La fonction exponentielle - Cours et exercices corrigés | 2e Bac PC et SVT

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Définir l’exponentielle à partir du logarithme, transformer ses expressions, calculer dérivées et limites, résoudre des équations et étudier une fonction composée.

Définition et premières propriétés

La réciproque du logarithme népérien

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$. Ses limites aux deux extrémités sont $-\infty$ et $+\infty$. Pour tout réel $x$, l’équation $\ln y=x$ possède donc une unique solution $y>0$.

Une définition valable pour tout réel

La solution positive de $\ln y=x$ est notée $\exp(x)$ ou $e^x$. Ainsi $$y=e^x\iff y>0\text{ et }\ln y=x.$$ En particulier, $e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\ln(e^x)=x$ pour $x\in\mathbb{R}$, et $e^{\ln y}=y$ seulement pour $y>0$.

Comme $\ln1=0$, on obtient $e^0=1$. Le nombre $e=e^1$ est l’unique réel positif dont le logarithme vaut $1$ ; $e\approx2{,}71828$.

Transformer un produit ou une somme

Pour tous réels $a,b$, les règles suivantes découlent des propriétés de $\ln$ et de son injectivité : $$e^{a+b}=e^ae^b,\qquad e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b},\qquad e^{-a}=\frac1{e^a}.$$ Pour tout entier $n$, $(e^a)^n=e^{na}$. Aucune condition de signe sur $a$ ou $b$ n’est nécessaire : leurs exponentielles sont déjà strictement positives.

Exemple - Simplifier avant de calculer

Pour tout réel $x$, $$\frac{e^{2x+1}e^{3-x}}{e^{x-2}}=e^{(2x+1)+(3-x)-(x-2)}=e^6.$$ La valeur ne dépend pas de $x$. De plus, $e^{2\ln3}=(e^{\ln3})^2=9$.

Ne pas distribuer l’exponentielle sur une somme

$e^{a+b}$ est un produit $e^ae^b$, et non $e^a+e^b$. Par exemple, $e^{0+0}=1$ alors que $e^0+e^0=2$. L’expression $\ln(e^x+1)$ ne se simplifie pas en $x$.

Dérivée, variations et représentation

Dérivée de l’exponentielle

L’exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est elle-même : $$(e^x)'=e^x.$$ En effet, le théorème de dérivation de la réciproque s’applique à $\ln$, dont la dérivée $1/y$ ne s’annule pas pour $y>0$. Ainsi $\exp'(x)=1/(1/\exp(x))=\exp(x)$.

Une croissance stricte sur toute la droite réelle

Puisque $e^x>0$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Pour tous réels $a,b$, $$e^a=e^b\iff a=b,\qquad e^a<e^b\iff a<b.$$ En particulier, $e^x>1\iff x>0$ et $e^x<1\iff x<0$.

La courbe passe par $(0;1)$ et $(1;e)$. Sa tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=x+1$. La courbe est au-dessus de cette tangente : $e^x\ge1+x$, avec égalité uniquement pour $x=0$.

Démonstration de l’inégalité

Posons $h(x)=e^x-1-x$. Alors $h'(x)=e^x-1$ est négative pour $x<0$, nulle en $0$ et positive pour $x>0$. Le minimum global est donc $h(0)=0$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La règle de la chaîne

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et $$(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}.$$ Exemples : $(e^{3x-2})'=3e^{3x-2}$ et $(e^{-x^2})'=-2xe^{-x^2}$. Le facteur $u'(x)$ est indispensable. La dérivée de $xe^x$ est $e^x+xe^x=(x+1)e^x$ par la règle du produit.

Limites et croissances comparées

Limites fondamentales

À connaître et à utiliser avec le bon sens de variation

$$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty,\qquad\lim_{x\to-\infty}e^x=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1.$$ La dernière limite est le nombre dérivé de l’exponentielle en $0$. On ne remplace pas le quotient par $0/0$ : cette écriture indique une forme indéterminée.

La droite $y=0$ est une asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$. La fonction ne prend jamais la valeur $0$.

Exemple - Un changement de variable

Pour $a\ne0$, on pose $t=ax$. Quand $x\to0$, $t\to0$ et $$\frac{e^{ax}-1}{x}=a\frac{e^t-1}{t}\longrightarrow a.$$ Pour $a=0$, l’expression vaut $0$ pour $x\ne0$ et la limite est encore $0$.

L’exponentielle domine les puissances

Pour tout entier naturel $n\ge1$, on admet les limites usuelles $$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0.$$ On en déduit $\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$ en posant $t=-x$. Cette limite est valable même lorsque le produit est négatif avant d’atteindre sa limite.

Exemple - Un dénominateur exponentiel

$$\frac{x^2+3x}{e^{2x}}=\frac14(2x)^2e^{-2x}+\frac32(2x)e^{-2x}\longrightarrow0\quad(x\to+\infty).$$

Composition et formes indéterminées

Si $u(x)\to\ell\in\mathbb{R}$, alors $e^{u(x)}\to e^\ell$ par continuité. Si $u(x)\to+\infty$, alors $e^{u(x)}\to+\infty$ ; si $u(x)\to-\infty$, alors $e^{u(x)}\to0$. Pour une différence telle que $e^{2x}-3e^x$ en $+\infty$, factoriser : $e^x(e^x-3)\to+\infty$. Pour un quotient de sommes d’exponentielles, diviser par le terme dominant. $$\frac{2e^x+1}{e^x+3}=\frac{2+e^{-x}}{1+3e^{-x}}\longrightarrow2\quad(x\to+\infty).$$

Le signe d’une exponentielle composée

La limite de $e^{-x}$ est $0$ en $+\infty$, et $+\infty$ en $-\infty$. Commencer par étudier l’exposant évite d’inverser les deux comportements.

Équations, inéquations et étude de fonction

Trois méthodes de résolution

• Même base : $e^{2x-1}=e^{x+3}$ équivaut à $2x-1=x+3$, donc $x=4$.

• Second membre positif : $e^{2x}=5$ équivaut à $2x=\ln5$, donc $x=\frac12\ln5$. Si le second membre est négatif ou nul, aucune solution réelle n’existe.

• Polynôme en $e^x$ : poser $t=e^x$, résoudre avec $t>0$, puis revenir à $x=\ln t$.

Exemple - Une inéquation quadratique

$e^{2x}-3e^x+2\le0$ équivaut à $(t-1)(t-2)\le0$ avec $t=e^x>0$. On trouve $1\le t\le2$, donc $0\le x\le\ln2$.

Exemple d’étude complète

On étudie $f(x)=(x-1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.

1. Domaine et limites. Le produit est défini sur $\mathbb{R}$. En $-\infty$, $xe^x-e^x\to0$ ; en $+\infty$, $(x-1)e^x\to+\infty$. La droite $y=0$ est asymptote en $-\infty$.

2. Dérivée et variations. $f'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x$. Son signe est celui de $x$. Ainsi $f$ décroît sur $]-\infty;0]$, puis croît sur $[0;+\infty[$. Son minimum est $f(0)=-1$.

3. Intersections. $f(x)=0$ équivaut à $x=1$ ; le point d’intersection avec l’axe vertical est $(0;-1)$.

4. Tangente. En $x=1$, $f(1)=0$ et $f'(1)=e$, donc $T:y=e(x-1)$.

5. Signe. Comme $e^x>0$, $f$ est négative pour $x<1$ et positive pour $x>1$.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

Exponentielle de base positive

Pour $a>0$, on définit $a^x=e^{x\ln a}$. Sa dérivée est $(\ln a)a^x$. Elle croît si $a>1$, décroît si $0<a<1$, et vaut constamment $1$ si $a=1$. Ainsi les propriétés de $e^x$ ne donnent pas une croissance pour toutes les bases positives. Fin du cours

Exercices corrigés

Exercice 1 - Manipuler et justifier

Simplifier $A=\dfrac{e^{3x-2}e^{1-x}}{e^{2x+4}}$, $B=e^{\ln7-\ln2}$ et $C=\ln(e^{2x}+e^{2x})$. Les expressions sont-elles définies pour tout réel $x$ ?

Correction

Les exponentielles sont positives et le dénominateur ne s’annule pas. Le logarithme de $C$ porte sur une somme positive. Ainsi les trois expressions sont définies pour tout $x\in\mathbb{R}$. $$A=e^{3x-2+1-x-2x-4}=e^{-5},\qquad B=e^{\ln(7/2)}=\frac72.$$ On factorise la somme avant de prendre son logarithme : $C=\ln(2e^{2x})=\ln2+2x$. Écrire $C=4x$ serait incorrect.

Exercice 2 - Équations et condition de positivité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : (a) $e^{2x}-3e^x+2=0$ ; (b) $e^{2x}+e^x-2=0$ ; (c) $e^{x^2-1}=e^{2x-1}$.

Correction

(a) Avec $t=e^x>0$, $(t-1)(t-2)=0$. Les deux racines sont positives : $S=\{0;\ln2\}$. (b) $t^2+t-2=(t-1)(t+2)$. La racine $t=-2$ est rejetée ; $t=1$ donne $S=\{0\}$. (c) L’exponentielle est injective, donc $x^2-1=2x-1$, soit $x(x-2)=0$. Ainsi $S=\{0;2\}$. On peut vérifier chaque solution dans l’équation initiale.

Exercice 3 - Limites sans règle de l’Hôpital

Calculer les limites suivantes : $$\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x},\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{2x}-e^x}{2e^{2x}+1},\qquad \lim_{x\to-\infty}(x^2-2x)e^x.$$

Correction

Pour la première, poser $t=3x$ : le quotient est $3(e^t-1)/t$, donc la limite vaut $3$. Pour la deuxième, diviser numérateur et dénominateur par $e^{2x}>0$ : $$\frac{3-e^{-x}}{2+e^{-2x}}\longrightarrow\frac32.$$ Pour la troisième, poser $t=-x\to+\infty$. L’expression devient $(t^2+2t)e^{-t}$, somme de deux termes de limites nulles. La limite est donc $0$.

Exercices corrigés - suite

Exercice 4 - Une inéquation avec logarithme

Résoudre $e^{2x}-5e^x+6\ge0$, puis résoudre $e^{\ln(x-1)}\le3$.

Correction

Pour la première, $t=e^x>0$ donne $(t-2)(t-3)\ge0$, soit $0<t\le2$ ou $t\ge3$. La croissance de $\ln$ donne $$S=]-\infty;\ln2]\cup[\ln3;+\infty[.$$ Pour la seconde, le domaine est $x>1$. Sur ce domaine seulement, $e^{\ln(x-1)}=x-1$. Il reste $x-1\le3$, donc $S=]1;4]$. La valeur $x=1$ n’est pas admise.

Exercice 5 - Étudier une fonction et sa tangente

On pose $g(x)=(x+2)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer ses limites, sa dérivée, ses variations, son signe et sa tangente au point d’abscisse $0$.

Correction

En $+\infty$, $xe^{-x}+2e^{-x}\to0$. En $-\infty$, $x+2\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$, donc $g(x)\to-\infty$. $$g'(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}=-(x+1)e^{-x}.$$ Comme $e^{-x}>0$, $g'$ est positive pour $x<-1$, nulle en $-1$, négative pour $x>-1$. $g$ croît jusqu’à son maximum $g(-1)=e$, puis décroît vers $0$. Son signe est celui de $x+2$ : négatif avant $-2$, nul en $-2$, positif après. Enfin $g(0)=2$ et $g'(0)=-1$ donnent la tangente $y=2-x$. Le maximum positif et la limite nulle en $+\infty$ sont cohérents avec le signe final de $g$.

Exercice 6 - Décroissance et demi-vie dans un modèle

Une quantité est modélisée pour $t\ge0$ par $Q(t)=80e^{-0{,}2t}$, où $t$ est mesuré en heures. Déterminer la quantité initiale, le sens de variation, le temps où elle atteint $40$, puis le premier instant où elle est inférieure ou égale à $10$.

Correction

$Q(0)=80$. La dérivée $Q'(t)=-16e^{-0{,}2t}<0$ montre une décroissance stricte. $Q(t)=40$ équivaut à $e^{-0{,}2t}=1/2$, puis $-0{,}2t=-\ln2$, donc $t=5\ln2\approx3{,}47$ heures. De même $Q(t)\le10$ équivaut à $e^{-0{,}2t}\le1/8$. En prenant le logarithme, $-0{,}2t\le-\ln8$. La division par le nombre négatif $-0{,}2$ inverse le sens : $$t\ge5\ln8=15\ln2\approx10{,}40\text{ heures}.$$ Le premier instant recherché est donc $15\ln2$ heures. Ces conclusions décrivent le modèle donné, sans en prouver la validité physique.