Le logarithme décimal - Cours et exercices corrigés | 1re Bac Sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Transformer des produits en sommes, retrouver un nombre à partir de son logarithme, résoudre des équations simples et calculer un nombre de périodes dans un modèle multiplicatif. Le logarithme utilisé ici est en base $10$ ; ni le logarithme népérien ni sa dérivée ne sont nécessaires.

Retrouver l’exposant d’une puissance de dix

Des puissances entières aux nombres positifs

On connaît $10^0=1$, $10^1=10$, $10^2=100$ et $10^{-2}=0{,}01$. Le logarithme décimal inverse cette lecture : $\log(100)=2$ et $\log(0{,}01)=-2$.

Définition

Pour tout $x>0$, $\log x$ est l’unique réel $y$ tel que $10^y=x$ : $$\log x=y\iff x=10^y.$$ L’extension des puissances de dix aux exposants réels, et l’existence de cet exposant pour tout $x>0$, sont admises à ce niveau.

Ainsi $\log(10^y)=y$ pour tout réel $y$, et $10^{\log x}=x$ pour $x>0$. Le logarithme d’un réel nul ou négatif n’est pas défini dans ce cadre.

Ordre et signe

La fonction $y\mapsto10^y$ est strictement croissante ; sa réciproque $\log$ conserve donc l’ordre : pour $a,b>0$, $\log a<\log b$ équivaut à $a<b$. $$\log1=0,\qquad \log x<0\ \text{si }0<x<1, \qquad \log x>0\ \text{si }x>1.$$ Un logarithme négatif correspond à un nombre positif inférieur à $1$. Il ne faut pas confondre le signe du nombre et le signe de son logarithme.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les points $(0{,}1;-1)$, $(1;0)$ et $(10;1)$ correspondent à des puissances de dix connues. La courbe ne contient aucun point d’abscisse $0$.

Les règles de calcul et leurs conditions

Dans toute cette partie, $a,b$ sont strictement positifs et $n\in\mathbb{Z}$.

Produit, quotient, inverse et puissance

$$\log(ab)=\log a+\log b,\qquad \log\frac ab=\log a-\log b,$$ $$\log\frac1b=-\log b,\qquad \log(a^n)=n\log a,\qquad \log\sqrt a=\frac12\log a.$$

Pourquoi les produits deviennent des sommes

Poser $u=\log a$ et $v=\log b$ donne $a=10^u$, $b=10^v$. Donc $ab=10^{u+v}$, d’où $\log(ab)=u+v$. Le quotient utilise $10^u/10^v=10^{u-v}$. Les puissances entières se traitent de la même façon, y compris les exposants négatifs puisque $a>0$.

Pour la racine, $a=(\sqrt a)^2$ et $\sqrt a>0$, donc $\log a=2\log\sqrt a$. Plus généralement, si $c>0$ vérifie $c^m=a$, avec $m\ge1$, alors $\log c=(\log a)/m$.

Exemple - Simplifier un calcul exact

$$\log4+2\log5-\log10 =\log\left(\frac{4\cdot25}{10}\right)=\log10=1.$$ On regroupe des logarithmes d’arguments positifs ; on n’additionne pas leurs arguments.

Exemple - Décomposer avant d’approcher

Comme $500=5\cdot10^2$, $\log500=\log5+2$. Comme $0{,}005=5\cdot10^{-3}$, $\log(0{,}005)=\log5-3$. Les deux nombres ont le même coefficient dans leur écriture scientifique, mais pas le même logarithme.

Les limites des règles

Il n’existe pas de règle $\log(a+b)=\log a+\log b$. Par exemple, pour $a=b=1$, le membre de droite vaut $0$, tandis que $\log2>0$.

Un produit positif ne suffit pas à autoriser la décomposition : $\log((-2)(-5))=\log10$ existe, mais $\log(-2)$ et $\log(-5)$ n’existent pas dans les réels. De même, $\log(x^2)=2\log x$ exige $x>0$. Pour $x<0$, l’écriture correcte est $\log(x^2)=2\log(-x)$, ou $2\log|x|$ pour tout $x\ne0$.

Garder les conditions avec l’identité

On peut transformer une expression uniquement sur son domaine de départ. Déterminer d’abord la positivité de chaque argument évite de créer ou de perdre des solutions.

Calculatrice, écriture scientifique et précision

Calcul direct et opération inverse

La touche log donne le logarithme décimal. L’opération inverse est $10^x$, souvent accessible par une fonction secondaire ; ce n’est pas la touche $\ln$.

Nombre	Logarithme décimal approché
$2$	$0{,}301030$
$3$	$0{,}477121$
$5$	$0{,}698970$

Si $\log x=2{,}34$, alors $x=10^{2{,}34}\simeq218{,}776$. Il faut effectuer une exponentiation, pas calculer $10\times2{,}34$.

Écriture scientifique

Tout $x>0$ s’écrit $x=m\,10^n$, avec $1\le m<10$ et $n\in\mathbb{Z}$. Alors $$\log x=n+\log m,\qquad 0\le\log m<1.$$ L’entier $n$ est donc le plus grand entier inférieur ou égal à $\log x$. Pour un logarithme négatif, ce n’est pas simplement la partie obtenue en supprimant les décimales.

Exemple - Un petit nombre

$0{,}0037=3{,}7\cdot10^{-3}$, donc $$\log(0{,}0037)=\log(3{,}7)-3 \simeq0{,}568202-3=-2{,}431798.$$ L’exposant scientifique est $-3$, et non $-2$. On vérifie $10^{-3}\le0{,}0037<10^{-2}$, donc $-3\le\log(0{,}0037)<-2$.

Contrôler un résultat approché

Conserver les valeurs non arrondies dans les étapes intermédiaires, puis arrondir le résultat final à la précision demandée. Si $u\le\log x\le v$, la croissance donne $10^u\le x\le10^v$ : un encadrement peut être transformé sans ambiguïté.

Pour un entier $N\ge1$, avoir $d$ chiffres décimaux signifie $10^{d-1}\le N<10^d$. C’est équivalent à $d-1\le\log N<d$. On peut ainsi compter les chiffres d’un grand entier, à condition de ne pas laisser un arrondi déplacer artificiellement une puissance de dix exacte.

Exact et approché

$\log1000=3$ est exact. L’écriture $\log2\simeq0{,}301030$ est une approximation. Le signe $=$ n’a pas la même signification que $\simeq$.

Résoudre des équations et des inéquations

La méthode en trois étapes

1. Déterminer les valeurs qui rendent chaque argument strictement positif.

2. Utiliser les règles de calcul, puis l’injectivité ou la croissance de $\log$.

3. Conserver uniquement les solutions appartenant au domaine initial.

Deux équivalences

Pour $u,v>0$, $\log u=\log v\iff u=v$. Pour $u>0$ et $c\in\mathbb{R}$, $\log u=c\iff u=10^c$.

Exemple - Un argument affine

$\log(2x-1)=2$ exige $x>1/2$. L’équation équivaut à $2x-1=100$, donc $x=101/2$. Cette valeur vérifie le domaine et l’équation initiale.

Exemple - Une somme de logarithmes

$\log x+\log(x-9)=1$ exige $x>9$. Sur ce domaine, $$\log(x(x-9))=1\iff x^2-9x=10 \iff(x-10)(x+1)=0.$$ Les candidats sont $10$ et $-1$. Seul $10$ est supérieur à $9$ ; l’ensemble des solutions est $\{10\}$. Le candidat négatif ne peut pas être réintroduit sous prétexte que le produit $x(x-9)$ est positif.

Utiliser la croissance

Comme la base $10$ est supérieure à $1$, le logarithme conserve le sens des inégalités entre arguments positifs.

Exemple - Une borne fermée et une borne ouverte

$\log(x-1)\le1$ exige $x>1$, puis équivaut à $x-1\le10$. Les solutions sont $]1;11]$ : $1$ est exclu par le domaine, mais $11$ est inclus par l’inégalité large.

Un coefficient négatif change le sens

Dans $-2\log x\ge4$, on a d’abord $x>0$. La division par $-2$ donne $\log x\le-2$, puis $x\le10^{-2}$. L’ensemble des solutions est $]0;0{,}01]$. Le renversement vient du coefficient $-2$, pas de la fonction logarithme.

Applications à des évolutions multiplicatives

Pourcentage et coefficient multiplicateur

Une hausse de $t\,\%$ multiplie une quantité par $1+t/100$ ; une baisse de $t\,\%$ la multiplie par $1-t/100$, tant que ce coefficient est positif. Répéter le même coefficient $q>0$ pendant $n$ périodes donne $V_n=V_0q^n$.

Pour $V_0>0$, la règle des logarithmes fournit $$\log(V_n/V_0)=n\log q.$$ On utilise un rapport de quantités dans la même unité ; changer l’unité ne modifie pas ce rapport.

Exemple - Atteindre un seuil par croissance

Dans un modèle fictif, une quantité initiale de $1000$ augmente de $5\,\%$ par période. Pour atteindre au moins $1500$, $$1000(1{,}05)^n\ge1500 \iff n\log(1{,}05)\ge\log(1{,}5).$$ Le logarithme de $1{,}05$ est positif, donc $n\ge\log(1{,}5)/\log(1{,}05)\simeq8{,}310$. Le premier entier est $9$. Vérification : $V_8\simeq1477{,}46<1500$ et $V_9\simeq1551{,}33\ge1500$.

Décroissance : surveiller le signe

Si $0<q<1$, alors $\log q<0$. Pour $0<T<V_0$, la condition $V_0q^n\le T$ donne $$n\log q\le\log(T/V_0) \iff n\ge\frac{\log(T/V_0)}{\log q}.$$ Le sens s’inverse au moment de diviser par le nombre négatif $\log q$. Une condition stricte peut imposer un entier de plus si le quotient est exactement entier.

Plusieurs taux et un taux équivalent

Si les coefficients successifs sont $q_1,q_2>0$, le coefficient total est $q_1q_2$ et son logarithme vaut $\log q_1+\log q_2$. Une hausse de $10\,\%$ suivie d’une baisse de $10\,\%$ donne $1{,}1\times0{,}9=0{,}99$, soit une baisse globale de $1\,\%$.

Un coefficient constant équivalent sur deux périodes est $q=\sqrt{q_1q_2}$ ; son logarithme est la moyenne des deux logarithmes. Par exemple, passer de $100$ à $121$ en deux périodes correspond à $q=\sqrt{1{,}21}=1{,}1$, soit $10\,\%$ par période dans ce modèle. Une moyenne arithmétique des pourcentages ne remplace pas le produit des coefficients.

Exercices corrigés - Valeurs et propriétés

Exercice 1 - Calculs exacts et domaine

Calculer $\log(10^{-4})$, $\log\sqrt{1000}$, $\log((10^{-3})^4)$ et $10^{\log7}$. Peut-on calculer $\log0$ ou $\log(-7)$ dans les réels ?

Correction. Les trois premiers résultats sont respectivement $-4$, $\frac12\log1000=3/2$ et $\log(10^{-12})=-12$. La réciprocité donne $10^{\log7}=7$, puisque $7>0$. Les deux derniers logarithmes ne sont pas définis : leurs arguments ne sont pas strictement positifs.

Exercice 2 - Une simplification avec paramètres

Pour $a,b>0$, simplifier $E=\log(25a^2/b)-2\log5-2\log a+\log b$.

Correction. Tous les arguments sont positifs. La décomposition donne $$\log(25a^2/b)=\log25+2\log a-\log b =2\log5+2\log a-\log b.$$ Tous les termes s’annulent dans $E$, donc $E=0$. Les hypothèses $a,b>0$ autorisent les logarithmes séparés ; elles ne sont pas décoratives.

Exercice 3 - Calculer à partir d’une seule valeur

En utilisant $\log2\simeq0{,}301030$, déterminer des valeurs approchées de $\log5$, $\log80$ et $\log(0{,}04)$.

Correction. $5=10/2$ donne $\log5=1-\log2\simeq0{,}698970$. Puis $80=2^3\cdot10$ donne $\log80=3\log2+1\simeq1{,}903090$. Enfin $0{,}04=2^2\cdot10^{-2}$ donne $\log(0{,}04)=2\log2-2\simeq-1{,}397940$. Le dernier signe est cohérent avec $0<0{,}04<1$.

Exercice 4 - Calcul direct et inverse

Calculer à $10^{-6}$ près $\log(0{,}0064)$. Déterminer ensuite $x>0$ tel que $\log x=1{,}75$, à $10^{-3}$ près.

Correction. $0{,}0064=64\cdot10^{-4}=2^6\cdot10^{-4}$, donc $\log(0{,}0064)=6\log2-4\simeq-2{,}193820$, en conservant la précision interne de la calculatrice. Ensuite $x=10^{1{,}75}\simeq56{,}234$. Le nombre est entre $10$ et $100$, ce qui correspond bien à un logarithme entre $1$ et $2$.

Exercices corrigés - Équations et inéquations

Exercice 5 - Un candidat à rejeter

Résoudre $\log x+\log(x-3)=1$.

Correction. Il faut $x>0$ et $x-3>0$, donc $x>3$. Sur ce domaine, $$\log(x(x-3))=1\iff x^2-3x-10=0 \iff(x-5)(x+2)=0.$$ Les candidats sont $5$ et $-2$. Seul $5$ appartient au domaine. Il vérifie $\log5+\log2=\log10=1$. L’ensemble des solutions est $\{5\}$.

Exercice 6 - Deux solutions admissibles

Résoudre $\log(x^2-1)=\log(2x+3)$.

Correction. Les conditions $x^2-1>0$ et $2x+3>0$ donnent $$D=]-3/2;-1[\ \cup\ ]1;+\infty[.$$ Sur ce domaine, l’injectivité de $\log$ donne $x^2-1=2x+3$, soit $x^2-2x-4=0$. Les racines sont $1-\sqrt5$ et $1+\sqrt5$.

Comme $2<\sqrt5<5/2$, on a $-3/2<1-\sqrt5<-1$ ; la seconde racine est supérieure à $1$. Les deux sont admissibles, et l’ensemble des solutions est $\{1-\sqrt5;1+\sqrt5\}$. Une inconnue négative n’est pas interdite en soi : ce sont les arguments des logarithmes qui doivent être positifs.

Exercice 7 - Comparaison d’arguments

Résoudre $\log(3-x)>\log(x+1)$.

Correction. Les conditions sont $x<3$ et $x>-1$, donc $x\in]-1;3[$. Sur cet intervalle, la croissance transforme l’inéquation en $3-x>x+1$, soit $x<1$. L’intersection avec le domaine est $]-1;1[$.

Le point $-1$ est exclu parce que le second logarithme n’existe pas ; le point $1$ est exclu parce que les deux arguments y sont égaux alors que l’inégalité est stricte.

Vérification par substitution

Un candidat issu d’une transformation doit pouvoir être substitué dans chaque logarithme initial. Vérifier seulement l’équation polynomiale finale ne suffit pas.

Exercices corrigés - Modèles économiques

Exercice 8 - Premier dépassement par croissance

Dans un modèle, une quantité vaut $500$ au départ et augmente de $8\,\%$ par période. Déterminer le premier rang entier $n\ge0$ pour lequel elle atteint au moins $800$.

Correction. $V_n=500(1{,}08)^n$. La condition est $(1{,}08)^n\ge1{,}6$, donc $$n\ge\frac{\log(1{,}6)}{\log(1{,}08)}\simeq6{,}107.$$ Le premier entier est $7$. En effet $V_6\simeq793{,}44<800$ et $V_7\simeq856{,}91\ge800$. La croissance du modèle garantit qu’aucun rang antérieur ne satisfait la condition.

Exercice 9 - Passer strictement sous un seuil

Un stock théorique de $2000$ unités diminue de $5\,\%$ par période. Déterminer le premier rang où il devient strictement inférieur à $1200$ unités.

Correction. $S_n=2000(0{,}95)^n$. Il faut $(0{,}95)^n<0{,}6$, donc $n\log(0{,}95)<\log(0{,}6)$. En divisant par un logarithme négatif, $$n>\frac{\log(0{,}6)}{\log(0{,}95)}\simeq9{,}959.$$ Le premier entier est $10$. Le contrôle donne $S_9\simeq1260{,}50>1200$ et $S_{10}\simeq1197{,}47<1200$. Les quantités décimales appartiennent au modèle théorique ; un stock d’objets indivisibles demanderait en plus une règle d’arrondi précisée.

Exercice 10 - Deux taux puis un objectif

Une valeur initiale de $1000$ augmente de $12\,\%$ la première année, puis diminue de $5\,\%$ la deuxième. Déterminer la valeur finale, le taux global, le taux annuel constant équivalent et le taux de la troisième année nécessaire pour atteindre $1100$.

Correction. Le coefficient total est $1{,}12\times0{,}95=1{,}064$. La valeur finale est $1064$ et le taux global est $6{,}4\,\%$. Le taux constant sur deux ans correspond au coefficient $q=\sqrt{1{,}064}$ ; on peut aussi écrire $\log q=\frac12\log(1{,}064)$. Le taux annuel équivalent est donc $100(\sqrt{1{,}064}-1)\,\%$, environ $3{,}15\,\%$.

Pour la troisième année, si $t$ est le taux exprimé en fraction, $1064(1+t)=1100$, donc $t=1100/1064-1=9/266$. Le taux nécessaire est $900/266\,\%\simeq3{,}38\,\%$. Ni la différence $12-5$, ni la moyenne arithmétique des deux taux ne remplace le produit des coefficients successifs.