Fonctions logarithmiques et applications - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Utiliser les logarithmes avec leurs conditions de définition, dériver une fonction par son logarithme, reconnaître les primitives de $u'/u$ et calculer des limites. Résoudre des équations, inéquations et systèmes, puis interpréter des seuils et des taux moyens dans des modèles commerciaux.

Le logarithme népérien

Une primitive particulière

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de $x\mapsto1/x$ sur $]0;+\infty[$ qui s’annule en $1$. Ainsi $$\boxed{\ln1=0},\qquad\boxed{(\ln x)'=\frac1x\quad(x>0)}.$$ Elle est continue et strictement croissante, puisque sa dérivée est positive. Ses limites sont $$\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.$$ Elle réalise donc une bijection de $]0;+\infty[$ vers $\mathbb{R}$. Le réel $e$ est l’unique nombre positif tel que $\ln e=1$ ; on a $e\approx2{,}71828$.

Signe, égalité et ordre

Pour $x>0$, $\ln x<0$ si $x<1$, $\ln x=0$ si $x=1$, et $\ln x>0$ si $x>1$. Pour $a,b>0$, $$\ln a=\ln b\iff a=b,\qquad\ln a\le\ln b\iff a\le b.$$

Déterminer le domaine avant de calculer

Un logarithme réel exige un argument strictement positif. Par exemple, $\ln(5-2x)$ est défini pour $x<5/2$, alors que $\ln(x^2+4)$ est défini sur $\mathbb{R}$. Pour une somme, chacun des logarithmes doit exister : $\ln(x-1)+\ln(x+2)$ exige $x>1$. Le seul fait que $(x-1)(x+2)>0$ ne suffit pas à définir les deux termes séparés.

Exemple - Un quotient à étudier par son signe

Pour $f(x)=\ln((x+1)/(x-3))$, le quotient est positif pour $x<-1$ ou $x>3$. Ainsi $$D_f=]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[.$$ Les points $-1$ et $3$ sont tous les deux exclus, pour des raisons différentes : argument nul au premier, quotient non défini au second.

Une valeur négative n’est pas un argument négatif

$\ln(1/2)$ existe et est négatif. En revanche, $\ln(-2)$ et $\ln0$ n’existent pas dans $\mathbb{R}$. La positivité porte sur l’argument, pas sur la valeur du logarithme.

Identités et changements de base

Pour $a,b>0$ et un entier $n$, les propriétés algébriques sont $$\boxed{\ln(ab)=\ln a+\ln b},\qquad \ln\frac ab=\ln a-\ln b,\qquad\ln(a^n)=n\ln a.$$ Pour $a>0$, $\ln\sqrt a=\tfrac12\ln a$. Plus généralement, la définition $a^r=e^{r\ln a}$ d’une puissance réelle donne $\ln(a^r)=r\ln a$.

Exemple - Développer seulement sur un domaine valable

Pour $x>2$, $$\ln\frac{(x-2)^3\sqrt{x+1}}{x^2} =3\ln(x-2)+\frac12\ln(x+1)-2\ln x.$$ Tous les arguments écrits sont positifs. La formule $\ln(x^2)=2\ln|x|$ est valable pour $x\ne0$ ; écrire $2\ln x$ aurait limité le domaine à $x>0$.

Logarithme de base positive différente de 1

Pour $a>0$, $a\ne1$ et $x>0$, on définit $$\boxed{\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}},\qquad (\log_a x)'=\frac1{x\ln a}.$$ Si $a>1$, la fonction est croissante et a le même signe que $\ln x$. Si $0<a<1$, elle est décroissante et son signe est opposé à celui de $\ln x$. Elle s’annule en $1$ dans les deux cas. Les propriétés de produit et de quotient restent valables. Pour $a>1$, les limites en $0^+$ et $+\infty$ sont $-\infty$ et $+\infty$. Pour $0<a<1$, elles sont $+\infty$ et $-\infty$. Le signe de $\ln a$ explique cette inversion.

Exemple - Une base inférieure à 1

Résoudre $\log_{1/2}(x+2)<-1$. Il faut $x>-2$. Comme $-1=\log_{1/2}2$ et que la fonction est décroissante, l’inégalité équivaut à $x+2>2$, soit $\boxed{x>0}$.

Le logarithme décimal

On note $\log x=\log_{10}x$. Pour $A>0$, l’équation $10^t=A$ a pour solution $t=\log A$. Par exemple, $10^t=2\,500$ donne $t=\log2\,500\approx3{,}39794$. Le nombre de chiffres d’un entier positif $N$ se détermine en encadrant $N$ entre deux puissances consécutives de $10$ : si $10^{d-1}\le N<10^d$, il possède $d$ chiffres. Le logarithme traduit cet encadrement en $d-1\le\log N<d$.

La somme ne se développe pas

Il n’existe pas d’identité $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$. Un logarithme transforme un produit en somme, pas une somme en somme de logarithmes.

Dérivation logarithmique et primitives

La dérivée d’un logarithme composé

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $$\boxed{(\ln u)'=\frac{u'}u}.$$ Si $u$ est dérivable et ne s’annule pas, la même formule vaut pour $\ln|u|$ sur l’intervalle considéré. Le signe de la dérivée de $\ln u$ est celui de $u'$, car $u>0$. Par exemple, $f(x)=\ln(1+2x)$ est dérivable sur $]-1/2;+\infty[$ et $f'(x)=2/(1+2x)>0$.

Dériver une fonction grâce à son logarithme

Pour $f>0$ dérivable, $f'/f=(\ln f)'$ est sa dérivée logarithmique. Si un produit ou un quotient se développe facilement après passage au logarithme, on peut calculer $(\ln f)'$, puis multiplier par $f$.

Exemple - Une expression à trois facteurs

Pour $x>0$, posons $f(x)=x^3\sqrt{x+2}/(x+1)>0$. Alors $$\ln f(x)=3\ln x+\tfrac12\ln(x+2)-\ln(x+1),$$ d’où $$\boxed{f'(x)=f(x)\left(\frac3x+\frac1{2(x+2)}-\frac1{x+1}\right)}.$$ La parenthèse est positive : $3/x-1/(x+1)=(2x+3)/(x(x+1))>0$, et le terme restant est positif. Ainsi $f$ est strictement croissante, sans développer son numérateur. Si une fonction peut être négative mais ne s’annule pas, on peut employer $\ln|f|$ intervalle par intervalle. Aux zéros de $f$, le quotient $f'/f$ n’existe pas : on utilise une autre méthode pour étudier ces points.

Reconnaître les primitives de u’/u

Sur un intervalle où $u$ est dérivable et non nulle, toutes les primitives de $u'/u$ sont $$\boxed{\ln|u|+C\qquad(C\in\mathbb{R})}.$$ La constante peut changer d’un intervalle à l’autre si le domaine est déconnecté. Si $u>0$, on peut supprimer la valeur absolue.

Exemple - Vérifier le numérateur

Pour $u(x)=2x^2+6x+7$, le discriminant vaut $-20<0$, donc $u>0$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $4x+6$. Une primitive de $(4x+6)/(2x^2+6x+7)$ est donc $\ln(2x^2+6x+7)$. Si le numérateur était $2x+3$, il faudrait prendre la moitié de ce logarithme. Un facteur constant se corrige ; un facteur variable ne se retire pas comme une constante.

Limites et croissance comparée

La dérivée fournit une limite locale

La dérivabilité de $\ln$ en $1$ donne $$\boxed{\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}h=1},\qquad \boxed{\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1}.$$ Pour une constante réelle $a$, $\ln(1+ax)/x\to a$ en $0$, sur un voisinage épointé où l’argument reste positif. Si $a\ne0$, on fait apparaître $ax$ au dénominateur ; si $a=0$, le quotient est nul.

Exemple - Un changement d’échelle

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+5x)}{2x} =\frac52\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+5x)}{5x}=\frac52.$$ La fonction n’est pas définie au point $x=0$, mais cela n’empêche pas la limite. L’argument $1+5x$ est positif pour tous les $x$ assez proches de $0$.

Le logarithme et les puissances entières

Pour tout entier $n\ge1$, $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0},\qquad \boxed{\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0}.$$ La croissance du logarithme est plus lente que celle de $x^n$ à l’infini. À l’approche de $0$ par valeurs positives, le produit tend vers $0$ bien que $\ln x\to-\infty$. Pour retrouver le second résultat à partir du premier, poser $t=1/x$ : $x^n\ln x=-\ln t/t^n$. Les résultats pour $n>1$ se déduisent aussi de ceux pour $n=1$ par multiplication par une puissance qui tend vers $0$.

Déduire une variante au lieu de la deviner

En posant $t=\sqrt x$, on obtient $\ln x/\sqrt x=2\ln t/t\to0$ en $+\infty$. Par conséquent, $$\frac{(\ln x)^2}{x}=\left(\frac{\ln x}{\sqrt x}\right)^2\longrightarrow0.$$ De même, $x\ln(1+1/x)\to1$ lorsque $x\to+\infty$, car avec $h=1/x$ le produit devient $\ln(1+h)/h$.

Un taux logarithmique et un petit taux ordinaire

La limite $\ln(1+h)/h\to1$ justifie l’approximation $\ln(1+h)\approx h$ pour un petit taux $h$. Ce n’est pas une égalité exacte. Pour des évolutions successives importantes, on conserve les logarithmes ou les coefficients multiplicateurs exacts.

Équations, inéquations et systèmes

Conserver des transformations équivalentes

On écrit d’abord le domaine, puis on utilise les propriétés algébriques et l’injectivité. Pour $u,v>0$, $\ln u=\ln v$ équivaut à $u=v$. Pour $u>0$, $\ln u=c$ équivaut à $u=e^c$.

Exemple - Une équation avec plusieurs arguments

Résolvons $\ln(x-2)+\ln(x+1)=\ln(2x+4)$. Les trois arguments sont positifs exactement lorsque $x>2$. Sur ce domaine, $$(x-2)(x+1)=2x+4\iff x^2-3x-6=0.$$ Les racines sont $(3\pm\sqrt{33})/2$. Seule la plus grande est supérieure à $2$, donc l’unique solution est $(3+\sqrt{33})/2$.

Changer d’inconnue lorsque le logarithme est au carré

L’équation $(\ln x)^2-4\ln x+3=0$ est définie pour $x>0$. Avec $t=\ln x\in\mathbb{R}$, elle devient $(t-1)(t-3)=0$. Les solutions sont donc $x=e$ et $x=e^3$. Le changement d’inconnue est bijectif entre $x>0$ et $t\in\mathbb{R}$.

Une inéquation et sa condition de positivité

Pour $\ln u\le\ln v$, on exige $u>0$, $v>0$, puis on résout $u\le v$. Pour $\ln u\le c$, on obtient $0<u\le e^c$ : la borne $0$ reste strictement exclue. Avec une base $0<a<1$, la fonction $\log_a$ est décroissante. Une comparaison entre deux logarithmes change alors le sens de l’inégalité entre les arguments.

Un système peut révéler un produit et un rapport

Résolvons $$\begin{cases}\ln x+\ln y=\ln18,\\\ln x-\ln y=\ln2.\end{cases}$$ Le domaine exige $x,y>0$. Les équations deviennent $xy=18$ et $x/y=2$. On a $x=2y$, puis $2y^2=18$. La seule racine positive est $y=3$, donc $x=6$. $$\boxed{(x,y)=(6,3)}.$$ La vérification donne $\ln6+\ln3=\ln18$ et $\ln6-\ln3=\ln2$. Les deux équations et les conditions initiales sont satisfaites.

Lire la solution dans le modèle

Si l’inconnue est un nombre de périodes entières, la solution réelle d’une équation ou d’une inéquation fournit un seuil. On choisit ensuite l’entier adapté et on vérifie le rang précédent. Un arrondi au plus proche ne donne pas toujours le premier rang admissible.

Une fonction d’indicateur et les évolutions cumulées

Étudier un indicateur normalisé

Dans un modèle, on pose $A(q)=\ln(1+q)/(1+q)$ pour $q\ge0$. Le paramètre $q$ représente un effort commercial normalisé. La formule est celle du modèle ; sa pertinence pour une entreprise réelle n’est pas supposée. La fonction est continue, $A(0)=0$, et $$A'(q)=\frac{1-\ln(1+q)}{(1+q)^2}.$$ Le dénominateur est positif. Le numérateur est positif si $q<e-1$, nul en $e-1$, négatif ensuite. L’indicateur croît jusqu’à $q=e-1$, puis décroît vers $0$ par croissance comparée de $\ln x/x$. $$\boxed{\max_{q\ge0}A(q)=\frac1e\text{, atteint pour }q=e-1}.$$

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La limite en $+\infty$ n’est pas une valeur atteinte à un effort fini positif. Le maximum se détermine par le signe de la dérivée, pas par une lecture approximative du dessin.

Additionner des logarithmes de coefficients

Si une grandeur subit $N\ge1$ évolutions $t_1,t_2,\ldots,t_N$, avec $t_i>-1$, son coefficient global et son logarithme vérifient $$Q=\prod_{i=1}^N(1+t_i)>0,\qquad\ln Q=\sum_{i=1}^N\ln(1+t_i).$$ Un taux constant $r>-1$ équivalent sur les $N$ périodes vérifie $(1+r)^N=Q$, soit $$\boxed{\ln(1+r)=\frac1N\sum_{i=1}^N\ln(1+t_i)}.$$ Le taux moyen équivalent est lié à une moyenne de logarithmes des coefficients, pas en général à la moyenne arithmétique des taux.

Exercices corrigés - Domaines et résolution

Exercice 1 - Un logarithme de quotient

Déterminer le domaine et la dérivée de $f(x)=\ln((x+2)/(x-1))$. Solution. Le quotient est strictement positif pour $x<-2$ ou $x>1$. Donc $D_f=]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$. Sur chacun de ces intervalles, $$f(x)=\ln|x+2|-\ln|x-1|, \qquad\boxed{f'(x)=-\frac3{(x+2)(x-1)}}.$$ Le produit au dénominateur est positif sur le domaine : la fonction décroît sur chacune des deux composantes. Écrire $\ln(x+2)-\ln(x-1)$ aurait perdu la branche $x<-2$.

Exercice 2 - Une équation et une racine exclue

Résoudre $\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln(4x-2)$. Solution. Les arguments sont positifs pour $x>1$. Sur cet intervalle, $$(x-1)(x+2)=4x-2\iff x^2-3x=0\iff x\in\{0;3\}.$$ Seule $3$ appartient au domaine. La vérification donne $\ln2+\ln5=\ln10$. Ainsi $\boxed{S=\{3\}}$.

Exercice 3 - Une inéquation à intersecter avec le domaine

Résoudre $\ln(x+3)\le\ln(2x+1)$. Solution. Les deux arguments exigent $x>-1/2$. La croissance de $\ln$ transforme ensuite l’inégalité en $x+3\le2x+1$, soit $x\ge2$. Ce dernier ensemble est inclus dans le domaine ; donc $\boxed{S=[2;+\infty[}$.

Exercice 4 - Un système de deux logarithmes

Résoudre $\ln x+\ln y=\ln40$ et $\ln x-\ln y=\ln(5/8)$. Solution. Sur $x,y>0$, on obtient $xy=40$ et $x/y=5/8$. Ainsi $x=5y/8$, puis $5y^2/8=40$, donc $y^2=64$. La positivité impose $y=8$, puis $x=5$. $$\boxed{(x,y)=(5,8)}.$$ Le produit est $40$ et le rapport $5/8$, ce qui vérifie les deux équations initiales. La racine $y=-8$ ne permettrait pas de prendre les logarithmes.

Exercices corrigés - Dérivées, primitives et limites

Exercice 5 - Calculer une dérivée logarithmique

Sur $]0;+\infty[$, dériver $F(x)=x^2(x+3)^4/(x+1)^3$ et déterminer son sens de variation. Solution. La fonction est strictement positive. On écrit $\ln F=2\ln x+4\ln(x+3)-3\ln(x+1)$, d’où $$\boxed{F'(x)=F(x)\left(\frac2x+\frac4{x+3}-\frac3{x+1}\right)}.$$ La parenthèse vaut $$\frac{2(x+3)(x+1)+4x(x+1)-3x(x+3)}{x(x+3)(x+1)} =\frac{3x^2+3x+6}{x(x+3)(x+1)}>0.$$ Donc $F'(x)>0$ et $F$ est strictement croissante. La dérivée de $\ln F$ seule n’est pas la dérivée de $F$.

Exercice 6 - Deux primitives et une condition

Trouver une primitive de $(6x+4)/(3x^2+4x+4)$ sur $\mathbb{R}$, puis la primitive $G$ de $1/(x\ln x)$ sur $]1;+\infty[$ telle que $G(e)=2$. Solution. Le trinôme $3x^2+4x+4$ est positif : son discriminant est $-32<0$ et son coefficient dominant est positif. Sa dérivée est $6x+4$, donc une primitive est $\boxed{\ln(3x^2+4x+4)}$. Sur $]1;+\infty[$, $\ln x>0$ et $(\ln(\ln x))'=1/(x\ln x)$. Ainsi $G(x)=\ln(\ln x)+C$. Comme $\ln(\ln e)=0$, la condition impose $C=2$ : $$\boxed{G(x)=\ln(\ln x)+2}.$$

Exercice 7 - Trois limites avec justification

Calculer $\lim_{x\to0}\ln(1+4x)/(2x)$, $\lim_{x\to1}\ln x/(x^3-1)$ et $\lim_{x\to+\infty}(\ln x)^2/x$. Solution. Le premier quotient vaut $2\ln(1+4x)/(4x)$, donc sa limite est $\boxed{2}$. Pour le deuxième, sur un voisinage épointé de $1$, $$\frac{\ln x}{x^3-1}=\frac{\ln x}{x-1}\frac1{x^2+x+1}\longrightarrow\boxed{\frac13}.$$ Pour le troisième, poser $t=\sqrt x$ donne $(\ln x)^2/x=4(\ln t/t)^2\to\boxed0$. La transformation utilise la croissance comparée de référence, et non une règle de simplification des logarithmes au carré.

Exercices corrigés - Bases et modèles commerciaux

Exercice 8 - Une base décroissante

Résoudre $\log_{1/4}(x-1)\ge-1/2$. Solution. Le domaine est $x>1$. Comme $(1/4)^{-1/2}=2$, on a $-1/2=\log_{1/4}2$. La fonction est décroissante, donc l’inégalité équivaut à $x-1\le2$. Après intersection avec le domaine, $$\boxed{S=]1;3]}.$$ Le point $1$ reste exclu, même si l’inégalité de départ est large.

Exercice 9 - Le premier rang d’un objectif de ventes

Un modèle prévoit $Q_n=2\,400(1{,}06)^n$ ventes après $n$ années. Déterminer la première année où la prévision atteint au moins $3\,600$. Solution. La condition équivaut à $(1{,}06)^n\ge1{,}5$. En prenant le logarithme et en divisant par $\ln(1{,}06)>0$, $$n\ge\frac{\ln(1{,}5)}{\ln(1{,}06)}.$$ On vérifie les deux entiers voisins : $1{,}06^6\approx1{,}41852<1{,}5$ et $1{,}06^7\approx1{,}50363>1{,}5$. La première année est donc $\boxed{n=7}$. On choisit le plus petit entier au moins égal au seuil réel, pas nécessairement son arrondi usuel.

Exercice 10 - Un taux moyen équivalent

Un indice vaut $100$, puis évolue de $+10\,\%$, de $-5\,\%$ et de $+8\,\%$ sur trois périodes. Déterminer l’indice final et exprimer le taux constant équivalent par période. Comparer la méthode à la moyenne arithmétique des trois taux. Solution. Le coefficient global est $$Q=1{,}10\times0{,}95\times1{,}08=1{,}1286.$$ L’indice final vaut donc $\boxed{112{,}86}$. Le taux constant $r>-1$ doit vérifier $(1+r)^3=1{,}1286$. Les logarithmes donnent $$3\ln(1+r)=\ln(1{,}1286),\qquad \boxed{r=\exp\left(\frac{\ln(1{,}1286)}3\right)-1}.$$ La moyenne arithmétique vaut $(10-5+8)/3=13/3\,\%$. Elle ne représente pas exactement ce taux composé : il faudrait vérifier le produit $(1+13/300)^3$, qui n’est pas $1{,}1286$. Les variations successives portent sur des bases différentes, d’où l’utilisation des coefficients multiplicateurs.