Généralités sur les fonctions | 1re bac lettres, originel et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Préciser un domaine, interpréter une symétrie, comparer des fonctions, distinguer bornes et extrema, puis étudier des variations avec des calculs de différences et des lectures graphiques.

Une fonction associe à chaque nombre de son domaine une seule image. Une formule, un tableau ou une courbe peuvent la décrire. Aucun de ces modes de représentation ne dispense de préciser les valeurs autorisées de la variable.

Domaine, images et lecture d’une courbe

Commencer par les conditions d’existence

Le domaine de définition $D_f$ contient les réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini. Dans une formule, un dénominateur doit être non nul et un nombre sous une racine carrée doit être positif ou nul. Si un énoncé impose un intervalle d’étude, on le prend aussi en compte.

Exemple - Réunir deux contraintes

Pour $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-3}$, les conditions sont $x+2\ge0$ et $x\ne3$. Ainsi $$D_f=[-2;3[\ \cup\ ]3;+\infty[.$$ On a $f(-2)=0$, mais $f(3)$ n’existe pas. La valeur $0$ est une image ; $-2$ est un antécédent de cette image.

Simplifier une expression ne supprime pas une restriction initiale. Par exemple, $$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\quad\text{pour }x\ne1.$$ La fonction définie par le quotient reste non définie en $1$, même si la formule simplifiée pourrait y être calculée.

Ce que représentent les coordonnées

La courbe $\mathcal C_f$ est l’ensemble des points $(x;f(x))$ pour $x\in D_f$. Lire $f(a)$ consiste à partir de l’abscisse $a$ et à relever l’ordonnée correspondante. Chercher les antécédents de $b$ consiste à repérer les intersections de $\mathcal C_f$ avec la droite horizontale $y=b$.

Une image peut avoir plusieurs antécédents ou aucun. Ainsi $x^2=4$ donne deux antécédents de $4$, alors qu’aucun réel n’a pour carré $-1$. Sur $[0;+\infty[$, le même nombre $4$ n’a plus qu’un antécédent : le domaine change la réponse.

Une lecture graphique est liée au dessin

On distingue les coordonnées exactes données par l’énoncé des valeurs estimées sur un tracé. Une fenêtre de calculatrice ne montre qu’une partie de la courbe ; elle ne prouve pas à elle seule une propriété sur tout le domaine.

Parité et symétries

Une condition sur le domaine, puis une identité

Un ensemble $D$ est symétrique par rapport à $0$ si $x\in D$ entraîne $-x\in D$. C’est le cas de $\mathbb{R}$, de $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ou de $[-3;3]$, mais pas de $[0;3]$.

Fonctions paires et impaires

Pour une fonction définie sur un domaine $D_f$ symétrique par rapport à $0$ : $$\begin{aligned} f\text{ est paire}&\iff \text{pour tout }x\in D_f,\ f(-x)=f(x),\\ f\text{ est impaire}&\iff \text{pour tout }x\in D_f,\ f(-x)=-f(x). \end{aligned}$$ Les identités doivent être vraies pour tous les $x$ du domaine.

Pour une fonction paire, les points $(x;f(x))$ et $(-x;f(x))$ sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Pour une fonction impaire, $(x;f(x))$ et $(-x;-f(x))$ sont symétriques par rapport à l’origine.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

À gauche, les points marqués ont la même ordonnée et des abscisses opposées. À droite, leurs deux coordonnées sont opposées. Les identités $f(-x)=f(x)$ et $g(-x)=-g(x)$ justifient ces symétries sur $\mathbb{R}$.

Utiliser et tester la parité

Pour étudier une fonction paire ou impaire, on peut commencer sur la partie positive du domaine puis compléter par symétrie. On reconstitue ensuite les variations du côté négatif en tenant compte de l’ordre des abscisses.

Cette méthode sert aussi à construire un motif graphique : si son contour est la courbe d’une fonction paire sur $[-a;a]$, avec $a>0$, le tracé pour $0\le x\le a$ détermine l’autre moitié par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. La symétrie du contour doit être justifiée par le domaine et l’identité de parité, et non seulement supposée d’après son apparence.

Si une fonction impaire est définie en $0$, alors $f(0)=-f(0)$, donc $f(0)=0$. Cette conclusion ne donne aucun sens à $f(0)$ lorsque $0\notin D_f$, comme pour $1/x$.

Une fonction peut n’être ni paire ni impaire. Pour le prouver, un contre-exemple à chacune des deux identités suffit. La fonction nulle sur un domaine symétrique est à la fois paire et impaire ; c’est la seule possibilité, car $f(x)=-f(x)$ impose $f(x)=0$.

Majorants, minorants et extrema

Encadrer toutes les images

Sur un ensemble non vide $I\subset D_f$, la fonction $f$ est :

• majorée s’il existe un réel $M$ tel que $f(x)\le M$ pour tout $x\in I$ ;

• minorée s’il existe un réel $m$ tel que $m\le f(x)$ pour tout $x\in I$ ;

• bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Le nombre $M$ est un majorant, et $m$ un minorant. Ils ne sont généralement pas uniques. Si $f(x)\le4$, alors $5$ et $10$ sont aussi des majorants. Une propriété de ce type dépend de l’ensemble $I$ choisi.

Par exemple, $x^2$ est minorée par $0$ sur $\mathbb{R}$, mais n’y est pas majorée. Pour tout majorant proposé $M$, choisir $x=\sqrt{\max(M,0)+1}$ donne $x^2>M$. Sur $[-2;3]$, en revanche, $0\le x^2\le9$ : la restriction est bornée.

Un extremum doit être atteint

La fonction $f$ admet un maximum $M$ sur $I$ lorsqu’elle est majorée par $M$ et qu’il existe $a\in I$ tel que $f(a)=M$. Le nombre $a$ est un point où le maximum est atteint. De même, un minimum $m$ est un minorant qui est effectivement une valeur de la fonction.

Exemple - Borne sans maximum

Sur $I=]0;1[$, la fonction $f(x)=x$ vérifie $0<f(x)<1$. Elle est bornée, mais n’a ni minimum ni maximum. En effet, pour chaque $x\in]0;1[$, les nombres $x/2$ et $(x+1)/2$ appartiennent encore à $I$ et vérifient $$f(x/2)<f(x)<f((x+1)/2).$$ Les bornes $0$ et $1$ ne sont pas atteintes. Sur $[0;1]$, elles deviennent respectivement le minimum et le maximum, car les extrémités appartiennent au domaine.

Exemple - Encadrer à partir d’un carré

Pour $u(x)=\dfrac1{1+x^2}$, on a $1+x^2\ge1$, donc $$0<u(x)\le1\qquad(x\in\mathbb{R}).$$ Le maximum vaut $1$, atteint en $x=0$. Le minorant $0$ n’est pas un minimum. Il n’existe d’ailleurs aucun minimum : pour chaque $x$, le nombre $y=|x|+1$ vérifie $y^2>x^2$, donc $u(y)<u(x)$.

Valeur extrême et abscisse

Dans $h(x)=5-(x-2)^2$, le maximum sur $\mathbb{R}$ est $5$, atteint pour $x=2$. Le nombre $2$ est une abscisse, pas la valeur du maximum. Toujours préciser l’ensemble sur lequel on cherche l’extremum.

Comparer deux fonctions

Travailler sur un domaine commun

Pour comparer $f$ et $g$, on choisit un ensemble $I\subset D_f\cap D_g$. Dire que $f\le g$ sur $I$ signifie que $f(x)\le g(x)$ pour chaque $x\in I$. La méthode la plus fréquente consiste à étudier le signe de $$f(x)-g(x).$$ Un résultat positif place la courbe de $f$ au-dessus de celle de $g$ ; un résultat négatif la place au-dessous. Les zéros de la différence donnent les abscisses d’intersection des courbes.

Exemple - Une comparaison qui dépend de l’intervalle

Soient $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+2$, définies sur $\mathbb{R}$. On calcule $$f(x)-g(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2).$$ Le produit est positif pour $x<-1$ ou $x>2$, nul en $-1$ et $2$, et négatif pour $-1<x<2$. Ainsi $$f(x)\le g(x)\iff x\in[-1;2].$$ Les intersections sont $A(-1;1)$ et $B(2;4)$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Entre les deux abscisses d’intersection, la parabole est au-dessous de la droite. L’étude du produit confirme exactement ce que le dessin suggère.

Si l’on multiplie une inégalité par une expression dépendant de $x$, il faut connaître son signe. Un dénominateur négatif inverse le sens de l’inégalité ; un dénominateur nul exclut la valeur de $x$. Étudier directement la différence sous forme d’un quotient évite souvent une multiplication incorrecte.

Monotonie et taux de variation

Comparer deux images dans l’ordre des abscisses

Sur un intervalle $I$, $f$ est croissante si, pour tous $a,b\in I$, $$a<b\ \Longrightarrow\ f(a)\le f(b).$$ Elle est strictement croissante si l’inégalité entre les images est stricte. Pour une fonction décroissante, on a $f(a)\ge f(b)$ ; pour une fonction strictement décroissante, $f(a)>f(b)$.

Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante au sens large. Une seule comparaison, telle que $f(1)<f(3)$, ne suffit pas à établir la croissance sur tout un intervalle : la définition concerne toutes les paires de points.

Le taux de variation sur un intervalle

Pour $a,b\in D_f$ distincts, on appelle taux de variation entre $a$ et $b$ le quotient $$\boxed{\tau_f(a,b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.}$$ Il représente la variation moyenne des ordonnées par unité d’abscisse. C’est aussi le coefficient directeur de la droite passant par les deux points $(a;f(a))$ et $(b;f(b))$. Les deux abscisses sont distinctes ; ce quotient n’est pas défini pour $a=b$.

Si $a<b$, le dénominateur est positif. Sur un intervalle $I$, on obtient donc les critères : $$\begin{aligned} f\text{ croissante sur }I&\iff \tau_f(a,b)\ge0\text{ pour tous }a<b\text{ dans }I,\\ f\text{ décroissante sur }I&\iff \tau_f(a,b)\le0\text{ pour tous }a<b\text{ dans }I. \end{aligned}$$ Les inégalités strictes caractérisent de même la croissance ou la décroissance stricte. Pour $f(x)=mx+p$, le taux est constamment égal à $m$.

Exemple - Variations de la fonction carré

Pour $a<b$, $$b^2-a^2=(b-a)(a+b),\qquad \tau_f(a,b)=a+b.$$ Si $0\le a<b$, alors $a+b>0$ : $x^2$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Si $a<b\le0$, alors $a+b<0$ : elle est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$. Elle n’est pas monotone sur $\mathbb{R}$.

Exemple - Respecter les intervalles du domaine

Pour $r(x)=1/x$ et $a,b\ne0$ distincts, $$\tau_r(a,b)=\frac{1/b-1/a}{b-a}=-\frac1{ab}.$$ Lorsque $a$ et $b$ ont le même signe, $ab>0$ et le taux est négatif. La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$. On ne réunit pas ces deux conclusions en une décroissance sur tout $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ : $-1<1$, mais $r(-1)=-1<1=r(1)$.

Construire et exploiter un tableau de variations

Un tableau de variations range les abscisses de gauche à droite et résume les mouvements des images par des flèches. On y inscrit les valeurs aux bornes qui appartiennent au domaine et aux points où le sens de variation change.

Exemple - Une expression sous forme d’un carré

Sur $[-1;4]$, considérons $h(x)=5-(x-2)^2$. Lorsque $x$ va de $-1$ à $2$, la distance $|x-2|$ diminue : son carré diminue, donc $h(x)$ augmente. De $2$ à $4$, cette distance augmente, donc $h(x)$ diminue. $$\begin{array}{c|ccccc} x&-1&&2&&4\\\hline h(x)&-4&\nearrow&5&\searrow&1 \end{array}$$ Ainsi le maximum est $5$, atteint en $2$. Le minimum est $-4$, atteint en $-1$ : il faut comparer les valeurs des deux extrémités, car le changement de sens en $2$ donne ici un maximum et non un minimum.

Les flèches permettent de comparer deux images dont les abscisses appartiennent à un même intervalle de monotonie. Lorsque les abscisses se trouvent sur deux branches différentes, le tableau ne suffit pas toujours. On peut alors calculer les images, les encadrer plus précisément ou utiliser une information supplémentaire.

Méthode de travail

Préciser le domaine et l’ensemble étudié ; tester la symétrie du domaine avant la parité ; factoriser une différence pour comparer ; préciser les paires d’abscisses pour les variations ; vérifier qu’une borne est atteinte avant de la nommer maximum ou minimum.

Exercices entièrement corrigés

Exercice 1 - Domaine et simplification

Déterminer le domaine de $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}$, puis calculer $f(-3)$ et $f(1)$. Déterminer aussi le domaine de $g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ; la simplification permet-elle de définir $g(2)$ ?

Correction. Pour $f$, il faut $x\ge-3$ et $x\ne2$, d’où $D_f=[-3;2[\cup]2;+\infty[$. On obtient $f(-3)=0$ et $f(1)=2/(-1)=-2$. Pour $g$, le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. On peut écrire $g(x)=x+2$ uniquement pour $x\ne2$. La fonction initiale n’a donc pas d’image en $2$.

Exercice 2 - Quatre tests de parité

Étudier la parité de $f(x)=x^4+3$ et $g(x)=x/(x^2+2)$ sur $\mathbb{R}$, de $h(x)=(x-1)^2$ sur $\mathbb{R}$, puis de $u(x)=x^2$ définie seulement sur $[0;2]$.

Correction. Les trois premiers domaines sont symétriques. On a $f(-x)=x^4+3=f(x)$ : $f$ est paire. Puis $g(-x)=-x/(x^2+2)=-g(x)$ : $g$ est impaire. Le dénominateur est toujours strictement positif.

Pour $h$, $h(1)=0$ et $h(-1)=4$ ; l’égalité des images et l’égalité à l’opposé de l’image échouent toutes deux. La fonction n’est ni paire ni impaire. Enfin, $[0;2]$ n’est pas symétrique : $2$ y appartient, mais $-2$ non. La fonction $u$ ainsi restreinte n’est ni paire ni impaire, même si la formule $x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ est paire.

Exercice 3 - Borne atteinte ou non

Pour $v(x)=3-\dfrac2{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}$, montrer que $1\le v(x)<3$. Donner un minimum, deux minorants et deux majorants. La fonction possède-t-elle un maximum ?

Correction. Comme $0<1/(1+x^2)\le1$, on a $0<2/(1+x^2)\le2$, puis $1\le v(x)<3$. La valeur $1$ est atteinte en $x=0$ : c’est le minimum. On peut prendre $1$ et $0$ comme minorants, $3$ et $4$ comme majorants.

Le majorant $3$ n’est jamais atteint. Pour exclure aussi tout autre maximum, fixons un réel $x$ et prenons $y=\sqrt{x^2+1}$. Alors $1+y^2=x^2+2>1+x^2$, donc $2/(1+y^2)<2/(1+x^2)$ et $v(y)>v(x)$. Aucune valeur de $v$ n’est la plus grande : il n’y a pas de maximum.

Exercice 4 - Positions relatives de deux courbes

Comparer sur $\mathbb{R}$ les fonctions $f(x)=x^2-3x$ et $g(x)=x-3$. Donner leurs points d’intersection et résoudre $f(x)<g(x)$.

Correction. La différence est $f(x)-g(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. Elle est strictement positive sur $]-\infty;1[\cup]3;+\infty[$, nulle en $1$ et $3$, et strictement négative sur $]1;3[$. Les intersections sont $(1;-2)$ et $(3;0)$. La courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g$ pour $1<x<3$, qui est donc l’ensemble des solutions de l’inéquation stricte.

Exercice 5 - Un taux positif ne suffit pas

Pour $f(x)=x^2-2x$, calculer les taux de variation entre $0$ et $1$, entre $1$ et $3$, puis entre $0$ et $3$. Peut-on conclure que $f$ est croissante sur $[0;3]$ ?

Correction. On a $f(0)=0$, $f(1)=-1$ et $f(3)=3$. Les taux valent $$\tau_f(0,1)=-1,\qquad \tau_f(1,3)=\frac{3-(-1)}{3-1}=2,\qquad \tau_f(0,3)=1.$$ La fonction n’est pas croissante sur $[0;3]$, puisque $0<1$ mais $f(0)>f(1)$. Le taux global positif compare seulement les deux extrémités. Plus généralement, $\tau_f(a,b)=a+b-2$ pour $a\ne b$, et son signe dépend des points choisis.

Exercice 6 - Variations d’une fonction rationnelle

Soit $r(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}$. Déterminer son domaine et montrer qu’elle est strictement croissante sur chacun des intervalles $]-\infty;-2[$ et $]-2;+\infty[$. Est-elle croissante sur leur réunion ?

Correction. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$. On écrit $r(x)=2-3/(x+2)$. Pour $a<b$ dans un même intervalle du domaine, $$r(b)-r(a) =\frac{3(b-a)}{(a+2)(b+2)}.$$ Les deux facteurs du dénominateur ont le même signe ; leur produit est positif. Le numérateur est aussi positif, donc $r(b)>r(a)$, ce qui prouve la croissance stricte sur chaque intervalle.

Sur la réunion, prendre $a=-3$ et $b=-1$ donne $a<b$, mais $r(a)=5>-1=r(b)$. La fonction n’est donc pas croissante sur l’ensemble de son domaine.

Exercice 7 - Lire une ligne brisée

La fonction $F$ a pour courbe la ligne brisée reliant successivement $A(-3;1)$, $B(-1;4)$, $C(2;-2)$ et $D(4;2)$, extrémités comprises. Donner le domaine, les variations, le minimum et le maximum. Déterminer $F(0)$, les zéros de $F$, puis les solutions de $F(x)\ge2$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Correction. Le domaine est $[-3;4]$. La fonction est strictement croissante sur $[-3;-1]$, strictement décroissante sur $[-1;2]$, puis strictement croissante sur $[2;4]$. Son maximum est $4$, atteint en $-1$, et son minimum est $-2$, atteint en $2$.

Sur le segment $BC$, la pente vaut $(-2-4)/(2+1)=-2$, donc $F(x)=2-2x$ pour $-1\le x\le2$. Ainsi $F(0)=2$ et le zéro de ce segment est $x=1$. Sur $CD$, on a $F(x)=2x-6$, d’où l’autre zéro $x=3$. Le segment $AB$ reste strictement au-dessus de l’axe des abscisses.

Sur $AB$, la pente vaut $3/2$ et $F(x)=(3/2)x+11/2$ ; l’égalité $F(x)=2$ donne $x=-7/3$. Les trois intersections avec $y=2$ ont donc pour abscisses $-7/3$, $0$ et $4$. En tenant compte des portions au-dessus de cette droite, $$\boxed{F(x)\ge2\iff x\in[-7/3;0]\ \cup\ \{4\}.}$$

Exercice 8 - Ce qu’un tableau permet de comparer

Une fonction $u$ est définie sur $[-4;5]$ et strictement monotone dans le sens de chaque flèche : $$\begin{array}{c|ccccccc} x&-4&&-1&&2&&5\\\hline u(x)&3&\searrow&-2&\nearrow&4&\searrow&1 \end{array}$$ Donner ses extrema. Comparer $u(-3)$ et $u(-2)$. Le tableau permet-il de comparer $u(0)$ et $u(4)$ ?

Correction. Sur les trois branches, toutes les valeurs sont comprises entre $-2$ et $4$. Ces deux valeurs sont atteintes : le minimum est $-2$ en $-1$, le maximum est $4$ en $2$.

Comme $-3<-2$ et que $u$ est strictement décroissante sur $[-4;-1]$, on a $u(-3)>u(-2)$. En revanche, $-2<u(0)<4$ et $1<u(4)<4$. Ces encadrements se recouvrent : le tableau ne fixe pas l’ordre entre $u(0)$ et $u(4)$. Des abscisses situées sur deux branches différentes exigent ici une information supplémentaire.

Exercice 9 - Extrema sur un intervalle imposé

Étudier les variations de $q(x)=9-(x-1)^2$ sur $[-2;5]$. Déterminer ses extrema sur cet intervalle et résoudre $q(x)\ge5$.

Correction. La distance à $1$ diminue de $-2$ à $1$, puis augmente de $1$ à $5$. Donc $q$ croît strictement sur $[-2;1]$ et décroît strictement sur $[1;5]$. Les valeurs remarquables sont $q(-2)=0$, $q(1)=9$ et $q(5)=-7$. Le maximum est $9$, atteint en $1$ ; le minimum est $-7$, atteint en $5$.

Enfin, $$9-(x-1)^2\ge5 \iff (x-1)^2\le4 \iff -2\le x-1\le2 \iff -1\le x\le3.$$ Cet intervalle est inclus dans $[-2;5]$ ; l’ensemble des solutions est donc $[-1;3]$.

Exercice 10 - Comparer deux modèles de coût

Un atelier fictif propose deux procédés de reproduction d’une affiche, pour un nombre entier $n$ de tirages compris entre $0$ et $30$. Les coûts en DH sont $C_A(n)=12+3n$ et $C_B(n)=5n$ ; le premier modèle inclut $12$ DH de préparation. Comparer les deux tarifs. Avec un budget de $80$ DH, déterminer le nombre maximal de tirages permis par chaque modèle.

Correction. La différence est $C_A(n)-C_B(n)=12-2n$. Elle est positive pour $n<6$, nulle pour $n=6$, négative pour $n>6$. Le tarif B est donc moins cher de $0$ à $5$ tirages ; les tarifs coûtent tous deux $30$ DH pour $6$ tirages ; A est moins cher de $7$ à $30$ tirages.

Pour A, $12+3n\le80$ donne $n\le68/3$. Le nombre entier maximal est $22$, dont le coût est $78$ DH ; $23$ tirages coûteraient $81$ DH. Pour B, $5n\le80$ donne $n\le16$, soit $16$ tirages. Les deux maxima sont compatibles avec la borne de $30$ tirages. Le domaine entier impose de vérifier les valeurs voisines, et non d’arrondir au plus proche.