Généralités sur les fonctions et modèles économiques - Cours et exercices corrigés | 1re Bac Sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Déterminer un domaine, lire des images et des antécédents, comparer des fonctions, justifier leurs variations et leurs bornes, transformer une courbe et composer deux fonctions. Les exemples de coût, de recette et de tarifs sont des modèles scolaires ; aucune dérivée n’est nécessaire ici.

Domaine, image et antécédent

Une fonction numérique $f$ associe à chaque réel $x$ de son domaine $D_f$ un unique réel $f(x)$. Sa courbe est l’ensemble des points $(x;f(x))$, avec $x\in D_f$. L’image de $x$ est $f(x)$ ; un antécédent de $y$ est une solution de $f(x)=y$ dans le domaine.

Conditions de calcul et contraintes du contexte

Une expression polynomiale est définie sur $\mathbb{R}$. Dans un quotient, le dénominateur doit être non nul ; dans une racine carrée, le radicand doit être positif ou nul. Toutes les conditions doivent être satisfaites simultanément.

Exemple - Un radical et un quotient

Pour $f(x)=\sqrt{x+3}/(x-2)$, on impose $x\ge-3$ et $x\ne2$. Ainsi $D_f=[-3;2[\cup]2;+\infty[$. Simplifier une expression ne réintroduit pas une valeur interdite de la formule initiale.

Le domaine d’un modèle peut être plus petit

Un coût $C(x)=120+8x$ est calculable pour tout réel, mais une quantité produite impose $x\ge0$. Une capacité peut ajouter $x\le50$. Pour des objets indivisibles, les valeurs admises sont des entiers ; une courbe sur un intervalle est alors un modèle continu à interpréter avec cette restriction.

Image d’un ensemble

Pour $I\subseteq D_f$, l’ensemble $f(I)=\{f(x)\mid x\in I\}$ contient toutes les valeurs atteintes. Il ne se déduit pas toujours des seules images des extrémités.

Exemple - Un intervalle qui traverse le minimum

Pour $f(x)=x^2$ sur $I=[-2;1]$, on a $0\le f(x)\le4$. Toutes les valeurs $y\in[0;4]$ sont atteintes : $x=-\sqrt y$ appartient à $[-2;0]$ et donne $x^2=y$. Donc $f(I)=[0;4]$, bien que $f(-2)=4$ et $f(1)=1$.

La valeur $1$ possède deux antécédents dans $I$, $-1$ et $1$ ; la valeur $4$ n’en possède qu’un, $-2$ ; la valeur $5$ n’en possède aucun. Une image est unique pour chaque entrée, mais le nombre d’antécédents peut varier.

Bornes et valeurs extrêmes

Majorer et minorer sur un ensemble précisé

$f$ est majorée sur $I$ s’il existe $M\in\mathbb{R}$ tel que $f(x)\le M$ pour tout $x\in I$. Elle est minorée si un réel $m$ vérifie $m\le f(x)$ sur $I$. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Un extremum doit être atteint

Un maximum sur $I$ est une valeur $f(a)$, avec $a\in I$, telle que $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in I$. Un minimum vérifie l’inégalité inverse. Il faut donner la valeur extrême et les points où elle est atteinte.

Exemple - Un majorant qui n’est pas un maximum

Pour $f(x)=x/(x+1)$ sur $[0;+\infty[$, $$f(x)=1-\frac1{x+1},\qquad 0\le f(x)<1.$$ Le minimum $0$ est atteint en $0$. Le nombre $1$ est un majorant, jamais atteint. Il n’y a pas non plus de maximum plus petit : pour tout $x\ge0$, on a $1/(x+2)<1/(x+1)$, donc $f(x+1)>f(x)$.

Un extremum dépend du domaine

La fonction $p(x)=9-(x-2)^2$ est majorée par $9$ sur $\mathbb{R}$, et atteint ce maximum en $2$. Sur $[0;1]$, elle est croissante et son maximum vaut seulement $p(1)=8$. Sur $[0;4]$, son minimum vaut $5$, atteint aux deux extrémités.

$x$	$0$		$2$		$4$
$p(x)$	$5$	$\nearrow$	$9$	$\searrow$	$5$

Exploiter un graphique ou un tableau

Une hauteur maximale visible sur une fenêtre graphique ne prouve pas un maximum sur tout le domaine. Il faut connaître la portion étudiée et savoir si les bornes sont incluses.

Un tableau de variations indique les sens et les valeurs aux points remarquables. Pour affirmer que toutes les valeurs entre deux bornes sont atteintes, on s’appuie ici sur les fonctions de référence, leur courbe connue ou une résolution directe ; la monotonie seule ne suffit pas pour une fonction quelconque.

Ne pas confondre trois informations

Être positive concerne le signe des valeurs ; être croissante concerne leur ordre quand $x$ augmente ; être bornée concerne leur encadrement. Par exemple, $1/x$ est positive et décroissante sur $]0;+\infty[$, mais elle n’y est pas majorée.

Variations et comparaison de fonctions

Définir le sens de variation

Sur un intervalle $I$, $f$ est croissante si $a<b$ implique $f(a)\le f(b)$ pour tous $a,b\in I$. Elle est décroissante si $a<b$ implique $f(a)\ge f(b)$. Avec des inégalités strictes pour les images, on parle de stricte monotonie.

Exemple - Comparer les images sans dériver

Pour $0<a<b$, $$\left(8+\frac{120}b\right)-\left(8+\frac{120}a\right) =\frac{-120(b-a)}{ab}<0.$$ Le coût moyen $8+120/x$ est donc strictement décroissant sur $]0;+\infty[$. Le signe positif du dénominateur est indispensable à cette justification.

Comparer deux fonctions sur leur domaine commun

Pour comparer $f$ et $g$, étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur l’ensemble où les deux expressions sont définies. Si $f(x)\le g(x)$, la courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g$ à cette abscisse.

Exemple - Deux tarifs affines

Pour $x\ge0$, deux modèles donnent $A(x)=20+3x$ et $B(x)=5x$. La différence $A-B=20-2x$ est positive pour $0\le x<10$, nulle pour $x=10$, puis négative. Le tarif $B$ est moins cher avant $10$ unités ; $A$ est moins cher au-delà.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les intersections avec la droite $y=c$ donnent les solutions de $f(x)=c$. Pour $f(x)\le c$, on conserve les abscisses où la courbe est sous cette droite. Une lecture graphique donne une estimation ; la formule permet une justification exacte.

Plusieurs effets peuvent se combiner

La somme de deux fonctions croissantes est croissante. En revanche, additionner une fonction croissante et une décroissante ne donne pas un sens automatique. Une nouvelle comparaison est nécessaire.

Composer deux fonctions

L’ordre des opérations

La composée $g\circ f$ associe à $x$ la valeur $g(f(x))$. On applique $f$ d’abord, puis $g$. Son domaine est $$D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}.$$

Exemple - Deux ordres, deux domaines

Pour $f(x)=x-3$ et $g(t)=\sqrt t$, on a $$(g\circ f)(x)=\sqrt{x-3}\quad(x\ge3),\qquad (f\circ g)(x)=\sqrt x-3\quad(x\ge0).$$ Les opérations n’ont pas le même résultat, ni le même domaine. La condition porte sur la valeur qui entre dans la fonction extérieure.

Variations d’une composée

Supposons que $f$ est monotone sur $I$, que $f(I)\subseteq J$, et que $g$ est monotone sur $J$. Les sens se combinent ainsi :

	$g$ croissante	$g$ décroissante
$f$ croissante	$g\circ f$ croissante	$g\circ f$ décroissante
$f$ décroissante	$g\circ f$ décroissante	$g\circ f$ croissante

Si les deux fonctions sont strictement monotones, la conclusion correspondante est stricte. Par exemple, si $a<b$ et $f$ décroît, alors $f(a)\ge f(b)$. Si $g$ décroît aussi, elle inverse cet ordre : $g(f(a))\le g(f(b))$.

Exemple - Une racine d’un trinôme

La fonction $h(x)=\sqrt{9-x^2}$ est définie pour $-3\le x\le3$. La fonction intérieure $9-x^2$ croît sur $[-3;0]$ et décroît sur $[0;3]$, et ses valeurs appartiennent à $[0;9]$. La racine est croissante sur cet ensemble, donc $h$ croît puis décroît sur ces deux intervalles. Son maximum vaut $h(0)=3$ et son minimum vaut $0$, atteint en $-3$ et $3$.

Exemple - Deux décroissances donnent une croissance

Sur $]-\infty;4[$, $f(x)=4-x$ est positive et strictement décroissante. La fonction $g(t)=1/t$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$. La composée $1/(4-x)$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;4[$.

Le domaine précède la règle de variation

La fonction $t\mapsto1/t$ n’est pas décroissante sur tout $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ pris d’un seul bloc. On travaille sur un intervalle où les valeurs de la fonction intérieure restent dans une branche appropriée.

Fonctions de référence et transformations

La famille $x\mapsto\sqrt{x+a}$

Le domaine est $[-a;+\infty[$. La fonction est strictement croissante, a pour minimum $0$ au point $-a$ et prend toutes les valeurs de $[0;+\infty[$. Pour obtenir la valeur $y\ge0$, il suffit de choisir $x=y^2-a$.

Sa courbe s’obtient à partir de $y=\sqrt x$ par translation horizontale de vecteur $(-a;0)$. Par exemple, $\sqrt{x+2}$ commence au point $(-2;0)$ ; le signe $+2$ dans la formule déplace le départ vers la gauche.

La famille $x\mapsto ax^3$

Le cube est strictement croissant sur $\mathbb{R}$. Pour $u<v$, $$v^3-u^3=(v-u)(v^2+uv+u^2)>0,$$ car $v^2+uv+u^2=(v+u/2)^2+3u^2/4>0$ lorsque $u<v$. Ainsi $ax^3$ est strictement croissante si $a>0$, strictement décroissante si $a<0$ et constante si $a=0$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Déplacer ou multiplier les ordonnées

Pour $g=f+\lambda$, les ordonnées augmentent de $\lambda$ : la courbe est translatée verticalement et le sens de variation est conservé. Les extrema augmentent aussi de $\lambda$.

Pour $h=\lambda f$, les ordonnées sont multipliées par $\lambda$. Si $\lambda>0$, les variations sont conservées ; si $\lambda<0$, elles sont inversées ; si $\lambda=0$, la fonction est constante sur le domaine conservé. Ainsi $4-2\sqrt{x+3}$ est strictement décroissante sur $[-3;+\infty[$ et a pour maximum $4$.

Construire et interpréter un modèle

Coût total et coût moyen

Si le coût total de $x$ unités est $C(x)=120+8x$, le coût moyen est $M(x)=C(x)/x=8+120/x$ pour $x>0$. Le coût total croît, tandis que le coût moyen décroît : la part fixe $120$ est répartie sur une quantité plus grande. Les deux fonctions répondent à des questions différentes.

Prix, quantité et recette

Un modèle de prix est $p(x)=30-x$ pour une quantité $x$. On impose $x\ge0$ et $p(x)\ge0$, donc $x\in[0;30]$. La recette est alors $$R(x)=xp(x)=30x-x^2=225-(x-15)^2.$$ Sans dérivation, la forme canonique montre que la recette croît sur $[0;15]$ et décroît sur $[15;30]$. Son maximum est $225$, atteint pour $x=15$, avec un prix $p(15)=15$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Pour imposer $R(x)\ge200$, on résout $(x-15)^2\le25$, donc $x\in[10;20]$. Le domaine et les unités doivent figurer dans la réponse. Une quantité qui maximise la recette ne maximise pas nécessairement le bénéfice, puisque les coûts peuvent varier.

Étapes d’une étude sans dérivée

Préciser les variables et le domaine ; identifier une fonction de référence ou une composition ; justifier les variations ; calculer les extrema et les valeurs remarquables ; lire ou résoudre les équations utiles ; interpréter le résultat dans le modèle.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Domaine et zéro d’une fonction

Déterminer le domaine de $f(x)=\sqrt{6-x}/(x^2-4)$ et résoudre $f(x)=0$.

Solution. Le radical impose $x\le6$. Le dénominateur impose $x\ne-2$ et $x\ne2$. Ainsi $$D_f=]-\infty;-2[\cup]-2;2[\cup]2;6].$$ Sur ce domaine, le quotient s’annule exactement quand son numérateur s’annule : $6-x=0$, donc $x=6$, qui est admissible.

Exercice 2 - Image d’un intervalle et antécédents

Pour $f(x)=(x-2)^2$ sur $[-1;4]$, déterminer l’image de l’intervalle et les antécédents de $4$.

Solution. $x-2\in[-3;2]$, donc $0\le(x-2)^2\le9$. Toute valeur $y\in[0;9]$ est atteinte en $x=2-\sqrt y\in[-1;2]$ ; l’image est $[0;9]$. L’équation $(x-2)^2=4$ donne $x=0$ ou $x=4$, tous deux admis. Regarder seulement les images des extrémités, $9$ et $4$, aurait oublié le minimum $0$.

Exercice 3 - Comparaison de deux courbes

Comparer $f(x)=x^2+2$ et $g(x)=5x-2$ sur $\mathbb{R}$. Résoudre $f(x)<g(x)$ et déterminer les intersections.

Solution. $f-g=x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$. La différence est négative sur $]1;4[$, nulle en $1$ et $4$, positive à l’extérieur. Les solutions de l’inégalité stricte sont $]1;4[$ ; les intersections sont $(1;3)$ et $(4;18)$.

Exercice 4 - Un objectif de coût moyen

Un modèle donne $C(x)=120+8x$ pour $x>0$. Étudier le coût moyen et trouver les quantités permettant un coût moyen au plus égal à $20$.

Solution. $M(x)=8+120/x$ est strictement décroissante : pour $0<a<b$, $M(b)-M(a)=-120(b-a)/(ab)<0$. Elle est minorée par $8$, jamais atteint, et n’a pas de minimum car $M(2x)<M(x)$ pour tout $x>0$. $$M(x)\le20\iff120/x\le12\iff x\ge10,$$ la multiplication par $x>0$ conservant le sens. Pour des objets indivisibles, on retient les entiers $x\ge10$ compatibles avec une éventuelle capacité.

Exercice 5 - Bénéfice et capacité maximale

Étudier $P(x)=300-3(x-10)^2$ sur $[0;24]$. Donner ses extrema, son image et les quantités pour lesquelles $P(x)\ge0$.

Solution. Le carré décroît jusqu’à $10$, puis croît ; la multiplication par $-3$ inverse ces sens. Ainsi $P$ croît sur $[0;10]$ de $0$ à $300$, puis décroît sur $[10;24]$ de $300$ à $-288$. Le maximum est $300$ en $10$, et le minimum est $-288$ en $24$.

Pour $y\in[-288;300]$, $x=10+\sqrt{(300-y)/3}$ appartient à $[10;24]$ et donne $P(x)=y$. L’image est donc $[-288;300]$. $$P(x)\ge0\iff(x-10)^2\le100\iff0\le x\le20.$$ Ce dernier intervalle est contenu dans le domaine imposé.

Exercice 6 - Deux compositions et leurs domaines

Soient $f(x)=2x-3$ et $g(t)=\sqrt{t+1}$. Déterminer les deux composées et leurs variations.

Solution. $(g\circ f)(x)=\sqrt{2x-2}$ nécessite $x\ge1$. La fonction intérieure et la racine sont strictement croissantes sur les ensembles utiles, donc cette composée est strictement croissante sur $[1;+\infty[$.

Dans l’autre ordre, $(f\circ g)(x)=2\sqrt{x+1}-3$ nécessite $x\ge-1$ et est strictement croissante sur $[-1;+\infty[$. Les domaines différents confirment que l’on n’a pas la même fonction.

Exercice 7 - Transformer une racine

Étudier $h(x)=4-2\sqrt{x+3}$. Déterminer son image, résoudre $h(x)\ge0$ et calculer $h([-3;6])$.

Solution. Le domaine est $[-3;+\infty[$. La racine croît strictement ; le facteur $-2$ inverse les variations. Le maximum est $4$ en $-3$. Pour tout $y\le4$, le nombre $x=(4-y)^2/4-3$ est admissible et vérifie $h(x)=y$ : l’image est $]-\infty;4]$. $$h(x)\ge0\iff\sqrt{x+3}\le2\iff-3\le x\le1.$$ Sur $[-3;6]$, la fonction décroît de $4$ à $-2$ et prend toutes les valeurs intermédiaires par la même formule inverse ; son image est $[-2;4]$.

Exercice 8 - Le signe du coefficient du cube

Pour $f(x)=-x^3/2$, justifier les variations sur $\mathbb{R}$, calculer $f([-2;4])$ et résoudre $f(x)\ge4$ sur $\mathbb{R}$.

Solution. Le cube est strictement croissant ; le coefficient négatif rend $f$ strictement décroissante. On a $f(-2)=4$ et $f(4)=-32$. Le cube prend toutes les valeurs intermédiaires : $f([-2;4])=[-32;4]$. $$-x^3/2\ge4\iff x^3\le-8\iff x\le-2.$$ Le sens est inversé lors de la multiplication par $-2$, puis conservé par la comparaison des cubes.

Exercice 9 - Un indicateur borné sans maximum

Soit $h(x)=2-6/(x+2)$ pour $x\ge0$. Déterminer ses variations, ses bornes et son image.

Solution. Pour $0\le a<b$, $$h(b)-h(a)=\frac{6(b-a)}{(a+2)(b+2)}>0,$$ donc $h$ croît strictement. Puis $0<6/(x+2)\le3$ donne $-1\le h(x)<2$. Le minimum $-1$ est atteint en $0$. Il n’y a pas de maximum puisque $h(x+1)>h(x)$.

Pour $-1\le y<2$, le nombre $x=6/(2-y)-2$ est positif ou nul et donne $h(x)=y$. Ainsi l’image est exactement $[-1;2[$ ; la borne $2$ est exclue.

Exercice 10 - Un tarif par tranches

Pour une quantité $x\ge0$, le tarif $A$ est $A(x)=15+2x$. Le tarif $B$ vaut $4x$ pour $0\le x\le10$, puis $40+(x-10)$ pour $x\ge10$. Déterminer le tarif le moins cher selon la quantité.

Solution. Les deux formules de $B$ donnent $40$ au seuil $10$. Sur la première tranche, $$A(x)-B(x)=15-2x,$$ qui s’annule en $x=7{,}5$. Sur la deuxième tranche, $B(x)=x+30$, donc $A(x)-B(x)=x-15$, qui s’annule en $15$.

Le tarif $B$ est strictement moins cher pour $0\le x<7{,}5$ et pour $x>15$. Le tarif $A$ est strictement moins cher pour $7{,}5<x<15$. Ils sont égaux pour $x=7{,}5$ et $x=15$. Chaque comparaison a été faite sur la tranche où sa formule est valable ; utiliser $B(x)=4x$ au-delà de $10$ aurait donné une conclusion fausse.