Fonctions exponentielles et modèles d'évolution - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Maîtriser les exponentielles népérienne et de base positive, leurs dérivées, primitives et limites. Résoudre des équations, inéquations et systèmes, étudier des fonctions et utiliser des modèles de croissance, de décroissance ou de saturation avec des unités cohérentes.

L’exponentielle népérienne

La fonction réciproque de ln

La fonction $\ln$ est une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$. Pour chaque réel $x$, l’unique réel positif $y$ vérifiant $\ln y=x$ est noté $\exp x$ ou $e^x$. Ainsi $$\boxed{\ln(e^x)=x\quad(x\in\mathbb{R})},\qquad \boxed{e^{\ln y}=y\quad(y>0)}.$$ L’exponentielle est définie sur tout $\mathbb{R}$, strictement positive et continue. On a $e^0=1$, $e^1=e$ et $e^{-1}=1/e$. Elle ne s’annule jamais.

Dérivée, ordre et limites

La formule de dérivation d’une réciproque donne $$(\exp)'(x)=\frac1{\ln'(e^x)}=e^x.$$ La dérivée est positive : l’exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On en déduit, pour tous réels $u,v$, $$e^u=e^v\iff u=v,\qquad e^u\le e^v\iff u\le v.$$ Ses limites sont $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$. La droite $y=0$ est une asymptote à gauche, jamais atteinte par la courbe.

Les propriétés algébriques

Pour tous réels $u,v$ et tout entier $n$, $$\boxed{e^{u+v}=e^ue^v},\qquad e^{u-v}=\frac{e^u}{e^v}, \qquad e^{-u}=\frac1{e^u},\qquad(e^u)^n=e^{nu}.$$ Ces identités se vérifient en appliquant les propriétés de $\ln$ aux nombres positifs. Elles ne concernent pas l’addition : $e^u+e^v$ n’est pas en général $e^{u+v}$.

Exemple - Factoriser pour lire un signe

$$e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1).$$ Le premier facteur est positif. Le signe de l’expression est donc celui de $e^x-1$, c’est-à-dire celui de $x$. La positivité de l’exponentielle simplifie une étude de signe sans supprimer un facteur qui pourrait s’annuler.

Dérivation et primitives composées

Ne pas oublier la fonction intérieure

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $$\boxed{(e^u)'=u'e^u}.$$ La fonction $e^{u(x)}$ a le domaine de $u$, et sa dérivée a le signe de $u'$. Le signe de la fonction elle-même reste strictement positif.

Exemple - Une exponentielle composée

Pour $f(x)=e^{2x^2-x}$, $f'(x)=(4x-1)e^{2x^2-x}$. Elle décroît jusqu’à $x=1/4$, puis croît ; sa valeur minimale est $e^{-1/8}$. Pour $g(x)=x^2e^{-x}$, la règle du produit donne $$g'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=x(2-x)e^{-x}.$$ Sur $[0;+\infty[$, la fonction croît jusqu’à $2$ puis décroît. Le point $0$ est une borne du domaine de modèle choisi.

Une famille de primitives à reconnaître

La forme u’ exp(u)

Si $u$ est dérivable sur $I$, toutes les primitives de $u'e^u$ sur $I$ sont $e^u+C$, avec $C\in\mathbb{R}$. En particulier, si $a\ne0$, $$\int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C.$$ Ici, $\int f(x)\,dx$ désigne une famille de primitives. Si $a=0$, l’intégrande est constant et une primitive est $xe^b$.

Exemple - Coefficient à ajuster

Une primitive de $4xe^{x^2+3}$ est $2e^{x^2+3}$, car la dérivée de $x^2+3$ est $2x$. Une primitive de $e^{-3x+2}$ est $-\tfrac13e^{-3x+2}$. Dans les deux cas, dériver le résultat contrôle le coefficient et le signe.

Déterminer la constante à partir d’une valeur

Cherchons la primitive de $2e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$ qui vaut $7$ en $0$. Les primitives sont $F(x)=e^{2x}+C$. Comme $F(0)=1+C$, on obtient $C=6$, donc $F(x)=e^{2x}+6$.

Ce qu’une reconnaissance ne permet pas

Une primitive de $e^{u(x)}$ n’est pas automatiquement $e^{u(x)}/u'(x)$. La méthode fonctionne lorsque l’intégrande contient exactement le facteur $u'$, éventuellement à un coefficient constant près. Un facteur variable demande une justification différente.

Exponentielle de base positive et puissances

Pour $a>0$ et $x\in\mathbb{R}$, on définit $$\boxed{a^x=e^{x\ln a}},\qquad\boxed{(a^x)'=(\ln a)a^x}.$$ La définition donne les puissances réelles d’une base strictement positive. Pour un réel $b$, $a^b=e^{b\ln a}$ ; les propriétés $a^{u+v}=a^ua^v$ et $(a^u)^v=a^{uv}$ en découlent.

La base détermine le sens de variation

Base	Variation	Limite en $-\infty$	Limite en $+\infty$
$a>1$	strictement croissante	$0$	$+\infty$
$0<a<1$	strictement décroissante	$+\infty$	$0$
$a=1$	constante	$1$	$1$

Si $a\ne1$, l’équation $a^u=a^v$ équivaut à $u=v$. Une inégalité conserve son sens lorsque $a>1$ et l’inverse lorsque $0<a<1$. Le cas $a=1$ se traite directement.

Exemple - Comparer avec une base décroissante

L’inégalité $(1/5)^{x+1}\le25=(1/5)^{-2}$ équivaut à $x+1\ge-2$, donc à $x\ge-3$. Le sens s’inverse parce que la base est comprise entre $0$ et $1$.

Une primitive dans une base quelconque

Si $a>0$, $a\ne1$, une primitive de $a^x$ est $a^x/\ln a$. Plus généralement, $$\int u'(x)a^{u(x)}\,dx=\frac{a^{u(x)}}{\ln a}+C.$$ Pour $a=1$, l’intégrande de cette dernière expression est simplement $u'$, dont les primitives sont $u+C$. On ne divise jamais par $\ln1=0$.

Périodes et coefficients équivalents

Dans un modèle à coefficient annuel $q>0$, le coefficient constant mensuel équivalent $m>0$ vérifie $m^{12}=q$, donc $$\boxed{m=q^{1/12}=e^{\ln q/12}}.$$ Le taux mensuel équivalent est $m-1$. Il n’est pas en général égal au taux annuel $(q-1)$ divisé par $12$. Il faut comparer des coefficients appliqués au même nombre de périodes. Si la variable représente seulement des années entières, $C_n=C_0q^n$ est une suite. La fonction $C(t)=C_0q^t$ constitue une prolongation continue du modèle, définie pour un réel $t$ ; une interprétation intermédiaire doit être précisée par l’énoncé.

Limites et croissance comparée

Au voisinage de zéro

La dérivabilité de l’exponentielle en $0$ fournit $$\boxed{\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1}.$$ Pour une constante $c$, $\lim_{x\to0}(e^{cx}-1)/x=c$. Pour $c\ne0$, poser $h=cx$ ; pour $c=0$, le quotient vaut $0$. De même, pour $a>0$, $$\boxed{\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a}.$$

Exemple - Deux expressions qui tendent vers zéro

$$\frac{e^{4x}-1}{e^{3x}-1} =\frac{e^{4x}-1}{4x}\frac{3x}{e^{3x}-1}\frac43 \longrightarrow\frac43\quad(x\to0).$$ Le quotient est défini pour les $x$ non nuls assez proches de $0$. Écrire $0/0$ signale la nécessité d’une transformation, pas une valeur de la limite.

L’exponentielle domine une puissance entière

Pour tout entier $n\ge1$, $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty},\qquad \boxed{\lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0},\qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0}.$$ La deuxième limite est l’inverse de la première ; pour la troisième, on pose $t=-x$. Si $c>0$, la substitution $t=cx$ montre également $x^ne^{-cx}\to0$ en $+\infty$.

Exemple - Lever une différence infinie

$$e^{3x}-x^4=e^{3x}\bigl(1-x^4e^{-3x}\bigr)\longrightarrow+\infty.$$ Le facteur entre parenthèses tend vers $1$, tandis que le premier tend vers $+\infty$. On a levé la forme $+\infty-(+\infty)$.

Composer une limite avec l’exponentielle

Si $u(x)\to\ell\in\mathbb{R}$, alors $e^{u(x)}\to e^\ell$ par continuité. Si $u\to-\infty$, l’exponentielle tend vers $0$ ; si $u\to+\infty$, elle tend vers $+\infty$. Ainsi $x^{1/x}=e^{\ln x/x}\to1$ en $+\infty$. La croissance comparée du logarithme permet de traiter cette puissance à base et exposant variables.

Équations, inéquations et systèmes

L’équation $e^{u(x)}=A$ n’a aucune solution si $A\le0$. Si $A>0$, elle équivaut à $u(x)=\ln A$, sur le domaine de $u$.

Réduire à une même base ou prendre le logarithme

L’équation $e^{2x-1}=e^{x+3}$ donne $2x-1=x+3$, donc $x=4$. L’équation $3^x=7$ donne $x=\ln7/\ln3$, car les deux membres sont positifs et $\ln3\ne0$. Pour des bases différentes, $a^u=b^v$ équivaut à $u\ln a=v\ln b$, avec $a,b>0$. On vérifie les coefficients avant de diviser.

Une inconnue auxiliaire positive

Une expression contenant $e^{2x}$ et $e^x$ conduit à poser $X=e^x>0$. Par exemple, $$e^{2x}-e^x-12=0\iff X^2-X-12=0\iff(X-4)(X+3)=0.$$ Seule $X=4$ est admissible ; donc $x=\ln4$. La racine $X=-3$ est exclue, car une exponentielle est positive. Pour une inéquation, on résout le signe du polynôme en $X$, on intersecte avec $X>0$, puis on utilise le logarithme croissant pour revenir à $x$.

Transformer un système en somme et produit

Résolvons $e^x+e^y=9$ et $e^{x+y}=20$. Avec $X=e^x>0$ et $Y=e^y>0$, on obtient $X+Y=9$ et $XY=20$. Les deux nombres sont les racines de $$T^2-9T+20=(T-4)(T-5).$$ Les couples $(X,Y)$ sont donc $(4,5)$ et $(5,4)$, tous deux positifs. Ainsi $$\boxed{(x,y)\in\{(\ln4,\ln5);(\ln5,\ln4)\}}.$$ Chaque couple vérifie la somme $9$ et le produit $20$. Prendre séparément le logarithme d’une somme n’aurait pas produit un système équivalent.

Passer d’un seuil réel à un rang entier

Pour $q>1$, résoudre $C_0q^n\ge K$ avec $C_0,K>0$ revient à $n\ge\ln(K/C_0)/\ln q$. Si les indices autorisés commencent à $0$, on conserve aussi $n\ge0$. Le premier entier admissible se vérifie avec son prédécesseur. Pour $0<q<1$, la division par $\ln q<0$ inverse le sens. Un seuil de baisse doit être traduit avant tout arrondi.

Étudier et interpréter un modèle continu

Un effet qui augmente puis diminue

Soit $R(t)=te^{-t/5}$ pour $t\ge0$. Ce modèle représente un indicateur d’activité qui combine un facteur initial croissant et un facteur d’atténuation. Il est continu et $$R'(t)=\left(1-\frac t5\right)e^{-t/5}.$$ La dérivée est positive pour $t<5$, nulle en $5$, négative pour $t>5$. Comme $R(0)=0$ et $R(t)\to0$ en $+\infty$ par croissance comparée, $$\boxed{\max_{t\ge0}R(t)=\frac5e\text{, atteint en }t=5}.$$

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le maximum du produit ne se trouve pas en étudiant séparément le maximum de chaque facteur. La dérivée du produit détermine le compromis propre à la formule.

Taux continu et coefficient par période

Un modèle $C(t)=C_0e^{kt}$, avec $C_0>0$, a pour dérivée $C'(t)=kC(t)$. Il croît si $k>0$, décroît si $k<0$, et est constant si $k=0$. Son coefficient entre deux dates séparées d’une unité est $e^k$ : le taux effectif par unité de temps est $e^k-1$. Ainsi $C(t)=8\,000e^{0{,}03t}$ donne un taux annuel effectif $e^{0{,}03}-1$, qui n’est pas exactement $3\,\%$. Le nombre $0{,}03$ est le paramètre continu du modèle si $t$ est mesuré en années. Pour atteindre une valeur $K>0$ avec $k\ne0$, on résout $$C_0e^{kt}=K\iff\boxed{t=\frac{\ln(K/C_0)}k}.$$ Une solution négative peut être hors du domaine de temps $t\ge0$. Les unités de $k$ doivent correspondre à celles de $t$ ; on ne mélange pas un coefficient annuel avec un nombre de mois sans conversion.

Exercices corrigés - Calcul et systèmes

Exercice 1 - Simplifier sans perdre de signe

Simplifier $A=e^{3x+2}e^{1-x}/e^{2x-4}$ pour $x\in\mathbb{R}$. Solution. Le dénominateur est strictement positif. Les règles de produit et de quotient donnent $$A=e^{(3x+2)+(1-x)-(2x-4)}=\boxed{e^7}.$$ La simplification est valable pour tout réel $x$ ; les coefficients de $x$ s’annulent.

Exercice 2 - Une équation du second degré auxiliaire

Résoudre $e^{2x}-7e^x+10=0$. Solution. Avec $X=e^x>0$, l’équation devient $(X-2)(X-5)=0$. Les deux racines sont positives, donc $$\boxed{S=\{\ln2;\ln5\}}.$$ L’injectivité de l’exponentielle assure une seule valeur de $x$ pour chaque racine positive.

Exercice 3 - Une inéquation stricte

Résoudre $e^{2x}-6e^x+8>0$. Solution. Le trinôme $(X-2)(X-4)$ est positif pour $X<2$ ou $X>4$. Après intersection avec $X=e^x>0$, on obtient $0<X<2$ ou $X>4$. Le retour à $x$ donne $$\boxed{S=]-\infty;\ln2[\cup]\ln4;+\infty[}.$$ Les bornes $\ln2$ et $\ln4$ sont exclues à cause de l’inégalité stricte.

Exercice 4 - Somme et rapport exponentiels

Résoudre $e^x+e^y=10$ et $e^{x-y}=4$. Solution. Posons $X=e^x>0$, $Y=e^y>0$. Le système devient $X+Y=10$ et $X/Y=4$. Ainsi $X=4Y$, puis $5Y=10$, d’où $Y=2$ et $X=8$. $$\boxed{(x,y)=(\ln8,\ln2)}.$$ Le couple vérifie la première équation puisque $8+2=10$ et la seconde puisque $8/2=4$. Le logarithme permet le retour aux variables car les valeurs obtenues sont positives.

Exercices corrigés - Dérivée, primitive et limites

Exercice 5 - Un produit et une primitive composée

Dériver $f(x)=(2x-1)e^{-x}$. Puis déterminer la primitive $G$ de $3x^2e^{x^3+1}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $G(0)=5$. Solution. Par la règle du produit, $$f'(x)=2e^{-x}-(2x-1)e^{-x}=\boxed{(3-2x)e^{-x}}.$$ Pour la primitive, la fonction intérieure est $u(x)=x^3+1$, avec $u'=3x^2$. On obtient $G(x)=e^{x^3+1}+C$. Puis $G(0)=e+C=5$, donc $$\boxed{G(x)=e^{x^3+1}+5-e}.$$ La dérivation vérifie l’intégrande et la substitution $x=0$ vérifie la condition.

Exercice 6 - Trois limites de référence adaptées

Calculer $A=\lim_{x\to0}(e^{5x}-1)/(3x)$, $B=\lim_{t\to+\infty}t^3e^{-0{,}4t}$ et $C=\lim_{x\to0}(1{,}04^x-1)/x$. Solution. Pour le premier quotient, $$\frac{e^{5x}-1}{3x}=\frac53\frac{e^{5x}-1}{5x}\longrightarrow\boxed{\frac53}.$$ Pour $B$, posons $s=0{,}4t\to+\infty$. Alors $t^3e^{-0{,}4t}=s^3e^{-s}/0{,}4^3\to\boxed0$. Enfin $1{,}04^x=e^{x\ln(1{,}04)}$, donc $\boxed{C=\ln(1{,}04)}$. Les trois résultats utilisent une transformation précise vers une limite connue.

Exercice 7 - Une base comprise entre 0 et 1

Résoudre $(1/2)^{2t-1}<1/8$. Solution. Comme $1/8=(1/2)^3$ et que la fonction $s\mapsto(1/2)^s$ est strictement décroissante, $$2t-1>3\iff\boxed{t>2}.$$ On peut vérifier avec le logarithme : $(2t-1)\ln(1/2)<3\ln(1/2)$, et la division par le logarithme négatif inverse le sens. Les deux méthodes concordent.

Un contrôle rapide

Pour $t=2$, les deux membres sont égaux : la borne doit être exclue. Pour $t=3$, le membre de gauche vaut $1/32<1/8$ : le côté retenu est correct.

Exercices corrigés - Seuils et optimisation

Exercice 8 - Une valeur cible après un nombre entier de périodes

Un modèle donne $C_n=15\,000(1{,}045)^n$, pour $n\in\mathbb{N}$. Déterminer le premier rang où $C_n\ge20\,000$. Solution. L’inégalité équivaut à $(1{,}045)^n\ge4/3$, donc $$n\ge\frac{\ln(4/3)}{\ln(1{,}045)}.$$ La suite est croissante. Les puissances donnent $1{,}045^6\approx1{,}30226<4/3$ et $1{,}045^7\approx1{,}36086>4/3$, donc $\boxed{n=7}$. Il s’agit du premier rang entier, même si la fonction continue associée franchit la cible entre les deux dates.

Exercice 9 - Un prix qui maximise une recette

Pour un prix $p\ge0$, un modèle de demande est $Q(p)=100e^{-p/20}$. La recette est $R(p)=pQ(p)$. Étudier cette recette et trouver le prix optimal dans ce modèle. Solution. On a $R(p)=100pe^{-p/20}$ et $$R'(p)=100e^{-p/20}\left(1-\frac p{20}\right).$$ La dérivée est positive pour $0\le p<20$, nulle en $20$, négative pour $p>20$. La recette part de $R(0)=0$, atteint son maximum, puis tend vers $0$ à l’infini par croissance comparée. Ainsi $$\boxed{p_{\mathrm{opt}}=20},\qquad\boxed{R(20)=\frac{2\,000}{e}}.$$ La demande correspondante est $Q(20)=100/e$. Une hausse de prix diminue la quantité dans le modèle ; la dérivée du produit détermine à quel point l’effet sur la recette change de sens.

Exercice 10 - Une évolution qui se stabilise

Pour $t\ge0$, une prévision de ventes est $S(t)=600/(1+5e^{-0{,}4t})$. Déterminer la valeur initiale, les variations, la limite et le premier temps réel où $S(t)\ge500$. Solution. Le dénominateur est positif. On a $S(0)=100$ et $$S'(t)=\frac{1\,200e^{-0{,}4t}}{(1+5e^{-0{,}4t})^2}>0.$$ La prévision est strictement croissante. Comme $e^{-0{,}4t}\to0$, sa limite est $600$, valeur jamais atteinte à un temps fini. Pour le seuil, $$S(t)\ge500\iff1+5e^{-0{,}4t}\le\frac65 \iff e^{-0{,}4t}\le\frac1{25}.$$ Le logarithme donne $-0{,}4t\le-\ln25$, donc $$\boxed{t\ge\frac{\ln25}{0{,}4}}.$$ Le seuil réel vaut environ $8{,}0472$. Si l’on observe seulement aux dates entières, la première date admissible est $9$. La valeur limite $600$ et le seuil $500$ sont deux questions différentes : atteindre une cible inférieure à la limite demande un calcul propre.