Étude et représentation des fonctions | 1re bac lettres, originel et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Réunir domaine, symétries, limites, variations et points remarquables pour tracer une courbe cohérente. Étudier des fonctions du second degré, du troisième degré et homographiques ; interpréter graphiquement les équations $f(x)=k$ et les inéquations $f(x)\le k$.

Prérequis. Généralités sur les fonctions, limites, dérivation et signe d’un polynôme. Les comportements graphiques des polynômes et des fonctions rationnelles utilisés ici sont admis ; on ne développe pas une théorie de la continuité ni des branches infinies générales.

Une étude est un ensemble de vérifications

Organiser les informations

L’expression d’une fonction permet de calculer ses images, mais une liste de points ne suffit pas à connaître toute sa courbe. On rassemble les informations dans un ordre utile :

1. déterminer le domaine et ses intervalles, en conservant les valeurs interdites ;

2. rechercher une parité ou une autre symétrie simple qui réduit le travail ;

3. calculer les limites aux bornes du domaine, puis repérer les asymptotes éventuelles ;

4. calculer la dérivée et son signe, puis dresser le tableau de variations ;

5. placer les intersections avec les axes, les extrema et quelques points vérifiés ;

6. tracer les branches en respectant toutes ces informations.

L’ordre peut être adapté, mais aucune information ne doit contredire une autre. Une branche annoncée décroissante ne peut pas monter sur le dessin ; une valeur interdite ne devient pas un point de la courbe parce qu’un calcul a simplifié une fraction.

Distinguer le signe et la variation

Le signe de $f$ indique si sa courbe est au-dessus ou au-dessous de l’axe horizontal. Le signe de $f'$ indique si la courbe monte ou descend lorsque $x$ augmente. Une fonction peut être négative et croissante, comme $x\mapsto x$ sur $[-3;-1]$.

Les zéros de $f$ servent à résoudre $f(x)=0$ ; les zéros de $f'$ servent à chercher des tangentes horizontales et des changements de variation. Ces deux ensembles de points sont en général différents.

Symétries et réduction du domaine d’étude

Parité et symétries usuelles

Pour une fonction dont le domaine est symétrique par rapport à $0$, la relation $f(-x)=f(x)$ exprime une symétrie par rapport à l’axe vertical. La relation $f(-x)=-f(x)$ exprime une symétrie par rapport à l’origine. On peut alors étudier la partie $x\ge0$, puis compléter le dessin par symétrie.

Une courbe peut avoir un autre axe ou un autre centre. Pour établir une symétrie d’axe $x=a$, on vérifie d’abord que le domaine est invariant par $x\mapsto2a-x$ : $a+h$ appartient au domaine si et seulement si $a-h$ y appartient. On vérifie ensuite $f(a+h)=f(a-h)$ pour tous les $h$ autorisés. Ces deux conditions établissent la symétrie de la courbe entière.

Un centre de symétrie

Si le domaine est invariant par $x\mapsto2a-x$ et si $$f(a+h)+f(a-h)=2b$$ pour tous les $h$ autorisés, la courbe possède le centre $I(a;b)$. Les deux points correspondants ont pour milieu $I$. Une formule seule ne suffit pas : la symétrie du domaine doit aussi être vérifiée.

Pour $f(x)=(x-2)^2-1$, les images de $2+h$ et $2-h$ valent toutes deux $h^2-1$ : l’axe est $x=2$. Pour $g(x)=x^3-3x$, la fonction est impaire : le centre est l’origine.

Asymptotes horizontales et verticales

Si $f(x)\to L$ lorsque $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$, la droite $y=L$ est une asymptote horizontale de ce côté. La courbe s’en rapproche lorsque la variable part à l’infini ; cela n’interdit pas à une courbe de couper une asymptote à une abscisse finie.

Si au moins une limite latérale en $a$ est infinie, la droite $x=a$ est une asymptote verticale. Il faut calculer les limites : un dénominateur nul ne suffit pas. Par exemple, $(x^2-1)/(x-1)$ tend vers $2$ en $1$ après simplification ; la droite $x=1$ n’est pas une asymptote verticale.

Dans un dessin, les asymptotes sont habituellement représentées en pointillés. On trace séparément les branches situées de part et d’autre d’une valeur interdite, sans relier les points par un segment qui traverserait cette valeur.

Étude complète d’une fonction du second degré

Considérons $q(x)=x^2-4x+3$. Son domaine est $\mathbb{R}$, et la forme $q(x)=(x-2)^2-1$ donne l’axe de symétrie $x=2$. Le terme dominant $x^2$ impose $q(x)\to+\infty$ aux deux infinis ; il n’y a donc pas d’asymptote horizontale.

La dérivée est $q'(x)=2x-4$, négative avant $2$ et positive après. La fonction décroît jusqu’à son minimum $q(2)=-1$, puis croît :

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$q'(x)$		$-$	$0$	$+$
$q(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

La factorisation $q(x)=(x-1)(x-3)$ donne les points $(1;0)$ et $(3;0)$. L’ordonnée à l’origine est $q(0)=3$ ; par symétrie, $(4;3)$ appartient aussi à la courbe. Au sommet $(2;-1)$, la tangente est horizontale.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La courbe confirme que $q(x)\le0$ pour $x\in[1;3]$. Pour une hauteur $k<-1$, aucune intersection avec $y=k$ ; pour $k=-1$, une seule ; pour $k>-1$, deux. Cette lecture est confirmée par $(x-2)^2=k+1$.

Étude complète d’une fonction du troisième degré

Prenons $p(x)=x^3-3x$, définie sur $\mathbb{R}$. Elle est impaire, donc son graphe est symétrique par rapport à l’origine. Ses limites sont $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite, d’après son terme dominant $x^3$.

La dérivée $p'(x)=3(x-1)(x+1)$ est positive à l’extérieur de $[-1;1]$ et négative à l’intérieur. On obtient :

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$p'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$p(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

Les points $(-1;2)$ et $(1;-2)$ ont des tangentes horizontales. Les zéros se lisent dans $p(x)=x(x^2-3)$ : $-\sqrt3$, $0$ et $\sqrt3$. Au point $(0;0)$, la pente vaut $p'(0)=-3$ ; sa tangente est $y=-3x$ et la courbe la traverse.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le maximum $2$ et le minimum $-2$ sont locaux ; la fonction n’est pas bornée sur $\mathbb{R}$. Une fenêtre trop petite peut masquer les branches extérieures et donner l’impression erronée de bornes globales.

Pour $p(x)=2$, la droite horizontale touche la courbe en $x=-1$ et la coupe en $x=2$. La factorisation $x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)$ confirme ces deux abscisses distinctes. Une racine double compte une seule fois lorsqu’on compte les points d’intersection.

Étude complète d’une fonction homographique

Une fonction homographique non constante a la forme $(ax+b)/(cx+d)$, avec $c\ne0$ et $ad-bc\ne0$. Son domaine exclut $-d/c$. Si $ad-bc=0$, la fraction se simplifie en une constante sur son domaine : le comportement au point interdit doit être réexaminé.

Étudions $h(x)=(2x+1)/(x-1)=2+3/(x-1)$. Son domaine est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Aux deux infinis, la limite vaut $2$, donc $y=2$ est asymptote horizontale. En $1$, les limites sont $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite : $x=1$ est asymptote verticale.

Le centre est $I(1;2)$ : pour $t\ne0$, $h(1+t)=2+3/t$ et $h(1-t)=2-3/t$, dont la somme vaut $4$. La dérivée est $h'(x)=-3/(x-1)^2<0$, donc chaque branche est strictement décroissante.

$x$	$-\infty$		$1^-$	$1^+$		$+\infty$
$h'(x)$		$-$			$-$
$h(x)$	$2$	$\searrow$	$-\infty$	$+\infty$	$\searrow$	$2$

Les valeurs $2$ aux deux extrémités sont des limites, pas des valeurs atteintes : $3/(x-1)$ n’est jamais nul. Les intersections avec les axes sont $(-1/2;0)$ et $(0;-1)$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Sur la branche gauche, $h(x)<2$ ; sur la branche droite, $h(x)>2$. Le centre $I$ sert à construire la symétrie, mais n’appartient pas à la courbe puisque son abscisse $1$ est interdite.

Résoudre et comparer graphiquement

Pour résoudre $f(x)=k$, on trace la droite horizontale $y=k$ et on lit les abscisses de ses intersections avec la courbe. Pour $f(x)\le k$, on conserve les abscisses où la courbe est sur ou sous cette droite, en respectant les points exclus du domaine.

Une lecture graphique fournit souvent des valeurs approximatives. On précise cette approximation et, lorsque l’algèbre est accessible, on confirme les bornes exactes. Une courbe peut également donner le nombre de solutions d’une équation dont la résolution exacte est hors de portée.

Pour comparer $f(x)$ et $g(x)$, on observe laquelle des deux courbes est la plus haute à l’abscisse $x$. Algébriquement, on étudie le signe de $f(x)-g(x)$ sur leur domaine commun. Les points d’intersection annulent cette différence.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Une parabole tournée vers le bas

Étudier $q(x)=-x^2+6x-5$ : axe, sommet, variations, limites et intersections avec les axes.

Correction. Le domaine est $\mathbb{R}$ et $q(x)=4-(x-3)^2$, donc l’axe est $x=3$ et le sommet $(3;4)$. La dérivée $q'(x)=-2x+6$ est positive avant $3$ et négative après. La fonction croît jusqu’à son maximum global $4$, puis décroît ; elle tend vers $-\infty$ aux deux infinis. Comme $q(x)=-(x-1)(x-5)$, les zéros sont $1$ et $5$. L’ordonnée à l’origine est $-5$. Ces points, le sommet et l’axe permettent le tracé sans confondre le signe négatif du coefficient dominant avec le signe de toutes les images.

Exercice 2 - Lire des niveaux de la parabole

Pour la fonction de l’exercice précédent, résoudre $q(x)=3$ et $q(x)\le0$ ; expliquer les résultats graphiquement.

Correction. $4-(x-3)^2=3$ équivaut à $(x-3)^2=1$, donc $x=2$ ou $x=4$. La droite $y=3$ coupe la parabole en deux points symétriques par rapport à $x=3$.

La factorisation $q(x)=-(x-1)(x-5)$ montre que $q(x)\le0$ à l’extérieur des racines : $S=]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$. La courbe est sur ou sous l’axe horizontal dans ces deux régions ; elle est strictement au-dessus entre $1$ et $5$.

Exercice 3 - Une symétrie décalée

Établir l’axe de symétrie de $r(x)=x^2+2x-3$ et construire trois paires de points symétriques.

Correction. La forme $r(x)=(x+1)^2-4$ donne, pour tout réel $t$, $r(-1+t)=r(-1-t)=t^2-4$. L’axe est donc $x=-1$. Pour $t=1$, les points sont $(0;-3)$ et $(-2;-3)$ ; pour $t=2$, $(1;0)$ et $(-3;0)$ ; pour $t=3$, $(2;5)$ et $(-4;5)$. Les milieux de ces segments ont tous l’abscisse $-1$. Le sommet est $(-1;-4)$ ; la fonction n’est pas paire par rapport à $0$.

Exercice 4 - Une courbe cubique translatée

Étudier les variations et le centre de $g(x)=x^3-3x+1$, puis résoudre $g(x)=1$ et $g(x)=3$.

Correction. $g'(x)=3(x-1)(x+1)$ est positive avant $-1$, négative entre $-1$ et $1$, positive après $1$. Les extrema locaux sont $g(-1)=3$ et $g(1)=-1$. Comme $g(t)+g(-t)=2$, le centre est $(0;1)$. Les limites sont $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite.

L’équation $g(x)=1$ donne $x(x^2-3)=0$, donc $-\sqrt3$, $0$ et $\sqrt3$. L’équation $g(x)=3$ donne $(x+1)^2(x-2)=0$, donc $-1$ et $2$. La droite $y=3$ est tangente au point d’abscisse $-1$ et rencontre aussi la branche droite en $2$.

Exercice 5 - Une autre fonction homographique

Étudier $r(x)=(x-3)/(x+2)$ : domaine, asymptotes, variations, centre et points sur les axes.

Correction. Le domaine exclut $-2$, et $r(x)=1-5/(x+2)$. La limite vaut $1$ aux deux infinis. En $-2$, les limites sont $+\infty$ à gauche et $-\infty$ à droite. Les asymptotes sont donc $x=-2$ et $y=1$.

La dérivée $r'(x)=5/(x+2)^2$ est positive : chaque branche est strictement croissante. Pour $t\ne0$, $r(-2+t)+r(-2-t)=2$, donc le centre est $(-2;1)$. Les points d’intersection avec les axes sont $(3;0)$ et $(0;-3/2)$. À gauche de $-2$, la branche est au-dessus de $y=1$ ; à droite, elle est au-dessous.

Exercice 6 - Un niveau atteint et un niveau impossible

Avec la fonction précédente, résoudre $r(x)\ge2$ et expliquer pourquoi $r(x)=1$ n’a pas de solution.

Correction. Pour $x\ne-2$, $$r(x)-2=\frac{-x-7}{x+2}.$$ Le quotient est positif ou nul exactement pour $x\in[-7;-2[$ : le numérateur s’annule en $-7$, le dénominateur s’annule en $-2$ qui reste exclu. Donc la branche gauche se situe sur ou au-dessus de $y=2$ à partir de $x=-7$ jusqu’à l’asymptote. Enfin $r(x)=1$ imposerait $-5/(x+2)=0$, impossible. La hauteur de l’asymptote horizontale n’est jamais atteinte par cette fonction.

Exercice 7 - Le piège d’une simplification

Étudier graphiquement $u(x)=(2x+4)/(x+2)$. La droite $x=-2$ est-elle une asymptote verticale ?

Correction. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$. Pour tout $x$ de ce domaine, $u(x)=2$. Le graphe est donc la droite horizontale $y=2$ privée du point $(-2;2)$, que l’on marque par un point creux. Les limites latérales en $-2$ valent toutes deux $2$, donc il n’y a pas d’asymptote verticale. La fonction est constante sur chaque intervalle du domaine ; elle n’a aucun zéro et passe par $(0;2)$. La fraction n’est pas une homographie non constante, puisque ses coefficients vérifient $ad-bc=0$.

Exercice 8 - Signe d’une courbe cubique par rapport à une droite

Pour $g(x)=x^3-3x+1$, résoudre $g(x)\le1$ et relier la réponse à la courbe.

Correction. L’inéquation équivaut à $x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\le0$. Les racines ordonnées sont $-\sqrt3$, $0$ et $\sqrt3$. Le signe du produit est négatif avant $-\sqrt3$, positif entre $-\sqrt3$ et $0$, négatif entre $0$ et $\sqrt3$, positif après $\sqrt3$. Ainsi, $$S=]-\infty;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3].$$ On conserve les trois racines puisque l’égalité est admise. Ce sont exactement les abscisses où la courbe est sur ou sous la droite $y=1$, même si la fonction peut y être croissante sur une partie et décroissante sur une autre.

Exercice 9 - Une zone utile dans un modèle

Un modèle fictif associe à une quantité réelle $x\in[0;10]$ le résultat $P(x)=-x^2+10x-16$. Étudier la courbe sur ce domaine, puis déterminer la zone $P(x)\ge5$. Donner aussi les quantités si $x$ doit être entier.

Correction. $P(x)=9-(x-5)^2$ ; l’axe est $x=5$ et le maximum vaut $9$ en $5$. La dérivée $10-2x$ montre la croissance sur $[0;5]$ et la décroissance sur $[5;10]$. Les extrémités ont l’image $-16$, et les zéros sont $2$ et $8$ car $P(x)=-(x-2)(x-8)$.

La condition $P(x)\ge5$ équivaut à $(x-5)^2\le4$, donc $3\le x\le7$, entièrement dans le domaine autorisé. Graphiquement, c’est la portion de la parabole située sur ou au-dessus de la droite $y=5$. Si $x$ doit être entier, les quantités possibles sont $3$, $4$, $5$, $6$ et $7$. Un résultat graphique doit toujours être recoupé avec le domaine du modèle.

Exercice 10 - Profil d’une arche décorative

Une maquette décrit un profil par $H(x)=3-(x-2)^2/2$ sur $[0;4]$, avec les deux coordonnées en mètres. Déterminer l’axe, la hauteur maximale, les hauteurs aux extrémités et la largeur de la zone où le profil atteint au moins $2$ m.

Correction. Le domaine $[0;4]$ est invariant par $x\mapsto4-x$, et $H(2+t)=H(2-t)=3-t^2/2$. L’axe est donc $x=2$. La dérivée $H'(x)=2-x$ montre la croissance sur $[0;2]$, puis la décroissance sur $[2;4]$. La hauteur maximale vaut $3$ m en $x=2$, et les deux extrémités ont la hauteur $H(0)=H(4)=1$ m.

La condition $H(x)\ge2$ équivaut à $(x-2)^2\le2$, soit $x\in[2-\sqrt2;2+\sqrt2]$, intervalle contenu dans le domaine. Sa largeur est $(2+\sqrt2)-(2-\sqrt2)=2\sqrt2$ m, environ $2{,}83$ m. Sur le dessin, on la lit entre les deux intersections de la parabole avec $y=2$ ; cette largeur est une distance horizontale, pas une longueur mesurée le long de l’arche.

Contrôler un tracé

Les branches respectent les limites et les variations ; les symétries respectent le domaine ; les points remarquables ont leurs coordonnées exactes ; les valeurs interdites restent absentes. Une fenêtre graphique ne prouve pas ce qui se passe hors de l’écran : utiliser aussi l’expression, les limites et le tableau de variations.

Fin du cours et des exercices corrigés