Fonctions numériques et graphiques - Cours et exercices corrigés | TC lettres et enseignement originel

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Passer d’une situation, d’un tableau ou d’une formule à une fonction ; lire images, antécédents et variations ; représenter les fonctions de référence ; résoudre des questions graphiques et des problèmes simples de coût ou d’aire.

Méthode. On travaille avec l’algèbre, les propriétés de l’ordre et les représentations graphiques. Une lecture sur un dessin est généralement approchée ; une formule ou des coordonnées annoncées exactes permettent de confirmer un résultat exact. Aucun calcul de dérivée n’est nécessaire.

Définir une fonction et son domaine

Une fonction numérique $f$ associe à chaque réel $x$ d’un ensemble $D_f$ un unique réel noté $f(x)$. L’ensemble $D_f$ est le domaine de définition. La lettre $x$ est la variable, et $f(x)$ est son image.

Un réel $x$ est un antécédent de $y$ lorsque $x\in D_f$ et $f(x)=y$. Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents, mais une entrée appartenant au domaine ne possède qu’une seule image.

Exemple - Image et antécédents ne sont pas interchangeables

Pour $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$, l’image de $-3$ est $9$. Les antécédents de $9$ sont $-3$ et $3$. Le nombre $-1$ n’a aucun antécédent, car un carré est positif ou nul.

Une formule, un tableau ou une situation

La formule $f(x)=2x+3$ donne une image pour tout réel : son domaine peut être $\mathbb{R}$. Si cette formule représente le prix d’une quantité $x$ positive, le domaine du modèle sera limité aux quantités possibles.

Pour $g(x)=4/x$, la division impose $x\ne0$, donc $D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. On ne place aucun point de la courbe ayant pour abscisse $0$. Le domaine doit être indiqué même lorsque l’expression semble familière.

Un tableau fini peut définir une fonction seulement pour les entrées qui y figurent. Si le tableau est un relevé partiel d’une fonction définie sur un intervalle, il faut le préciser : on ne connaît pas automatiquement les valeurs entre les observations.

Un domaine fait partie de la définition

Les formules $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ et $h(x)=x^2$ sur $[0;3]$ donnent la même valeur lorsque les deux sont définies, mais ce ne sont pas la même fonction. Leurs domaines, leurs antécédents possibles et certaines propriétés diffèrent.

Construire et lire une représentation graphique

Dans un repère, la courbe de $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x;f(x))$, pour $x\in D_f$. Pour savoir si $M(a;b)$ appartient à cette courbe, il faut vérifier $a\in D_f$ et $b=f(a)$.

Pour lire l’image de $a$, on part de l’abscisse $a$, on atteint la courbe verticalement, puis on lit l’ordonnée. Pour trouver les antécédents de $b$, on repère toutes les intersections avec la droite horizontale d’ordonnée $b$, puis on lit leurs abscisses.

Équations et inéquations sur un graphique

• $f(x)=0$ : abscisses des points où la courbe rencontre l’axe horizontal.

• $f(x)=k$ : abscisses des intersections avec la droite $y=k$.

• $f(x)\ge k$ : abscisses où la courbe est sur cette droite ou au-dessus.

• $f(x)\le g(x)$ : abscisses où la courbe de $f$ est sous celle de $g$, égalité comprise.

On conserve seulement les abscisses appartenant aux domaines concernés et on respecte le caractère strict ou large de la condition.

Tableau de valeurs et tracé

On choisit des valeurs de $x$ dans le domaine, on calcule leurs images, puis on place les points. Un tableau de valeurs prépare le dessin, mais quelques points ne déterminent pas à eux seuls toute une fonction. La forme connue de la fonction ou les informations données doivent guider le tracé entre les points.

Une droite verticale rencontre la courbe d’une fonction au plus une fois. Si un dessin attribue deux ordonnées différentes à la même abscisse, il ne représente pas une fonction de cette abscisse.

Variations, extrema et parité

Croissance et décroissance sur un intervalle

Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I\subseteq D_f$ si, pour tous $x_1,x_2\in I$, $$x_1<x_2\quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\le f(x_2).$$ Elle est décroissante si l’on obtient au contraire $f(x_1)\ge f(x_2)$. On dit strictement croissante ou décroissante lorsque l’inégalité entre les images est stricte. Une fonction constante vérifie à la fois les deux définitions larges.

Sur un graphique, on suit la courbe de gauche à droite : elle monte sur un intervalle de croissance, descend sur un intervalle de décroissance. Une fonction positive peut décroître, et une fonction négative peut croître : le signe des valeurs est différent du sens de variation.

Tableau de variations et extrema

Un minimum sur un domaine est une valeur atteinte qui est inférieure ou égale à toutes les autres images ; un maximum est une valeur atteinte supérieure ou égale à toutes les autres. Il faut donner la valeur et l’endroit où elle est atteinte, en précisant le domaine étudié.

Le tableau suivant décrit une fonction $f$ sur $[-2;4]$ :

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f(x)$	$3$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$2$

Il signifie que $f$ décroît de $3$ à $-1$, puis croît jusqu’à $2$. Son minimum sur cet intervalle est $-1$, atteint en $1$, et son maximum est $3$, atteint en $-2$. Le tableau ne donne pas une formule unique ni la valeur exacte de $f(0)$ ; on peut seulement l’encadrer entre $-1$ et $3$.

Fonctions paires et impaires

On commence par vérifier que le domaine est symétrique par rapport à $0$ : si $x$ appartient au domaine, $-x$ doit aussi lui appartenir.

Deux identités, sur tout le domaine

La fonction est paire si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in D_f$. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical.

La fonction est impaire si $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in D_f$. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

La fonction $x\mapsto x^2$ est paire sur $\mathbb{R}$, et $x\mapsto1/x$ est impaire sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Pour $f(x)=x+1$, on a $f(-x)=1-x$, qui n’est identiquement ni $x+1$ ni $-(x+1)$ : cette fonction n’est ni paire ni impaire. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une identité ; quelques vérifications ne suffisent pas à la prouver sur un domaine infini.

Fonctions constantes, linéaires et affines

Formes et variations

Une fonction constante s’écrit $f(x)=k$. Sa courbe est la droite horizontale d’ordonnée $k$.

Une fonction linéaire s’écrit $f(x)=ax$ ; elle traduit une situation de proportionnalité et sa droite passe par l’origine. Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$. Le nombre $b=f(0)$ est l’ordonnée à l’origine ; le nombre $a$ est le coefficient directeur.

Pour $x_1<x_2$, la différence $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$ donne immédiatement les variations : la fonction est strictement croissante si $a>0$, strictement décroissante si $a<0$, constante si $a=0$.

Deux points distincts suffisent pour tracer la droite. Si l’on connaît $(x_1;y_1)$ et $(x_2;y_2)$ avec $x_1\ne x_2$, on retrouve $$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad b=y_1-ax_1.$$ Ces formules doivent être appliquées à une fonction dont le caractère affine est connu, et non à n’importe quelle courbe passant par les deux points.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Sur $[-1;3]$, $f$ croît et $g$ décroît. Leurs courbes se rencontrent en $I$ ; avant l’abscisse $1$, la courbe de $f$ est sous celle de $g$.

Une formule affine valable sur chaque intervalle

Une situation peut changer de règle au-delà d’un seuil. Par exemple, pour une durée $t\in[0;6]$, on définit $$T(t)=\begin{cases}5t&\text{si }0\le t\le2,\\10+3(t-2)&\text{si }2<t\le6.\end{cases}$$ La première partie est linéaire ; la seconde est affine, avec $10+3(t-2)=3t+4$. Les deux formules donnent la même valeur $10$ au seuil, mais le domaine de chaque ligne reste à respecter. On trace chaque segment uniquement sur son intervalle.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La pente change après $2$, mais les valeurs continuent à augmenter. La courbe représente une seule fonction, avec une seule image au seuil.

Fonctions $x\mapsto ax^2$ et $x\mapsto a/x$

Multiples du carré

Pour $a\ne0$, la courbe de $f(x)=ax^2$ est une parabole de sommet $O$, symétrique par rapport à l’axe vertical. Pour $a>0$, la fonction décroît sur $]-\infty;0]$, croît sur $[0;+\infty[$ et atteint son minimum $0$ en $0$. Pour $a<0$, les sens sont inversés et $0$ est son maximum.

Ces variations viennent de l’ordre des carrés : lorsque deux nombres négatifs se rapprochent de zéro, leurs carrés diminuent ; sur les nombres positifs, leurs carrés augmentent. Multiplier par $a<0$ inverse l’ordre. Le cas $a=0$ donne une fonction constante, dont la courbe n’est pas une parabole.

Multiples de l’inverse

La fonction $g(x)=a/x$ se définit sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Si $a\ne0$, elle est impaire et sa courbe comporte deux branches. Lorsque $a>0$, elle est strictement décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$. Si $a<0$, elle est strictement croissante sur chacun d’eux.

Il faut distinguer les deux intervalles. Par exemple, $1/x$ n’est pas décroissante sur tout $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ : $-1<1$, mais $1/(-1)=-1<1=1/1$, contrairement à ce qu’exigerait une décroissance globale. La formule $0/x$ vaut zéro pour $x\ne0$ ; si ce domaine est conservé, elle reste non définie en $0$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

À gauche, les points d’abscisses opposées ont la même hauteur. À droite, ils sont symétriques par rapport à l’origine. Aucun segment ne relie les deux branches à travers $x=0$.

Une fonction du second degré dans le repère initial

Pour $a\ne0$, la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta,\qquad \alpha=-\frac{b}{2a},\quad\beta=f(\alpha).$$ Cette forme canonique donne le sommet $S(\alpha;\beta)$ et l’axe de symétrie vertical $x=\alpha$. On conserve le même repère : les coordonnées du sommet et des points sont toujours les coordonnées initiales.

Variations et extremum

Si $a>0$, la fonction décroît sur $]-\infty;\alpha]$, croît sur $[\alpha;+\infty[$ et a pour minimum $\beta$, atteint en $\alpha$.

Si $a<0$, elle croît puis décroît sur ces mêmes intervalles et a pour maximum $\beta$, atteint en $\alpha$.

En effet, $(x-\alpha)^2\ge0$ et ce carré diminue lorsque $x$ se rapproche de $\alpha$, puis augmente après. Pour représenter la parabole, on place le sommet, quelques points de part et d’autre de son axe, l’ordonnée à l’origine et les éventuelles intersections avec l’axe horizontal.

Exemple - $f(x)=x^2-2x-3$

On écrit $f(x)=(x-1)^2-4$. Le sommet est $S(1;-4)$ ; le minimum est $-4$. Comme $f(x)=(x+1)(x-3)$, les zéros sont $-1$ et $3$. Les valeurs $f(0)=f(2)=-3$ donnent deux points symétriques.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f(x)$		$\searrow$	$-4$	$\nearrow$

Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ indiquent ici les intervalles non bornés de la variable ; on ne leur attribue pas une image.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le dessin donne $f(x)\le0$ pour $x\in[-1;3]$. On retrouve exactement cet intervalle en étudiant le signe de $(x+1)(x-3)$.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Une fonction définie par un tableau

Le tableau définit $f$ uniquement sur $D=\{-2,-1,0,1,2\}$ :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$

Lire $f(1)$, les antécédents de $0$ et de $-1$, et décider si $f(3)$ existe. La fonction est-elle paire sur son domaine ?

Correction. On lit $f(1)=0$. Les antécédents de $0$ sont $-1$ et $1$ ; celui de $-1$ est seulement $0$. Comme $3\notin D$, $f(3)$ n’est pas défini. Le domaine est symétrique, et les images des deux paires d’entrées opposées sont égales ; $0$ est son propre opposé. Tous les points du domaine étant vérifiés, $f$ est paire. On ne prolonge pas cette fonction entre les entrées sans une règle supplémentaire.

Exercice 2 - Une fonction affine décroissante

Pour $f(x)=-3x+6$ sur $\mathbb{R}$, calculer $f(4)$, trouver l’antécédent de $12$, le zéro de $f$ et les solutions de $f(x)\ge0$. Préciser les variations.

Correction. On a $f(4)=-12+6=-6$. L’équation $-3x+6=12$ donne $x=-2$, et $f(-2)=12$. Le zéro est $2$, car $-3x+6=0$ équivaut à $x=2$. Pour le signe positif, $-3x\ge-6$ donne $x\le2$ après division par $-3$, donc l’ensemble est $]-\infty;2]$. Enfin le coefficient directeur $-3$ est négatif : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3 - Carré, antécédents et restriction de domaine

Étudier la parité et les variations de $f(x)=2x^2$ sur $\mathbb{R}$. Résoudre $f(x)=8$ et $f(x)\le8$. Donner les extrema de la restriction à $[-2;3]$.

Correction. Le domaine est symétrique et $f(-x)=2x^2=f(x)$, donc $f$ est paire. Elle décroît sur $]-\infty;0]$, puis croît sur $[0;+\infty[$. L’équation $2x^2=8$ donne $x^2=4$, donc $x=-2$ ou $x=2$. L’inégalité $x^2\le4$ équivaut à $|x|\le2$, soit $[-2;2]$. Sur $[-2;3]$, le minimum est $0$, atteint en $0$. Les valeurs aux extrémités sont $8$ et $18$ ; le maximum est donc $18$, atteint en $3$. Il n’y a pas de maximum sur le domaine entier $\mathbb{R}$.

Exercice 4 - Inverse et deux intervalles de variation

Pour $g(x)=-6/x$, préciser le domaine, la parité et les variations. Calculer $g(2)$ et $g(-3)$, trouver l’antécédent de $3$ et encadrer $g(x)$ pour $-4\le x\le-1$.

Correction. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, symétrique. On a $g(-x)=6/x=-g(x)$, donc $g$ est impaire. Comme le coefficient $-6$ est négatif, elle croît strictement sur chacun des deux intervalles séparés par zéro. On obtient $g(2)=-3$, $g(-3)=2$, et $-6/x=3$ donne $x=-2$, qui appartient au domaine. Sur $[-4;-1]$, la croissance donne $$g(-4)=\frac32\le g(x)\le6=g(-1).$$ La croissance n’est pas globale sur le domaine troué : $-1<1$, mais $g(-1)=6>-6=g(1)$.

Exercice 5 - Construire l’étude d’une parabole

Pour $q(x)=x^2-4x+3$, déterminer la forme canonique, le sommet, les variations, les zéros et quatre points utiles au tracé. Résoudre $q(x)\le0$.

Correction. On écrit $q(x)=(x-2)^2-1=(x-1)(x-3)$. Le sommet est $(2;-1)$, et l’axe de symétrie est $x=2$. La fonction décroît jusqu’à $2$, puis croît ; son minimum est $-1$. Ses zéros sont $1$ et $3$. Les points $(0;3)$, $(1;0)$, $(3;0)$ et $(4;3)$ sont répartis symétriquement autour de l’axe. Enfin $(x-2)^2\le1$ équivaut à $1\le x\le3$, donc les solutions de $q(x)\le0$ sont $[1;3]$. Toutes les coordonnées restent dans le repère initial.

Exercice 6 - Parabole tournée vers le bas

Soit $r(x)=-2x^2+8x-3$. Trouver son maximum sur $\mathbb{R}$, résoudre $r(x)\ge3$ et déterminer son minimum sur $[0;3]$.

Correction. La forme canonique est $r(x)=5-2(x-2)^2$. Le terme soustrait est positif ou nul : le maximum est $5$, atteint uniquement en $2$. L’inégalité devient $-2(x-2)^2\ge-2$, puis $(x-2)^2\le1$ en divisant par $-2$ et en inversant le sens. Les solutions sont donc $[1;3]$. Sur $[0;2]$, $r$ croît ; sur $[2;3]$, elle décroît. Le minimum sur $[0;3]$ se cherche donc parmi $r(0)=-3$ et $r(3)=3$ : il vaut $-3$, atteint en $0$.

Exercice 7 - Une tarification par intervalles

On reprend $T(t)=5t$ pour $0\le t\le2$, et $T(t)=3t+4$ pour $2<t\le6$, où $t$ est une durée en heures et $T$ un coût en DH. Calculer $T(2)$ et $T(4)$ ; trouver quand $T(t)=16$, puis quand $T(t)\le16$.

Correction. Au seuil, on utilise la première branche : $T(2)=10$. Pour $4>2$, $T(4)=3\times4+4=16$. Dans la première branche, $5t=16$ donnerait $t=3{,}2$, hors de $[0;2]$ : cette valeur doit être rejetée. Dans la seconde, $3t+4=16$ donne $t=4$, qui est admis. Pour l’inégalité, toute la première branche convient puisque son coût est compris entre $0$ et $10$. Sur la seconde, $3t+4\le16$ donne $t\le4$, donc $2<t\le4$. La réunion des solutions est $[0;4]$.

Exercice 8 - Comparer deux offres affines

Sur $I=[-1;3]$, on considère $f(x)=2x+1$ et $g(x)=-x+4$. Leur graphique figure dans le cours. Déterminer exactement le point d’intersection et les abscisses pour lesquelles $f(x)\le g(x)$.

Correction. L’égalité $2x+1=-x+4$ équivaut à $3x=3$, donc $x=1$. L’ordonnée est $f(1)=g(1)=3$ : le point est $I(1;3)$. Pour l’inégalité, $2x+1\le-x+4$ donne $x\le1$. On intersecte avec le domaine de l’exercice : les solutions sont $[-1;1]$. La lecture graphique indiquait le même résultat ; le calcul justifie les coordonnées et les bornes exactes.

Exercice 9 - Une aire maximale sans dérivation

Un rectangle non dégénéré a un périmètre de $24$ m. On note $x$ une dimension. Exprimer l’autre dimension et l’aire $A(x)$ ; préciser le domaine. Trouver l’aire maximale et les dimensions donnant une aire de $27$ m$^2$.

Correction. Si l’autre dimension est $l$, $2(x+l)=24$ donne $l=12-x$. Les deux dimensions doivent être strictement positives : $0<x<12$. L’aire est $$A(x)=x(12-x)=36-(x-6)^2.$$ Elle ne dépasse pas $36$, et cette valeur est atteinte pour $x=6$, qui appartient au domaine. Le maximum vaut donc $36$ m$^2$, pour un carré de côté $6$ m. L’équation $A(x)=27$ donne $(x-6)^2=9$, donc $x=3$ ou $x=9$. Les deux valeurs sont admises et correspondent au même rectangle à l’ordre des dimensions près : $3$ m et $9$ m.

Exercice 10 - Vérifier la parité et le domaine

Déterminer la parité de $p(x)=x^2+2$ sur $\mathbb{R}$, de $q(x)=3/x$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, de $r(x)=x^2+x$ sur $\mathbb{R}$ et de $s(x)=x^2$ sur $[0;3]$.

Correction. Les trois premiers domaines sont symétriques. On a $p(-x)=x^2+2=p(x)$ : $p$ est paire. Pour $q$, $q(-x)=-3/x=-q(x)$ : elle est impaire. Pour $r$, les valeurs $r(1)=2$ et $r(-1)=0$ montrent qu’elle n’est ni paire ni impaire, car $0$ n’est ni $2$ ni $-2$. Enfin le domaine de $s$ n’est pas symétrique : $1$ y appartient, mais $-1$ non. Cette fonction restreinte n’est donc ni paire ni impaire au sens usuel, même si la formule du carré définit une fonction paire sur $\mathbb{R}$.

Une étude graphique bien conduite

Préciser le domaine et les unités ; distinguer image et antécédent ; lire le graphique à l’échelle ; annoncer les intervalles de variation ; distinguer valeur extrémale et abscisse où elle est atteinte ; contrôler les bornes et les branches ; confirmer par le calcul les résultats qui doivent être exacts.

Fin du cours et des exercices corrigés