Généralités sur les fonctions - Cours et exercices corrigés | 1re Bac scientifique

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Déterminer un domaine, comparer des fonctions, lire et justifier des variations, utiliser les bornes et extrema, transformer une courbe et étudier une composée. Le complément sur la partie entière est réservé au parcours sciences mathématiques. Les limites et la dérivation sont étudiées séparément.

Définition, domaine et valeurs atteintes

Une fonction numérique $f$ associe à chaque réel $x$ de son domaine $D_f$ un unique réel $f(x)$. La courbe $\mathcal C_f$ est l’ensemble des points $(x;f(x))$ avec $x\in D_f$. Une abscisse admise possède une seule ordonnée ; une même ordonnée peut correspondre à plusieurs abscisses.

Déterminer un domaine

Une expression polynomiale est définie sur $\mathbb{R}$. Dans un quotient, le dénominateur doit être non nul ; dans une racine carrée, le radicand doit être positif ou nul. On doit satisfaire toutes les conditions simultanément.

Pour $f(x)=\sqrt{x+2}/(x-1)$, il faut $x\ge-2$ et $x\ne1$, donc $D_f=[-2;1[\cup]1;+\infty[$. Une simplification ne réintroduit pas les points interdits par l’expression de départ.

Image d’un intervalle

L’image de $I\subseteq D_f$ est $f(I)=\{f(x)\mid x\in I\}$. Sur un graphique, on regarde toutes les ordonnées des points dont l’abscisse est dans $I$. Les bornes peuvent être atteintes ou non.

Exemple - Le carré sur un intervalle qui traverse $0$

Pour $f(x)=x^2$ et $I=[-2;1]$, on a $0\le x^2\le4$, donc $f(I)\subseteq[0;4]$. Réciproquement, si $y\in[0;4]$, le réel $x=-\sqrt y$ appartient à $[-2;0]$ et vérifie $x^2=y$. Ainsi $f(I)=[0;4]$. Prendre seulement les images des extrémités aurait oublié le minimum $0$.

Majorant, minorant, maximum et minimum

$f$ est majorée sur $I$ s’il existe $M$ tel que $f(x)\le M$ pour tout $x\in I$ ; elle est minorée s’il existe $m$ tel que $m\le f(x)$. Elle est bornée si les deux conditions sont satisfaites.

Une borne atteinte est un extremum global

Un maximum sur $I$ est une valeur $f(a)$, avec $a\in I$, telle que $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in I$. Un minimum se définit avec l’inégalité inverse. La valeur extrême et le point où elle est atteinte sont deux informations distinctes.

Pour $f(x)=x^2/(1+x^2)$, $0\le f(x)<1$ sur $\mathbb{R}$. Le minimum $0$ est atteint en $0$. Le nombre $1$ est un majorant mais n’est pas un maximum : aucun réel $x$ ne donne $f(x)=1$.

Comparer, ordonner et lire les variations

Comparer deux fonctions sur un même ensemble

Sur $I\subseteq D_f\cap D_g$, écrire $f\le g$ signifie $f(x)\le g(x)$ pour tout $x\in I$. Graphiquement, la courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g$ sur cet ensemble. Pour comparer deux expressions, on peut étudier le signe de $f(x)-g(x)$, factoriser, mettre au même dénominateur ou utiliser un encadrement.

Exemple - Une comparaison change de sens

Pour $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x+3$, $$f(x)-g(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$$ Le produit est négatif ou nul sur $[-1;3]$ et positif en dehors. Donc $f\le g$ sur $[-1;3]$ et $f\ge g$ sur $]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[$. Les courbes se rencontrent pour $x=-1$ et $x=3$.

Le sens de variation

Comparer les images de deux nombres ordonnés

Sur un intervalle $I$, $f$ est croissante si, pour tous $a,b\in I$, $a<b$ implique $f(a)\le f(b)$. Elle est décroissante si $a<b$ implique $f(a)\ge f(b)$. Remplacer la conclusion par une inégalité stricte définit la stricte monotonie.

Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante au sens large. Dire qu’une fonction est positive ne renseigne pas sur ses variations : $1/x$ est positive et décroissante sur $]0;+\infty[$.

Exemple - Une preuve sans dérivée

Pour $f(x)=x^2$, $f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)$. Si $0\le a<b$, les deux facteurs sont positifs : le carré est strictement croissant sur $[0;+\infty[$. Si $a<b\le0$, le premier facteur est positif et le second négatif : le carré est strictement décroissant sur $]-\infty;0]$.

Exploiter un tableau

Pour $q(x)=4-(x-1)^2$ sur $[-1;3]$, la distance de $x$ à $1$ diminue jusqu’à $1$, puis augmente. On obtient :

$x$	$-1$		$1$		$3$
$q(x)$	$0$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$

Le maximum est $4$, atteint en $x=1$ ; le minimum est $0$, atteint en $x=-1$ et $x=3$. Toutes les valeurs intermédiaires sont effectivement atteintes : pour $y\in[0;4]$, $x=1-\sqrt{4-y}\in[-1;1]$ donne $q(x)=y$.

Transformer une courbe et composer

Ajouter ou multiplier par une constante

Si $g(x)=f(x)+\lambda$, la courbe est translatée verticalement de $\lambda$ : $(x;f(x))$ devient $(x;f(x)+\lambda)$. Le domaine et le sens de variation sont conservés. Les valeurs extrêmes augmentent de $\lambda$.

Si $h(x)=\lambda f(x)$, les ordonnées sont multipliées par $\lambda$. Pour $\lambda>0$, le sens de variation est conservé ; pour $\lambda<0$, il est inversé ; pour $\lambda=0$, on obtient une fonction constante sur le même domaine. Ainsi $-2x^2+3$ croît jusqu’à $0$, puis décroît, et son maximum vaut $3$.

Définir une composée

La composée $g\circ f$ se calcule dans l’ordre $x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))$. Son domaine est $$D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}.$$

Exemple - L’ordre et le domaine comptent

Soient $f(x)=x-2$ et $g(t)=\sqrt t$. On a $(g\circ f)(x)=\sqrt{x-2}$ pour $x\ge2$. Dans l’autre ordre, $(f\circ g)(x)=\sqrt x-2$ pour $x\ge0$. Ni les formules ni les domaines ne coïncident.

Variations d’une composée

Supposons que $f$ est monotone sur $I$, que $f(I)\subseteq J$ et que $g$ est monotone sur $J$. Si les deux sens sont identiques, $g\circ f$ est croissante ; s’ils sont opposés, elle est décroissante. Si les deux fonctions sont strictement monotones, la conclusion est stricte.

Justification d’un cas. Si $a<b$, $f$ croissante donne $f(a)\le f(b)$. Si $g$ est décroissante, elle inverse cet ordre : $g(f(a))\ge g(f(b))$. On vérifie les autres cas de la même façon. Il faut appliquer la propriété de $g$ sur les valeurs atteintes par $f$, pas sur les valeurs initiales de $x$.

Exemple - Une racine d’un trinôme

$h(x)=\sqrt{4-x^2}$ est définie sur $[-2;2]$. La fonction intérieure $4-x^2$ croît sur $[-2;0]$ et décroît sur $[0;2]$ ; ses valeurs sont dans $[0;4]$, où la racine est croissante. Donc $h$ croît sur $[-2;0]$ et décroît sur $[0;2]$, avec $h(-2)=h(2)=0$ et $h(0)=2$.

Une somme n’a pas toujours un sens de variation immédiat

La somme de deux fonctions croissantes est croissante. En revanche, une somme d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante demande une nouvelle étude : les deux effets peuvent se compenser ou changer de domination.

Fonctions repères et périodicité

Les fonctions $x\mapsto\sqrt{x+a}$

Le domaine est $[-a;+\infty[$. La fonction affine $x+a$ et la racine sont strictement croissantes, donc leur composée l’est aussi. La courbe s’obtient à partir de $y=\sqrt x$ par translation de vecteur $(-a;0)$ ; son point de départ est $(-a;0)$ et ses valeurs sont positives ou nulles.

Les fonctions $x\mapsto ax^3$

Le cube est strictement croissant sur $\mathbb{R}$. En effet, pour $u<v$, $$v^3-u^3=(v-u)(v^2+uv+u^2)>0,$$ car $v^2+uv+u^2=(v+u/2)^2+3u^2/4>0$ lorsque $u<v$. Ainsi $ax^3$ est strictement croissante pour $a>0$, strictement décroissante pour $a<0$ et constante pour $a=0$. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine, puisque $a(-x)^3=-ax^3$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Parité et période : deux propriétés distinctes

Si le domaine est symétrique par rapport à $0$, $f$ est paire lorsque $f(-x)=f(x)$ et impaire lorsque $f(-x)=-f(x)$. Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; une fonction impaire, par rapport à l’origine.

Une fonction est périodique de période $T>0$ si son domaine est stable par décalage de $T$ et de $-T$, et si $f(x+T)=f(x)$ pour tout $x$ du domaine. Une portion de courbe sur un intervalle de longueur $T$ se reproduit par translations horizontales de $kT$, $k\in\mathbb{Z}$.

Exemple - Une période et des bornes

Pour $f(x)=2\sin(2x)+1$, $f(x+\pi)=2\sin(2x+2\pi)+1=f(x)$ : $\pi$ est une période. De $-1\le\sin(2x)\le1$, on déduit $-1\le f(x)\le3$. Le maximum $3$ est atteint en $x=\pi/4+k\pi$ et le minimum $-1$ en $x=-\pi/4+k\pi$.

Complément sciences mathématiques : partie entière

Une définition à garder avec ses deux inégalités

Pour tout réel $x$, il existe un unique entier $n$ tel que $n\le x<n+1$. Cet entier est la partie entière de $x$, notée $E(x)$ ou $\lfloor x\rfloor$. $$\boxed{E(x)\le x<E(x)+1.}$$ On a $E(2{,}7)=2$, $E(2)=2$, $E(-1{,}2)=-2$ et $E(-3)=-3$. Pour un nombre négatif non entier, supprimer la partie décimale ne donne pas la partie entière : $-2\le-1{,}2<-1$.

Courbe et variations

Sur chaque intervalle $[n;n+1[$, la fonction vaut $n$. La courbe est formée de segments horizontaux, avec l’extrémité gauche incluse et la droite exclue. Elle est croissante au sens large sur $\mathbb{R}$, mais n’est pas strictement croissante, car plusieurs réels distincts ont la même partie entière.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Traduire une condition sur $E(x)$

Pour un entier $n$, $$E(x)=n\iff n\le x<n+1,$$ $$E(x)\le n\iff x<n+1,\qquad E(x)\ge n\iff x\ge n.$$ Par exemple, $E(x)=-2$ équivaut à $-2\le x<-1$. Sur $[-1;3]$, la fonction est bornée par $-1$ et $3$, et atteint ces deux valeurs ; le maximum $3$ n’est atteint qu’en $x=3$ sur cet intervalle.

Cadre du complément

Cette partie porte sur la fonction partie entière elle-même et son graphique. Les fonctions obtenues en composant une autre fonction avec $E$ ne sont pas requises dans ce chapitre du programme de référence.

Lire un graphique sans surinterpréter

Les solutions de $f(x)=c$ sont les abscisses des intersections de la courbe et de $y=c$. Pour $f(x)\le c$, on retient les abscisses où la courbe est sous cette droite, intersections comprises. Pour $f(x)=g(x)$ ou $f(x)<g(x)$, on compare les deux courbes sur leur domaine commun. Une lecture graphique donne une estimation quand les points exacts ne sont pas marqués ; une formule disponible permet de justifier la réponse.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Un radical et un dénominateur

Déterminer le domaine de $f(x)=\sqrt{5-x}/(x+1)$ et résoudre $f(x)=0$. Solution. Il faut $5-x\ge0$ et $x+1\ne0$. Ainsi $D_f=]-\infty;-1[\cup]-1;5]$. Un quotient de dénominateur non nul est nul exactement quand son numérateur est nul. Donc $\sqrt{5-x}=0\iff x=5$, et cette valeur appartient au domaine. La solution est $\{5\}$.

Exercice 2 - Comparaison de deux courbes

Comparer sur $\mathbb{R}$ les fonctions $f(x)=x^2-1$ et $g(x)=x+1$. En déduire les solutions de $f(x)\le g(x)$ et leurs points d’intersection. Solution. $f-g=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Le signe est positif pour $x<-1$ ou $x>2$, nul en $-1,2$, négatif entre ces deux racines. Les solutions sont donc $[-1;2]$. Aux intersections, $x=-1$ donne $y=0$, et $x=2$ donne $y=3$ : les points sont $(-1;0)$ et $(2;3)$.

Exercice 3 - Variations sans dérivée et extrema

Étudier $q(x)=5-2(x-1)^2$ sur $[-1;4]$, déterminer ses extrema et résoudre $q(x)\ge3$. Solution. Sur $[-1;1]$, $(x-1)^2$ décroît de $4$ à $0$, donc $q$ croît de $-3$ à $5$. Sur $[1;4]$, le carré croît de $0$ à $9$, donc $q$ décroît de $5$ à $-13$. Le maximum est $5$ en $1$, et le minimum est $-13$ en $4$. $$q(x)\ge3\iff (x-1)^2\le1\iff0\le x\le2.$$ Cet intervalle appartient au domaine imposé ; les solutions sont $[0;2]$.

Exercice 4 - Deux compositions

Pour $f(x)=2-x$ et $g(t)=\sqrt t$, déterminer $g\circ f$ et $f\circ g$, leurs domaines et leurs variations. Solution. $(g\circ f)(x)=\sqrt{2-x}$ est définie pour $x\le2$. L’intérieur est strictement décroissant et la racine croissante sur les valeurs positives ou nulles ; la composée est strictement décroissante sur $]-\infty;2]$.

Dans l’autre ordre, $(f\circ g)(x)=2-\sqrt x$ est définie pour $x\ge0$ et strictement décroissante sur $[0;+\infty[$, car elle est une constante moins une fonction strictement croissante. Les deux expressions ne sont donc pas une seule et même fonction.

Exercice 5 - Bornes et valeur atteinte

Pour $f(x)=3-2/(1+x^2)$ sur $\mathbb{R}$, montrer que $1\le f(x)<3$. Déterminer son minimum, dire si elle possède un maximum, et calculer son image sur $\mathbb{R}$. Solution. $1+x^2\ge1$ donne $0<2/(1+x^2)\le2$, d’où $1\le f(x)<3$. La borne inférieure est atteinte en $x=0$, donc le minimum vaut $1$. La valeur $3$ n’est pas atteinte.

Pour prouver que toutes les valeurs de $[1;3[$ sont atteintes, fixons $y$ dans cet intervalle. L’équation $f(x)=y$ équivaut à $$1+x^2=\frac2{3-y},\qquad x^2=\frac{y-1}{3-y}\ge0.$$ Le réel $x=\sqrt{(y-1)/(3-y)}$ convient. Donc $f(\mathbb{R})=[1;3[$. Il n’y a pas de maximum : pour toute valeur $y<3$ atteinte, la valeur $(y+3)/2$ est plus grande, reste dans $[1;3[$ et est également atteinte.

Exercice 6 - Période, bornes et valeurs extrêmes

Soit $h(x)=3\cos(2x)-2$. Montrer que $\pi$ est une période, donner les bornes et déterminer tous les points où le maximum et le minimum sont atteints. Solution. La fonction est définie sur $\mathbb{R}$ et $$h(x+\pi)=3\cos(2x+2\pi)-2=h(x).$$ Puis $-1\le\cos(2x)\le1$ donne $-5\le h(x)\le1$. Le maximum $1$ est atteint lorsque $\cos(2x)=1$, donc $2x=2k\pi$ et $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Le minimum $-5$ est atteint lorsque $\cos(2x)=-1$, donc $x=\pi/2+k\pi$.

Les valeurs $1$ et $-5$ ne sont pas seulement des bornes : les conditions précédentes prouvent qu’elles sont réellement atteintes. On peut tracer une période puis répéter le dessin par translations de vecteurs $(k\pi;0)$.

Exercice 7 - Partie entière, parcours SM

Calculer $E(-2{,}4)$ et $E(3)$, résoudre $E(x)=1$ puis $-1\le E(x)\le2$, et donner les extrema de $E$ sur $[-1;3]$. Solution. Comme $-3\le-2{,}4<-2$, $E(-2{,}4)=-3$. Comme $3\le3<4$, $E(3)=3$.

La condition $E(x)=1$ équivaut à $1\le x<2$. Pour la double inégalité, $E(x)\ge-1$ équivaut à $x\ge-1$, tandis que $E(x)\le2$ équivaut à $x<3$. Les solutions sont donc $[-1;3[$ ; la borne $3$ est exclue car $E(3)=3$.

Sur l’intervalle fermé $[-1;3]$, le minimum $-1$ est atteint pour $x\in[-1;0[$ et le maximum $3$ seulement en $x=3$. La fonction est croissante au sens large, mais constante sur chaque palier.

Les questions à poser à chaque étape

Sur quel domaine travaille-t-on ? Les inégalités sont-elles strictes ? La borne est-elle atteinte ? Une composée reste-t-elle dans le domaine de la fonction extérieure ? Ces vérifications font partie du résultat mathématique.