Géométrie métrique dans l'espace - Cours et exercices corrigés | 1re Bac sciences mathématiques

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles, des distances et des projections ; étudier les sphères et leurs intersections ; utiliser le produit vectoriel pour construire une normale et calculer une aire. Les coordonnées de points, de vecteurs, de droites et de plans sont supposées connues.

Norme, produit scalaire et orthogonalité

Pour deux vecteurs non nuls $\vec u,\vec v$, le produit scalaire est le réel $$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta,$$ où $\theta\in[0;\pi]$ est leur angle non orienté. Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut $0$. Une base orthonormée possède trois vecteurs unitaires orthogonaux deux à deux.

Coordonnées dans une base orthonormée

Pour $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ et $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$, $$\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,\qquad \|\vec u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.$$ Pour $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$, $AB=\|\overrightarrow{AB}\|$.

Propriétés de calcul

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : $$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u,\qquad (a\vec u+b\vec v)\cdot\vec w=a(\vec u\cdot\vec w)+b(\vec v\cdot\vec w).$$ On a $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\ge0$, avec égalité seulement si $\vec u=\vec0$. En particulier, $$\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2.$$

Orthogonalité et angle

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Pour des vecteurs non nuls, $$\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}.$$ Un produit scalaire positif, nul ou négatif donne respectivement $\theta<\pi/2$, $\theta=\pi/2$ ou $\theta>\pi/2$, y compris $0$ et $\pi$. L’angle n’est pas défini si un vecteur est nul.

Exemple - Trois coordonnées, une seule somme

Pour $\vec u=(1,2,2)$ et $\vec v=(2,-1,0)$, $\vec u\cdot\vec v=2-2=0$. Les vecteurs sont orthogonaux et leurs normes sont $3$ et $\sqrt5$. Un triangle de côtés issus du même sommet selon ces vecteurs est rectangle ; son troisième côté a pour longueur $\sqrt{9+5}=\sqrt{14}$.

Normale à un plan, projection et distance

Un plan défini par une condition scalaire

Soit $\vec n\ne\vec0$. L’ensemble des points $M$ tels que $\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=k$ est un plan de vecteur normal $\vec n$. Si $\vec n=(a,b,c)$, son équation est $$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=k.$$ Une équation $ax+by+cz+d=0$, avec $(a,b,c)\ne(0,0,0)$, possède donc pour normale $\vec n=(a,b,c)$. Pour $k=0$, le plan passe par $A$. Si $\vec n=\vec0$, la condition est soit toujours vraie ($k=0$), soit impossible ; elle ne définit pas un plan.

Projeter un point sur un plan

Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $P$ appartient à $P$ et vérifie $\overrightarrow{AH}$ colinéaire à $\vec n$. Posons $q=ax_A+by_A+cz_A+d$. Alors $$\boxed{H=A-\frac{q}{a^2+b^2+c^2}\vec n},\qquad \boxed{d(A,P)=\frac{|q|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}.$$ Justification. Écrire $H=A+t\vec n$ et remplacer dans l’équation du plan donne $q+t\|\vec n\|^2=0$, donc $t=-q/\|\vec n\|^2$. Puis $AH=|t|\|\vec n\|$. Si $A\in P$, on obtient simplement $H=A$ et une distance nulle.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Exemple - Une normale qui donne aussi la perpendiculaire

Pour $P:x+2y+2z-9=0$ et $A=O$, on a $\vec n=(1,2,2)$, $\|\vec n\|^2=9$ et $q=-9$. Donc $H=(1,2,2)$ et $d(O,P)=3$. La droite perpendiculaire à $P$ passant par $O$ a pour représentation $(x,y,z)=t(1,2,2)$.

Traduire le parallélisme et la perpendicularité

Une droite de direction $\vec u\ne\vec0$ a une direction parallèle au plan si $\vec u\cdot\vec n=0$ ; elle peut être incluse dans le plan ou strictement parallèle. Elle est perpendiculaire au plan si $\vec u$ est colinéaire à $\vec n$. Deux plans sont perpendiculaires si leurs normales sont orthogonales, et parallèles si leurs normales sont colinéaires.

Le repère doit être orthonormé

Ces formules exigent un repère orthonormé. Pour le produit vectoriel, on demandera de plus un repère direct.

Sphères : équation, paramètres et lieu de points

Centre et rayon

La sphère de centre $\Omega(\alpha,\beta,\gamma)$ et de rayon $R>0$ est l’ensemble des points à distance $R$ de $\Omega$ : $$\boxed{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2=R^2}.$$ Une équation de la forme $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ s’écrit $$\left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2+ \left(z+\frac c2\right)^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{4}-d.$$ Le centre candidat est $(-a/2,-b/2,-c/2)$. Si le second membre est strictement positif, on obtient une sphère ; s’il est nul, un point ; s’il est négatif, l’ensemble vide.

Un paramétrage de toute la sphère

Avec $\theta\in[0;\pi]$ et $\varphi\in[0;2\pi[$, $$\begin{cases} x=\alpha+R\sin\theta\cos\varphi,\\ y=\beta+R\sin\theta\sin\varphi,\\ z=\gamma+R\cos\theta. \end{cases}$$ La somme des trois carrés vaut $R^2$. Réciproquement, pour tout point de la sphère, sa hauteur fixe un angle $\theta$ ; hors des deux pôles, sa direction dans le plan horizontal fixe $\varphi$. Aux pôles, toutes les valeurs de $\varphi$ donnent le même point : le paramétrage couvre la sphère sans être injectif.

Une sphère de diamètre donné

Soient $A\ne B$ et $I$ leur milieu. Cherchons les points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$. Comme $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$, $$\begin{align*} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} &=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot (\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})\\ &=MI^2-IA^2=MI^2-\frac{AB^2}{4}. \end{align*}$$ Le lieu est donc la sphère de centre $I$ et de rayon $AB/2$, dite sphère de diamètre $[AB]$. Les points $A$ et $B$ satisfont l’égalité grâce au vecteur nul. Pour un point distinct de ces extrémités, l’angle $AMB$ est droit.

Exemple - Compléter les carrés

L’équation $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$ devient $$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9.$$ Il s’agit de la sphère de centre $(1,-2,3)$ et de rayon $3$. Les trois termes constants ajoutés sont $1$, $4$ et $9$ : leur somme doit être reportée dans le second membre.

Intersection avec un plan ou une droite

Un plan coupe une sphère selon un cercle

Soit une sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$, un plan $P$, et $H$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $P$. Notons $d=\Omega H$. Pour $M\in P$, Pythagore donne $$\Omega M^2=d^2+HM^2.$$ On distingue donc trois cas : $d>R$ donne une intersection vide ; $d=R$ donne le seul point $H$ ; $d<R$ donne le cercle de centre $H$, situé dans $P$, et de rayon $$r=\sqrt{R^2-d^2}.$$

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le plan tangent en un point connu

Si $T$ appartient à la sphère, le plan tangent en $T$ a pour normale $\overrightarrow{\Omega T}$ et pour équation $$\boxed{\overrightarrow{\Omega T}\cdot\overrightarrow{TM}=0}.$$ La distance du centre à ce plan vaut $R$ et son intersection avec la sphère se réduit à $T$. Vérifier d’abord que $T$ appartient à la sphère évite d’écrire un faux plan tangent.

Exemple - Deux plans parallèles

Pour $x^2+y^2+z^2=9$, le plan $z=1$ coupe la sphère suivant le cercle de centre $(0,0,1)$ et de rayon $\sqrt8=2\sqrt2$. Le plan $z=3$ est tangent au point $(0,0,3)$ ; le plan $z=4$ ne rencontre pas la sphère.

Une droite donne une équation du second degré

Pour $D:M=A+t\vec u$, $\vec u\ne\vec0$, on remplace dans $\|\overrightarrow{\Omega M}\|^2=R^2$ : $$\|\vec u\|^2t^2+2\vec u\cdot\overrightarrow{\Omega A}\,t+ \|\overrightarrow{\Omega A}\|^2-R^2=0.$$ Deux racines réelles distinctes donnent deux intersections, une racine double donne une tangence et aucune racine réelle donne une intersection vide. On revient toujours aux coordonnées des points. Par exemple, sur $x^2+y^2+z^2=9$, la droite $(t,0,1)$ donne $t^2+1=9$, donc les points $(\pm2\sqrt2,0,1)$.

Produit vectoriel dans un espace orienté

Choisir un sens : la règle de la main droite

On travaille dans un repère orthonormé direct. Pour deux vecteurs non colinéaires $\vec u,\vec v$, le produit vectoriel $\vec u\times\vec v$ est perpendiculaire aux deux vecteurs. Son sens est donné par la main droite : de $\vec u$ vers $\vec v$, les doigts suivent le petit angle et le pouce indique la normale choisie. Sa norme est $$\|\vec u\times\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta.$$ Si les vecteurs sont colinéaires, le produit vectoriel est nul. Sa norme est l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs ; l’aire du triangle correspondant en est la moitié.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Calculer les trois coordonnées

La formule dépend de l’orientation directe

$$\boxed{\vec u\times\vec v= (u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1)}.$$ Dans la base directe $(\vec i,\vec j,\vec k)$, $\vec i\times\vec j=\vec k$, $\vec j\times\vec k=\vec i$ et $\vec k\times\vec i=\vec j$.

Propriétés et contrôles

Le produit vectoriel est bilinéaire et antisymétrique : $\vec v\times\vec u=-\vec u\times\vec v$. Il est nul exactement lorsque les deux vecteurs sont colinéaires. Un résultat non nul doit avoir un produit scalaire nul avec chacun des deux vecteurs de départ.

Exemple - Vérifier une normale calculée

Pour $\vec u=(1,1,0)$ et $\vec v=(0,1,1)$, $$\vec u\times\vec v=(1,-1,1).$$ Les contrôles donnent $(1,-1,1)\cdot(1,1,0)=0$ et $(1,-1,1)\cdot(0,1,1)=0$. L’aire du parallélogramme vaut $\sqrt3$ et celle du triangle vaut $\sqrt3/2$.

Deux produits, deux natures de résultat

Le produit scalaire est un nombre ; le produit vectoriel est un vecteur. Inverser l’ordre ne change pas le premier, mais change le signe du second. Le produit vectoriel n’est pas associatif : ne pas déplacer des parenthèses comme dans un produit de nombres.

Aires, normales et distance à une droite

Un plan passant par trois points

Si $A,B,C$ ne sont pas alignés, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Leur produit vectoriel $$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\ne\vec0$$ est une normale au plan $(ABC)$, dont une équation est $\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0$. L’aire du triangle est $$\boxed{\mathcal A(ABC)=\frac12\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|}.$$ Si le produit vectoriel est nul, les trois points sont alignés et ne définissent pas un plan unique. On ne peut pas utiliser le vecteur nul comme normale.

Exemple - Un plan et une aire avec le même calcul

Pour $A=(0,0,0)$, $B=(1,1,0)$, $C=(0,1,1)$, le calcul précédent donne la normale $(1,-1,1)$. Le plan est $x-y+z=0$ et l’aire du triangle est $\sqrt3/2$.

Distance d’un point à une droite

Soit $D$ passant par $A$ et dirigée par $\vec u\ne\vec0$. La distance de $M$ à $D$ est la longueur $MH$ de sa projection orthogonale. L’aire du parallélogramme de côtés $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ vaut à la fois $\|\overrightarrow{AM}\times\vec u\|$ et $\|\vec u\|MH$. Donc $$\boxed{d(M,D)=\frac{\|\overrightarrow{AM}\times\vec u\|}{\|\vec u\|}}.$$ Si l’on veut aussi les coordonnées du projeté, on écrit $H=A+t\vec u$. La condition $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ donne $$t=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}.$$ Ces deux calculs sont complémentaires : le produit vectoriel donne directement la distance, le produit scalaire donne le projeté.

Un usage physique : le moment d’une force

Une force $\vec F$ appliquée au point $A$ possède, par rapport à $O$, un moment $\overrightarrow{OA}\times\vec F$. Sa norme associe l’intensité de la force à la distance de sa ligne d’action à $O$. Par exemple, pour $\overrightarrow{OA}=(0{,}2,0,0)$ m et $\vec F=(0,10,0)$ N, le moment est $(0,0,2)$ N m. La main droite indique son sens.

Choisir un outil selon l’objet demandé

Pour un angle ou une orthogonalité : produit scalaire. Pour une normale à deux directions ou une aire : produit vectoriel. Pour une distance à un plan : projection selon la normale. Pour une intersection avec une sphère : substitution et contrôle des solutions.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Un triangle rectangle dans l’espace

Soient $A(1,0,1)$, $B(3,1,1)$ et $C(0,2,1)$. Déterminer les longueurs, montrer que le triangle est rectangle et calculer son aire. Solution. $\overrightarrow{AB}=(2,1,0)$ et $\overrightarrow{AC}=(-1,2,0)$ ont pour produit scalaire $-2+2=0$. Le triangle est rectangle en $A$. On obtient $AB=AC=\sqrt5$ et $BC=\|(-3,1,0)\|=\sqrt{10}$. Son aire est $AB\times AC/2=5/2$. Le résultat vérifie $BC^2=AB^2+AC^2$.

Exercice 2 - Déterminer un angle

Pour $\vec u=(1,1,0)$ et $\vec v=(1,0,1)$, calculer leur angle. Solution. Les deux vecteurs sont non nuls, de normes $\sqrt2$. Leur produit scalaire vaut $1$. Donc $\cos\theta=1/(\sqrt2\sqrt2)=1/2$. Comme $\theta\in[0;\pi]$, l’angle est $\theta=\pi/3$, soit $60^\circ$. Le produit scalaire positif confirme un angle aigu.

Exercice 3 - Un lieu scalaire et une projection

Avec $A(1,0,2)$ et $\vec u=(2,-1,1)$, déterminer le lieu $\vec u\cdot\overrightarrow{AM}=3$. Puis calculer la projection de $O$ sur $P:x+2y+2z-9=0$ et sa distance à $P$. Solution. La première condition s’écrit $2(x-1)-y+(z-2)=3$, soit le plan $2x-y+z-7=0$ de normale non nulle $\vec u$.

Pour la projection sur $P$, la perpendiculaire issue de $O$ a la forme $H=(t,2t,2t)$. La condition $H\in P$ donne $t+4t+4t-9=0$, donc $t=1$. Ainsi $H=(1,2,2)$ et $OH=\sqrt{1+4+4}=3$. Cela retrouve la formule de distance $9/\sqrt9=3$.

Exercice 4 - Sphère et plan tangent

Étudier $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$, vérifier que $T(4,-2,3)$ appartient au lieu et trouver le plan tangent en $T$. Solution. Après complétion des carrés, le lieu est la sphère de centre $\Omega(1,-2,3)$ et de rayon $3$. On a $\overrightarrow{\Omega T}=(3,0,0)$, de norme $3$, donc $T$ appartient à la sphère. Le plan tangent a pour équation $3(x-4)=0$, soit $x=4$. La distance du centre à ce plan vaut bien $|1-4|=3$.

Exercice 5 - Une section et trois droites

Soit $S:x^2+y^2+z^2=25$. Déterminer sa section par $z=3$, puis les intersections avec les droites $D_1:(t,0,3)$, $D_2:(t,4,3)$ et $D_3:(t,5,3)$. Solution. Le centre de $S$ est $O$ et son rayon $5$. La projection sur $z=3$ est $H(0,0,3)$, à distance $3$. La section est donc le cercle $x^2+y^2=16$, $z=3$, de rayon $4$. Un paramétrage est $(4\cos\theta,4\sin\theta,3)$.

Pour $D_1$, on obtient $t^2+9=25$, soit $t=\pm4$ : deux points $(4,0,3)$ et $(-4,0,3)$. Pour $D_2$, $t^2+16+9=25$ donne $t=0$ : la droite est tangente en $(0,4,3)$. Pour $D_3$, $t^2+25+9=25$ demanderait $t^2=-9$, impossible dans $\mathbb{R}$ : aucune intersection.

Exercice 6 - Produit vectoriel, plan et aire

Soient $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$ et $C(0,0,1)$. Déterminer une équation du plan $(ABC)$ et l’aire du triangle. Solution. $\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$. Leur produit vectoriel vaut $(1,1,1)$, qui n’est pas nul. Les points ne sont donc pas alignés. Une équation est $$(1,1,1)\cdot(x-1,y,z)=0\iff x+y+z-1=0.$$ Les trois points vérifient cette équation. L’aire vaut $\frac12\sqrt{1+1+1}=\sqrt3/2$. Inverser l’ordre des vecteurs donnerait la normale opposée et le même plan, ainsi que la même aire.

Exercice 7 - Distance à une droite par deux méthodes

La droite $D$ passe par $A(1,0,0)$ et a pour direction $\vec u=(1,1,0)$. Calculer la distance de $M(0,0,2)$ à $D$ et les coordonnées du projeté. Solution. $\overrightarrow{AM}=(-1,0,2)$ et $$\overrightarrow{AM}\times\vec u=(-2,2,-1),\qquad d(M,D)=\frac{\sqrt{4+4+1}}{\sqrt2}=\frac3{\sqrt2}.$$ Pour le projeté, $t=(\overrightarrow{AM}\cdot\vec u)/\|\vec u\|^2=-1/2$. Ainsi $H=A-\vec u/2=(1/2,-1/2,0)$. On vérifie $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=1/2-1/2=0$ et $MH^2=1/4+1/4+4=9/2$, d’où la même distance.

Exercice 8 - Une sphère de diamètre donné

Soient $A(-2,0,0)$ et $B(2,0,0)$. Déterminer le lieu des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$. Les extrémités appartiennent-elles au lieu ? Solution. Le milieu est $O$ et $AB/2=2$. L’identité du cours donne $OM^2-4=0$. Le lieu est donc la sphère $$x^2+y^2+z^2=4.$$ En $M=A$ ou $M=B$, l’un des vecteurs est nul, donc le produit scalaire est bien nul : les deux extrémités appartiennent au lieu. L’interprétation « angle $AMB$ droit » ne s’applique qu’aux autres points, car un angle comportant un vecteur nul n’est pas défini.

Exercice 9 - Produire un point par paramétrage

Paramétrer la sphère de centre $\Omega(1,-1,2)$ et de rayon $2$. Déterminer le point correspondant à $\theta=\pi/3$, $\varphi=\pi/6$. Solution. Un paramétrage complet est $$\begin{cases}x=1+2\sin\theta\cos\varphi,\\ y=-1+2\sin\theta\sin\varphi,\\z=2+2\cos\theta, \end{cases}\quad \theta\in[0;\pi],\quad\varphi\in[0;2\pi[.$$ Pour les angles donnés, on obtient $M=(5/2,-1+\sqrt3/2,3)$. Le contrôle métrique donne $$\Omega M^2=(3/2)^2+(\sqrt3/2)^2+1^2=9/4+3/4+1=4.$$ Le point est bien sur la sphère. Pour $\theta=0$, toutes les valeurs de $\varphi$ produisent le pôle $(1,-1,4)$.

Exercice 10 - Un lieu vide, un point ou une sphère

Selon le réel $k$, étudier le lieu $x^2+y^2+z^2-4x+2y+6z+k=0$. Solution. En complétant les trois carrés, $$(x-2)^2+(y+1)^2+(z+3)^2=14-k.$$ Si $k<14$, c’est la sphère de centre $(2,-1,-3)$ et de rayon $\sqrt{14-k}$. Si $k=14$, la somme de carrés est nulle seulement au centre : le lieu est ce point unique. Si $k>14$, le second membre est négatif alors que le premier est positif ou nul : le lieu est vide.

Un résultat géométrique se contrôle

Un point annoncé sur une sphère doit vérifier son équation ; une normale doit être orthogonale aux directions du plan ; une distance doit être positive ou nulle. Ces contrôles simples complètent la démonstration et détectent les erreurs de signe.