Fonctions logarithmiques - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences mathématiques

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Maîtriser les domaines et les identités logarithmiques, la dérivation logarithmique, les primitives de $u'/u$, les limites et la croissance comparée. Résoudre des systèmes et conduire des études de fonctions en conservant toutes les conditions de définition.

Définition et propriétés algébriques

La primitive de $1/x$ qui s’annule en $1$

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0;+\infty[$ par $$\ln1=0,\qquad(\ln x)'=\frac1x.$$ Elle est continue, strictement croissante, et ses limites sont $-\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$. Elle réalise donc une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$. Le nombre $e$ est l’unique réel positif tel que $\ln e=1$.

Le signe et les comparaisons

Pour $x>0$, $\ln x<0$ si $x<1$, $\ln x=0$ si $x=1$, et $\ln x>0$ si $x>1$. Pour $a,b>0$, $$\ln a=\ln b\iff a=b,\qquad \ln a\le\ln b\iff a\le b.$$

Produits, quotients et puissances

Pour $a,b>0$ et $n\in\mathbb{Z}$, $$\boxed{\ln(ab)=\ln a+\ln b},\qquad \ln(a/b)=\ln a-\ln b,\qquad\ln(a^n)=n\ln a.$$ Pour un entier $m\ge1$, $\ln(\sqrt[m]a)=\ln a/m$. Les racines sont ici prises avec un radicand strictement positif. Justification du produit. Pour $a>0$ fixé, la dérivée de $x\mapsto\ln(ax)-\ln x$ est nulle sur $]0;+\infty[$. Cette différence est constante et sa valeur en $1$ est $\ln a$. La formule du quotient suit en prenant $b$ et $1/b$ ; les puissances entières s’obtiennent par répétition et inversion.

Exemple - Un quotient de produits positifs

Pour $x>1$, $$\ln\frac{(x-1)^2\sqrt{x+2}}{x^3} =2\ln(x-1)+\frac12\ln(x+2)-3\ln x.$$ L’égalité est établie sur le domaine indiqué. Pour $x<1$, le carré ne permet pas d’écrire $\ln(x-1)$ : il faudrait conserver un domaine adapté et une valeur absolue.

Deux transformations qui ne sont pas des identités

Il n’existe pas de formule $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$. De plus, $\ln(x^2)=2\ln|x|$ pour $x\ne0$, tandis que $2\ln x$ n’est défini que pour $x>0$.

Dérivée composée et dérivation logarithmique

Dériver sur le bon domaine

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $$\boxed{(\ln u)'=\frac{u'}u}\quad\text{sur }I.$$ Si $u$ est dérivable et ne s’annule pas, la même formule s’applique à $\ln|u|$ sur chaque intervalle considéré. La valeur absolue assure un argument positif ; elle ne réintroduit pas les zéros.

Exemple - Un logarithme de quotient

Pour $f(x)=\ln((x-1)/(x+2))$, le quotient doit être strictement positif : $$D_f=]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[.$$ Sur chacun de ces intervalles, on peut écrire $f=\ln|x-1|-\ln|x+2|$, donc $$f'(x)=\frac1{x-1}-\frac1{x+2}=\frac3{(x-1)(x+2)}.$$ Le calcul $\ln(x-1)-\ln(x+2)$ seul aurait perdu tout l’intervalle $]-\infty;-2[$.

Dériver un produit en dérivant son logarithme

Pour une fonction dérivable $f$ strictement positive, la quantité $f'/f$ est la dérivée logarithmique : $$\frac{f'}f=(\ln f)'.$$ Prendre le logarithme transforme produits et quotients en sommes et différences. Après dérivation, on multiplie par $f$ pour retrouver $f'$.

Exemple - Une formule plus courte et un signe lisible

Sur $]0;+\infty[$, posons $$f(x)=\frac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x^2+1}}>0.$$ Alors $$\ln f(x)=2\ln x+3\ln(x+1)-\tfrac12\ln(x^2+1),$$ donc $$f'(x)=f(x)\left(\frac2x+\frac3{x+1}-\frac{x}{x^2+1}\right).$$ Pour le signe, $2/x-x/(x^2+1)=(x^2+2)/(x(x^2+1))>0$ ; le troisième terme $3/(x+1)$ est aussi positif. La fonction est donc strictement croissante sur l’intervalle, sans développer un grand numérateur.

Dérivation logarithmique : traiter les zéros à part

La méthode peut s’utiliser avec $\ln|f|$ sur un intervalle où $f\ne0$. Si $f$ s’annule, on sépare les intervalles et l’on étudie le point lui-même par une autre méthode. Le quotient $f'/f$ n’y est pas défini.

Limites et croissance comparée

Deux limites locales de référence

La dérivabilité de $\ln$ en $1$ donne $$\boxed{\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}h=1},\qquad \boxed{\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1}.$$ Pour un réel $a$, $\ln(1+ax)/x\to a$ lorsque $x\to0$, sur un voisinage épointé où $1+ax>0$. Pour $a=0$, le quotient est nul ; sinon on fait apparaître $ax$ au dénominateur.

Exemple - Ramener une approche infinie à $0$

Lorsque $x\to+\infty$, $t=1/x\to0^+$ et $$x\ln\left(1+\frac1x\right)=\frac{\ln(1+t)}t\longrightarrow1.$$ Le produit $x\ln(1+1/x)$ présente d’abord une forme $\infty\times0$ : le changement de variable fournit la justification.

Le logarithme croît moins vite qu’une puissance

Les limites de référence sont $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0,\qquad \lim_{x\to0^+}x\ln x=0.$$ Pour tout entier $n\ge1$, on en déduit $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0},\qquad \boxed{\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0}.$$ Pour $n>1$, multiplier la première limite par $1/x^{n-1}\to0$ suffit. La seconde suit de $t=1/x\to+\infty$ et $x^n\ln x=-\ln t/t^n$.

Des variantes se déduisent par substitution

Pour comparer $\ln x$ à $\sqrt x$, posons $t=\sqrt x$ : $$\frac{\ln x}{\sqrt x}=2\frac{\ln t}{t}\longrightarrow0.$$ Par conséquent, $(\ln x)^2/x=(\ln x/\sqrt x)^2\to0$. En remplaçant $x$ par $1/t$, on obtient aussi $x(\ln x)^2\to0$ en $0^+$.

Exemple - Un carré de logarithme sur une racine

Avec $t=\sqrt[4]x$, $\ln x=4\ln t$ et $\sqrt x=t^2$. Ainsi $$\frac{(\ln x)^2}{\sqrt x}=16\left(\frac{\ln t}{t}\right)^2 \longrightarrow0\quad(x\to+\infty).$$

Équations, inéquations et systèmes

Le domaine précède l’équivalence

Pour résoudre une égalité de logarithmes, on exige d’abord que tous les arguments soient positifs. Puis l’injectivité permet de passer à l’égalité des arguments. Les racines obtenues doivent appartenir au domaine initial.

Exemple - Deux arguments ne se remplacent pas par leur produit au départ

Pour $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln(3x+1)$, le domaine est $x>1$. Sur ce domaine, l’équation équivaut à $$(x-1)(x+1)=3x+1\iff x^2-3x-2=0.$$ Les racines sont $(3\pm\sqrt{17})/2$, mais seule $(3+\sqrt{17})/2$ est supérieure à $1$. La condition $(x-1)(x+1)>0$ aurait été insuffisante pour les deux logarithmes séparés.

Une équation polynomiale en $\ln x$

Pour $(\ln x)^2-3\ln x+2=0$, le domaine est $x>0$. On pose $t=\ln x\in\mathbb{R}$, puis $(t-1)(t-2)=0$. D’où $x=e$ ou $x=e^2$. Le changement d’inconnue est bijectif : aucun réel $t$ n’est interdit.

Les inéquations gardent l’ordre pour $\ln$

Pour $\ln u\le\ln v$, on exige $u>0$, $v>0$, puis on résout $u\le v$. Pour $\ln u\le c$, on obtient $0<u\le e^c$. La borne inférieure reste stricte, même si l’inégalité initiale est large.

Un système peut devenir une somme et un produit

Résolvons $$\begin{cases}\ln x+\ln y=\ln12,\\\ln(x-y)=0.\end{cases}$$ Le domaine impose $x>y>0$. Les équations donnent $xy=12$ et $x-y=1$. En remplaçant $x$ par $y+1$, on obtient $y^2+y-12=0$, soit $(y-3)(y+4)=0$. Seul $y=3$ est positif, donc l’unique solution est $(x,y)=(4,3)$.

Vérifier un système dans les expressions initiales

Pour $(4,3)$, $\ln4+\ln3=\ln12$ et $\ln(4-3)=\ln1=0$. Le second couple algébrique $(-3,-4)$ est rejeté avant substitution car les logarithmes de $x$ et $y$ ne seraient pas définis.

Quand l’équation ne se résout pas explicitement

Une étude de variations peut prouver le nombre de solutions, même sans formule exacte. Le théorème des valeurs intermédiaires donne l’existence sur un intervalle ; la stricte monotonie donne l’unicité sur cet intervalle. Les accroissements finis peuvent ensuite contrôler l’erreur d’une approximation.

Autres bases et primitives logarithmiques

Définir une base autorisée

Pour $a>0$, $a\ne1$ et $x>0$, $$\boxed{\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}},\qquad (\log_a x)'=\frac1{x\ln a}.$$ Les règles de produit, quotient et puissance restent valables. Si $a>1$, $\log_a$ est croissante et a le même signe que $\ln$. Si $0<a<1$, elle est décroissante et son signe est inversé : positive pour $0<x<1$, négative pour $x>1$.

Pour $a>1$, les limites en $0^+$ et $+\infty$ sont $-\infty$ et $+\infty$ ; pour $0<a<1$, elles sont $+\infty$ et $-\infty$. La formule de changement de base permet de les lire directement.

Exemple - Une base qui inverse l’ordre

Résoudre $\log_{1/3}(x-2)>-1$. Le domaine est $x>2$ et $-1=\log_{1/3}3$. La fonction étant décroissante, on obtient $x-2<3$, donc $2<x<5$.

Le logarithme décimal

On note $\log x=\log_{10}x$. L’équation $10^t=A$, $A>0$, a pour solution $t=\log A$. Pour un entier positif $N$, $10^{d-1}\le N<10^d$ équivaut à $d-1\le\log N<d$ ; son nombre de chiffres décimaux est donc $\lfloor\log N\rfloor+1$.

Reconnaître une primitive de $u'/u$

Sur un intervalle où $u$ est dérivable et ne s’annule pas, $$\boxed{F(x)=\ln|u(x)|\quad\Longrightarrow\quad F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}}.$$ Les constantes d’intégration peuvent être différentes sur des intervalles disjoints. Si $u>0$, la valeur absolue peut être supprimée.

Exemple - Un dénominateur quadratique positif

Pour $u(x)=3x^2-4x+5$, le discriminant vaut $-44<0$, donc $u>0$ sur $\mathbb{R}$. Une primitive de $(6x-4)/(3x^2-4x+5)$ est $\ln(3x^2-4x+5)$. Sa dérivée redonne exactement le numérateur demandé.

Exemple - Un logarithme à l’intérieur d’un autre

Sur $]0;1[$ ou sur $]1;+\infty[$, $$\left(\ln|\ln x|\right)'=\frac1{x\ln x}.$$ Le point $1$ est exclu, et les deux intervalles doivent être traités séparément.

Une étude de fonction et deux inégalités

Étudier $F(x)=x-1-\ln x$

Le domaine est $]0;+\infty[$. On a $F'(x)=(x-1)/x$ : la fonction décroît jusqu’à $1$, puis croît. Son minimum global est $F(1)=0$. Les limites en $0^+$ et $+\infty$ valent $+\infty$ ; à l’infini, $F(x)=x(1-1/x-\ln x/x)$ permet de conclure.

La dérivée seconde est $F''(x)=1/x^2>0$, donc la fonction est strictement convexe. La droite $y=0$ est la tangente au point $(1,0)$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

L’inégalité $F(x)\ge0$ donne $$\boxed{\ln x\le x-1\quad(x>0)},$$ avec égalité seulement pour $x=1$. En l’appliquant à $1/x$, on obtient $\ln x\ge1-1/x$. Ainsi $$1-\frac1x\le\ln x\le x-1\quad(x>0).$$

Précision obtenue par les accroissements finis

Pour $0<a\le x,y\le b$, la dérivée de $\ln$ est comprise entre $1/b$ et $1/a$. Le théorème des accroissements finis donne $$\frac1b|x-y|\le|\ln x-\ln y|\le\frac1a|x-y|.$$ Ce contrôle est uniforme sur $[a;b]$. Il ne peut pas être étendu avec la même constante jusqu’à $0$, puisque $1/x$ y devient arbitrairement grand.

Une comparaison doit conserver ses hypothèses

Les inégalités logarithmiques portent sur des arguments strictement positifs. Une estimation uniforme de la dérivée exige un intervalle qui reste éloigné du point interdit $0$.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Domaine et équation composée

Résoudre $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln(3x+1)$. Solution. Le domaine est $x>1$. Sur ce domaine, on obtient $(x-1)(x+1)=3x+1$, donc $x^2-3x-2=0$. Seule la racine $(3+\sqrt{17})/2$ appartient au domaine ; l’autre est négative. Le produit et tous les arguments étant alors positifs, la réciproque de chaque transformation est valable.

Exercice 2 - Une inéquation et deux intervalles

Résoudre $\ln(x^2-3x+2)\le\ln2$. Solution. Le domaine est donné par $(x-1)(x-2)>0$, soit $x<1$ ou $x>2$. La croissance de $\ln$ donne $x^2-3x+2\le2$, soit $x(x-3)\le0$ et $x\in[0;3]$. Après intersection, $$S=[0;1[\cup]2;3].$$ Les points $1$ et $2$ sont exclus car l’argument y est nul, tandis que $0$ et $3$ sont inclus.

Exercice 3 - Un système logarithmique différent

Résoudre $\ln x+\ln y=\ln20$ et $\ln x-\ln y=\ln(5/4)$. Solution. Le domaine impose $x,y>0$. Les équations équivalent à $xy=20$ et $x/y=5/4$. Donc $x=5y/4$ et $5y^2/4=20$, soit $y^2=16$. La positivité donne $y=4$, puis $x=5$. Le couple $(5,4)$ vérifie les deux équations, et aucune autre solution positive n’est possible.

Exercice 4 - Calculer une dérivée logarithmique

Sur $]0;+\infty[$, dériver $f(x)=x^3\sqrt{x+1}/(x^2+1)$. Solution. La fonction est strictement positive, donc $$\ln f=3\ln x+\tfrac12\ln(x+1)-\ln(x^2+1).$$ Ainsi $$f'(x)=f(x)\left(\frac3x+\frac1{2(x+1)}-\frac{2x}{x^2+1}\right).$$ De plus $3/x-2x/(x^2+1)=(x^2+3)/(x(x^2+1))>0$. Tous les termes restants sont positifs, donc $f$ est strictement croissante sur son domaine.

Exercice 5 - Deux primitives et leurs intervalles

Trouver une primitive de $(4x+2)/(2x^2+2x+3)$ sur $\mathbb{R}$, puis une primitive de $1/(x\ln x)$ sur $]1;+\infty[$. Solution. Le premier dénominateur vaut $2(x+1/2)^2+5/2>0$ et sa dérivée est $4x+2$. On prend donc $F(x)=\ln(2x^2+2x+3)$. Sur $]1;+\infty[$, $\ln x>0$ et $G(x)=\ln(\ln x)$ convient, car $G'(x)=(1/x)/\ln x$. Toute autre primitive sur chacun de ces intervalles diffère d’une constante.

Exercice 6 - Trois limites et leurs justifications

Calculer $\lim_{x\to0}\ln(1+3x)/x$, $\lim_{x\to1}\ln x/(x^2-1)$ et $\lim_{x\to0^+}x(\ln x)^2$. Solution. Dans la première, $1+3x>0$ près de $0$ et $$\frac{\ln(1+3x)}x=3\frac{\ln(1+3x)}{3x}\longrightarrow3.$$ Pour la deuxième, sur un voisinage épointé de $1$, $$\frac{\ln x}{x^2-1}=\frac{\ln x}{x-1}\frac1{x+1}\longrightarrow\frac12.$$ Enfin, avec $t=1/x\to+\infty$, $x(\ln x)^2=(\ln t)^2/t\to0$ par croissance comparée, justifiée dans le cours par la substitution $s=\sqrt t$.

Exercice 7 - Étude d’un carré de logarithme

Étudier les variations et les limites de $g(x)=(\ln x)^2/x$ sur $]0;+\infty[$, et distinguer ses extrema locaux et globaux. Solution. On a $$g'(x)=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}.$$ Le signe est négatif sur $]0;1[$, positif sur $]1;e^2[$, puis négatif sur $]e^2;+\infty[$. La limite en $0^+$ est $+\infty$ : le numérateur et $1/x$ sont tous deux positifs et divergent. La limite en $+\infty$ vaut $0$ par croissance comparée.

La valeur $g(1)=0$ est un minimum global, car $g\ge0$. La valeur $g(e^2)=4/e^2$ est un maximum local, mais pas global puisque $g$ est non majorée près de $0$. La droite $y=0$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et n’est atteinte qu’au point $x=1$.

Exercice 8 - Une base inférieure à $1$

Résoudre $\log_{1/2}(x+1)\ge-2$. Solution. Il faut $x>-1$. Comme $-2=\log_{1/2}4$ et que cette fonction est décroissante, l’inégalité devient $x+1\le4$. La solution est donc $]-1;3]$. La borne $-1$ reste exclue, même si le signe est large.

Exercice 9 - Deux racines sans formule explicite

Montrer que $H(x)=x-\ln x-2$ possède exactement deux zéros sur $]0;+\infty[$. Solution. La fonction est continue, décroissante sur $]0;1]$ puis croissante sur $[1;+\infty[$, puisque $H'=(x-1)/x$. Sa valeur minimale est $H(1)=-1$. Ses deux limites aux extrémités du domaine valent $+\infty$. Le théorème des valeurs intermédiaires fournit donc un zéro de chaque côté de $1$, et la stricte monotonie sur chaque côté garantit l’unicité. Il y a exactement deux zéros.

Pour la racine $\beta>1$, on peut encadrer une erreur : sur $[3;4]$, $H'\ge2/3$. Comme $H(3)=1-\ln3<0$ et $H(4)=2-\ln4>0$, $\beta\in]3;4[$. Pour $t\in[3;4]$, les accroissements finis donnent $$|t-\beta|\le\frac32|H(t)|.$$ La méthode contrôle une approximation dès qu’un résidu est calculé ; elle ne suppose pas de formule fermée pour $\beta$.

Exercice 10 - Nombre de chiffres d’une puissance

Déterminer le nombre de chiffres décimaux de $3^{26}$, en utilisant $0{,}4771<\log3<0{,}4772$. Solution. Multiplier l’encadrement par $26$ donne $$12{,}4046<\log(3^{26})<12{,}4072.$$ Ainsi $12<\log(3^{26})<13$, donc $10^{12}<3^{26}<10^{13}$. Ce nombre possède $13$ chiffres. Les bornes fournies suffisent : aucune décimale supplémentaire n’est nécessaire pour décider la partie entière.