Fonction exponentielle népérienne - Cours et exercices corrigés | 2e Bac lettres, sciences humaines et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Calculer avec l’exponentielle, résoudre des équations, inéquations et systèmes simples, puis étudier des fonctions et interpréter un modèle d’évolution. Un complément repéré Arts appliqués traite les primitives. Le socle commun concerne aussi la filière Langue arabe de l’enseignement originel.

Relier exponentielle et logarithme

Pour tout réel $x$, il existe un unique nombre positif $b$ tel que $\ln b=x$. On le note $\exp(x)$ ou $e^x$. Cette notation donne la relation fondamentale $$\boxed{b=e^x\quad\Longleftrightarrow\quad b>0\ \text{et}\ \ln b=x}.$$ Ainsi $e^0=1$, $e^1=e\approx2{,}71828$, et surtout $e^x>0$ pour tout réel $x$. On a $$\ln(e^x)=x\quad(x\in\mathbb{R}),\qquad e^{\ln b}=b\quad(b>0).$$ L’exponentielle accepte un argument négatif : $e^{-2}$ existe et est positif. En revanche, un logarithme exige un argument positif.

Règles de calcul

Pour tous réels $a,b$ et tout entier $m$, $$\boxed{e^{a+b}=e^ae^b},\qquad e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b},\qquad e^{-a}=\frac1{e^a},\qquad (e^a)^m=e^{ma}.$$ Par exemple, $e^{2x+3}=e^3(e^x)^2$. Une somme $e^a+e^b$ ne se transforme pas en $e^{a+b}$ : pour $a=b=0$, les deux nombres seraient $2$ et $1$.

Simplifier une expression

$$\frac{e^{3x-2}e^{1-x}}{e^{x+4}}=e^{3x-2+1-x-x-4}=\boxed{e^{x-5}}.$$ Le dénominateur ne s’annule jamais. On traite d’abord les exposants; aucun arrondi n’est nécessaire.

Utiliser une calculatrice

Pour estimer $e^{0{,}7}$, on utilise la touche exponentielle et on obtient environ $2{,}01375$. Si $e^x=7$, on calcule $x=\ln7\approx1{,}94591$. Les parenthèses sont essentielles : $e^{-2x}$ signifie $e^{(-2x)}$, et non $e^{-2}\,x$.

Dérivée, courbe et limites

On admet que l’exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $$\boxed{(e^x)'=e^x>0}.$$ Elle est donc strictement croissante. Pour tous réels $a,b$, $$e^a=e^b\ \Longleftrightarrow\ a=b,\qquad e^a\leq e^b\ \Longleftrightarrow\ a\leq b.$$ Puisque $e^0=1$, $e^x<1$ pour $x<0$ et $e^x>1$ pour $x>0$. La tangente au point $(0,1)$ est $y=1+x$.

Limites admises

$$\boxed{\lim_{x\to-\infty}e^x=0},\qquad\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty}.$$ L’axe horizontal est une asymptote à gauche. La fonction s’en approche en restant strictement positive : elle n’atteint jamais $0$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Une expression affine dans l’exposant

Pour des constantes $a,b$, on a $(e^{ax+b})'=ae^{ax+b}$. Le signe de la dérivée est celui de $a$ si $a\ne0$. Les limites se lisent en examinant d’abord $ax+b$ : par exemple, lorsque $x\to+\infty$, $-2x+1\to-\infty$ et $e^{-2x+1}\to0$. Une fonction $f(x)=4-3e^{-x}$ vérifie $f'(x)=3e^{-x}>0$. Elle croît de $-\infty$ vers $4$ et reste sous $4$, car $f(x)-4=-3e^{-x}<0$. La droite $y=4$ est une asymptote à droite.

Équations, inéquations et systèmes

Comparer des exponentielles

Pour résoudre $e^{2x-3}=e^{-x+6}$, la stricte croissance donne $2x-3=-x+6$, donc $x=3$. Pour $e^{-2x}\geq e^5$, on obtient $-2x\geq5$, puis $x\leq-5/2$ : c’est la division par $-2$ qui inverse le sens. Si le membre de droite est un nombre $c>0$, $e^{u(x)}=c$ équivaut à $u(x)=\ln c$. Si $c\leq0$, l’équation n’a aucune solution.

Poser une inconnue positive

Pour $e^{2x}+e^x-6=0$, posons $t=e^x>0$. Comme $e^{2x}=t^2$, on résout $$t^2+t-6=(t-2)(t+3)=0.$$ Le candidat $-3$ est impossible. Il reste $e^x=2$, donc $x=\ln2$. La condition $t>0$ doit accompagner le changement d’inconnue.

Un système dont les inconnues sont les exposants

Résolvons $$\begin{cases}e^xe^y=e^5,\\ e^x/e^y=e.\end{cases}$$ Les exponentielles sont toujours positives, donc le quotient existe. Les identités donnent $e^{x+y}=e^5$ et $e^{x-y}=e$, d’où $$\begin{cases}x+y=5,\\x-y=1.\end{cases}$$ L’addition donne $x=3$, puis $y=2$. Les deux équations initiales sont vérifiées.

Étapes d’une étude simple

Déterminer le domaine de l’expression entière, même si l’exponentielle seule est définie partout. Calculer les limites en suivant le signe de l’exposant, puis dériver et utiliser $e^u>0$ pour simplifier le signe de la dérivée. Calculer les niveaux particuliers et interpréter les éventuelles asymptotes.

Deux zéros à distinguer

L’exposant peut être nul : cela donne une exponentielle égale à $1$. L’exponentielle elle-même ne peut pas être nulle. Une équation telle que $(x-2)e^x=0$ a donc pour seule solution $x=2$.

Puissances réelles et complément Arts

Définir une puissance de base positive

Pour $a>0$ et $b\in\mathbb{R}$, on définit $$\boxed{a^b=e^{b\ln a}}.$$ Cette définition prolonge les puissances entières et donne, pour $a,c>0$ et $b,d\in\mathbb{R}$, $$a^{b+d}=a^ba^d,\quad a^{-b}=\frac1{a^b},\quad (a^b)^d=a^{bd},\quad (ac)^b=a^bc^b.$$ Pour $m$ entier positif, $a^{1/m}$ est la racine positive d’ordre $m$ de $a$. Par exemple, $8^{2/3}=(8^{1/3})^2=4$ et $9^{-1/2}=1/3$. La définition présentée suppose une base strictement positive; elle ne fournit pas une puissance réelle quelconque d’un nombre négatif.

Interpréter un coefficient multiplicatif

Un facteur total de $1{,}21$ sur deux étapes de même facteur correspond à $r^2=1{,}21$ avec $r>0$, donc $r=1{,}21^{1/2}=1{,}1$. Chaque étape multiplie par $1{,}1$, soit une hausse de $10\%$. On ne divise pas directement le pourcentage total $21\%$ par deux.

Arts appliqués - Dérivée composée et primitive

Si $u$ est dérivable, $$\boxed{(e^u)'=u'e^u}.$$ Cette formule permet aussi de reconnaître une primitive : $$\boxed{\int u'e^u\,dx=e^u+C}.$$ Il s’agit d’une notation sans bornes pour les primitives sur un intervalle. Une primitive de $e^{ax+b}$ est $e^{ax+b}/a$ lorsque $a\ne0$; si $a=0$, la fonction constante $e^b$ a pour primitive $xe^b$.

Conserver le coefficient de dérivation

Une primitive de $4x e^{2x^2+1}$ est $e^{2x^2+1}$. Une primitive de $e^{-3x}$ est $-e^{-3x}/3$. La dérivée de ce dernier résultat vaut $(-1/3)(-3)e^{-3x}=e^{-3x}$.

Une reconnaissance précise

Le facteur $u'$ ne disparaît pas par convenance. Par exemple, $e^{x^2}$ est une primitive de $2xe^{x^2}$, et non de $e^{x^2}$. Vérifier le résultat par dérivation décide immédiatement.

Exercices corrigés - Calculs et résolution

Exercice 1 - Simplification et égalité

Simplifier $A=e^3e^{-2}/(e^{1/2})^2$, puis résoudre $e^{2x}=e^{x+2}$. Solution. Dans $A$, les exposants donnent $3-2-1=0$, donc $A=e^0=\boxed1$. L’équation donne $2x=x+2$, donc $\boxed{x=2}$. La positivité des exponentielles autorise le quotient.

Exercice 2 - Deux valeurs positives auxiliaires

Résoudre $e^{2x}-5e^x+4=0$. Solution. On pose $t=e^x>0$. Alors $$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)=0.$$ Les deux candidats $1$ et $4$ sont positifs. Ils donnent $x=\ln1=0$ ou $x=\ln4$. Ainsi $$\boxed{S=\{0,\ln4\}}.$$ Le remplacement de $e^{2x}$ par $2e^x$ aurait été incorrect : c’est $(e^x)^2$.

Exercice 3 - Inégalité stricte

Résoudre $e^{3x-1}<e^{2-x}$. Solution. Par stricte croissance, $$3x-1<2-x\quad\Longleftrightarrow\quad4x<3.$$ La solution est $\boxed{S=]-\infty;3/4[}$. Le bord $3/4$ est exclu parce que les deux exponentielles y sont égales.

Exercice 4 - Deux exponentielles inconnues

Résoudre $e^x+e^y=10$ et $e^x-e^y=2$. Solution. En additionnant les équations, on obtient $2e^x=12$, donc $e^x=6$. Puis $e^y=4$. Ces deux valeurs sont positives, donc $$\boxed{(x,y)=(\ln6,\ln4)}.$$ Il est impossible de prendre le logarithme séparément de chaque terme d’une somme; ici, on commence par résoudre le système linéaire en $e^x,e^y$.

Exercices corrigés - Fonction et modèle

Exercice 5 - Une courbe sous une asymptote

Étudier $f(x)=5-2e^{-2x}$, trouver sa tangente en $0$, puis résoudre $f(x)\geq4$. Solution. La fonction est définie sur $\mathbb{R}$ et $$f'(x)=4e^{-2x}>0.$$ Elle croît strictement. Lorsque $x\to-\infty$, l’exponentielle tend vers $+\infty$, donc $f(x)\to-\infty$. Lorsque $x\to+\infty$, elle tend vers $0$, donc $f(x)\to5$. La différence $f(x)-5=-2e^{-2x}<0$ place la courbe sous l’asymptote $y=5$.

En $0$, $f(0)=3$ et $f'(0)=4$, d’où la tangente $\boxed{y=3+4x}$. Enfin, $$f(x)\geq4\ \Longleftrightarrow\ e^{-2x}\leq\frac12 \ \Longleftrightarrow\ -2x\leq-\ln2 \ \Longleftrightarrow\ \boxed{x\geq\frac{\ln2}{2}}.$$ La dernière division se fait par un nombre négatif et inverse le sens.

Exercice 6 - Une quantité qui se rapproche d’un niveau

Pour $t\geq0$, le modèle $N(t)=180(1-e^{-0{,}4t})$ décrit le nombre moyen de dossiers traités après $t$ heures. Étudier l’évolution et trouver quand $N(t)\geq150$. Solution. On a $N(0)=0$ et $$N'(t)=72e^{-0{,}4t}>0.$$ Le total croît et tend vers $180$ tout en restant inférieur à ce niveau. Le seuil demandé est $$e^{-0{,}4t}\leq\frac16\quad\Longleftrightarrow\quad t\geq\frac{\ln6}{0{,}4}=\frac52\ln6\approx4{,}4794.$$ Le premier nombre entier d’heures répondant au seuil est donc $\boxed{5}$. Une valeur moyenne peut ne pas être entière. Ce résultat dépend du modèle donné; il ne promet pas le même effectif exact à chaque réalisation.

Exercices corrigés - Puissances et primitives

Exercice 7 - Des exposants rationnels

Calculer $16^{3/4}$ et $27^{-2/3}$, puis déterminer le nombre positif $r$ tel que $r^3=1{,}728$. Solution. On travaille avec des bases positives : $$16^{3/4}=(16^{1/4})^3=2^3=\boxed8,\qquad 27^{-2/3}=\frac1{(27^{1/3})^2}=\boxed{\frac19}.$$ Comme $1{,}2^3=1{,}728$, on a $\boxed{r=1{,}2}$. Trois multiplications successives par $1{,}2$ donnent ainsi le facteur total $1{,}728$. Une hausse de $20\%$ répétée trois fois produit une hausse totale de $72{,}8\%$, pas de $60\%$.

Exercice 8 - Arts appliqués : primitive avec valeur imposée

Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=6xe^{3x^2-1}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=2$. Solution. Posons $u(x)=3x^2-1$. Sa dérivée $u'(x)=6x$ est présente, donc $$F(x)=e^{3x^2-1}+C.$$ La condition donne $e^{-1}+C=2$, d’où $$\boxed{F(x)=e^{3x^2-1}+2-e^{-1}}.$$ Le contrôle est double : $F'(x)=6xe^{3x^2-1}$ et $F(0)=e^{-1}+2-e^{-1}=2$. Une constante modifie la valeur initiale sans modifier la dérivée.

Une méthode fiable

Commencer par les règles sur les exposants et la positivité. Pour une équation, comparer les exposants ou poser $t=e^x>0$. Pour un seuil, conserver le sens de l’inégalité lors d’une division négative. Pour une étude, lire les limites de l’exposant avant celles de l’exponentielle. Pour une primitive, vérifier le facteur intérieur.