La fonction logarithme népérien - Cours et exercices corrigés | 2e Bac PC et SVT

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Définir $\ln$, utiliser ses propriétés avec leurs conditions, étudier ses variations et limites, résoudre des équations et inéquations, puis analyser une fonction comportant un logarithme.

Définition, dérivée et signe

La primitive de $1/x$ qui s’annule en $1$

La fonction $x\mapsto1/x$ est continue sur $]0;+\infty[$. Elle y admet des primitives, qui diffèrent d’une constante. Il en existe exactement une qui vaut $0$ en $1$.

Définition du logarithme népérien

Cette primitive est notée $\ln$. Son domaine est $]0;+\infty[$ et elle vérifie $$\ln1=0,\qquad (\ln x)'=\frac1x\quad(x>0).$$ Un logarithme réel $\ln u$ n’existe que lorsque son argument $u$ est strictement positif.

Par exemple, $\ln(x-2)$ est défini pour $x>2$, tandis que $\ln(x^2+1)$ est défini pour tout réel $x$. Les expressions $\ln0$ et $\ln(-3)$ n’ont pas de valeur réelle.

Une fonction strictement croissante

Pour $x>0$, la dérivée $1/x$ est positive. La fonction $\ln$ est donc strictement croissante sur son domaine. Pour $a,b>0$, $$\ln a=\ln b\iff a=b,\qquad \ln a<\ln b\iff a<b.$$ En comparant $x$ à $1$, on en déduit le signe : $$\ln x<0\ (0<x<1),\quad\ln1=0,\quad\ln x>0\ (x>1).$$

Exemple - Poser le domaine avant de comparer

Résolvons $\ln(x+3)\ge0$. L’expression est définie pour $x>-3$. Sur ce domaine, $\ln(x+3)\ge\ln1$ équivaut à $x+3\ge1$, donc $x\ge-2$. Tous ces réels sont autorisés : la solution est $[-2;+\infty[$.

Le logarithme n’est pas un coefficient

On ne simplifie pas une équation en divisant par le symbole $\ln$. On utilise une propriété de la fonction, en vérifiant les domaines. Par exemple, $\ln a=\ln b$ implique $a=b$ parce que $\ln$ est injective sur les réels positifs.

Transformer des expressions logarithmiques

Du produit à la somme

Identités et conditions

Pour $a>0$, $b>0$ et $n\in\mathbb{Z}$, $$\ln(ab)=\ln a+\ln b,\qquad \ln\!\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,$$ $$\ln\!\left(\frac1a\right)=-\ln a,\qquad \ln(a^n)=n\ln a,\qquad \ln\sqrt a=\frac12\ln a.$$ Les arguments de chaque logarithme doivent être positifs. Pour $x\ne0$, $\ln(x^2)=2\ln|x|$ ; l’écriture $2\ln x$ exige $x>0$.

Justification du produit. Fixons $a>0$ et posons $h(x)=\ln(ax)-\ln x$ pour $x>0$. La dérivée vaut $a/(ax)-1/x=0$ ; $h$ est constante et $h(x)=h(1)=\ln a$. En prenant $x=b$, on obtient la formule du produit. Les autres identités en découlent.

Exemple - Une simplification exacte

On a $\ln18-\ln2=\ln9=2\ln3$. Ainsi $\ln18-\ln2-2\ln3=0$. La simplification est possible car $18$, $2$ et $3$ sont positifs.

Exemple - Les signes changent la forme autorisée

Pour $x>3$, $\ln(x^2-9)=\ln(x-3)+\ln(x+3)$. Pour $x<-3$, cette dernière somme est interdite car ses deux arguments sont négatifs. On peut en revanche écrire $$\ln(x^2-9)=\ln(3-x)+\ln(-x-3),\qquad x<-3,$$ car ces deux arguments sont alors positifs et leur produit vaut $x^2-9$.

Une somme ne se sépare pas

En général, $\ln(a+b)\ne\ln a+\ln b$. Prenons $a=b=1$ : le membre de gauche est $\ln2>0$ et celui de droite vaut $0$. La règle porte sur un produit, pas sur une somme.

Le nombre $e$ et le logarithme décimal

La continuité, la croissance et les limites de $\ln$ permettent de définir l’unique nombre $e>0$ tel que $\ln e=1$. Il vaut environ $2{,}71828$. On a donc $\ln(e^n)=n$ pour tout entier $n$.

Le logarithme décimal est $\log_{10}x=\ln x/\ln10$ pour $x>0$. Il satisfait $\log_{10}(10)=1$. Les notations $\ln$ et $\log_{10}$ ne sont pas interchangeables : la base doit rester précisée.

Limites et représentation graphique

Aux deux extrémités du domaine

Limites fondamentales

$$\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.$$ L’axe des ordonnées $x=0$ est une asymptote verticale à la courbe. La croissance vers $+\infty$ est lente mais n’est pas bornée.

Pour comprendre la deuxième limite, $\ln(2^n)=n\ln2\to+\infty$ et $\ln$ est croissante. La première en découle avec $\ln x=-\ln(1/x)$ lorsque $x\to0^+$.

Une tangente utile

La courbe passe par $A(1;0)$ et $B(e;1)$. Comme $\ln'(1)=1$, sa tangente en $A$ est $y=x-1$. Pour $h(x)=x-1-\ln x$, on a $h'(x)=(x-1)/x$ ; $h$ décroît jusqu’à $1$, puis croît. Son minimum est $h(1)=0$. $$\boxed{\ln x\le x-1\quad(x>0),\text{ avec égalité seulement pour }x=1.}$$ La courbe de $\ln$ se situe donc sous cette tangente.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Trois limites à reconnaître

La dérivée en $1$ donne $\lim_{x\to1}\ln x/(x-1)=1$, soit, avec $h=x-1$, $$\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}h=1.$$ La comparaison des croissances fournit $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0, \qquad \lim_{x\to0^+}x\ln x=0.$$ Par exemple, pour $x\ge1$, $0\le\ln x=2\ln\sqrt x\le2(\sqrt x-1)\le2\sqrt x$. En divisant par $x$, on obtient la première limite par encadrement. Pour la seconde, poser $t=1/x$ donne $x\ln x=-\ln t/t\to0$.

Dériver et calculer une limite composée

La règle pour $\ln u$

Positivité avant dérivation

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et $$(\ln u)'=\frac{u'}u.$$ Si $u$ ne s’annule pas, $\ln|u|$ est également dérivable sur $I$, avec la même dérivée $u'/u$.

Exemple - Deux domaines différents

Pour $f(x)=\ln(3-2x)$, le domaine est $]-\infty;3/2[$ et $f'(x)=-2/(3-2x)$. La dérivée y est négative : $f$ est strictement décroissante.

Pour $g(x)=\ln(x^2+1)$, le domaine est $\mathbb{R}$ et $g'(x)=2x/(x^2+1)$. Elle décroît sur $]-\infty;0]$, croît sur $[0;+\infty[$ et atteint son minimum $g(0)=0$.

Lire le comportement de l’argument

Lorsque $u(x)>0$, on examine d’abord $u(x)$. Si $u(x)\to\ell>0$, la continuité donne $\ln u(x)\to\ln\ell$. Si $u(x)\to0^+$, alors $\ln u(x)\to-\infty$. Si $u(x)\to+\infty$, alors $\ln u(x)\to+\infty$.

Exemple - Une différence de logarithmes

Pour $x>0$, $$\ln(x+2)-\ln x=\ln\!\left(1+\frac2x\right)\longrightarrow0 \quad\text{quand }x\to+\infty.$$ La différence initiale présente la forme $+\infty-(+\infty)$ ; la règle du quotient la transforme en une limite directe.

Exemple - La limite du taux d’accroissement

Lorsque $x\to0$ avec $1+3x>0$, $$\frac{\ln(1+3x)}x =3\frac{\ln(1+3x)}{3x}\longrightarrow3.$$ Le facteur $3$ est indispensable. On ne remplace pas une expression par $0/0$ : cette écriture signale qu’une transformation est nécessaire.

Une démarche pour étudier une fonction

1. Résoudre toutes les conditions de définition, y compris celles des dénominateurs.

2. Calculer les limites aux bornes de chaque intervalle du domaine.

3. Dériver puis étudier le signe de la dérivée sur ce domaine.

4. Construire les variations et préciser valeurs remarquables, tangentes et asymptotes.

La croissance de $\ln$ seule ne suffit pas pour conclure sur un produit ou un quotient, comme $(\ln x)/x$ : il faut dériver la fonction entière.

Équations et inéquations

Un raisonnement en deux temps

Le domaine reste présent jusqu’à la réponse

On détermine d’abord les arguments positifs. Ensuite seulement, on transforme les logarithmes. Les solutions algébriques obtenues sont finalement croisées avec le domaine initial.

Exemple - Une solution algébrique à rejeter

Résolvons $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln3$. Le domaine est $x>1$. Sur ce domaine, la formule du produit puis l’injectivité donnent $$\ln(x^2-1)=\ln3\iff x^2-1=3\iff x=2\text{ ou }x=-2.$$ Seul $2$ appartient au domaine. La solution est donc $\{2\}$. La valeur $-2$ rendrait les deux logarithmes initiaux impossibles.

Exemple - Un quotient et le sens de l’inégalité

Résolvons $\ln(x+2)-\ln(x-1)\le\ln2$. Le domaine est $x>1$. Puis $\ln$ est croissante et $x-1>0$, donc $$\ln\!\left(\frac{x+2}{x-1}\right)\le\ln2 \iff\frac{x+2}{x-1}\le2 \iff x+2\le2x-2\iff x\ge4.$$ Les solutions sont $[4;+\infty[$. On a multiplié par $x-1$ sans changer le sens parce que son signe avait été établi.

Une équation polynomiale en $\ln x$

Quand l’équation contient $(\ln x)^2$ et $\ln x$, on peut poser $t=\ln x$ pour $x>0$. Par exemple, $$(\ln x)^2-3\ln x+2=0\iff(t-1)(t-2)=0.$$ On revient à $x$ : $\ln x=1$ donne $x=e$, et $\ln x=2$ donne $x=e^2$. Les deux solutions sont positives.

Notations à distinguer

$(\ln x)^2$ désigne le carré du nombre $\ln x$. Pour $x>0$, $\ln(x^2)=2\ln x$ : ce n’est pas le même objet. Par exemple en $x=e$, les deux expressions valent respectivement $1$ et $2$.

Utiliser un logarithme pour trouver un exposant

Pour $a>0$ et un entier $n$, $a^n=b>0$ implique $n\ln a=\ln b$. Si $a\ne1$, on peut diviser par $\ln a$. Son signe compte dans une inéquation : pour $0<a<1$, on a $\ln a<0$ et la division inverse le sens. Cette méthode s’applique notamment aux évolutions multiplicatives successives.

Changer de base et compléter les méthodes

Logarithme de base $a$

Pour une base $a>0$ différente de $1$, on définit sur $]0;+\infty[$ $$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}.$$ Le dénominateur est une constante non nulle. On a $\log_a1=0$, $\log_a a=1$ et les règles de produit, quotient et puissance se déduisent de celles de $\ln$. Pour une autre base $b>0$, $b\ne1$, on obtient $\log_a x=\log_b x/\log_b a$.

La base détermine le sens de variation

$$(\log_a x)'=\frac1{x\ln a}.$$ Si $a>1$, la fonction est strictement croissante : son signe est négatif pour $0<x<1$ et positif pour $x>1$. Si $0<a<1$, elle est strictement décroissante et ces signes sont inversés. Dans les deux cas, elle s’annule en $1$.

Pour $0<a<1$, ses limites en $0^+$ et en $+\infty$ sont respectivement $+\infty$ et $-\infty$. Pour $a>1$, elles sont celles de $\ln$. Si $u>0$ est dérivable, $(\log_a u)'=u'/(u\ln a)$.

Exemple - Une base comprise entre $0$ et $1$

Résolvons $\log_{1/2}(2x-1)\ge2$. Le domaine impose $x>1/2$. Puis $\log_{1/2}(1/4)=2$ et cette fonction est décroissante. Ainsi l’inégalité équivaut à $2x-1\le1/4$ sur le domaine initial.

Conclusion

Les solutions sont $]1/2;5/8]$. La borne gauche reste exclue car le logarithme de $0$ n’existe pas.

Comparer le logarithme à une puissance entière

Pour tout entier $n\ge1$, $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0, \qquad\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0.$$ En effet, pour $x\ge1$, on a $0\le\ln x/x^n\le\ln x/x$, et la dernière expression tend vers $0$. Puis le changement $t=1/x$ transforme $x^n\ln x$ en $-\ln t/t^n$, qui tend vers $0$ lorsque $t\to+\infty$. Ces résultats concernent des limites : le logarithme n’est pas nul pour les valeurs finies de $x$.

Un système : additionner puis vérifier

Résolvons dans les réels le système $$\begin{cases}\ln x+\ln y=\ln6,\\ \ln x-\ln y=\ln(3/2).\end{cases}$$ Le domaine est $x>0$, $y>0$. En additionnant les deux équations, $2\ln x=\ln9=2\ln3$, donc $x=3$. La première donne alors $\ln y=\ln6-\ln3=\ln2$, donc $y=2$. Ces nombres sont positifs et vérifient aussi la différence $\ln3-\ln2=\ln(3/2)$.

Conclusion

Le système possède l’unique solution $(x;y)=(3;2)$. Chaque étape réversible et la vérification finale conservent les deux équations.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Domaines et dérivées

Déterminer les domaines puis les dérivées de $$f(x)=\ln(x^2-4),\qquad g(x)=\ln\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right).$$ Solution. Pour $f$, il faut $x^2-4>0$, donc $$D_f=]-\infty;-2[\,\cup\,]2;+\infty[, \qquad f'(x)=\frac{2x}{x^2-4}.$$ Pour $g$, l’étude des signes du numérateur et du dénominateur donne $(x-1)/(x+2)>0$ exactement pour $x<-2$ ou $x>1$. Ainsi $$D_g=]-\infty;-2[\,\cup\,]1;+\infty[.$$ En posant $u=(x-1)/(x+2)$, on a $u'=3/(x+2)^2$ puis $$g'(x)=\frac{u'}u=\frac3{(x+2)(x-1)}.$$ Sur les deux intervalles, le produit du dénominateur est positif ; $g$ y est donc strictement croissante séparément. Il serait incorrect d’écrire $\ln(x-1)-\ln(x+2)$ sur l’intervalle $x<-2$.

Exercice 2 - Équation avec deux logarithmes

Résoudre $\ln x+\ln(x-2)=\ln3$. Solution. Les deux arguments imposent $x>2$. Sur ce domaine, $$\ln[x(x-2)]=\ln3\iff x^2-2x-3=0 \iff(x-3)(x+1)=0.$$ Les candidats sont $3$ et $-1$. Seul $3$ est autorisé. La vérification donne $\ln3+\ln1=\ln3$.

Conclusion

L’ensemble des solutions est $\{3\}$.

Exercice 3 - Inéquation quadratique en $\ln x$

Résoudre $(\ln x)^2-\ln x-2\le0$. Solution. Le domaine est $x>0$. Avec $t=\ln x$, l’inéquation devient $(t-2)(t+1)\le0$, d’où $-1\le t\le2$. Or $\ln(1/e)=-1$ et $\ln(e^2)=2$. Par croissance stricte de $\ln$, $$-1\le\ln x\le2\iff\frac1e\le x\le e^2.$$

Conclusion

Les solutions sont $[1/e;e^2]$, entièrement comprises dans le domaine initial.

Exercice 4 - Quatre limites

Calculer les limites suivantes sur leurs domaines : $$A=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}x,\qquad B=\lim_{x\to+\infty}\bigl[\ln(3x+1)-\ln x\bigr],$$ $$C=\lim_{x\to0^+}x\ln(2x),\qquad D=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^2+1)}x.$$ Solution. Pour $A$, le domaine contient un voisinage épointé de $0$ et $\ln(1+2x)/x=2\ln(1+2x)/(2x)\to2$.

Pour $B$, on regroupe : $\ln(3x+1)-\ln x=\ln(3+1/x)\to\ln3$.

Pour $C$, $x\ln(2x)=x\ln2+x\ln x$ pour $x>0$. Les deux termes tendent vers $0$, donc $C=0$.

Pour $D$, $x^2+1=x^2(1+1/x^2)$ et, pour $x>0$, $$\frac{\ln(x^2+1)}x=2\frac{\ln x}x+ \frac{\ln(1+1/x^2)}x\longrightarrow0+0=0.$$ Le second numérateur tend vers $0$ tandis que $x\to+\infty$. Donc $D=0$.

Exercice 5 - Étude de $f(x)=(\ln x)/x$

Étudier les limites, variations et asymptotes de $f$, puis donner sa tangente en $x=1$. Solution. Le domaine est $]0;+\infty[$. Quand $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$ et $1/x\to+\infty$, donc $f(x)\to-\infty$. Quand $x\to+\infty$, $f(x)\to0$ par la limite de croissance comparée. $$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ Le dénominateur est positif. Le numérateur est positif pour $0<x<e$, nul en $e$ et négatif pour $x>e$. La fonction croît jusqu’à $e$, puis décroît ; son maximum vaut $f(e)=1/e$. Elle est négative sur $]0;1[$, nulle en $1$ et positive au-delà.

Les droites $x=0$ et $y=0$ sont respectivement asymptote verticale en $0^+$ et horizontale en $+\infty$. Enfin, $f(1)=0$ et $f'(1)=1$ : la tangente en $1$ est $y=x-1$.

Exercice 6 - Une quantité qui diminue

Une quantité vaut $Q_n=100(0{,}8)^n$ après $n$ étapes, où $n\in\mathbb{N}$. Trouver le premier rang pour lequel elle vaut au plus $25$. Solution. La condition équivaut à $(0{,}8)^n\le0{,}25$. Le logarithme conserve l’ordre, puis la division par $\ln(0{,}8)<0$ l’inverse : $$n\ln(0{,}8)\le\ln(0{,}25) \iff n\ge\frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}8)}\approx6{,}213.$$ Le premier entier est $7$. Vérification : $Q_6=26{,}2144>25$ et $Q_7=20{,}97152\le25$. L’arrondi final porte sur le rang entier, pas sur l’inégalité avant sa résolution.