Fonctions exponentielles et puissances réelles - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences mathématiques

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Construire l’exponentielle comme réciproque de $\ln$, maîtriser les bases positives et les puissances réelles, dériver et chercher des primitives. Résoudre des équations et des systèmes, comparer des croissances et justifier des études de fonctions par les outils d’analyse.

L’exponentielle népérienne

La réciproque du logarithme

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, il existe donc un unique réel strictement positif $y$ tel que $\ln y=x$. On note ce réel $\exp x$ ou $e^x$.

Deux compositions, avec leurs domaines

$$\boxed{\ln(e^x)=x\quad(x\in\mathbb{R})},\qquad \boxed{e^{\ln t}=t\quad(t>0)}.$$ L’exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$, prend ses valeurs dans $]0;+\infty[$ et ne s’annule jamais. On a $e^0=1$, $e^1=e$ et $e^{-1}=1/e$.

La dérivée de la réciproque donne $$(\exp)'(x)=\frac1{\ln'(e^x)}=e^x>0.$$ Ainsi $\exp$ est dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et $$\lim_{x\to-\infty}e^x=0,\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty.$$ Pour $s,t\in\mathbb{R}$, $e^s=e^t\iff s=t$ et $e^s\le e^t\iff s\le t$. En particulier, $e^x<1\iff x<0$.

Les identités algébriques

En appliquant $\ln$ aux produits de nombres positifs, puis son injectivité, on obtient $$\boxed{e^{s+t}=e^se^t},\qquad e^{s-t}=\frac{e^s}{e^t},\qquad e^{-s}=\frac1{e^s},\qquad(e^s)^n=e^{ns}\quad(n\in\mathbb{Z}).$$

Exemple - Simplifier en conservant la structure

$$\frac{e^{2x+1}e^{-x}}{e^{x-2}}=e^{(2x+1)-x-(x-2)}=e^3.$$ En revanche, $e^s+e^t$ n’est pas égal à $e^{s+t}$. La somme peut parfois se factoriser : $e^{2x}+e^x=e^x(e^x+1)$.

Une équation impossible

$e^{u(x)}=0$ n’a aucune solution réelle, quels que soient les réels pour lesquels $u$ est défini. Diviser par une exponentielle définie est toujours permis.

Dérivées, primitives et limites locales

La fonction composée

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $$\boxed{(e^u)'=u'e^u}\quad\text{sur }I.$$ L’exponentielle composée a exactement le domaine de $u$. Son signe est toujours positif ; le signe de sa dérivée est celui de $u'$.

Exemple - Une dérivée et son signe

Pour $f(x)=e^{x^2-4x}$, $f'(x)=(2x-4)e^{x^2-4x}$. La fonction décroît jusqu’à $2$, puis croît ; son minimum global vaut $f(2)=e^{-4}$. Pour $g(x)=xe^{-2x}$, la règle du produit donne $$g'(x)=e^{-2x}-2xe^{-2x}=(1-2x)e^{-2x}.$$

Reconnaître une primitive

La forme composée

Si $u$ est dérivable sur $I$, toutes les primitives de $u'e^u$ sur $I$ sont $e^u+C$, où $C\in\mathbb{R}$. En particulier, si $a\ne0$, $$\int ae^{ax+b}\,dx=e^{ax+b}+C,\qquad \int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C.$$ La notation $\int f(x)\,dx$ désigne ici une famille de primitives. Si $a=0$, la fonction est constante et une primitive est $xe^b$.

Par exemple, une primitive de $(6x-2)e^{3x^2-2x}$ est $e^{3x^2-2x}$. On vérifie toujours en dérivant. Une expression $e^{u(x)}$ seule ne possède pas automatiquement une primitive $e^{u(x)}/u'(x)$.

Les limites au voisinage de zéro

La dérivabilité de $\exp$ en $0$ donne $$\boxed{\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1}.$$ Pour une constante réelle $a$, $\lim_{x\to0}(e^{ax}-1)/x=a$. Pour $a\ne0$, on pose $h=ax$ ; pour $a=0$, le quotient est nul.

Exemple - Un quotient de deux différences

$$\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{e^{2x}-1} =\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{3x}\,\frac{2x}{e^{2x}-1}\,\frac32=\frac32.$$ Le dénominateur n’est nul que pour $x=0$ : le quotient est défini dans un voisinage épointé de $0$.

Bases positives et puissances réelles

La fonction exponentielle de base a

Pour $a>0$ et $x\in\mathbb{R}$, on définit $$\boxed{a^x=e^{x\ln a}},\qquad (a^x)'=(\ln a)a^x.$$ Les règles $a^{s+t}=a^sa^t$ et $a^{s-t}=a^s/a^t$ sont valables pour tous réels $s,t$. Si $a=1$, la fonction vaut constamment $1$.

Base	Variation	Limite en $-\infty$	Limite en $+\infty$
$a>1$	strictement croissante	$0$	$+\infty$
$0<a<1$	strictement décroissante	$+\infty$	$0$

Pour $a\ne1$, $a^s=a^t\iff s=t$. Une inégalité conserve son sens lorsque $a>1$ et le change lorsque $0<a<1$. Ainsi $(1/3)^{2x-1}\ge9=(1/3)^{-2}$ équivaut à $2x-1\le-2$, soit $x\le-1/2$. La limite locale est $$\boxed{\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a}\qquad(a>0).$$

La puissance d’exposant réel fixé

Pour $x>0$ et $\alpha\in\mathbb{R}$, on définit $$\boxed{x^\alpha=e^{\alpha\ln x}},\qquad (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.$$ Sur $]0;+\infty[$, cette définition prolonge les puissances entières et rationnelles usuelles. On a $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta$ et $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}$. La fonction est croissante si $\alpha>0$, décroissante si $\alpha<0$, constante si $\alpha=0$. Pour $\alpha>0$, ses limites sont $0$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$ ; elles s’inversent si $\alpha<0$.

Exemple - Base et exposant variables

Pour $x>0$, $x^x=e^{x\ln x}$, donc $$(x^x)'=x^x(1+\ln x).$$ Ce n’est ni la règle d’un exposant constant, ni celle d’une base constante : on commence par la définition exponentielle.

Domaine des puissances réelles

La définition générale $u^v=e^{v\ln u}$ suppose $u>0$. Des cas particuliers d’exposants entiers admettent d’autres bases, mais ils ne justifient pas une écriture générale avec une base négative.

Croissances comparées et études de limites

Pour tout entier $n\ge1$, $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty},\qquad \boxed{\lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0},\qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0}.$$ La première limite implique la deuxième par inversion, puis la troisième s’obtient en posant $t=-x$. Le signe de $x^n$ n’empêche pas la convergence vers $0$. Lien avec la croissance logarithmique. Posons $t=e^{x/n}$ lorsque $x\to+\infty$. Alors $t\to+\infty$, $x=n\ln t$ et $$\frac{x^n}{e^x}=n^n\left(\frac{\ln t}{t}\right)^n\longrightarrow0.$$ La croissance comparée de $\ln$ permet ainsi de retrouver le résultat exponentiel.

Changer l’échelle avant d’appliquer la règle

Pour $c>0$, $x^ne^{-cx}\to0$ en $+\infty$ : poser $t=cx$ ramène à $c^{-n}t^ne^{-t}$. Plus généralement, l’exponentielle domine une puissance réelle $x^\alpha$ en $+\infty$. Pour $\alpha>0$, on choisit un entier $n>\alpha$ et on utilise $0\le x^\alpha e^{-cx}\le x^ne^{-cx}$ pour $x\ge1$ ; si $\alpha\le0$, le majorant $e^{-cx}$ suffit.

Exemple - Une différence à l’infini

$$e^{2x}-x^5=e^{2x}\bigl(1-x^5e^{-2x}\bigr)\longrightarrow+\infty.$$ Le facteur entre parenthèses tend vers $1$ ; cette factorisation lève la forme $+\infty-(+\infty)$.

Exemple - Une puissance à base variable

Pour $x>0$, $x^{1/x}=e^{\ln x/x}$. Comme $\ln x/x\to0$ en $+\infty$, $$\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}=1.$$ De même $x^x=e^{x\ln x}\to1$ en $0^+$, puisque $x\ln x\to0$. Les symboles $\infty^0$ et $0^0$ ne constituent pas des règles de calcul de limites.

Primitives d’une exponentielle de base quelconque

Si $a>0$, $a\ne1$, une primitive de $a^x$ est $a^x/\ln a$. Pour une composée, la formule $$\int u'(x)a^{u(x)}\,dx=\frac{a^{u(x)}}{\ln a}+C$$ se vérifie par dérivation. Le cas $a=1$ se traite directement : l’intégrande est alors $u'$.

Équations, inéquations et systèmes

Choisir une inconnue positive

Quand une expression contient $e^{2x}$ et $e^x$, poser $X=e^x$ impose $X>0$. On résout l’équation algébrique en $X$, on rejette les valeurs non positives, puis on revient à $x=\ln X$.

Exemple - Une racine à rejeter

$$e^{2x}+e^x-6=0\iff X^2+X-6=0\iff(X+3)(X-2)=0.$$ Seule la valeur $X=2$ est positive. La solution unique est $x=\ln2$. Pour les inéquations, un tableau de signes en $X$ donne un ensemble que l’on intersecte avec $]0;+\infty[$ avant de revenir à $x$. La croissance de $\ln$ préserve le sens des comparaisons.

Passer par le logarithme

Une égalité $a^x=b^y$ avec $a,b>0$ équivaut à $x\ln a=y\ln b$. Si une base vaut $1$, son logarithme est nul : on ne doit pas diviser par lui.

Exemple - Une équation de deux bases

$3^{x+1}=2^{2x}$ équivaut à $(x+1)\ln3=2x\ln2$. Comme $2\ln2-\ln3=\ln(4/3)>0$, $$x=\frac{\ln3}{\ln(4/3)}.$$

Un système devient algébrique

Résolvons $e^x+e^y=7$ et $e^{x-y}=6$. Posons $X=e^x>0$, $Y=e^y>0$. Les équations deviennent $X+Y=7$ et $X/Y=6$, donc $X=6Y$, $Y=1$, $X=6$. $$\boxed{(x,y)=(\ln6,0)}.$$ Le retour aux variables d’origine ne perd aucune solution puisque $\exp$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers les réels strictement positifs.

Une méthode de résolution complète

Écrire le domaine ; effectuer une transformation équivalente ; respecter les contraintes de la nouvelle variable ; revenir à l’inconnue initiale ; vérifier les valeurs dans les équations de départ. Le logarithme d’une somme ne se distribue pas sur ses termes.

Une étude de fonction et deux inégalités

Soit $f(x)=(x+1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. On a $$f'(x)=-xe^{-x},\qquad f''(x)=(x-1)e^{-x}.$$ La fonction croît sur $]-\infty;0]$, décroît sur $[0;+\infty[$ et atteint son maximum global $1$ en $0$. Son unique zéro est $-1$. Ses limites sont $-\infty$ en $-\infty$ et $0$ en $+\infty$ ; la droite $y=0$ est une asymptote à droite. Le signe de $f''$ change en $1$, donnant le point d’inflexion $(1;2/e)$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La tangente donne une inégalité globale

L’inégalité $f(x)\le1$, multipliée par $e^x>0$, donne $$\boxed{e^x\ge1+x\quad(x\in\mathbb{R})}.$$ L’égalité a lieu uniquement pour $x=0$. La tangente à la courbe de $\exp$ en $0$ est donc $y=1+x$, située sous la courbe.

Encadrer un écart par les accroissements finis

Pour $a\le x,y\le b$, le théorème des accroissements finis appliqué à $\exp$ donne, si $x\ne y$, un réel $c$ entre $x$ et $y$ tel que $e^x-e^y=e^c(x-y)$. D’où $$\boxed{e^a|x-y|\le|e^x-e^y|\le e^b|x-y|}.$$ Les inégalités restent vraies si $x=y$. Par exemple, pour $0\le h\le0{,}1$, $h\le e^h-1\le e^{0{,}1}h$. Un contrôle de la dérivée fournit un contrôle de l’erreur.

Exercices corrigés - Algèbre et calcul

Exercice 1 - Deux racines exponentielles

Résoudre $e^{2x}-5e^x+6=0$. Solution. Avec $X=e^x>0$, on obtient $(X-2)(X-3)=0$. Les deux racines sont positives. Par bijectivité de $\exp$, $$\boxed{S=\{\ln2;\ln3\}}.$$ Les substitutions donnent respectivement $4-10+6=0$ et $9-15+6=0$.

Exercice 2 - Deux bases distinctes

Résoudre $2^x=5^{1-x}$. Solution. Les deux membres sont positifs pour tout réel $x$. Prendre leur logarithme donne $x\ln2=(1-x)\ln5$, soit $x\ln10=\ln5$. Comme $\ln10\ne0$, $$\boxed{x=\frac{\ln5}{\ln10}}.$$ Cette valeur appartient à $]0;1[$, car $0<\ln5<\ln10$.

Exercice 3 - Un intervalle de solutions

Résoudre $e^{2x}-3e^x+2\le0$. Solution. Le trinôme $(X-1)(X-2)$ est négatif ou nul pour $1\le X\le2$. Ces valeurs satisfont $X>0$. En revenant à $X=e^x$ et en prenant le logarithme croissant, $$\boxed{S=[0;\ln2]}.$$ Les deux bornes sont incluses parce que l’inégalité n’est pas stricte.

Exercice 4 - Somme et produit dans un système

Résoudre $e^x+e^y=5$ et $e^{x+y}=6$. Solution. Posons $X=e^x>0$, $Y=e^y>0$. On cherche $X+Y=5$ et $XY=6$. Les deux nombres sont donc les racines de $T^2-5T+6=(T-2)(T-3)$. On obtient les couples $(X,Y)=(2,3)$ et $(3,2)$, tous deux admissibles. Ainsi $$\boxed{(x,y)\in\{(\ln2,\ln3);(\ln3,\ln2)\}}.$$ La somme des logarithmes vaut $\ln6$, ce qui vérifie la seconde équation.

Exercice 5 - Trois limites avec leur mécanisme

Calculer $A=\lim_{x\to+\infty}x(e^{1/x}-1)$, $B=\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-3x}$ et $C=\lim_{x\to0}(2^x-1)/x$. Solution. Pour $A$, poser $h=1/x\to0^+$ : $x(e^{1/x}-1)=(e^h-1)/h$, donc $\boxed{A=1}$. Pour $B$, poser $t=3x$ : $x^2e^{-3x}=t^2e^{-t}/9$, donc $\boxed{B=0}$. Enfin $2^x=e^{x\ln2}$ et la limite locale donne $\boxed{C=\ln2}$.

Exercices corrigés - Fonctions composées

Exercice 6 - Puissance fixe et exposant variable

Dériver $p(x)=x^{\sqrt2}$ sur $]0;+\infty[$ et $q(x)=(1+x^2)^x$ sur $\mathbb{R}$. Étudier le signe de $q'$. Solution. Pour la puissance à exposant constant, $$\boxed{p'(x)=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}}.$$ La base $1+x^2$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc $$q(x)=e^{x\ln(1+x^2)},\qquad \boxed{q'(x)=q(x)\left(\ln(1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}\right)}.$$ Les deux termes de la parenthèse sont positifs ou nuls et s’annulent simultanément uniquement en $0$. Ainsi $q'(0)=0$ et $q'(x)>0$ pour $x\ne0$. La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle est strictement croissante sur chacun des deux côtés de $0$, et la continuité raccorde les valeurs avec $q(0)=1$.

Exercice 7 - Deux primitives vérifiées

Déterminer toutes les primitives sur $\mathbb{R}$ de $f(x)=2xe^{x^2}$ et de $g(x)=e^{2x}/(1+e^{2x})$. Solution. La première fonction a la forme $u'e^u$ avec $u=x^2$. Donc $$\boxed{F(x)=e^{x^2}+C}.$$ Pour la seconde, $v(x)=1+e^{2x}>0$ et $v'=2e^{2x}$. Ainsi $g=v'/(2v)$ et $$\boxed{G(x)=\tfrac12\ln(1+e^{2x})+C}.$$ La dérivée de $G$ est $\tfrac12\,2e^{2x}/(1+e^{2x})=g(x)$. Les constantes sont arbitraires sur l’intervalle $\mathbb{R}$.

Exercice 8 - Une fonction à deux asymptotes

Étudier $L(x)=e^x/(1+e^x)$ : limites, variations, courbure, tangente en $0$ et centre de symétrie. Solution. Le dénominateur est strictement positif : $D_L=\mathbb{R}$. En $-\infty$, $e^x\to0$, donc $L\to0$. En $+\infty$, écrire $L=1/(1+e^{-x})$ donne $L\to1$. Les droites $y=0$ et $y=1$ sont des asymptotes, respectivement à gauche et à droite. $$L'(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}>0,\qquad L''(x)=\frac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x)^3}.$$ La fonction croît strictement de $0$ vers $1$. La dérivée seconde est positive pour $x<0$ et négative pour $x>0$ : $I(0;1/2)$ est un point d’inflexion. Comme $L'(0)=1/4$, la tangente est $\boxed{y=1/2+x/4}$. Enfin $$L(-x)=\frac1{1+e^x}=1-L(x),$$ ce qui établit la symétrie centrale par rapport à $I$. Les limites $0$ et $1$ ne sont jamais atteintes.

Exercices corrigés - Raisonnement d’analyse

Exercice 9 - Discuter le nombre de solutions

Pour un paramètre $k>0$, déterminer le nombre de solutions réelles de $e^x=kx$. Solution. Le membre de gauche est positif. Puisque $k>0$, toute solution satisfait $x>0$. Sur $]0;+\infty[$, l’équation équivaut à $g(x)=k$, où $$g(x)=\frac{e^x}{x},\qquad g'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$ La fonction décroît strictement sur $]0;1]$, puis croît strictement sur $[1;+\infty[$. Son minimum vaut $g(1)=e$. De plus, $g(x)\to+\infty$ en $0^+$ et en $+\infty$ (croissance comparée). La continuité et la stricte monotonie sur chaque branche donnent :

• si $0<k<e$, aucune solution ;

• si $k=e$, une unique solution, $x=1$ ;

• si $k>e$, exactement deux solutions, l’une dans $]0;1[$, l’autre dans $]1;+\infty[$.

Ce dénombrement de racines ne demande pas de formule explicite pour les solutions.

Exercice 10 - Itération et contrôle de l’erreur

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=e^{-u_n}$. Montrer que $u_n\in I=[1/e;1]$, établir l’existence d’un unique $\alpha\in I$ vérifiant $\alpha=e^{-\alpha}$, puis prouver une estimation de $|u_n-\alpha|$. Solution. Si $t\in I$, la décroissance de $\varphi(t)=e^{-t}$ donne $$e^{-1}\le\varphi(t)\le e^{-1/e}<1.$$ Donc $\varphi(I)\subset I$. Comme $u_0\in I$, une récurrence assure $u_n\in I$ pour tout $n$. La fonction $H(t)=e^{-t}-t$ est continue sur $I$ et $H'(t)=-e^{-t}-1<0$. Elle est strictement décroissante. Aux bornes, $$H(1/e)=e^{-1/e}-1/e>0,\qquad H(1)=1/e-1<0.$$ La première inégalité vient de $-1/e>-1$ et de la croissance de $\exp$. Le théorème des valeurs intermédiaires et l’injectivité donnent un unique zéro $\alpha\in I$. Sur $I$, $|\varphi'(t)|=e^{-t}\le q=e^{-1/e}<1$. Le théorème des accroissements finis permet donc d’écrire $$|u_{n+1}-\alpha|=|\varphi(u_n)-\varphi(\alpha)|\le q|u_n-\alpha|.$$ Une récurrence entraîne $$\boxed{|u_n-\alpha|\le q^n|1-\alpha|\le(1-1/e)e^{-n/e}}.$$ Le majorant tend vers $0$, donc $u_n\to\alpha$. Pour assurer une erreur au plus $10^{-3}$, il suffit de choisir un entier $n$ tel que $n\ge e\ln\bigl(1000(1-1/e)\bigr)$. L’encadrement initial fournit une borne explicite, même si la valeur exacte de $\alpha$ n’est pas connue.