Géométrie analytique de l'espace - Cours et exercices corrigés | 1re Bac Sciences expérimentales et SM

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

Ouvrir et télécharger le cours en PDF

Sur téléphone, utilisez le bouton ci-dessus pour agrandir le document. La lecture est accessible sans inscription.

---

Objectifs. Utiliser trois coordonnées pour étudier vecteurs, droites et plans ; passer entre descriptions paramétriques et cartésiennes ; distinguer intersections, parallélisme et non-coplanarité. Le contenu affine est commun aux deux filières. Les distances, sphères et produits scalaire ou vectoriel dans l’espace relèvent de chapitres distincts.

Se repérer avec trois directions

Base et repère

Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires $(\vec i,\vec j,\vec k)$. Un repère est formé d’une origine $O$ et d’une telle base. Pour chaque point $M$, il existe un unique triplet $(x;y;z)$ tel que $$\boxed{\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k.}$$ Les nombres $x,y,z$ sont ses coordonnées. De même, tout vecteur $\vec u$ s’écrit de façon unique $x\vec i+y\vec j+z\vec k$ ; il a alors les coordonnées $(x;y;z)$ dans la base.

Quatre points $O,I,J,K$ non coplanaires définissent le repère $(O;\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ},\overrightarrow{OK})$. Les axes n’ont pas besoin d’être perpendiculaires pour les méthodes de ce cours.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le point $H$ défini par $\overrightarrow{OH}=x\vec i+y\vec j$ est la projection de $M$ sur le plan des deux premiers axes parallèlement à $\vec k$. Cette projection n’est pas forcément orthogonale.

Plans de coordonnées

Le plan $(O;\vec i,\vec j)$ a pour équation $z=0$ ; les deux autres ont pour équations $x=0$ et $y=0$. L’axe dirigé par $\vec i$ est donné par deux conditions $y=z=0$. Dans l’espace, $x=0$ seul désigne un plan, pas une droite.

Calcul vectoriel et déterminant

Opérations sur les coordonnées

Si $\vec u=(x;y;z)$, $\vec v=(x';y';z')$ et $t\in\mathbb{R}$, alors $$\vec u+\vec v=(x+x';y+y';z+z'),\qquad t\vec u=(tx;ty;tz).$$ Pour $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$, $$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).$$ Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées correspondantes. Ces formules viennent de la relation de Chasles et de l’unicité de la décomposition dans une base.

Tester une colinéarité

Si $\vec u\ne\vec0$, chercher un même réel $t$ tel que $\vec v=t\vec u$ dans les trois coordonnées. Éviter de diviser par une coordonnée nulle.

Par exemple, $(2;-1;3)$ et $(-4;2;-6)$ sont colinéaires, de rapport $-2$. En revanche, $(2;-1;3)$ et $(4;-2;7)$ ne le sont pas : les deux premières coordonnées imposent $t=2$, incompatible avec la troisième.

Déterminant de trois vecteurs

Formule et interprétation

Pour $\vec u=(u_1;u_2;u_3)$, $\vec v=(v_1;v_2;v_3)$, $\vec w=(w_1;w_2;w_3)$, on pose $$\det(\vec u,\vec v,\vec w)= \begin{vmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{vmatrix}.$$ Son développement suivant la première ligne est $$u_1(v_2w_3-v_3w_2)-v_1(u_2w_3-u_3w_2)+w_1(u_2v_3-u_3v_2).$$ Les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si ce déterminant est nul. S’il est non nul, ils constituent une base.

Exemple - Un paramètre de coplanarité

Pour $\vec u=(1;0;1)$, $\vec v=(0;1;1)$ et $\vec w=(1;1;t)$, le déterminant vaut $t-1-1=t-2$. Les vecteurs sont coplanaires exactement pour $t=2$ ; on vérifie alors $\vec w=\vec u+\vec v$.

Quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires si et seulement si $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=0$. Pour utiliser la notation de plan $(ABC)$, il faut en plus que $A,B,C$ ne soient pas alignés.

Représenter une droite

Un point et un vecteur directeur

La droite passant par $A(x_0;y_0;z_0)$ et dirigée par $\vec u=(a;b;c)\ne\vec0$ est l’ensemble $$\boxed{\begin{cases}x=x_0+at,\\y=y_0+bt,\\z=z_0+ct,\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.}$$ Les trois coordonnées utilisent le même paramètre. Un coefficient directeur de type $y=mx+p$ ne suffit pas à décrire une droite générale de l’espace.

Exemple - Appartenance

Soit $D$ passant par $A(1;2;-1)$ et dirigée par $(2;-1;3)$ : $$x=1+2t,\qquad y=2-t,\qquad z=-1+3t.$$ Pour $B(5;0;5)$, $x=5$ impose $t=2$, qui donne bien $y=0$ et $z=5$. Donc $B\in D$. Pour $Q(3;1;3)$, les deux premières coordonnées imposent $t=1$, mais la troisième donne $z=2\ne3$ : $Q\notin D$.

La droite comme intersection de deux plans

Éliminer le paramètre de l’exemple précédent donne $$\boxed{D:\begin{cases}x+2y-5=0,\\3x-2z-5=0.\end{cases}}$$ Ces deux équations sont indépendantes et décrivent deux plans sécants. Réciproquement, si elles sont vérifiées, poser $t=(x-1)/2$ donne $y=2-t$ et $z=-1+3t$. L’équivalence est donc complète.

Une équation linéaire seule définit un plan ; deux équations définissent une droite seulement si les plans sont sécants. Deux équations proportionnelles donnent le même plan ; deux plans strictement parallèles n’ont aucun point commun.

Changer de représentation sans changer de droite

On peut remplacer le vecteur directeur par un multiple non nul et le point de départ par n’importe quel point de la droite. Les paramètres changent, pas l’ensemble décrit.

Exemple - Même droite, autre paramètre

En prenant $B(5;0;5)$ et le directeur $(-2;1;-3)$, on obtient $x=5-2s$, $y=s$, $z=5-3s$. Ces équations redonnent celles de $D$ en posant $t=2-s$.

Ne pas imposer le même paramètre à deux droites

Pour chercher une intersection, utiliser un paramètre $t$ sur la première droite et un paramètre $s$ sur la seconde. Les valeurs qui repèrent leur point commun n’ont aucune raison d’être égales.

Représenter un plan

Un point et deux directions non colinéaires

Le plan passant par $A(x_0;y_0;z_0)$ et dirigé par $\vec u=(a;b;c)$ et $\vec v=(a';b';c')$ non colinéaires admet la représentation $$\boxed{\begin{cases} x=x_0+as+a't,\\y=y_0+bs+b't,\\z=z_0+cs+c't, \end{cases}\qquad(s,t)\in\mathbb{R}^2.}$$ Les deux paramètres varient indépendamment : un seul paramètre décrit en général une droite.

Exemple - Éliminer les deux paramètres

Avec $A(1;0;2)$, $\vec u=(1;1;0)$ et $\vec v=(0;1;1)$, $$x=1+s,\qquad y=s+t,\qquad z=2+t.$$ On a $s=x-1$, $t=z-2$, d’où $y=x+z-3$, ou $x-y+z-3=0$. Réciproquement, tout point vérifiant cette équation est obtenu avec ces valeurs de $s,t$.

Équation cartésienne

Une équation linéaire à trois inconnues

Toute équation $$ax+by+cz+d=0,\qquad(a;b;c)\ne(0;0;0),$$ définit un plan. Ses vecteurs de direction $(p;q;r)$ vérifient $ap+bq+cr=0$. Multiplier toute l’équation par un réel non nul ne change pas le plan.

Au moins un coefficient est non nul : on exprime la coordonnée correspondante en fonction des deux autres, qui servent de paramètres. Si $a=b=c=0$, l’équation décrit tout l’espace pour $d=0$, et l’ensemble vide sinon.

Un plan passant par trois points

Si $A,B,C$ sont non alignés, $M\in(ABC)$ équivaut à $$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM})=0.$$ Une autre méthode consiste à chercher $a,b,c,d$ à partir de l’appartenance des trois points, puis à choisir une normalisation non nulle.

Exemple - Trois intersections avec les axes

Le plan passant par $A(2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;6)$ a pour équation $3x+2y+z=6$. Les trois points la vérifient et sont non alignés. Une représentation paramétrique est $x=2s$, $y=3t$, $z=6-6s-6t$.

Comparer droites et plans

Une droite et un plan

Substituer $x=x_0+pt$, $y=y_0+qt$, $z=z_0+rt$ dans $ax+by+cz+d=0$ conduit à $$(ap+bq+cr)t+(ax_0+by_0+cz_0+d)=0.$$

Trois cas

Posons $L=ap+bq+cr$ et $K=ax_0+by_0+cz_0+d$.

• Si $L\ne0$, il existe une unique intersection, de paramètre $t=-K/L$.

• Si $L=0$ et $K=0$, tous les points de la droite sont dans le plan.

• Si $L=0$ et $K\ne0$, la droite est strictement parallèle au plan.

Exemple - Une intersection unique

Pour $D:(x;y;z)=(1+t;2-t;t)$ et $P:x+y+z=4$, la substitution donne $3+t=4$, donc $t=1$ et le point commun est $(2;1;1)$. Vérifier les coordonnées dans les deux objets termine le calcul.

Exemple - Contenue ou strictement parallèle

La droite $(x;y;z)=(t;1-t;2)$ vérifie $x+y+z=3$ pour tout $t$ : elle est contenue dans $x+y+z=3$. Elle n’a aucun point dans $x+y+z=4$, qui est donc un plan strictement parallèle à cette droite.

Deux plans

Pour $P:ax+by+cz+d=0$ et $Q:a'x+b'y+c'z+d'=0$, comparer les triplets de coefficients de $x,y,z$.

S’ils sont proportionnels, $P,Q$ ont la même direction. Une proportion identique pour les constantes donne des plans confondus ; sinon, ils sont strictement parallèles. Si les triplets ne sont pas proportionnels, les plans sont sécants suivant une droite, obtenue en résolvant leurs deux équations avec une variable libre.

Exemple - Paramétrer la droite d’intersection

Pour $P:x+y+z=1$ et $Q:x-y=0$, poser $x=y=t$ donne $z=1-2t$. L’intersection est la droite $$(x;y;z)=(0;0;1)+t(1;1;-2),\qquad t\in\mathbb{R}.$$ Les deux équations sont satisfaites pour tout $t$ ; réciproquement, tout point commun a cette forme.

Deux droites dans l’espace

Soient $D:A+t\vec u$ et $E:B+s\vec v$, avec $\vec u,\vec v\ne\vec0$.

Directions colinéaires

Si les directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles. Elles sont confondues lorsque $\overrightarrow{AB}$ est lui aussi colinéaire à $\vec u$ ; sinon elles sont strictement parallèles.

Par exemple, $D:(t;2t;1)$ et $E:(1+3s;2+6s;1)$ décrivent la même droite : $t=1+3s$ réalise le changement de paramètre. En revanche, remplacer la troisième coordonnée de $E$ par $2$ donne une droite strictement parallèle.

Directions non colinéaires

Résoudre $A+t\vec u=B+s\vec v$, soit un système de trois équations à deux inconnues. S’il a une solution, les droites se coupent en un point unique ; sinon, elles sont non coplanaires.

Exemple - Ne pas s’arrêter aux deux premières équations

Considérons $D:(x;y;z)=(t;0;0)$ et $E:(x;y;z)=(0;1;s)$. L’égalité des ordonnées exigerait $0=1$, impossible. Les directeurs $(1;0;0)$ et $(0;0;1)$ ne sont pas colinéaires. Les droites sont non coplanaires.

Le fait que les projections de deux droites se coupent dans un dessin ne prouve pas une intersection dans l’espace : il faut satisfaire les trois coordonnées.

Un test de coplanarité

Si $\vec u,\vec v$ sont non colinéaires, les droites $D,E$ sont coplanaires si et seulement si $$\boxed{\det(\vec u,\vec v,\overrightarrow{AB})=0.}$$ En effet, ce déterminant s’annule exactement lorsque $\overrightarrow{AB}$ appartient au plan vectoriel dirigé par $\vec u,\vec v$. Dans ce cas, les deux droites sont dans le même plan et, comme elles ne sont pas parallèles, elles sont sécantes.

Exemple - Vérifier un cas de non-coplanarité

Dans l’exemple précédent, $A=(0;0;0)$ et $B=(0;1;0)$. Le déterminant des colonnes $(1;0;0)$, $(0;0;1)$ et $(0;1;0)$ vaut $-1$, non nul : on retrouve la non-coplanarité.

Le déterminant ne donne pas les coordonnées

Le test renseigne sur l’existence d’un plan commun. Pour calculer le point d’intersection de deux droites sécantes, résoudre encore le système de leurs paramètres.

Exercices corrigés - Coordonnées et représentations

Exercice 1 - Vecteur et milieu

Pour $A(1;-2;3)$ et $B(5;0;-1)$, calculer $\overrightarrow{AB}$, le milieu $I$ de $[AB]$ et le point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=\tfrac32\overrightarrow{AB}$.

Correction. $\overrightarrow{AB}=(4;2;-4)$ ; $I=(3;-1;1)$. Puis $C=A+\tfrac32(4;2;-4)=(7;1;-3)$. Vérifier $\overrightarrow{AC}=(6;3;-6)$ confirme la relation et l’alignement.

Exercice 2 - Coplanarité avec un paramètre

Pour quelles valeurs de $k$ les vecteurs $(1;1;0),(0;1;1),(1;0;k)$ sont-ils coplanaires ?

Correction. Le déterminant vaut $k+1$. Il est nul exactement pour $k=-1$. On vérifie alors $(1;0;-1)=(1;1;0)-(0;1;1)$. Pour toute autre valeur, les trois vecteurs forment une base.

Exercice 3 - Une droite sous deux formes

Donner une représentation paramétrique et deux équations cartésiennes de la droite passant par $A(1;0;2)$ et $B(3;2;0)$.

Correction. Le directeur $\overrightarrow{AB}=(2;2;-2)$ peut être remplacé par $(1;1;-1)$. Ainsi $x=1+t$, $y=t$, $z=2-t$. L’élimination donne $x-y-1=0$ et $y+z-2=0$. Réciproquement, avec $t=y$, les deux équations redonnent les trois coordonnées paramétriques.

Exercice 4 - Équation d’un plan

Déterminer le plan passant par $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ et $C(0;0;3)$, puis tester $M(0;1;3/2)$.

Correction. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}=(-1;2;0)$ et $\overrightarrow{AC}=(-1;0;3)$ sont non colinéaires. L’équation $6x+3y+2z=6$ est vérifiée par les trois points et définit donc le plan cherché. Pour $M$, $0+3+3=6$, donc $M$ y appartient. On peut aussi écrire $M$ comme milieu de $[BC]$.

Exercices corrigés - Positions relatives

Exercice 5 - Une droite et un plan

Étudier $D:(x;y;z)=(1+t;2t;3-t)$ et $P:x+y+z=8$.

Correction. La substitution donne $4+2t=8$, donc $t=2$. L’intersection est l’unique point $(3;4;1)$. Ses coordonnées somment bien à $8$.

Exercice 6 - Deux plans avec un paramètre

Étudier $P:x+y+z=1$ et $Q_\lambda:\lambda x+2y+2z=3$ selon $\lambda$, puis paramétrer leur intersection lorsqu’elle existe.

Correction. Pour $\lambda=2$, la première équation multipliée par $2$ imposerait $2x+2y+2z=2$, incompatible avec $3$ : les plans sont strictement parallèles. Pour $\lambda\ne2$, les triplets ne sont pas proportionnels. Soustraire $2P$ de $Q_\lambda$ donne $(\lambda-2)x=1$. Leur intersection est donc $$x=\frac1{\lambda-2},\qquad y=t,\qquad z=1-\frac1{\lambda-2}-t,\qquad t\in\mathbb{R}.$$

Exercice 7 - Deux droites sécantes

Déterminer l’intersection de $D:(t;2t;1)$ et $E:(1+s;2-s;1)$.

Correction. Il faut $t=1+s$ et $2t=2-s$ ; la troisième coordonnée est déjà égale. On obtient $3s=0$, donc $s=0$, $t=1$. Le point commun est $(1;2;1)$. Les directeurs $(1;2;0)$ et $(1;-1;0)$ ne sont pas colinéaires ; l’intersection est unique.

Exercice 8 - Deux droites non coplanaires

Comparer $D:(t;t;0)$ et $E:(0;s;1)$.

Correction. Les directeurs $(1;1;0)$ et $(0;1;0)$ ne sont pas colinéaires. Les troisièmes coordonnées imposeraient $0=1$ à un point commun, donc il n’existe pas d’intersection. Les droites sont non coplanaires. Le déterminant de leurs directeurs et de $\overrightarrow{AB}=(0;0;1)$ vaut $1$, ce qui confirme le résultat.

Exercice 9 - Plan paramétrique et appartenance

Pour $P:(x;y;z)=(1+s;2+t;s+t)$, trouver une équation cartésienne, puis tester $M(2;4;3)$ et $N(2;4;4)$.

Correction. $s=x-1$, $t=y-2$ donnent $z=x+y-3$, soit $x+y-z-3=0$. Les directions $(1;0;1),(0;1;1)$ sont non colinéaires. Pour $M$, $2+4-3-3=0$ : il appartient à $P$, avec $s=1$, $t=2$. Pour $N$, $2+4-4-3=-1\ne0$ : il n’y appartient pas.