

Soient $\vec u,\vec v,\vec w$ non coplanaires. Posons $\vec p=\vec u+\vec v$, $\vec q=\vec v+\vec w$ et $\vec r=\vec u-\vec w$. Les vecteurs $\vec p,\vec q,\vec r$ sont-ils coplanaires ?

Correction. On a $\vec r=\vec p-\vec q$ : ils sont coplanaires. Les deux premiers sont non colinéaires ; en effet, $a\vec p+b\vec q=\vec0$ devient $a\vec u+(a+b)\vec v+b\vec w=\vec0$, d’où $a=b=0$. Ils définissent donc une direction de plan unique.

Exercice 6 - Appartenance à un plan

Dans un tétraèdre $ABCD$, on définit $M_t$ par $$\overrightarrow{AM_t}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+(t-2)\overrightarrow{AD}.$$ Déterminer $t$ pour que $M_t\in(ABC)$.

Correction. Un vecteur de la direction de $(ABC)$ est une combinaison de $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$. Les trois arêtes issues de $A$ étant non coplanaires, le coefficient de $\overrightarrow{AD}$ doit être nul : $t=2$. Réciproquement, cette valeur donne bien $\overrightarrow{AM_2}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$, donc $M_2\in(ABC)$.

Exercice 7 - Deux paramètres d’intersection

Pour $\vec u,\vec v$ non colinéaires, étudier les droites $$D:\overrightarrow{AM}=t(\vec u+2\vec v),\qquad E:\overrightarrow{AM}=3\vec u+s(\vec u-\vec v).$$ Correction. Un point commun vérifie $t=3+s$ et $2t=-s$. Donc $3t=3$, $t=1$, $s=-2$. Il existe un unique point $I$ tel que $\overrightarrow{AI}=\vec u+2\vec v$. Substitution dans la seconde expression : $3\vec u-2(\vec u-\vec v)=\vec u+2\vec v$.

Exercice 8 - Une impossibilité dans l’espace

Dans un tétraèdre $ABCD$, prouver par une équation que $(AB)$ et $(CD)$ ne se coupent pas.

Correction. Un point commun aurait $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+s\overrightarrow{CD}=(1-s)\overrightarrow{AC}+s\overrightarrow{AD}$. La comparaison dans les trois directions non coplanaires impose $t=0$, $1-s=0$ et $s=0$. Les deux dernières conditions sont incompatibles. Il n’y a donc pas d’intersection ; leurs directions ne sont pas colinéaires non plus, et ces droites sont non coplanaires.