L'écart moyen et la dispersion statistique - Cours complémentaire et exercices corrigés | Tronc commun sciences et technologies

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Parcours. Ce complément prolonge le cours de statistique : tableaux, effectifs, fréquences, moyenne, médiane, variance et écart type. Il développe l’écart moyen à la moyenne, puis compare les mesures de dispersion sur des séries originales. Les données sont décrites, sans supposer qu’elles représentent toute une population extérieure.

Mesurer des distances à la moyenne

Pourquoi les écarts signés ne suffisent pas

Une série quantitative prend les valeurs distinctes $x_1,\ldots,x_p$, d’effectifs $n_1,\ldots,n_p$. L’effectif total est $N=\sum_i n_i>0$ et la moyenne $$\overline x=\frac{\sum_i n_ix_i}{N}.$$ La somme des écarts signés est toujours nulle : $$\sum_i n_i(x_i-\overline x)=\sum_i n_ix_i-N\overline x=0.$$ Des écarts négatifs et positifs peuvent donc s’annuler, même si les observations sont très dispersées. On mesure plutôt leurs distances à la moyenne, avec la valeur absolue.

Écart moyen à la moyenne

$$\boxed{e_m=\frac1N\sum_{i=1}^{p}n_i\left|x_i-\overline x\right| =\sum_{i=1}^{p}f_i\left|x_i-\overline x\right|,\qquad f_i=\frac{n_i}{N}.}$$ C’est la moyenne pondérée des distances à $\overline x$. Il s’exprime dans la même unité que les observations. On utilise ici la moyenne comme centre, et non la médiane.

Un calcul complet avec des effectifs

Six mesures, en minutes, sont $1,1,3,3,3,7$. La moyenne vaut $$\overline x=\frac{2\cdot1+3\cdot3+1\cdot7}{6}=3\text{ minutes}.$$

$x_i$	$n_i$	$x_i-\overline x$	$\left|x_i-\overline x\right|$	$n_i\left|x_i-\overline x\right|$
1	2	$-2$	2	4
3	3	0	0	0
7	1	4	4	4
Total	6			8

Ainsi $e_m=8/6=4/3$ minute. Les distances $2,0,4$ n’ont pas toutes le même effectif : leur moyenne non pondérée, $2$, serait incorrecte pour cette série.

Écart moyen, variance et écart type

Interpréter une moyenne de distances

$e_m=4/3$ ne signifie pas que chaque observation se trouve exactement à $4/3$ de la moyenne, ni que toutes sont dans $[3-4/3;3+4/3]$. C’est une mesure globale, calculée à partir des six distances.

Trois calculs qui ne mesurent pas la même chose

La variance et l’écart type utilisent les carrés des écarts : $$V=\frac1N\sum_i n_i(x_i-\overline x)^2 =\frac1N\sum_i n_ix_i^2-\overline x^{\,2},\qquad\sigma=\sqrt V.$$ Pour la série précédente, $V=(2\cdot4+3\cdot0+1\cdot16)/6=4$ minutes carrées, donc $\sigma=2$ minutes. L’écart moyen reste $4/3$ minute. La variance amplifie davantage les grandes distances en les élevant au carré.

Indicateur	Calcul	Unité
Écart moyen	Moyenne des valeurs absolues des écarts	Unité initiale
Variance	Moyenne des carrés des écarts	Unité au carré
Écart type	Racine carrée de la variance	Unité initiale

Un contrôle utile : $0\le e_m\le\sigma$

Les distances sont positives ou nulles, donc $e_m\ge0$. De plus, $e_m=0$ exactement lorsque toutes les observations sont égales : une somme de distances positives ne peut s’annuler que si chacune est nulle.

Pour comparer $e_m$ et $\sigma$, posons $d_i=\left|x_i-\overline x\right|$. On a $\sum_i f_i=1$, $\sum_i f_id_i=e_m$ et $\sum_i f_id_i^2=V$. En développant, $$0\le\sum_i f_i(d_i-e_m)^2=V-2e_m^2+e_m^2=V-e_m^2.$$ Ainsi $e_m\le\sqrt V=\sigma$. Ce contrôle peut détecter une erreur ; il ne donne pas une formule permettant de déduire l’un des indicateurs de l’autre.

Exemple - Même moyenne, dispersions différentes

Les séries $A=(2,2,4,4)$ et $B=(0,3,3,6)$ ont toutes deux pour moyenne $3$. Pour $A$, toutes les distances valent $1$, donc $e_m=1$ et $\sigma=1$. Pour $B$, les distances sont $3,0,0,3$, d’où $$e_m=\frac64=\frac32,\qquad \sigma=\sqrt{\frac{18}{4}}=\frac{3\sqrt2}{2}.$$ La moyenne identique ne suffit donc pas à décrire les deux séries. Les deux indicateurs de dispersion sont ici plus grands pour $B$.

Une égalité de dispersion ne donne pas une série unique

Moyenne, écart moyen et écart type résument les données ; ils ne permettent pas en général de retrouver chaque observation. Toujours conserver le tableau ou le graphique pour interpréter une distribution.

Fréquences, classes et changements d’unité

Calculer directement avec des fréquences

Les fréquences sont positives ou nulles et leur somme vaut $1$. Si elles sont données en pourcentages, les diviser par $100$ avant d’utiliser les formules pondérées. Il ne faut pas diviser une seconde fois par $N$ après avoir déjà utilisé les fréquences.

Exemple - Trois valeurs et des pourcentages

Les valeurs $10$, $20$, $40$ ont pour fréquences $20\%$, $50\%$, $30\%$. Alors $$\overline x=0.2\cdot10+0.5\cdot20+0.3\cdot40=24,$$ $$e_m=0.2\cdot14+0.5\cdot4+0.3\cdot16=9.6.$$ La variance vaut $0.2\cdot196+0.5\cdot16+0.3\cdot256=124$, donc $\sigma=2\sqrt{31}\approx11.14$. On vérifie bien $9.6\le11.14$.

Des classes donnent une estimation

Si seules des classes et leurs effectifs sont connus, les valeurs individuelles sont perdues. On peut remplacer chaque observation par le centre de sa classe pour estimer la moyenne et les dispersions. Les résultats sont ceux de cette série de centres ; ils ne sont pas nécessairement ceux des données initiales.

Par exemple, les classes $[0;10[$, $[10;20[$, $[20;40[$ ont pour centres $5$, $15$, $30$. Les amplitudes inégales ne changent pas les pondérations : chaque centre est répété autant de fois que l’effectif de sa classe. Les hauteurs d’un histogramme ne sont pas les poids de la moyenne.

Transformer toutes les observations

Si chaque valeur devient $y=ax+b$, avec $a,b\in\mathbb{R}$, alors $$\boxed{\overline y=a\overline x+b,\quad e_m(Y)=|a|e_m(X),\quad V(Y)=a^2V(X),\quad\sigma(Y)=|a|\sigma(X).}$$ En effet, $y-\overline y=a(x-\overline x)$ : les distances sont multipliées par $|a|$ et leurs carrés par $a^2$. Ajouter une constante déplace toute la série mais conserve sa dispersion. Si $a=0$, la nouvelle série est constante et les trois dispersions sont nulles.

Exemple - Passer des minutes aux secondes

Dans la série $1,1,3,3,3,7$ minutes, $\overline x=3$, $e_m=4/3$ et $\sigma=2$. En secondes, ces trois valeurs deviennent $180$, $80$ et $120$. La variance devient $60^2\cdot4=14400$ secondes carrées.

Une méthode de vérification

Calculer l’effectif total et la moyenne sans arrondi prématuré. Former les distances, puis les pondérer. Vérifier leur signe, les unités et $e_m\le\sigma$. Pour des classes, annoncer l’approximation. Un nombre décimal affiché par une calculatrice n’indique pas à lui seul sa précision.

Exercices corrigés - Calculs exacts

Exercice 1 - Moyenne non entière

Les valeurs $2$, $4$, $7$ ont pour effectifs $2$, $3$, $1$. Calculer $\overline x$, $e_m$, $V$ et $\sigma$ sans arrondir les étapes.

Solution. $N=6$ et $\overline x=(4+12+7)/6=23/6$. Les distances à la moyenne sont respectivement $11/6$, $1/6$, $19/6$. Donc $$e_m=\frac{2(11/6)+3(1/6)+19/6}{6}=\frac{11}{9}.$$ La moyenne des carrés vaut $(2\cdot4+3\cdot16+49)/6=105/6$. Par conséquent, $$V=\frac{105}{6}-\left(\frac{23}{6}\right)^2=\frac{101}{36},\qquad \sigma=\frac{\sqrt{101}}6.$$ Numériquement $e_m\approx1.22$ et $\sigma\approx1.67$, ce qui respecte leur ordre. Arrondir d’abord $23/6$ aurait modifié chaque distance.

Exercice 2 - Les répétitions comptent

On observe $0,1,1,6$. Calculer la moyenne et les deux indicateurs $e_m$, $\sigma$. Pourquoi ne doit-on pas traiter seulement les trois valeurs distinctes ?

Solution. $\overline x=8/4=2$. Les quatre distances valent $2,1,1,4$, donc $e_m=8/4=2$. Les carrés des écarts sont $4,1,1,16$, d’où $V=22/4=11/2$ et $\sigma=\sqrt{22}/2$. La valeur $1$ apparaît deux fois ; ignorer cette répétition changerait les poids, la moyenne et les dispersions. Les valeurs distinctes peuvent être utilisées seulement avec leurs effectifs $1,2,1$.

Exercice 3 - Des écarts signés trompeurs

Un élève trouve une dispersion nulle pour $0,0,0,12$ parce que la somme des écarts à la moyenne vaut zéro. Corriger son raisonnement et calculer $e_m$, $V$.

Solution. La moyenne est $3$. Les écarts signés sont $-3,-3,-3,9$, de somme nulle ; cette annulation vaut pour toute série et ne mesure pas la dispersion. Les distances sont $3,3,3,9$, donc $e_m=18/4=9/2$. Les carrés donnent $V=(9+9+9+81)/4=27$, donc $\sigma=3\sqrt3$. La série n’est pas constante : ni $e_m$ ni $V$ ne peut être nul.

Exercices corrigés - Interprétation et transformations

Exercice 4 - Un tableau de classes

Les classes $[0;10[$, $[10;20[$, $[20;40[$ ont respectivement pour effectifs $2$, $5$, $3$. Estimer la moyenne, l’écart moyen et la variance en utilisant leurs centres.

Solution. Les centres sont $5$, $15$, $30$ et $N=10$. La moyenne estimée est $(10+75+90)/10=17.5$. Les distances des centres à cette moyenne sont $12.5$, $2.5$, $12.5$. Ainsi $$e_m\approx\frac{2\cdot12.5+5\cdot2.5+3\cdot12.5}{10}=7.5,$$ $$V\approx\frac{2\cdot12.5^2+5\cdot2.5^2+3\cdot12.5^2}{10} =81.25=\frac{325}{4}.$$ L’écart type estimé vaut $5\sqrt{13}/2$. Ces nombres sont exacts pour la série des centres, mais seulement des estimations pour les observations réparties à l’intérieur des classes.

Exercice 5 - Changement d’échelle et décalage

Une série a pour moyenne $1.2$, écart moyen $0.08$ et écart type $0.1$. Chaque observation $x$ devient $y=100x+8$. Donner les quatre indicateurs de la nouvelle série.

Solution. La moyenne devient $100\cdot1.2+8=128$. L’écart moyen vaut $100\cdot0.08=8$, l’écart type $100\cdot0.1=10$, et la variance $10^2=100$. Le décalage de $8$ modifie la moyenne mais pas les distances à cette moyenne. Il ne faut donc pas ajouter $8$ à l’écart moyen ou à l’écart type.

Exercice 6 - Réfléchir la série

Pour la série $2,4,4,6$, calculer $e_m$ et $\sigma$. Chaque valeur devient ensuite $y=10-2x$. Calculer la nouvelle moyenne et les nouvelles dispersions.

Solution. La moyenne est $4$, les distances sont $2,0,0,2$. Donc $e_m=1$, $V=2$ et $\sigma=\sqrt2$. La nouvelle moyenne est $10-2\cdot4=2$, l’écart moyen $2$, la variance $8$ et l’écart type $2\sqrt2$. On retrouve directement la série transformée $6,2,2,-2$, de distances $4,0,0,4$ à sa moyenne $2$. Le coefficient négatif inverse l’ordre des valeurs, mais ne rend pas une dispersion négative.

Exercices corrigés - Retrouver et comparer

Exercice 7 - Retrouver une observation

Une série est formée de $2,2,2,a$ avec $a\ge2$. Son écart moyen à la moyenne vaut $3$. Déterminer $a$, puis la moyenne et la variance.

Solution. La moyenne vaut $m=(a+6)/4$. Puisque $a\ge2$, on a $2\le m\le a$. Les trois valeurs $2$ ont donc pour distance $m-2=(a-2)/4$, tandis que la valeur $a$ a pour distance $a-m=3(a-2)/4$. Par conséquent, $$e_m=\frac{3(a-2)/4+3(a-2)/4}{4}=\frac{3(a-2)}8.$$ L’équation $3(a-2)/8=3$ donne $a=10$, compatible avec $a\ge2$. La moyenne vaut $4$. Les écarts sont alors $-2,-2,-2,6$, donc $V=(3\cdot4+36)/4=12$. La vérification directe donne $e_m=(2+2+2+6)/4=3$.

Exercice 8 - Comparer deux séries sans confondre leurs centres

Les séries $A=(1,1,5,5)$ et $B=(2,3,3,4)$ ont quatre observations. Comparer moyenne, écart moyen, variance et étendue. Peut-on dire que toutes les observations de $A$ sont plus grandes que celles de $B$ ?

Solution. Les deux moyennes valent $3$. Pour $A$, les quatre distances à $3$ valent $2$, donc $e_m(A)=2$ et $V(A)=4$. L’étendue vaut $5-1=4$.

Pour $B$, les distances sont $1,0,0,1$, donc $e_m(B)=1/2$, $V(B)=1/2$, et l’étendue vaut $4-2=2$. Les trois mesures de dispersion sont ici plus grandes pour $A$. Les écarts types sont respectivement $2$ et $1/\sqrt2$.

On ne peut pourtant pas conclure que les observations de $A$ sont toutes plus grandes : les deux valeurs $1$ sont inférieures à toutes celles de $B$, alors que les deux valeurs $5$ leur sont supérieures. Une dispersion compare des distances, pas un classement uniforme des données.

Les quatre réflexes à conserver

Une moyenne utilise les effectifs ; un écart moyen utilise les valeurs absolues ; une variance utilise les carrés ; un écart type en prend la racine. Les unités, les bornes et les données initiales doivent rester cohérentes à chaque étape.